Глава 4 Раздуване на комплексно многообразие в точка. Векторни разслоения. Нека M е комплексно многообразие с размерност dim p M = n в точка p M. Разд

Препис

1 Глава 4 Раздуване на комплексно многообразие в точка. Векторни разслоения. Нека M е комплексно многообразие с размерност dim p M = в точка p M. Раздуването на M в p заменя точката p с проективно пространство P 1, параметризиращо направленията в M през p. В резултат се получава комплексно многообразие Bl p M. 1. Раздуване на C в началото Всяка точка z C \ {0 } определя единствена комплексна права L z в C през началото. Задаваме раздуването на C в началото 0 като множеството Bl 0 C := {z, L) C P 1 z лежи на правата L C }. Проекцията π : Bl 0 C C, πz, L) = z се ограничава до взаимно еднозначно изображение π : Bl 0 C \ π 1 0 ) C \ {0 }. Праобразът π 1 0 ) = P 1 на началото се нарича изключително множество. Лема 4.1. Раздуването Bl 0 C на C в 0 C е комплексно многообразие с размерност и холоморфна проекция π : Bl 0 C C. Изключителното множество π 1 0 ) = P 1 e подмногообразие с размерност 1. Доказателство: Твърдим, че Bl 0 C = {z, [a]) C P 1 z i a j = z j за 1 i, j }. 4.1) Точка z = z 1,..., z ) 0 лежи върху права L с хомогенни координати [a] = [a 1 : a 2 :... : a ] P 1 тогава и само тогава, когато съществува λ C с z i = λ за 1 i. В такъв случай имаме z j = λa j ) = a j λ ) = a j z i за 1 i, j. Обратно, нека z i a j = z j за 1 i, j и някаква точка z, [a]) C \{0 }) P 1. Избираме индекс 1 i 0 с 0 0 и забелязваме, че z j = a j z i0 за 1 j. 0 Допускането z i0 = 0 води до анулиране на всички компоненти z 1 =... = z = 0 на z. Това противоречи на избора на z 0 и доказва, че z i0 0, ако 0 0 и z i a j = z j за 1 i, j. Оттук, z j = z i 0 0 a j = λa j за λ := z i 0 0 C и 1 j, така че z = z 1,..., z ) принадлежи на правата в C през 0 с хомогенни координати [a] = [a 1 :... : a ]. С това проверихме, че Bl 0 C \π 1 0 ) = {z, [a]) C \{0 }) P 1 z i a j = z j за 1 i, j }. Уравненията z i a j = z j за 1 i, j са изпълнени във всяка точка на 0 P 1 = π 1 0 ). Това доказва 4.1). Нека q : Bl 0 C P 1, qz, [a]) = [a] за z, [a]) Bl 0 C 44

