bshoenen1_45.dvi

Препис

1 Сандерс & Соскова: ЕАИ March 23, Контекстно-зависими и тип 0-езици

2 Сандерс & Соскова: ЕАИ March 23, Нормална форма на Курода Една граматика G = (V,Σ,P,S) от тип 1 е в Курода нормална форма ако P V (V Σ V 2 ) V 2 V 2 Твърдение: G от тип 1 : ε L(G) G в Курода нормална форма и L(G) = L(G ) Д-во: не тук. Идея: Обобщение на нормалната форма на Чомски.

3 Сандерс & Соскова: ЕАИ March 23, Машини на Тюринг Дали крайните автомати са последната дума? +: Един компютър с карйна памет е краен авомат! : Голямата памет астрономически голям брой състояния, много сложни автомати : Търсим един прост машинен модел за автомати, които например приемат думи от вида a n b n c n

4 Сандерс & Соскова: ЕАИ March 23, Детерминистични (еднолентови)-машини на Тюринг (DTM) T = (Q,Σ,Γ,δ,s,F): Q състояния, Σ вх. азбука Γ азбука на лентата, Σ: празен символ, Σ { } Γ δ : Q Γ Q Γ {L,R,N}, функция на прехода; s Q, начално състояние F Q, крайни състояния Eingabe wεσ * Ausgabe δ q εq L R

5 Сандерс & Соскова: ЕАИ March 23, Недетерминистични машини на Тюринг (NTM) T = (Q,Σ,Γ,δ,s,F): Q, състояния Σ, входна азбука Γ азбука на лентата, Σ: празен символ, Σ { } Γ δ : Q Γ 2 Q Γ {L,R,N}, функция на прехода; s Q, начално състояние F Q, крайни състояния Eingabe... wεσ * δ q εq Ausgabe... L R

6 Сандерс & Соскова: ЕАИ March 23, Недетерминистични машини на Тюринг (NTM) T = (Q,Σ,Γ,δ,s,F): Q, състояния Σ, входна азбука Γ азбука на лентата, Σ: празен символ, Σ { } Γ Eingabe... δ Q Γ Q Γ {L,R,N}, релация на прехода; s Q, начално състояние F Q, крайни състояния wεσ * δ q εq Ausgabe... L R

7 Сандерс & Соскова: ЕАИ March 23, Защо машини на Тюринг? Исторически началото [Turing 1936] Оригиналната мотивация: Да се опростят изчисленията в човешката математическа дейност Минимално разширение на един краен автомат Тезис на Чърч: Всички адекватни достатъчно мощни машинни модели са еквивалентни

8 Сандерс & Соскова: ЕАИ March 23, Потенциално безкрайна памет? +: Уникална алтернатива за огромни крайни автомати +: Шпациите преди входа и след изхода не се запомнят Eingabe wεσ * Ausgabe δ L R q εq

9 Сандерс & Соскова: ЕАИ March 23, Конфигурация на една TM w(q)av wav (q)... w a v δ L... R q εq w,v Γ, a Γ, q Q

10 Сандерс & Соскова: ЕАИ March 23, Как работи една DTM wa(q)bcv δ(q,b)=(q,b,n) wa(q)bcv δ(q,b)=(q,b,l) wa(q)bcv δ(q,b)=(q,b,r) wa(q )b cv w(q )ab cv wab (q )cv Функцията на прехода δ дава три нови елемента: Ново състояние като FA Нов символ замества стария символ, сочен от главата Направления за придвижване на главата

11 Сандерс & Соскова: ЕАИ March 23, Как работи една NTM wa(q)bcv (q,b,n) δ(q,b) wa(q)bcv (q,b,l) δ(q,b) wa(q)bcv (q,b,r) δ(q,b) wa(q )b cv w(q )ab cv wab (q )cv Възможни преходи между конфигурациите

12 Сандерс & Соскова: ЕАИ March 23, Кога завършва една DTM? T завършва при конфигурация w(q)av, ако δ(q,a) = (q,a,n). Конвенция: q F : a Γ : δ(q,a) = (q,a,n)

13 Сандерс & Соскова: ЕАИ March 23, Кога завършва една NTM? T завършва при конфигурация w(q)av ако δ(q,a) = {}. Конвенция: q F : a Γ : δ(q,a) = {}

14 Сандерс & Соскова: ЕАИ March 23, Интерпретация с граф T = (Q,Σ,Γ,δ,s,F) дефинира безкраен мулти граф Възли: конфигурации на T. Дъги: допустими от δ преходи между конфигурации. w L(A) път P = (s)w u( f)v : f F Разлики DTM versus NTM: δ определя преходите между конфигурации versus δ допуска преходите между конфигурации.

