Семинар 5: Обикновени диференциални уравнения (ОДУ)

Размер: px
Започни от страница:

Download "Семинар 5: Обикновени диференциални уравнения (ОДУ)"

Препис

1 Семинар 5 Обикновени диференциални уравнения Обикновени диференциални уравнения с разделящи се променливи: dy dy =X)Yy) =X) + C Yy) Ако е зададено гранично условие, то намираме частно решение (ЧР): y ) =y dy = X) Yy) Задача 1. Решете уравненията: yy а) +e = 0 ; y1) =0 б) y +cos +y) =cos y) ; y0) =π/4 в) y 1) + dy = 0 ; y1) =1 y +) Решение: a) y dy = e ydy e = ye dy ye dy = y e ) dy = ye ) dy = = yde =ye e dy = = ye 0)e ) + e d y) =ye e =ye + e e ) =e y+1) 1 = = 1 = 1 ye dy = e y+1) 1= 1 ЧР:e y+1) = +1 e y+1) = +1 e y )y +1) +e y = e yy e y +e y = y = y e yy +e =? 0 y y e +e = e +e =0 Полученото частно решение (ЧР) може да се изобрази на графика в интервала:,, y 1, 1 35

2 б) y +cos +y) =cos y) ; y0) =π/4 dy =cos y) cos +y) = = cos cos y + sin sin y cos cos y sin sin y) = cos cos y + sin sin y cos cos y + sin sin y dy = sin sin y dy = sin / sin y 1 ln tan y / = cos ) 1 ln tan y lntanπ = cos cos 0) 4 ln tan y ln1= 4cos 1) ЧР: ln tan y =4 4cos ЧР: tan y = e ЧР: y = arctan e y = arctan e y = 1 1+e ) e 4) sin) y 4sine = 1+e 4sine 1+e =? e sin sin y 1+e =? sin y e =u u =? sinarctanu) 1+u 36

3 arctan u = v tan v = u sin v sinv) =sinvcosv= cos v cos v cos v = tan v cos v=ucos v cos cos v v= sin v+cos v = cos v 1 = cos v sin v cos v +1 1+tan v = 1 1+u sinarctanu) = u 1+u Полученото частно решение (ЧР) може да се изобрази на графика в интервала: 4π, 4π, y 0, в) dy y +) = y 1) y 1) + dy = 0 ; y1) =1 y +) y 1 + dy = 1 y y y 1 y y dy = + dy + y y y dy = + ln y y = +ln ln y ln1 y 1) = 1+ln ln1) dy = + ЧР: ln y y=+ln ; ln y y=ln + ln y y=+ln ) 37

4 1 y y y =1+ 1 y y y = + 1 y y dy = + Полученото частно решение (ЧР) може да се изобрази на графика в интервала: 4,, y 0, 1 Задачи за домашно: 1) y =e +e ; y0) =0 ) y =sinh +y) +sinh y) 3) y +1) + y +1) dy=0 ; y0) =1 4) tan tan y cos dy = y cos 5) y +1) =y y +1=0 6) y =ln ; 1) = Обикновено диференциално линейно уравнение от I-ви ред: f) и g) известни функции. Решението се дава с формулата: y=e C + g)e, F f) y +f)y =g) Задача. Решете уравненията: а) y y= cos б) 1 + )y +y=arctan в) y y ln =ln ; ye) =e / Решение: a) 38

5 y y= cos y y =cos f) = 1 ; g) =cos F=f) = 1 = ln = ln =ln 1 y) =e ) C+cose =e C + cos 1 =C+cos ОР: y) =C +sin) y ) = C +sin) =C+sin+cos y y=? cos C +sin+cos) C +sin) =? cos C + sin + cos C sin = cos Полученото общо решение (ОР) ще илюстрираме с едно частно решение, получено за допълнителното условие yπ) =0, за което ЧР има вида: y) =sin и което е изобразено на графиката в интервала: 4, 4, y 3, 3 б) 1 + )y +y=arctan 39

6 y + 1 y=arctan f) = 1 arctan ; g) = F= 1 = arctan 1+ y) =e arctan C + 1+ e = y) =e C + arctan e 1+ = =e C + te dt = =e C + t de = =e C + te e dt = =e C+te e ) = =e C + e t 1) = =e C + e arctan 1) = y) =Ce +arctan 1 ОР: y) =Ce +arctan 1 При намирането на общото решение(ор) на ОДУ-е извършихме следната субституция: t = arctan dt = d arctan = arctan ) = 1+ y ) = Ce +arctan 1 1 = C 1+ e )y +y=? arctan ) 1+ C 1 1+ e +Ce +arctan 1=? arctan 1 Ce +Ce + arctan 1 = arctan Полученото общо решение ще илюстрираме с едно частно решение, получено за допълнителното условие y0) = 1, за което ЧР има вида: y) =arctan 1 и което е изобразено на графиката в интервала: π, π, y π/ 1, π/ 1 40