2 1. РАЗДУВАНЕ НА C В НАЧАЛОТО 45 е проекцията върху P 1. Проективното пространство P 1 = i=1 U i се покрива от стандартните афинни отворени подмножества U i = {[a] = [a 1 :... : a ] P 1 0}, така че Bl 0 C = i=1 q 1 U i се покрива от отворените подмножества q 1 U i = {z, [a]) C P 1 0, z j = z i a j за j i}. a Тук използваме, че от z j = z j i за j {1,..., } \ {i} следва ) ) a j a k z j a k = z i a k = z i a j = z k a j за j, k {1,..., } \ {i}. Твърдим, че f i : q 1 U i C, a1 f i z, [a]) =,..., 1, z i, +1,..., a ) са координатни карти. Наистина, f i са непрекъснати взаимно еднозначни изображения с непрекъснати обратни f 1 i : C q 1 U i, f 1 i b 1,..., b i,..., b ) = z = b i a, [a]) за a = b 1,..., b i 1, 1, b i+1,... b ), b = b 1,..., b ) C. Непосредствено се вижда, че така че функциите на прехода f j q 1 U i q 1 U j ) = {b C b i 0}, g ij = f i f 1 j : f j q 1 U i q 1 U j ) f i q 1 U i q 1 U j ), b1,..., b i 1, b j b i, b i+1,..., b j 1, 1, b j+1 b i b i b i b i b i b i,..., b b i g ij b 1,..., b i,..., b j,..., b ) = ) за 1 i < j или g ij b 1,..., b j,..., b i,..., b ) = b1,..., b j 1, 1, b j+1,..., b i 1, b j b i, b i+1,..., b ) за 1 j < i b i b i b i b i b i b i b i са бихоломорфни. Следователно {q 1 U i, f i )} i=1 е холоморфен атлас върху Bl 0 C и Bl 0 C е комплексно многообразие съгласно Твърдение За холоморфността на π : Bl 0 C C пресмятаме в явен вид π f 1 i : C C, π f 1 i b 1,..., b ) = b i b 1,..., b i b i 1, b i, b i b i+1,..., b i b ) и се убеждаваме, че π f 1 i са холоморфни изображения за 1 i. Да забележим, че сеченията π 1 0 ) q 1 U i = {0, [a]) C P 1 0} се изобразяват от координатните карти f i : π 1 0 ) q 1 U i C, f i 0 a1, [a]) =,..., 1, 0, +1,..., a ) върху хиперравнините H i = {b = b 1,..., b ) C b i = 0} C 1. Интуитивно, това означава, че π 1 0 ) е комплексно подмногообразие на Bl 0 C с размерност 1. Точното определение за комплексно подмногообразие ще бъде дадено в тема 5.) Q.E.D. Следващата лема ни е необходима за установяване на коректността на определението за раздуване на комплексно многообразие M в точка p и по-точно,

3 46 4. РАЗДУВАНЕ В ТОЧКА. ВЕКТОРНИ РАЗСЛОЕНИЯ. за доказване на независимостта на това определение от избора на холоморфен атлас върху M. Лема 4.2. Нека f = f 1,..., f ) : M C е холоморфно изображение на свързано комплексно многообразие M с образ fm) {0 }. Ако във всяка точка p f 1 0 ) идеалът f 1,..., f OM,p = g p OM,p на локалния пръстен O M,p на p в M, породен от холоморфните компоненти f 1,..., f на f е главен, то съществува единствено холоморфно изображение f : M Bl 0 C, така че f = π f, M f f Bl 0 C C π. Доказателство: Проекцията π : Bl 0 C \π 1 0 ) C \{0 } е бихоломорфна върху допълнението на изключителното множество и f = π 1 f : M \ f 1 0 ) Bl 0 C \ π 1 0 ) е коректно определено холоморфно изображение. Твърдим, че ако съществува продължение на f върху комплексно аналитичното подпространство f 1 0 ) на M, то f : M Bl 0 C е еднозначно определено. По-точно, всяка точка p f 1 0 ) има свързана отворена околност p U p M с координатна карта Φ : U p V 0 m върху свързана отворена околност V 0 m на 0 m върху C m. Композицията f Φ 1 : V 0 m C е холоморфно изображение и f Φ 1 ) 1 0 ) = Φf 1 0 )) е собствено комплексно аналитично подпространство на V 0 m. Тук използваме предположението f 1 0 ) M, за да отхвърлим възможността U p = f 1 0 ) U p. Холоморфното изображение f Φ 1 = π 1 f Φ 1 : V 0 m \ Φf 1 0 )) Bl 0 C \ π 1 0 ) е еднозначно определено. Ако f : M Bl 0 C и f : M Bl 0 C са две продължения на f : M \ f 1 0 ) Bl 0 C \ π 1 0 ), то разликата им f f се анулира върху M \ f 1 0 ), така че холоморфното изображение f f) Φ 1 : V 0 m Bl 0 C се анулира върху непразното отворено подмножество V 0 m \Φf 1 0 )) на свързаното отворено подмножество V 0 m C m. Съгласно Твърдение 1.10, оттук следва f f) Φ 1 V0 m 0 или съвпадението f Φ 1 V0 m f Φ 1 V0 m. Вземайки предвид взаимната еднозначност на Φ 1, получаваме f Up f Up, а оттам и f M f M. Съгласно единствеността на f, достатъчно е да установим локалното съществуване на f, за да докажем лемата. Това ни позволява да предполагаме, че f : D C е холоморфно изображение на отворена околност D на 0 m върху C m с f0 m ) = 0. По предположение, идеалът f 1,..., f Om в пръстена O m на зародишите на холоморфните в 0 m функции се поражда от единствен свой елемент g. След евентуално свиване на D можем да предполагаме, че g = a 1 f a f и f j = b j g за 1 j и подходящи холоморфни функции f j, a j, b j OD). Сега от g = a 1 b a b )g

