Microsoft Word - MA11 sec77.doc
|
|
- Ана Маджарова
- преди 4 години
- Прегледи:
Препис
1 Лекця 7 7 Дефнця свойства на определен нтеграл Сум на Дарбу Определенят нтеграл е фундаментално средство в математката с разнообразн съдържателн прложеня Той се зползва за пресмятане на геометрчн фзчн велчн Интегрално делене на нтервала [ ] < се нарча сстемата от точк = { } за която = = < < < L < < = Даметър на деленето нарчаме чслото d( = m където = = Ако даметърът на деленето намалява то броят на точкте на деленето нараства Когато се казва че деленето следва деленето Да отбележм че за всек две деленя деленето 3 = U следва Нека функцята f ( :[ ] R е огранчена да положм m = if f ( = sup f ( Имаме m f ( пр което константте m за всяко [ ] са збран по оптмалня възможен начн Да положм m = if f = sup f [ ] ( [ ] ( Очевдно m m = да зберем по прозволен начн някакво чсло ξ Тогава сумте = От всек нтервал [ ] s( f = m S( f = = = се нарчат съответно долна горна сума на Дарбу за функцята f ( деленето а сумата r ( f = f ( ξ = образуван по се нарча нтегрална сума на Рман Интегралната сума на Рман завс от збора на междннте точк ξ = по начн който не е съществен за нейното зползване затова таз завсмост не е отбелязана в означенето Рс 7 Твърдене 7 Интегралнте сум мат следнте свойства За всяко делене е зпълнено m( s( f r( f S( f ( ; Ако то S ( f S( f s ( f s( f те с увелчаване броя на точкте на делене горнте сум намаляват (не нарастват а долнте сум се увелчават (не намаляват;
2 3 За всек две деленя е в сла неравенството s ( f S( f което означава че всяка долна сума не надвшава всяка горна сума Доказателство За всяко = маме m m ξ след умножаване с положтелното чсло = получаваме m m f ( ξ откъдето след сумране по всчк = получаваме m = = m = f ( ξ = което доказва серята от неравенства понеже = = = от което Ще докажем само неравенството S ( f S( f неравенство ( f s( f = U{} ξ Нека = f ( понеже другото s се доказва аналогчно Да предположм отначало че нека таз за някой ндекс sup деленето съдържа само една точка повече от деленето точка ξ е от нтервала ( = sup f ( От друга страна сумте S ( f ( f ξ ξ S се разлчават само над нтервала [ ] следователно S( f ( = ( ( ξ S f ( ξ Сумата в дясната страна няма да нарасне ако заменм ( ξ с ( ξ ( ξ с ( ξ понеже По тоз начн намраме S( f S( f ( ( ξ ( ξ = = [( ( ξ ( ξ ] = те S ( f S( f Да предположм сега че = U { ξ ξ } K ξ p Прлагайк последователно доказаното неравенство когато деленята се разлчават само с една точка получаваме S f S f U ξ S f U ξ ξ L S f U ξ ξ ξ = S f ( ( { } { } ( ( { } ( p 3 = U Тогава 3 3 s f s f 3 S f 3 S f É 3 Да образуваме деленето според предшнте точк маме ( ( ( ( следователно На следващата рсунка 7 е дадена геометрчната нтерпретаця на сумте на Дарбу пр f ( [ ] Рс 7
3 Нека π Π всочн съответно m От рс 7 се вжда че s ( f е сборът от лцата на правоъгълнцте π а S ( f е сборът от лцата на правоъгълнцте Π = Нека A е крволнейнят трапец образуван от оста O графката на функцята f ( верткалнте лн през точкте = = Да предположм че фгурата A ма лце да означм това лце с µ ( A (мярка на A Тогава за всяко делене е зпълнено неравенството s ( f µ ( A S( f по-общо за всек две деленя е зпълнено неравенството (7 s ( f µ ( A S( f което е в основата на геометрчната нтерпретаця на определеня нтеграл която ще дадем по-надолу в таз лекця Точната горна гранца на всчкте долн сум на Дарбу се нарча долен нтеграл на Дарбу се бележ с ( d = sup s( f = са правоъгълнцте с основа нтервала [ ] а точната долна гранца на всчкте горн сум на Дарбу се нарча горен нтеграл на Дарбу се бележ с ( d if S( f = От теоремата за отделмост от точка 3 на твърдене 7 следва че за всяка f : е зпълнено огранчена функця ( [ ] R (7 ( d f ( f d С друг дум долнят горнят нтеграл на Дарбу са внаг определен пр което между тях е валдно неравенството (7 Сега можем да препшем неравенството (7 във вда (73 ( d µ ( A f ( f d Неравенството (7 може да се зкаже по следня начн: между всчкте долн сум всчкте горн сум ма поне едно чсло което г разделя Това твърдене е геометрчно очевдно съгласно (73 което не бва да се схваща като точно разсъждене понеже в (73 не разполагаме с определене за лце на A Можем обаче да кажем че каквото чсло µ ( A да наречем лце на крволнейня трапец A за него трябва да бъде зпълнено неравенството (73 Определене 7 Казва се че огранчената функця f ( :[ ] R е нтегруема по Рман (в рманов смсъл в нтервала [ ] когато долнят горнят нтеграл на Дарбу са равн В тоз случай тяхната обща стойност се нарча определен се бележ с (Рманов нтеграл на функцята f ( в нтервала [ ] f ( d ( d = ( d = ( d Напрмер ако f ( е константа ( C Дарбу мат една съща стойност ( f = то всяка долна всяка горна сума на C Последното означава че долнят горнят нтеграл на Дарбу мат една съща стойност 3
4 ( Cd = Cd = C следователно константата ( C ( d = C( f = е нтегруема функця пр което Необходм достатъчн условя за нтегруемост Оказва се че класът на нтегруемте функц е достатъчно шрок Пред всчко ще формулраме Теорема 7 Огранчената функця f ( :[ ] R е нтегруема в нтервала [ ] тогава само тогава когато за всяко > може са се намер нтегрално делене за което S ( f s( f < Доказателство Нека > е делене за което S ( f s( f < От определенята следва че за всяко делене е в сла (74 s( f f ( d f ( d S( f Тогава ( d f ( d S( f s( < f следователно ( d f ( = f d понеже можем да збраме прозволно малко Да предположм сега че функцята f ( е нтегруема в нтервала [ ] нека > Съгласно определенята за долен горен нтеграл понеже чслото ( не е горна гранца за долнте сум на Дарбу чслото ( + не е долна гранца за горнте сум на Дарбу могат да се намерят деленя таква че ( d = ( d < s( f ( d = ( d ( d + = ( d + > S( f ( d = ( d Нека 3 = U Тогава съгласно свойствата на сумте на Дарбу последнте две съотношеня маме ( d < s( f s( f 3 ( ( 3 ( < ( + d S f S f d следователно S ( f s( f < É С помощта на теорема 7 ще докажем следното Твърдене 7 Всяка непрекъсната функця е нтегруема всяка монотонна функця е нтегруема Доказателство Нека функцята f ( е непрекъсната в нтервала [ ] ( < Тогава тя е огранчена равномерно непрекъсната Нека > Тогава от равномерната непрекъснатост следва съществуването на δ > такова че 4
5 f < когато < δ Нека деленето е збрано с еднственото d < Да разгледаме разлката ( f ( зскване ( δ (75 S( f s( f = ( m = Понеже ( всек нтервал [ ] = следователно = f ( ξ m f ( η ξ η [ ] Тогава m = f ( ξ f ( η < f е непрекъсната тя достга най-голямата най-малката с стойност във = за няко от (75 следва че пр тоз збор на деленето маме S( f s( f = = ( = = = което съгласно теорема 7 доказва нтегруемостта на непрекъснатата функця ( Нека функцята f ( е монотонна в нтервала [ ] предположм че f ( е монотонно растяща не е константа ( f ( f За определеност да f > Да зберем едно > нека деленето е збрано с еднственото зскване d( < Да f ( f ( разгледаме отново разлката (75 Тук маме = f ( m = f ( = (75 према вда S ( f s( f = [ f ( f ( ] = откъдето оценяваме S( f s( f [ f ( f ( ] = = f ( f ( f ( f ( което доказва нтегруемостта на f ( Случаят когато ( = [ f ( f ( ] = f е монотонно намаляваща се разглежда аналогчно É Може да се докаже че ако една огранчена функця f ( :[ ] R е непрекъсната с зключене евентуално на краен брой точк то тя е нтегруема Следващят прмер показва че ма функц кото не са нтегруем Нека f ( е определена в нтервала [ ] по следня начн: f ( = ако е рацонално чсло f ( = ако е рацонално чсло Във всек отворен нтервал ма както безбройно много рацоналн чсла така безбройно много рацоналн чсла следователно за всяка долна горна сума на Дарбу маме s ( f = = ( f = = По таз прчна = ( d = < f ( = d S = така определената функця не е нтегруема Доказаното твърдене 7 съдържа нещо повече понеже в двата случая нтегралът се получава като гранца на нтегралнте сум когато даметърът на 5