7 y в).5 y y ln =ln ; ye) =e / f) = 1 ; g) =ln ln F=f) = ln = dln = ln ln ln y) =e ) C + ln e = =e 1 C + ln = e =lnc+ln 1 ln = =lnc+= y) = lnc + Намиране на ЧР след прилагане на допълнителното условие ye) =e / y) = lnc + e =lnec+e C = 0 ЧР: y) = ln Доказването на тъждеството може да се извърши както с ОР, така и с кое да е ЧР и тъй като намереното ЧР е по-просто ще използваме него за доказателството: y) = ln y ) = ln =ln+ = ln+1) 41

8 y y ln =? ln ln+ ln ln =? ln ln+ =ln Полученото частно решение (ЧР), намерено за допълнителното условие ye) =e /, е изобразено на графиката в интервала: 0,, y 1, 1 Задачи за домашно: 1) y +y=e ) sin y ycos=1 ; yπ/) =0 3) y +ycos= 1 sin 4) y 1 +y=arcsin ; y0) =0 Обикновено диференциално уравнение с пълен диференциал: h, y)y +g, y) =0 или h, y) dy + g, y) = 0 проверка: h = g y,т.е. F y = F y df h, y) dy + g, y) = 0 F, y) =C е общото решение, където F, y) = + y dy Общо решение ОР): F, y) =g, y) + Ay) =C или F, y) =h, y) dy + A) =C Определяме: Ay): y = da g, y) + =h, y) ; A): y dy = da h, y) dy + =g, y) 4

9 Задача 3. Решете уравненията: а) y +e sin y) + +e cos y) dy = 0 б) y +lny) + y ++1dy=0 в) +y +y) + y + + e ) dy=0 ; y0) =0 Решение: а) y +e sin y) + +e cos y) dy = 0 y =h, y) =+e cos y =g, y) =y+e sin y F y = h = +e cos y) =1+e cos y F y = g y = y y+e sin y) =1+e cos y F, y) =y +e sin y) + Ay) =y+e sin y + Ay) ОР: F, y) =y+e sin y + Ay) Ay): y =h, y) y y + e sin y) + da dy =+e cos y +e cos y + da dy =+e cos y da =0 dy A=const ОР: F, y) =y+e sin y = C Доказателството, че намереното общо решение удовлетворява даденото ДУ-е включва намирането на частните производни на F, y), които трябва да са тъждествено равни на изразите в условието на задачата: y =h, y) y = y y + e sin y) =+e cos y =g, y) = y + e sin y) =y+e sin y Полученото общо решение ще илюстрираме с две частни решения, получени за допълнителните условия yπ/) =0 и y0) =π/, за които ЧР-я имат вида: F, y) =y+e sin y = 0 и F, y) =y+e sin y = 1 и които са изобразени на графиките в интервала: 10, 10, y 10, 10 43

10 б) y +lny) + y ++1dy=0 =h, y) = y y ++1 F y = h = y ++1=/y+1 =g, y) =y+lny F y = g y = y+lny) =1+/y y F, y) =y +lny) + Ay) =y+ ln y + Ay) ОР: F, y) =y+ ln y + Ay) Ay): y =h, y) y da y + ln y + dy = y y + da dy = y ++1 da =1 da=dy A=y dy ОР: F, y) =y+ ln y + y = C Доказателството, че намереното общо решение удовлетворява даденото ДУ-е включва намирането на частните производни на F, y), които трябва да са тъждествено равни на изразите в условието на задачата: y =h, y) y = y =g, y) = 44 y + ln y + y = y ++1 y + ln y + y = y + ln y

11 Полученото общо решение ще илюстрираме с две частни решения, получени за допълнителните условия y4) =16 и y0) =e, за които ЧР-я имат вида: F, y) =y1 +) + ln y = ln 4 и F, y) =y1 +) + ln y = e и които са изобразени на графиките в интервала: 0, 0, y 0, 0 в) +y +y) + y + + e ) dy=0 ; y0) =0 =h, y) =y++e y =g, y) = +y +y F y = h = y + + e ) =y+1 F y = g y = y +y +y) =y+1 F, y) = +y +y) + Ay) = 3 +y +y+ay) ОР: F, y) = 3 +y +y+ay) Ay): y =h, y) y 3 +y +y+ da dy =y++e y + + da dy =y++e ОР: F, y) = 3 +y +y+e =C da dy =e da = e dy A = e Определяне на частното решение (ЧР), за даденото допълнително условие y0) =0 F0,0) = ) + 0)0) +e =1 C=1 45

12 ЧР: F, y) = 3 +y +y+e =1 Доказателството, че намереното общо решение удовлетворява даденото ДУ-е включва намирането на частните производни на F, y), които трябва да са тъждествено равни на изразите в условието на задачата: y =h, y) y = y 3 +y +y+e =y++e =g, y) = 3 +y +y+e = +y +y Полученото общо решение ще илюстрираме с две частни решения, получени за допълнителните условия y0) =0 и y e) = e, където второто ЧР има вида: F, y) = +y +y+e =e 4e /3 + e и които са изобразени на графиките в интервала: 0, 0, y 0, 0 Задачи за домашно: а) y + sin y) cosy) dy = 0 б) ye +lny+e + dy = 0 ; y0) =1 y в) ln y 5y sin 5) + + y cos 5 dy = 0 ; y0) =e y 46