4 2. РАЗДУВАНЕ НА КОМПЛЕКСНО МНОГООБРАЗИЕ В ТОЧКА 47 в областта OD) получаваме 1 = a 1 b a b. Следователно във всяка точка z D поне една от функциите b 1,..., b приема ненулева стойност b j z) 0. За z D забелязваме, че [f 1 z) :... : f z)] = [b 1 z) :... : b z)] P 1 и опрeделяме f : D Bl 0 C, fz) := f 1 z),..., f z), [b 1 z) :... : b z)]). Изображението f е коректно зададено и холоморфно върху D с Q.E.D. π fz) = f 1 z),..., f z)) = fz) за z D, Задача 4.3. Нека {p 1,..., p s } е обединението на неразложимите множители на краен брой елементи r 1,..., r t от ньотерова комутативна област R с единица и r i = p ai, p ai,s s за някакви j Z 0. Да се докаже, че d = p miai,1 1 i t) 1... ps miais 1 i t) R е най-голям общ делител на r 1,..., r t, т.е. d дели r 1,..., r t в R и всеки общ делител d 1 R на r 1,..., r t дели d. Задача 4.4. Нека f 1,..., f m O, {f 1,..., f m } {0} са зародиши на холоморфни в 0 C функции с най-голям общ делител g O. Да се докаже, че : i) в сила е включването на идеали I = f 1,..., f m O g O ; ii) ако I = h O е главен идеал с пораждащ h O, то съществува u O, така че h = gu; iii) I е главен идеал тогава и само тогава, когато g I; iv) идеалът z 1,..., z O не е главен. Задача 4.5. Нека C е комплексна крива, т.е. комплексно многообразие с размерност 1. Да се докаже, че произволно холоморфно изображение f : C C с 0 fc) {0 } се повдига до холоморфно изображение f : C Bl 0 C с π f = f V. Задача 4.6. Нека f 1,..., f O m са такива нетъждествено нулеви зародиши на холоморфни в 0 m C m функции, че f 1 дели f 2,..., f в пръстена O m и f = f 1,..., f ) : U C е холоморфно изображение на околност U на 0 m върху C m в C. Да се докаже, че съществува холоморфно повдигане f : U Bl 0 C на f, така че π f = f. Задача 4.7. Нека f 1,..., f O m са нетъждествено нулеви зародиши на холоморфни в 0 m C m функции, определящи холоморфно изображение f = f 1,..., f ) : U C на околност 0 m U C m в C, така че f 1 не се анулира в нито една точка на U. Да се докаже, че съществува холоморфно повдигане f : U Bl 0 C на f, така че π f = f. 2. Раздуване на комплексно многообразие в точка След като построихме раздуването Bl 0 C на C в началото 0, можем да определим раздуването Bl 0 D на отворено подмножество D C в 0 D като праобраза π 1 D) под действие на проекцията π : Bl 0 C C.