6 деленето клон към нула те за всяко > съществува δ такова че S f s f < внаг когато d ( < δ откъдето следва че ( ( f ( d S( f < f ( d + ( d s( f > f ( d Последното може да запше по следня начн ( f ( f f ( f lim S = lim s = d ( d ( d което по същество е частен случай на следната теорема на Дарбу Теорема 7 За всяка огранчена функця f ( :[ ] R е зпълнено lim d ( ( f f ( s = d ( ( f f ( lim S = d d те долнят горнят нтеграл на Дарбу се явяват гранц съответно на долнте горнте сум на Дарбу когато даметърът на деленето клон към нула É От теоремата на Дарбу от неравенството за нтегралнте сум s ( f r( f S( f следва верността на Твърдене 73 Нека огранчената функця ( [ ] Тогава (76 f ( ( ( f d = lim r d f е нтегруема в нтервала те нтегралът се явява гранца на рмановте нтегралн сум когато даметърът на деленето клон към нула É Да отбележм че твърдене 73 е доказано строго за случая когато функцята ( послуж за отправна точка за въвеждане на рмановя нтеграл Функцята ( f е непрекъсната л монотонна Съдържането на това твърдене може да f се определя като нтегруема в нтервала [ ] когато съществува гранцата lim r( f d ( която е стойността на нтеграла Не предпочетохме друг подход който зяснява повече структурн връзк в схемата на въвеждане на нтеграла Премнаването от нтегралн сум на Рман към определен нтеграл във формулата (76 ще нарчаме нтегрален гранчен преход Тоз преход леж в основата на получаване на разлчнте прложеня на определеня нтеграл Формулата (76 открва възможност за доказване няко свойства на нтеграла по следната схема Свойството се доказва отначало за нтегралнте сум след което се получава за нтеграла след нтегрален гранчен преход 3 Геометрчна нтерпретаця на определеня нтеграл Нека ( [ ] Както вече отбелязахме пр разумно определене на лце ( A крволнейня трапец A образуван от оста O графката на ( прав през точкте f µ на f двете верткалн = = (Рс 73 ще бъде зпълнено неравенството (73 то (73 према вда Следователно ако f ( е нтегруема в нтрвала [ ] ( d µ ( A f ( f d което означава че по необходмост лцето на крволнейня трапец A се определя от формулата 6
7 (77 µ ( f ( A = d Рс 73 Когато функцята f ( с сменя знака в нтервала [ ] където f ( е отрцателна се зваждат лцата на участъцте Рс 74 напрмер за зобразеня на рсунка 74 случай маме ( d = µ ( A µ ( A + µ ( A3 7
Microsoft Word - PRMAT sec99.doc
Лекция 9 9 Изследване на функция Растене, намаляване и екстремуми В тази лекция ще изследваме особеностите на релефа на графиката на дадена функция в зависимост от поведението на нейната производна Основните
ПодробноMicrosoft Word - VM22 SEC66.doc
Лекция 6 6 Теорема за съществуване и единственост Метричното пространство C [ a b] Нека [ a b] е ограничен затворен интервал и да разгледаме съвкупността на непрекъснатите функции f ( определени в [ a
ПодробноMicrosoft Word - IGM-SER1111.doc
Лекция Редове на Фурие поточкова сходимост Теорема на Дирихле Тук ще разглеждаме -периодична функция ( ) която ще искаме да бъде гладка по части Това означава че интервала ( ) може да се раздели на отделни
ПодробноPaper 5-1
ГРАФОАНАЛИТИЧЕН МЕТОД ЗА ОПРЕДЕЛЯНЕ НА ОСНОВНИТЕ ТЕХНИЧЕСКИ ХАРАКТЕРИСТИКИ НА МНОГООПЕРАЦИОННИ МЕТАЛОРЕЖЕЩИ МАШИНИ ЗА ОБРАБОТВАНЕ НА ПРИЗМАТИЧНИ ДЕТАЙЛИ Сашо Гергов Технческ унверстет Софя, Бул. Кл. Охрдск
ПодробноКинематика задачи Механика - задачи МЕХАНИКА Кинематика на материална точка ТИПОВИ ЗАДАЧИ Задача От земната повърхност, вертикално нагоре е хвърлено т
МЕХАНИКА Кнематка на матерална точка ТИПОВИ ЗАДАЧИ Задача От земната овърхност, верткално нагоре е хвърлено тяло с начална скорост m. а) времето за здгане на тялото до максмална всочна, б) максмалната
ПодробноГлава 5 Критерий за субхармоничност Да разгледаме някои общи свойства на полу-непрекъснатите отгоре функции, преди да се съсредоточим върху онези от т