13 Еднородни обикновени диференциални уравнения: P, y) + Q, y) dy = 0 Решаваме с полагане: y =fy/) y = t Задача 4. Решете уравненията: а) +y) + y dy = 0 б) y =y/+siny/; y1) =π/ в) y =e / +y; y1) =0 Решение: а) +y) + y dy = 0 +y+yy =0 +y= yy y = +y y y +y) = y y = +y y Полагаме:y=t dy=dt) = t + dt y = dy = t+dt =t+ dt y = +y y dt = t 1+t t t+ dt = +t t dt = t +t+1 t = t dt ln = t+1 1dt + C t +1) t +1) dt +t) = t 1 t = t dt t +1) ln = t+1 dt + 1) dt dt + C ln = t +1) t +1) t+1 dt t +1) +C dt +1) ln = t+1 ln +ln y y/ + 1 ОР: ln +y + +1) 1 +dt +C ln = ln t +1 t +1) t+1 +C +y =C y+ =C ln + y+ =C ln +y + +y =C 1+y ) +y) +y) + +y y +y) =0 1+y +y 1 +y ) + +y +y) =0 y +yy ++y+y y +y) =0 47

14 yy +y + +y) +y) =0 y = +y y Полученото общо решение (ОР) може да се илюстрира с едно частно решение, получено за допълнителното условие y) = 1, за което ЧР има вида: ln +y + изобразено на графиката в интервала: 3, 3, y 3, 3 =1 и което е б) y =y/+siny/; y1) =π/ Полагаме:y=t dy=dt) =t+dt y = dy = t+dt =t+ dt t+ dt =t+sint dt =sint dt sin t = dt sin t = 48

15 ln tan t =ln +C ОР: ln tan y =ln +C tan y =e =e e =e =C ОР: y =arctanc ОР: y = arctan C ЧР: y1) =π/ tan y =C tan π/ 1) =tanπ 4 =C 1) C =1 ЧР: y = arctan y = arctan y = arctan + 1+ arctan+ arctan arctan =? +sin 1+ arctan+ 1+ =? arctan+sinarctan) arctan = y tan y = sin y siny) =sinycosy= cos y= cos y sin y+cos y = =? sinarctan) 1+ cos y cos y cos y = tan y cos y=cos y cos y cos y sin y cos y +1 = sinarctan) = tan y = 1 1+ Полученото частно решение (ЧР) може да се изобрази на графика в интервала:,, y 0,.0 y

16 в) y =e / +y; y1) =0 y =e / +y/ Полагаме: y = t t = y/ dy = dt) =t+dt dy =t +dt y = dy =t+dt y =e / +y/ t+ dt =e +t dt =e e dt = e dt = e =ln +C ОР: e / =C+ln ЧР: y =1) =0 e / =C+ln1 C= 1 ЧР: e / =1 ln e / =1 ln e / =1 ln e / y y = 1 e / y y y y =1 =e / y y =e/ y = y +e/ y =? e / +y y +e/ =? e / +y Полученото частно решение (ЧР) може да се изобрази на графика в интервала: 0, 3, y 1, 3 y

17 Задачи за домашно: 1) y siny/) +=ysiny/) ) y y=tany/) ; y1) =π/ 3) +6 y +y ) + 4y +y ) dy = 0 ; y1) =0 Обикновени диференциални уравнения, които се свеждат до еднородни: y =f a +b y+c 1) a b a b 0 = u+α ; y = v+β ; v =tu a +b y+c ) a b a b =0 a +b y=t Определяне на константите α и β по правилото на Крамер: a α+b β+c =0 a α+b β= c a α+b β+c =0 a α+b β= c A = a b ; b = c b c b Δ=detA = a ; Δ a b = c b ; Δ c b = a c a c Δ=a b a b ; Δ =b c b c ; Δ =c a c a a α= Δ Δ = b c b c a b a b ; β = Δ Δ = c a c a a b a b Задача 5. Решете уравненията: а) + y + 1) + +y 1) dy = 0 б) +y+) + + y 1) dy = 0 Решение: а) + y + 1) + +y 1) dy = 0 + y + 1) + +y 1) dy = 0 + y + 1) + +y 1) dy =0 +y 1) dy dy = +y+1) y = +y+1 +y 1 a = ; b =1 ; c =1 a =1 ; b = ; c = 1 Δ= a b = 1 =)) 1)1) =3 0 избираме вариант 1. a b 1 Определяме константите α и β: Δ = c b 1 1 = c b 1) = 1)) 1)1) = 1= 3 α=δ Δ = 3 3 = 1 Δ = a c a c = 1 1 1) =)1) 1)1) =+1=3 β=δ Δ = 3 3 =1 51