15 Сандерс & Соскова: ЕАИ March 23, Машини на Тюринг като разпознаватели T = (Q,Σ,Γ,δ,s,F). L(T)? T приема w α,β Γ, f F : (s)w α f β L(T):= {w Σ : T приема w}. Eingabe wεσ * Ausgabe δ q εq L R

16 Сандерс & Соскова: ЕАИ March 23, Интерпретация с граф T = (Q,Σ,Γ,δ,s,F). L(T)? Дефиниция: T приема w Σ ако редица от ( допустими от δ) преходи между конфигурации (s)w x( f)y с f F. Eingabe... wεσ * δ q εq Ausgabe... L R L(T):= {w Σ : T приемаw}.

17 Сандерс & Соскова: ЕАИ March 23, Пример: разпознавател за L = 1(0,1) s 0 0, R q 1 0 0, R 1 1, R, R, R 1, L q 2 0 0, N 1 1, N, N Графични означения: Разширение на КА. Разширено маркиране на дъгите: входни символи изходни символи,l,n,r

18 , R Сандерс & Соскова: ЕАИ March 23, , R s 0 0, R 1, L q 1 q 2 0 0, R 1 1, R, R 0 0, N 1 1, N, N Конвенция: Завършващите с Error преходи TM завършва., R s 1, L q 2

19 Сандерс & Соскова: ЕАИ March 23, Пример: разпознаватели за {0 n 1 n : n 1} 0 0, R 1 1, R s 1 1, R q, L 1 q 1, L 2 q 0 0, L 3 1 1, L, L, R 0 0, R 1 1, R q 6 0 0, R 0, R 1 1, R q 5, R q 4 q 7

20 Сандерс & Соскова: ЕАИ March 23, (s) (s) (s) (s) (q 1 ) (q 1 ) (q 1 ) 00011(q 2 )1 0001(q 3 )1 0001(q 3 )1 000(q 3 )11 00(q 3 )011 0(q 3 )0011 (q 3 )00011 (q 3 ) (q 4 )00011 (q 5 )0011 0(q 6 )011 00(q 6 )11 001(q 6 )1 0011(q 6 ) 001(q 2 )1 00(q 3 )1 0(q 3 )01 (q 3 )001 (q 3 ) 001 (q 4 )001 (q 5 )01 0(q 6 )1 01(q 6 ) 0 0, R 0(q 2 )1 (q 3 )0 (q 3 ) 0 (q 4 )0 (q 5 ) 0 0, R 1 1, R s 1 1, R q, L 1 q 1, L 2 q 0 0, L 3 1 1, L q 6 (q 7 ) q 7 1 1, R, L 0 0, R q 0, R 5 1 1, R, R q 4, R

21 Сандерс & Соскова: ЕАИ March 23, Пример: {0 n 1 n : n 0}. 0 0,R 1 1,R 0 _,R s _ _,N _ _,R f r l 0 0,L 1 1,L _ _,L e 1 _,L

22 Сандерс & Соскова: ЕАИ March 23, Пример: {0 n 1 n : n 0}. Нека k 1, w {0,1} ε: (s) ( f). 0: (s)0 (r) (e) завършва. 1w: (s)1w завършва. 0w0: (s)0w0 (r)w0 w +1 0w1: (s)0w1 (r)w1 w +1 0 _,R s _ _,N _ _,R f 0 0,R 1 1,R r l 0 0,L 1 1,L w0(r) w(e)0 завършва. w1(r) w(e)1 w +1 0 n 1 n : (s)0 n 1 n (s)0 n 1 1 n 1 (s) ( f) _ _,L e 1 _,L (l) w (s)w 0u1, u {0 n 1 n : n 0}: (s)0u1 (s)u. Не завършва в f. (Индукция)

23 Сандерс & Соскова: ЕАИ March 23, Варианти на машини на Тюринг k глави: δ : Q Γ k Q Γ k {L,R,N} k k ленти: т.е. една глава за лента d-размерна лента: например d = 2, δ : Q Γ Q Γ {L,R,U,D,N} вероятностни: допълнително инструкции за движение на главата с рандом бит