Глава 5 Критерий за субхармоничност Да разгледаме някои общи свойства на полу-непрекъснатите отгоре функции, преди да се съсредоточим върху онези от тях, които са субхармонични. Лема-Определение 5.1. Нека
ПодробноMicrosoft Word - PMS sec1212.doc
Лекция Екстремуми Квадратични форми Функцията ϕ ( = ( K се нарича квадратична форма на променливите когато има вида ϕ( = aij i j i j= За коефициентите предполагаме че a ij = a ji i j При = имаме ϕ ( =
ПодробноMicrosoft Word - VM22 SEC55.doc
Лекция 5 5 Диференциални уравнения от първи ред Основни определения Диференциално уравнение се нарича уравнение в което участват известен брой производни на търсената функция В общия случай ( n) диференциалното
ПодробноМАТЕМАТИКА И МАТЕМАТИЧЕСКО ОБРАЗОВАНИЕ, 2007 MATHEMATICS AND EDUCATION IN MATHEMATICS, 2007 Proceedings of the Thirty Sixth Spring Conference of the U
МАТЕМАТИКА И МАТЕМАТИЧЕСКО ОБРАЗОВАНИЕ, 2007 MATHEMATICS AND EDUCATION IN MATHEMATICS, 2007 Proceedings of the Thirty Sixth Spring Conference of the Union of Bulgarian Mathematicians St. Konstantin & Elena
ПодробноЛекции по математика за Биолози ( Т. Боев, ФМИ - БФ ) О П Р Е Д Е Л Е Н И И Н Т Е Г Р А Л И (кратък вариант) 0.1. Уводни бележки. а) Интеграли и лица
Лекции по математика за Биолози ( Т. Боев, ФМИ - БФ ) О П Р Е Д Е Л Е Н И И Н Т Е Г Р А Л И (кратък вариант).. Уводни бележки. а) Интеграли и лица на фигури. Класическият въпрос за пресмятане лицата (
ПодробноMicrosoft Word - IGM-SER1010.doc
Лекция Редове на Фурие -теория Сведения за пространства със скаларно произведение В този раздел ще се занимаваме с периодични функции с период T > Една функция определена за всяко x R се нарича T -периодична
ПодробноЛЕКЦИЯ 6 ЗАКОН ЗА ИНЕРЦИЯТА Определение. Броят на положителните коефициенти в каноничния вид на дадена квадратична форма се нарича положителен индекс
ЛЕКЦИЯ 6 ЗАКОН ЗА ИНЕРЦИЯТА Определение. Броят на положителните коефициенти в каноничния вид на дадена квадратична форма се нарича положителен индекс на инерцията на тази квадратична форма. Броят на отрицателните
ПодробноMicrosoft Word - PMS sec11.doc
Лекция Матрици и детерминанти Определения Матрицата е правоъгълна таблица от числа Ако е матрица с m реда и стълба то означаваме () O m m m m ( ) За елементите на матрицата се използва двойно индексиране
ПодробноMicrosoft Word - IGM-CA2222ааа.doc
Лекция α Функциите e ln и Функциите e и ln Тук ще дадем още едно определение за експоненциалната функция което разбира се води до същия резултат както определението със степенен ред без да доказваме еквивалентността
ПодробноГлава 3 Едномерни стационарни задачи 3.1 Едномерна безкрайна правоъгълна потенциална яма В тази глава ще разгледаме най-простия едномерен потенциал: б
Глава 3 Едномерни стационарни задачи 3.1 Едномерна безкрайна правоъгълна потенциална яма В тази глава ще разгледаме най-простия едномерен потенциал: безкрайна правоъгълна потенциална яма. Преди това ще
ПодробноMicrosoft Word - VM-2-7-integrirane-na-racionalni-funkcii-seminar.doc
7. Интегриране на рационални функции Съдържание. Пресмятане на неопределен интеграл от елементарни дроби. Интегриране на правилни рационални функции. Интегриране на неправилни рационални функции ТЕОРИЯ
ПодробноMicrosoft Word - VM-LECTURE06.doc
Лекция 6 6 Уравнения на права и равнина Уравнение на права в равнината Тук ще разглеждаме равнина в която е зададена положително ориентирана декартова координатна система O с ортонормиран базис i и j по
ПодробноMicrosoft Word - IGM-CA1919.doc
Лекция 9 9 Функции на комплексна променлива Криви и области в комплексната равнина Тук се предполага че основните определения за комплексно число както и свойствата на алгебричните операции между комплексни
ПодробноMicrosoft Word - Tema-8-klas-PLOVDIV.doc
МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА СЪЮЗ НА МАТЕМАТИЦИТЕ В БЪЛГАРИЯ Пролетен математически турнир 7 9 март 9 г., ПЛОВДИВ Тема за 8 клас Задача. Дадено е уравнението ax + 9 = x + 9ax 8x, където a е
Подробно54. НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА НАЦИОНАЛЕН КРЪГ Задача 1. Да се намерят всички тройки от естествени числа (x, y, z) такива, че 2005 x + y + 200
54. НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА НАЦИОНАЛЕН КРЪГ Задача 1. Да се намерят всички тройки от естествени числа (x, y, z) такива, че x + y + 005 x + z + y + z е естествено число. Решение. Първо ще докажем,
ПодробноMicrosoft Word - stokdovo saprotivlenie.doc
Движения при наличие на Стоксово съпротивление При един често срещан вид движения неподвижно тяло започва да се движи под действие на сила с постоянна посока Ако върху тялото действа и Стоксова съпротивителна
ПодробноMicrosoft Word - nbb2.docx
Коректност на метода на характеристичното уравнение за решаване на линейно-рекурентни уравнения Стефан Фотев Пиша този файл, тъй като не успях да намеря в интернет кратко и ясно обяснение на коректността
ПодробноМинистерство на образованието, младежта и науката 60. Национална олимпиада по математика Областен кръг, г. Условия, кратки решения и кри
Министерство на образованието, младежта и науката 60. Национална олимпиада по математика Областен кръг, 1-1.0.011 г. Условия, кратки решения и критерии за оценяване Задача 11.1. Да се намерят всички стойности
ПодробноСОФИЙСКА МАТЕМАТИЧЕСКА ГИМНАЗИЯ ТУРНИР ПО МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА "ЗА ТОРТАТА НА ДИРЕКТОРА" ТЕМА ПО МАТЕМАТИКА 8 КЛАС Задача 1. Да се реши в цели чис
СОФИЙСКА МАТЕМАТИЧЕСКА ГИМНАЗИЯ ТУРНИР ПО МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА "ЗА ТОРТАТА НА ДИРЕКТОРА" ТЕМА ПО МАТЕМАТИКА 8 КЛАС Задача 1. Да се реши в цели числа уравнението p( + b) = (5 + b) 2, където p е просто.
ПодробноОсновен вариант, клас Задача 1. (3 точки) За кои n съществуват различни естествени числа a 1, a 2,..., a n, за които сборът е естествено число
Основен вариант, 0. 2. клас Задача. (3 точки) За кои n съществуват различни естествени числа, a 2,..., a n, за които сборът е естествено число? a 2 a 3 + + a n Решение: Ще докажем, че n =, n > 2. При n
ПодробноMicrosoft Word - Lecture 14-Laplace Transform-N.doc
Лекция 4: Интегрално преобразувание на Лаплас 4.. Дефиниция и образи на елементарните функции. Интегралното преобразувание на Лаплас Laplac ranorm се дефинира посредством израза: Λ[ ] преобразувание на
Подробно16. Основни методи за интегриране. Интегриране на някои класове функции Интегриране по части. Теорема 1 (Формула за интегриране по части). Ако
6. Основни методи за интегриране. Интегриране на някои класове функции. 6.. Интегриране по части. Теорема (Формула за интегриране по части). Ако функциите f(x) и g(x) садиференцируеми в интервала (a, b)
ПодробноСеминар № 2: Граници на редици, признаци на Даламбер и Коши за сходимост на редове
Семинар / 7 Семинар : Парциална сума на числов ред. Метод на пълната математическа индукция. Критерии за сходимост на редове.! Редица (последователност): x, x,, x, x! Ред: x x x...... Числов ред (безкрайна
Подробноmunss2.dvi
ОТГОВОРИ И РЕШЕНИЯ 3(x + y)(x xy + y )y(x y) 1. (Б) Преобразуваме: (x y)(x + y)(x + y ) x(x xy + y ) = 3y (x + y)(x y) x = (x + y ) 3 y x y x x + y = 3 y x (x y ) 1 ( x y ) + 1 = 3 ( 3 ) 1 9 3 ( 3 ) +
ПодробноСеминар № 2: Граници на редици, признаци на Даламбер и Коши за сходимост на редове
Семинар 6 / Семинар 6: Лява и дясна граница. Непрекъснатост на числови функции. Изследване графиките на функции: Кривина, максимум, минимум и инфлексна точка Лява и дясна граница на функция Числото b се
ПодробноMicrosoft Word - Lekciya-8-9-Proizvodni-na-Elementarnite-Funkcii.doc
Лекция 8. Производни на логаритмичната, показателната и степенната функции 8.. Производна на логаритмичната функция, у log (0
Подробно