18 Полагаме: =u 1 ; y=v+1. = du 1) =du ; dy=dv +1) =dv dv 1) +v+1+1 = u du u 1+v +1) 1 = u +v+ + v = u u +v+ u+v Полагаме: v =tu. dv = dtu) = t du + u dt ; t+u dt + tu u +t) +t = u = = du u+tu u1 +t) 1+t dv du =t+udt du u dt +t ++t = t du 1+t = t+t = t +t+ = t +t+1 1+t 1+t t + 1 u dt du = t +t+1 t + 1 t + 1 du t dt = +t+1 u dv + v = u du u+v ОДУ с раделящи променливи. t + 1 du t dt = +t+1 u dt +t+1) = t +t+1) = t + 1) dt t + 1 t +t+1 dt = dt +t+1) t +t+1 =ln t +t+1 +C ln t +t+1 = ln u +C ln t +t+1 = lnu +C ln t +t+1 +lnu =C u t +t+1) =C =e Представяне на ОР чрез първоначалните променливи y и : v = tu t = v/u u v /u +v/u+1) =v +vu+u =C = u 1 ; y = v + 1 u = + 1 ; v = y 1 y 1) + y 1) +1) + +1) =C y y+1+y+y =C +y+y + y+1=c ОР: +y+y + y=c +y+y + y=c +y+y + y=c +y+y +yy +1 y =0 + y + 1) + +y 1)y =0 Полученото общо решение (ОР) може да се илюстрира с едно частно решение, получено за допълнителното условие y0) =1/, за което ЧР има вида: 5

19 +y+y + y+1= 1/4 и което е изобразено на графиката в интервала:, 0, y 0, : y б) +y+) + + y 1) dy = 0 +y+) + + y 1) dy = 0 +y+) + + y 1) dy =0 + y 1) dy dy = +y+) y = +y+ + y 1 a =1 ; b =1 ; c = a = ; b = ; c = 1 53

20 b Δ= a = 1 =1)) 1)) = 0 избираме вариант. a b 1 Полагаме: a +b y=t,т.е.+y=t y=t dy=dt ) =dt dy = dt 1 y = +y+ dt t+ 1= + y 1 t 1 dt t+ =1 t 1 = t 1 t = t 3 t 1 t 1 dt = t 3 t 1 dt = ОДУ с раделящи променливи t 1 t 3 t 1 dt = t 3 t 1 t 3 t dt = dt = t 3 t 3) 5 = dt + t 3 t 3 =dt+5 dt 3) t 3 t 3) +5 dt = t 3 dt = t 3 t 3 =t+5ln t 3 +C dt + 5 dt t 3 = t + 5 ln t 3 =+C,но +y=t +y) +5ln +y 3 =C ОР: + y + 5 ln +y 3 =C +y+5ln +y 3 =C +y+5ln +y 3 =C 1+y y 3 1+y ) =0 +y 3+y +y 3) +51 +y ) =0 +y 3+5) +y + y 6 + 5) =0 +y+) + + y 1)y =0 Полученото общо решение (ОР) може да се илюстрира с едно частно решение, получено за допълнителното условие y4) =0, за което ЧР има вида: +y+5ln +y 3 =4 и което е изобразено на графиката в интервала: 5, 5, y 5, 5: 54

21 y Задачи за домашно: 1) +y) dy y 1) =0 ; y0) = ) y+3) dy + +y 1) = 0 3) y+4) dy + +y ) = 0 55

22 КОМАНДИ ЗА РЕШАВАНЕ НА ОДУ В ПРОГРАМАТА МАТЕМАТИКА Задача 1. Решете уравненията: а) yy +e = 0 ; y1) =0 (* Изтриване на имена и дефиниции от потребителското пространство *) a; Remove["Global`*"]; (* Задаване на ДУ-е като тъждество *) ode = y[]/ y'[] + Ep[y[]] == 0; (* Намиране на общо решение (ОР) на ДУ-е *) DSolve[ode, y[], ] (* Задаване на допълнително условие на ДУ-е *) ic = y[1] == 0; (* Намиране на частно решение (ЧР) на ДУ-е *) DSolve[{ode, ic}, y[], ] (* Изрисуване на ЧР в граници [-,] *) Plot[y[] /. %, {, -, }, PlotRange -> {-1, 1}, AspectRatio -> 1/, AesLabel -> {, y[]}, AesOrigin -> {0, 0}, ImageSize -> Full] 56

23 б) y +cos +y) =cos y) ; y0) =π/4 (* Изтриване на имена и дефиниции от потребителското пространство *) a; Remove["Global`*"]; (* Задаване на ДУ-е като тъждество *) ode = y'[] + Cos[ + y[]] == Cos[ - y[]]; (* Намиране на общо решение (ОР) на ДУ-е *) DSolve[ode, y[], ] (* Задаване на допълнително условие на ДУ-е *) ic = y[0] == Pi/4; (* Намиране на частно решение (ЧР) на ДУ-е *) DSolve[{ode, ic}, y[], ]; (* Проверка дали полученото решение удовлетворява ОДУ-е *) y[_] = y[] /. %[[1]] ode ode // FullSimplify (* Изрисуване на ЧР в граници [-4π,4π] *) ys[_] = y[]; Clear[y, ]; Plot[ys[], {, -4π,4π}, PlotRange -> {0, }, AspectRatio -> 1/, AesLabel -> {, y[]}, AesOrigin -> {0, 0}, ImageSize -> Full] 57