24 Сандерс & Соскова: ЕАИ March 23, LBA: Линейно ограничени недетрминистични машини на Тюринг NTM T = (Q, Σ, Γ, δ, s, F) е линейно ограничена, когато a = a 1 a n Σ + : (s)a α(q)β αβ n

25 Сандерс & Соскова: ЕАИ March 23, Твърдение: тип 1 език L : LBA T : L(T) = L Д-во: Нека G = (V, Σ, P, S)-тип 1 граматика с L(G) = L. Да разгледаме NTM T = (Q,Σ,(Σ V),δ,s,F): Procedure inl(z) // начална конфигурация (s)z invariant съдържанието на лентата z invariant tape z while tape S do accept z if w α P : tape = xαy then // 2 недетрм. избор! tape:= xwy else reject z приемащо изчисление Inv. извод. // заместващо правило! S z съответстващо успешно изчисление.

26 Сандерс & Соскова: ЕАИ March 23, Подпрограма: търсене на подходяща лява страна Нека G е в Курода-нормална форма десните символи 2 отиди до левия ограничител отиди до десния през лентата: състоянието запазва символа L в ляво от главата δ може да зависи от L, актуалния символ на лентата и информацията от P (крайно!) определяйки дали са подходящи за правилото Да? Направи субституцията Не? Продължи

27 Сандерс & Соскова: ЕАИ March 23, Подпрограма: заместване за AB CD Една стъпка наляво Напиши C Една стъпка надясно Напиши D Обратно към главния цикъл

28 Сандерс & Соскова: ЕАИ March 23, Подпрограма: заместване за AB C Напиши C; една стъпка наляво напиши иди в ляво в началото на лентата запомни първия символ на лентата в състояние repeat размени запазения и актуалния символ на лентата; една стъпка в дясно until се замести

29 Сандерс & Соскова: ЕАИ March 23, Твърдение: L : LBA T : L(T) = L L е език от тип 1. Д-во: Нека T = (Q,Σ,Γ,δ,s,F) е LBA и L(T) = L. Да разгледаме граматика от тип 1 G = (V = {S} (Γ Σ) (Q Γ Σ),Σ,P,S). Идея: TM-конфигурация α(q)aβ твърдение за α(q,a)β плюс екстра информация за оригиналния вход. 3 фази на извода: 1. генерираме дума от Σ. 2. симулираме изчислението на TM. 3. след успешно приемане възстановяваме входната дума

30 Сандерс & Соскова: ЕАИ March 23, Фаза 1: генериране на дума от Σ T = (Q,Σ,Γ,δ,s,F) LBA и L(T) = L. G = (V = {S} (Γ Σ) (Q Γ Σ),Σ,P,S). {S S(a,a) : a Σ} P {S (s,a,a) : a Σ} P край на фаза 1. (и специални грижи ако ε L) Пример: S S(c,c) S(b,b)(c,c) (s,a,a)(b,b)(c,c) отговаря на началната конфигурация (s)abc

31 Сандерс & Соскова: ЕАИ March 23, Фаза 2: симулиране на изчислението на TM T = (Q,Σ,Γ,δ,s,F) LBA с L(T) = L. G = (V = {S} (Γ Σ) (Q Γ Σ),Σ,P,S). P:= P {(q,a,c) (q,a,c) : (q,a,n) δ(q,a),c Σ} {(b,c )(q,a,c) (q,b,c )(a,c) : (q,a,l) δ(q,a),c Σ} {(q,a,c)b a (q,b,c) : (q,a,r) δ(q,a),c Σ} Пример: (s,a,a)(b,b)(c,c) (x,a)( f,y,b)(z,c) отговаря на редицата от конфигурации (s)abc x( f)yz

32 Сандерс & Соскова: ЕАИ March 23, Фаза 3: възстановява входната дума T = (Q,Σ,Γ,δ,s,F) LBA с L(T) = L. G = (V = {S} (Γ Σ) (Q Γ Σ),Σ,P,S). {( f,a,c) c : f F,a Γ,c Σ} P Приемане {(a,b) b : a Γ b Σ} P Пример: (x,a)( f,y,b)(z,c) (x,a)b(z,c) ab(z,c) abc