24 в) y 1) + dy = 0 y +) ; y1) =1 (* Изтриване на имена и дефиниции от потребителското пространство *) a; Remove["Global`*"]; (* Задаване на ДУ-е като тъждество *) ode = 1/( (y[] - 1)) + y'[]/(y[] ( + )) == 0; (* Намиране на общо решение (ОР) на ДУ-е *) DSolve[ode, y[], ] (* Задаване на допълнително условие на ДУ-е *) ic = y[1] == 1; (* Намиране на частно решение (ЧР) на ДУ-е *) DSolve[{ode, ic}, y[], ]; (* Проверка дали полученото решение удовлетворява ОДУ-е *) y[_] = y[] /. %[[1]] ode ode // FullSimplify (* Изрисуване на ЧР в граници [-4,] *) ys[_] = y[]; Clear[y, ]; Plot[ys[], {, -4, }, PlotRange -> {0, 1}, AesLabel -> {, y[]}, AesOrigin -> {0, 0}, ImageSize -> Full] (* ContourPlot[Log[Abs[y]]-y==+Log[^]-,{,-4,},{y,0,1}] *) 58

Семинар 6: Обикновени диференциални уравнения от 2 ред.

Семинар 6: Обикновени диференциални уравнения от 2 ред. Семинар 6 Обикновени диференциални уравнения от ред. Хомогенни линейни ОДУ-я с постоянни коефициенти (ХЛОДУПК): y ( ) +a y ( ) + +a y=0 Характеристично уравнение (ХУ): k +a k + +a =0 1) Всеки реален корен

Подробно

Microsoft Word - Sem8-Pharm-2017.doc

Microsoft Word - Sem8-Pharm-2017.doc Семинар 9 / 6 Семинар 9: Обикновени диференциални уравнения Обикновени диференциални уравнения с разделящи се променливи: = X ( ) Y ( ) = X + C Y d Ако е зададено гранично условие, у(х0) = у0 = Y ( ) 0

Подробно

Комплексни числа Алгебричен вид: c a ib, където Тригонометричен вид: c r cos i sin Показателна форма: c i re i 1 е имагинерната единица. В полярни коо

Комплексни числа Алгебричен вид: c a ib, където Тригонометричен вид: c r cos i sin Показателна форма: c i re i 1 е имагинерната единица. В полярни коо Комплексни числа Алгебричен вид: c i, където Тригонометричен вид: c r cos i sin Показателна форма: c i re i е имагинерната единица. В полярни координати: r cos, r sin Модул на комплексно число: r c Аргумент

Подробно

Microsoft Word - VM22 SEC55.doc

Microsoft Word - VM22 SEC55.doc Лекция 5 5 Диференциални уравнения от първи ред Основни определения Диференциално уравнение се нарича уравнение в което участват известен брой производни на търсената функция В общия случай ( n) диференциалното

Подробно

Семинар № 2: Граници на редици, признаци на Даламбер и Коши за сходимост на редове

Семинар № 2: Граници на редици, признаци на Даламбер и Коши за сходимост на редове Семинар 4 / 7 Семинар 4: Производна на неявна функция. Развитие на функция в ред на Тейлър. Правило на Лопитал. Развитие на функция в ред на Тейлър Дефиниция: Нека функцията f() да е дефинирана в някаква

Подробно

Семинар 1: Комплексни числа. Функции на комплексна променлива.

Семинар 1: Комплексни числа. Функции на комплексна променлива. Семинар 1: Комплексни числа. Функции на комплексна променлива. Комплексно число, с: c z (, ) + + j а Re[c] реална част; Im[c] имагинерна част; j 1 r c + - модул на комплексното число (к. ч.). tg ϕ, ϕ rg

Подробно

ЗАДАЧИ ЗА САМОПОДГОТОВКА :: II. ДИФЕРЕНЦИРАНЕ Задача 2. Намерете уравненията на нормалата и на допирателната спрямо дадената крива за точката от абсци

ЗАДАЧИ ЗА САМОПОДГОТОВКА :: II. ДИФЕРЕНЦИРАНЕ Задача 2. Намерете уравненията на нормалата и на допирателната спрямо дадената крива за точката от абсци ЗАДАЧИ ЗА САМОПОДГОТОВКА :: II ДИФЕРЕНЦИРАНЕ Задача Намерете уравненията на нормалата и на допирателната спрямо дадената крива за точката от абсцисата, +, 5, +, 6 + 8,, 8 + 7, 8 9 8 7, 6 + 6, +,, 6 +,

Подробно

DIC_all_2015_color.dvi

DIC_all_2015_color.dvi РУМЕН НИКОЛОВ ДАСКАЛОВ ЕЛЕНА МЕТОДИЕВА ДАСКАЛОВА В И С Ш А М А Т Е М А Т И К А ЧАСТ II y y = e O y = ln Диференциално и интегрално смятане Габрово, 05 Автори: Авторите са преподаватели в катедра Математика

Подробно

Квадратно уравнение ax 2 + bx + c = 0 = a(x x 1 )(x x 2 ) x 1,2 = b ± b2 4ac 2a Формули за съкратено умножение (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a b) 2 = a

Квадратно уравнение ax 2 + bx + c = 0 = a(x x 1 )(x x 2 ) x 1,2 = b ± b2 4ac 2a Формули за съкратено умножение (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a b) 2 = a Квадратно уравнение + + c = = ( )( ), = ± 4c Формули за съкратено умножение ( + ) = + + ( ) = + ( )( + ) = ( + ) = + + + ( ) = + ( + )( + ) = + ( )( + + ) = Правила за степенуване m = +m : m = = m m (

Подробно

Microsoft Word - VM22 SEC66.doc

Microsoft Word - VM22 SEC66.doc Лекция 6 6 Теорема за съществуване и единственост Метричното пространство C [ a b] Нека [ a b] е ограничен затворен интервал и да разгледаме съвкупността на непрекъснатите функции f ( определени в [ a

Подробно

Microsoft Word - stokdovo saprotivlenie.doc

Microsoft Word - stokdovo saprotivlenie.doc Движения при наличие на Стоксово съпротивление При един често срещан вид движения неподвижно тяло започва да се движи под действие на сила с постоянна посока Ако върху тялото действа и Стоксова съпротивителна

Подробно

Семинар № 2: Граници на редици, признаци на Даламбер и Коши за сходимост на редове

Семинар № 2: Граници на редици, признаци на Даламбер и Коши за сходимост на редове Семинар 6 / Семинар 6: Лява и дясна граница. Непрекъснатост на числови функции. Изследване графиките на функции: Кривина, максимум, минимум и инфлексна точка Лява и дясна граница на функция Числото b се

Подробно

DIC_all_2014.dvi

DIC_all_2014.dvi РУМЕН НИКОЛОВ ДАСКАЛОВ ЕЛЕНА МЕТОДИЕВА ДАСКАЛОВА В И С Ш А М А Т Е М А Т И К А ЧАСТ II y y = e O y = ln Диференциално и интегрално смятане Габрово, 04 Автори: Авторите са преподаватели в катедра Математика

Подробно

ПЛОВДИВСКИ УНИВЕРСИТЕТ

ПЛОВДИВСКИ УНИВЕРСИТЕТ . Интерполиране с алгебрични полиноми - полином на Лагранж. Оценка на грешката. Метод на най-малките квадрати. Програмиране на методите и визуализация. Интерполационен полином на Лагранж Това е метод за

Подробно

1. Намерете: xsin x lim x 0 ln( x ) Пресметнете интеграла: x 4 ln x dx

1. Намерете: xsin x lim x 0 ln( x ) Пресметнете интеграла: x 4 ln x dx sin 0 ( 4 ) 4 d +, 5 - - ( 1) + d + + 5 = t, t, t [ 0, ] - - : 5 + 4 ( + 5 )sin( 4 ) d Намерете обема на тялото, получено от завъртането на y = ( + ), [0, 7 / ] около оста O 1Намерете: ( 1) 1 sin ( π )

Подробно

munss2.dvi

munss2.dvi ОТГОВОРИ И РЕШЕНИЯ 3(x + y)(x xy + y )y(x y) 1. (Б) Преобразуваме: (x y)(x + y)(x + y ) x(x xy + y ) = 3y (x + y)(x y) x = (x + y ) 3 y x y x x + y = 3 y x (x y ) 1 ( x y ) + 1 = 3 ( 3 ) 1 9 3 ( 3 ) +

Подробно

mathematical interface_Biologija i Himija

mathematical interface_Biologija i Himija Логаритъм log log P т.е. P P Основа на логаритъма. log 0 и log Логаритъмът е степента (), на която трябва да бъде повдигната основата (), за да се получи числото Р. Логаритми, използвани във физикохимията:

Подробно

Иван Димитров З А П И С К И на лекции по АНАЛИЗ 2 СОФИЯ, 2015

Иван Димитров З А П И С К И на лекции по АНАЛИЗ 2 СОФИЯ, 2015 Иван Димитров З А П И С К И на лекции по АНАЛИЗ 2 СОФИЯ, 2015 Съдържание Предговор 4 1 Обикновени диференциални уравнения и системи 7 1.1 Обикновени диференциални уравнения от първи ред...... 7 1.1.1

Подробно

Mathematica CalcCenter

Mathematica CalcCenter Mathematica CalcCenter Основни възможности Wolfram Mathematica CalcCenter е разработен на базата на Mathematica Professional и първоначално е бил предназначен за технически пресмятания. Информация за този