33 Сандерс & Соскова: ЕАИ March 23, Свойства за затвореност за тип 1 Затвореност относно обединение конкатенация звезда сечение допълнение

34 Сандерс & Соскова: ЕАИ March 23, Затвореност относно обединение за тип 0/1 L(A 1 ) L(A 2 ) hat тип 0/1? Две подпрограми U 1 за L(A 1 ) и U 2 за L(A 2 ). Нова програма за U 1 U 2. Не е необходимо допълнително място. Упражнение: Затвореност относно сечение за тип 0/1

35 Сандерс & Соскова: ЕАИ March 23, Затвореност относно конкатенация за тип 0/1 L(A 1 ) L(A 2 ) имат тип 0/1? Две подпрограми U 1 за L(A 1 ) и U 2 за L(A 2 ). Нова програма за w L(A 1 ) L(A 2 )?: Разделяме w = w 1 w 2 (недетрминистично). return w 1 L(A 1 ) w 2 L(A 2 ) Работи без разширяване на лентата но с маркиране. Упражнение: Затвореност относно звезда на Клини ( ) за тип 0/1

36 Сандерс & Соскова: ЕАИ March 23, Затвореност относно допълнение за тип 1 Дадено: L = L(G) Σ, G = (V,Σ,P,S). Идея: намираме LBA M, който приема x Σ n, x L. { a:= α (V Σ) : α n S α} // todo c:= 0 foreach α (V Σ) \{x} с α n do if S α then c++ else continue // недетрминистичен fail! return c = a

37 Сандерс & Соскова: ЕАИ March 23, Изчисляване на { α (V Σ) : α n S α} a:= 1 for m := 1 to do b:= 0 foreach w (V Σ) в α n do z:= 0 // {S} // край на извода // брояч за нови или стари думи // брояч за стари думи foreach w (V Σ) с α n do if S m w then z + + // недетрминистично if w = w w w then b++ if z a then fail if a = b then break loop a:= b

38 Сандерс & Соскова: ЕАИ March 23, тип 0 езици Твърдение: L се разпознава от TM L има тип 0 Д-во: Аналогично на д-вото за тип 1.

39 Сандерс & Соскова: ЕАИ March 23, Йерархия на Чомски alle Sprachen Typ0: rekursiv aufz. Sprachbeispiele Typ1: kontextsensitiv Typ2: kontextfrei L d L d n n n a b c n n a b a*b* Typ3: regular EA Maschinenmodelle Turingmaschinen LBA NKellerA

40 Сандерс & Соскова: ЕАИ March 23, тип описание 3 дясно линейни или ляво линейни DFA, εnfa, εnfa регулярни изрази Det. CF LR(k) граматика DKellerA с кр. съст. 2 контекстно-свободна гр. (1-съст.)NKellerA 1 контекстно-зависима LBA 0 тип 0 grammar Машина на Тюринг

41 Сандерс & Соскова: ЕАИ March 23, тип Недетрм. Детерминистични еквивалентни? 3 NFA DFA да 2 NKellerA DKellerA не 1 LBA DLBA??? 0 NTM DTM да (спец. комп.)

42 Сандерс & Соскова: ЕАИ March 23, Свойства на затвореност тип 3 да да да да да Дет. КСв не не да не не 2 не да не да да 1 да да да да да 0 да да не да да

43 Сандерс & Соскова: ЕАИ March 23, Рарешимост тип Дума- празнота- еквивалентност празно сечени 3 да да да да Дет. КСв да да да [97] не 2 да да не не 1 да не не не 0 не не не не

44 Сандерс & Соскова: ЕАИ March 23, Сложност на проблема за принадлежност на дума тип сложност 3 O(n) Дет. КСв O(n) 2 O ( n 3) 1 Σ O(n), NP-трудна теория на сложността 0 рекурсивно номер. изчислими

45 Сандерс & Соскова: ЕАИ March 23, Йерархия на Чомски-критицизъм 2: (Само?) тези граматики са точно правилни 3: случйно правят линейни изводи като един краен автомат 0,1: правилата за контекстно-зависими граматики са от твърде ниско ниво и са твърде подобни на TM за да се правят интересни моделни приложения 1: Едно от многото решения на специалния случай? Защо точно линейно ограничение на паметта? Има полезни обобщения на CFGs.