Подробно

110 (Глава 2. Тензорен анализ 12. Диференциални операции в криволинейни координати Градиент на скаларно поле. Дефиницията (11.5) на градиента чр

110 (Глава 2. Тензорен анализ 12. Диференциални операции в криволинейни координати Градиент на скаларно поле. Дефиницията (11.5) на градиента чр 0 (Глава 2. Тензорен анализ 2. Диференциални операции в криволинейни координати 2.. Градиент на скаларно поле. Дефиницията (.5) на градиента чрез производната по направление позволява лесно да намерим

Подробно

Microsoft Word - VM-2-7-integrirane-na-racionalni-funkcii-seminar.doc

Microsoft Word - VM-2-7-integrirane-na-racionalni-funkcii-seminar.doc 7. Интегриране на рационални функции Съдържание. Пресмятане на неопределен интеграл от елементарни дроби. Интегриране на правилни рационални функции. Интегриране на неправилни рационални функции ТЕОРИЯ

Подробно

Microsoft Word - variant1.docx

Microsoft Word - variant1.docx МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА ДЪРЖАВЕН ЗРЕЛОСТЕН ИЗПИТ ПО МАТЕМАТИКА.05.019 г. Вариант 1 МОДУЛ 1 Време за работа 90 минути Отговорите на задачите от 1. до 0. включително отбелязвайте в листа

Подробно

munss2.dvi

munss2.dvi ОТГОВОРИ И РЕШЕНИЯ 1. (В) Даденото неравенство няма смисъл, в случай че някой от знаменателите на двата дробни израза е равен на нула. Тъй като x 4 = (x+)(x ), то x 4 = 0 за x = и за x =. Понеже x +3 >

Подробно

I

I . Числено решаване на уравнения - метод на Нютон. СЛАУ - метод на проста итерация. Приближено решаване на нелинейни уравнения Метод на допирателните (Метод на Нютон) Това е метод за приближено решаване

Подробно

Microsoft Word - Lecture 14-Laplace Transform-N.doc

Microsoft Word - Lecture 14-Laplace Transform-N.doc Лекция 4: Интегрално преобразувание на Лаплас 4.. Дефиниция и образи на елементарните функции. Интегралното преобразувание на Лаплас Laplac ranorm се дефинира посредством израза: Λ[ ] преобразувание на

Подробно

Microsoft Word - IGM-SER1111.doc

Microsoft Word - IGM-SER1111.doc Лекция Редове на Фурие поточкова сходимост Теорема на Дирихле Тук ще разглеждаме -периодична функция ( ) която ще искаме да бъде гладка по части Това означава че интервала ( ) може да се раздели на отделни

Подробно

Задача 1. Да се реши уравнението софийски университет св. климент охридски писмен конкурсен изпит по математика II 31 март 2019 г. Tема 1 (x 1) x 2 =

Задача 1. Да се реши уравнението софийски университет св. климент охридски писмен конкурсен изпит по математика II 31 март 2019 г. Tема 1 (x 1) x 2 = Задача 1. Да се реши уравнението софийски университет св. климент охридски писмен конкурсен изпит по математика II 1 март 019 г. Tема 1 x 1) x = x x 6. Решение: 1.) При x

Подробно

Логаритмична регресия

Логаритмична регресия Логаритмична регресия Доц. д-р Ивайло Пенев Кат. Компютърни науки и технологии Функция на хипотезата h θ x = g θ T x = 1 1 + e θt x Функция на цената J θ = 1 σ m i=1 m Cost(h θ x i, y i ), където Cost(h

Подробно

vibr_of_triat_mol_alpha

vibr_of_triat_mol_alpha Месечно списание за Култура, Образование, Стопанство, Наука, Общество, Семейство http://www.kosnos.co Симетрично валентно трептение на симетрични нелинейни триатомни молекули Този материал е продължение

Подробно

Глава 3 Едномерни стационарни задачи 3.1 Едномерна безкрайна правоъгълна потенциална яма В тази глава ще разгледаме най-простия едномерен потенциал: б

Глава 3 Едномерни стационарни задачи 3.1 Едномерна безкрайна правоъгълна потенциална яма В тази глава ще разгледаме най-простия едномерен потенциал: б Глава 3 Едномерни стационарни задачи 3.1 Едномерна безкрайна правоъгълна потенциална яма В тази глава ще разгледаме най-простия едномерен потенциал: безкрайна правоъгълна потенциална яма. Преди това ще

Подробно

Microsoft Word - Sem02_KH_VM2-19.doc

Microsoft Word - Sem02_KH_VM2-19.doc Семинар Действия с матрици. Собствени стойности и собствени вектори на матрици. Привеждане на квадратична форма в каноничен вид. Матрица k всяка правоъгълна таблица от k-реда и -стълба. Квадратна матрица

Подробно

Homework 3

Homework 3 Домашно 3 по дисциплината Дискретни структури за специалност Информатика I курс летен семестър на 2015/2016 уч г в СУ ФМИ Домашната работа се дава на асистента в началото на упражнението на 25 26 май 2016

Подробно

Microsoft Word - Lekciya-8-9-Proizvodni-na-Elementarnite-Funkcii.doc

Microsoft Word - Lekciya-8-9-Proizvodni-na-Elementarnite-Funkcii.doc Лекция 8. Производни на логаритмичната, показателната и степенната функции 8.. Производна на логаритмичната функция, у log (0

Подробно

16. Основни методи за интегриране. Интегриране на някои класове функции Интегриране по части. Теорема 1 (Формула за интегриране по части). Ако

16. Основни методи за интегриране. Интегриране на някои класове функции Интегриране по части. Теорема 1 (Формула за интегриране по части). Ако 6. Основни методи за интегриране. Интегриране на някои класове функции. 6.. Интегриране по части. Теорема (Формула за интегриране по части). Ако функциите f(x) и g(x) садиференцируеми в интервала (a, b)

Подробно

M10_18.dvi

M10_18.dvi СЪДЪРЖАНИЕ Тема. Начален преговор Началенпреговор.Алгебра... 7 Началенпреговор.Геометрия... Тема. Ирационални изрази. Ирационални уравнения. Ирационални изрази.... 5. Преобразуване на ирационални изрази...

Подробно

Microsoft Word - PRMAT sec99.doc

Microsoft Word - PRMAT sec99.doc Лекция 9 9 Изследване на функция Растене, намаляване и екстремуми В тази лекция ще изследваме особеностите на релефа на графиката на дадена функция в зависимост от поведението на нейната производна Основните

Подробно

А Л Г Е Б Р А I.Решете уравненията и системите уравнения: x + 2 = 3 x+1 x 2 x 2 x 2 x + 8 = 5 x 2 4 x x 5 + x 1 = x 2 +6x+9 x

А Л Г Е Б Р А I.Решете уравненията и системите уравнения: x + 2 = 3 x+1 x 2 x 2 x 2 x + 8 = 5 x 2 4 x x 5 + x 1 = x 2 +6x+9 x А Л Г Е Б Р А I.Решете уравненията и системите уравнения: 1.. + = 3 +1 + 8 = 5 4 3 3. 4. 4 5 + 1 = +6+9 +3 1 + 4 = 1 4 + 5. +1 + = 9 +1 10 6. ( -5) +10( -5)+4=0 7. 11 3-3 = 3 5+6 8. 1 +30 1 16 = 3 7 9

Подробно

Рецензия А.АлександровІд-р

Рецензия А.АлександровІд-р РЕЦЕНЗИЯ от доцент д-р Ваня Христов Хаджийски, ФМИ на СУ Св.Кл.Охридски на дисертацията на ас. Александър Василев Александров Екстремални свойства на някои класически ортогонални полиноми в комплексната

Подробно

DZI Tema 2

DZI Tema 2 МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА ДЪРЖАВЕН ЗРЕЛОСТЕН ИЗПИТ ПО МАТЕМАТИКА 6.05.05 г. ВАРИАНТ Отговорите на задачите от. до 0. включително отбелязвайте в листа за отговори!. Кое от числата е различно

Подробно

годишно разпределение по математика за 8. клас 36 учебни седмици по 3 учебни часа = 108 учебни часа I срок 18 учебни седмици = 54 учебни часа II срок

годишно разпределение по математика за 8. клас 36 учебни седмици по 3 учебни часа = 108 учебни часа I срок 18 учебни седмици = 54 учебни часа II срок годишно разпределение по математика за 8. клас 36 учебни седмици по 3 учебни часа = 08 учебни часа I срок 8 учебни седмици = 54 учебни часа II срок 8 учебни седмици = 54 учебни часа на урок Вид на урока

Подробно

Министерство на образованието, младежта и науката 60. Национална олимпиада по математика Областен кръг, г. Условия, кратки решения и кри

Министерство на образованието, младежта и науката 60. Национална олимпиада по математика Областен кръг, г. Условия, кратки решения и кри Министерство на образованието, младежта и науката 60. Национална олимпиада по математика Областен кръг, 1-1.0.011 г. Условия, кратки решения и критерии за оценяване Задача 11.1. Да се намерят всички стойности

Подробно

Microsoft Word - VypBIOL-02-Kin-Okryznost.doc

Microsoft Word - VypBIOL-02-Kin-Okryznost.doc ВЪПРОС КИНЕМАТИКА НА ДВИЖЕНИЕТО НА МАТЕРИАЛНА ТОЧКА ПО ОКРЪЖНОСТ Във въпроса Кинематика на движението на материална точка по окръжност вие ще се запознаете със следните величини, понятия и закони, както

Подробно

Microsoft Word - VypBIOL-06-rabota.doc

Microsoft Word - VypBIOL-06-rabota.doc ВЪПРОС 6 МЕХАНИЧНА РАБОТА И МОЩНОСТ КИНЕТИЧНА И ПОТЕНЦИАЛНА ЕНЕРГИЯ Във въпроса Механична работа и мощност Кинетична и потенциална енергия вие ще се запознаете със следните величини, понятия и закони,

Подробно