5 48 4. РАЗДУВАНЕ В ТОЧКА. ВЕКТОРНИ РАЗСЛОЕНИЯ. За да дефинираме раздуването Bl p M на комплексно многообразие M в точка p M, избираме координатна карта ϕ : U D C с център p, т.е. хомеоморфно изображение ϕ : U D на отворена околност U на p върху отворена околност D на 0 с ϕp) = 0. Ако M := M\{p}, то U := U M = U\{p} D\{0 } е изоморфно на Bl 0 D\π 1 0 ) = π 1 D)\π 1 0 ) = π 1 D\{0 }), защото проекцията π се ограничава до бихоломорфно изображение π : Bl 0 C C \{0 }. Това ни дава възможност "да залепим"m с Bl 0 D по протежение на общото им отворено подмножество U Bl 0 D \ π 1 0 ). По-точно, разглеждаме непресичащото се обединение M Bl 0 D и определяме Bl p M := M Bl 0 D/ като множеството на класовете на еквивалентност на M Bl 0 D относно релацията p U x ϕp) = πx) за p U, x Bl 0 D \ π 1 0 ). Избираме холоморфен атлас {V α, Φ α )} α A върху M. Ако {q 1 U i, f i )} i=1 с q : Bl 0 C P 1, qz, [a]) = [a] и f i : q 1 U i C a1, f i z, [a]) =,..., 1, z i, +1,..., a ) е холоморфният атлас върху Bl 0 C, построен в доказателството на Лема 4.1, то {q 1 U i D), f i )} i=1 e холоморфен атлас върху Bl 0D. Поради бихоломорфността на ϕ : U D \ {0 } и на π : Bl 0 D \ π 1 0 ) D \ {0 }, функциите на прехода между карти от вида V α, Φ α ), α A и q 1 U i D), f i ), 1 i са бихоломорфни. Това доказва, че {V α, Φ α )} α A {q 1 U i D), f i )} i=1 е холоморфен атлас върху Bl p M. Проекцията Π : Bl p M M, Πx) = x за x M, Π0, [a]) = p = f 1 0 ) за 0, [a]) π 1 0 ) е холоморфно изображение, поради холоморфността на π : Bl 0 D D, бихоломорфността на ϕ : U D и Πx, y) = ϕ 1 πy) за x U, y Bl 0 D. Твърдение 4.8. Раздуването Bl p M на комплексно многообразие M в точка p M е коректно определено с точност до локален изоморфизъм и не зависи от избора на холоморфен атлас върху M. Доказателство: Нека {V α, Φ α )} α A и {W β, Ψ β )} β B са холоморфни атласи върху M. Тогава {V α W β } α A,β B е отворено покритие на M и хомеоморфизмите Φ α : V α W β D, Ψ β : V α W β E върху отворени околности 0 D C, 0 E C могат да се включат в комутативна диаграма V α W β Φ α D Ψ β E с бихоломорфни изображения f β,α : D E, трансформиращи 0 D в f β,α 0 ) = 0 E. Трябва да докажем, че всяко f β,α индуцира бихоломорфизъм f β,α : Bl 0 D Bl 0 E на съответните раздувания в началото 0. Фиксираме α A, β B и означаваме с F 1,..., F холоморфните компоненти f β,α

6 2. РАЗДУВАНЕ НА КОМПЛЕКСНО МНОГООБРАЗИЕ В ТОЧКА 49 на F := f β,α π = F 1,..., F ) : Bl 0 D E C. Съгласно взаимната еднозначност на f β,α, комплeксно аналитичното пространство ZF 1,..., F ) = F 1 0 ) = π 1 0 ) = P 1 съвпада с изключителното множество на раздуването Bl 0 D на D в 0 D. По Лема 4.2, достатъчно е да проверим, че във всяка точка p F 1 0 ) = π 1 0 ) = P 1 идеалът I p := F 1,..., F на локалния пръстен на Bl OBl0 D,p 0D в p е главен, за да получим съществуването на холоморфно изображение F : Bl 0 D Bl 0 E с π F = F. Да забележим, че F := f α,β π : Bl 0 D E е взаимно еднозначно над E\{0 } и има слой F 0 ) = π 1 0 ) = P 1 над 0 E. Понеже π : Bl 0 E E е взаимно еднозначно над E \ {0 } и има слой π 1 0 ) = P 1 над 0 E, холоморфното изображение F : Bl 0 D Bl 0 E ще е взаимно еднозначно. Разменяйки ролите на D и E ще получим холоморфността на F 1 : Bl 0 E Bl 0 D и ще завършим доказателството на твърдението. За да проверим, че идеалът I p := F 1,..., F е главен за p F 1 OBl0 0 ) = D,p π 1 0 ) = P 1, използваме холоморфния атлас {g i, U i )} i=1 върху P 1 с U i = {[a] = [a 1 :... : a ] P 1 0} и g i : U i C 1, a1 g i [a]) =,..., 1, +1,..., a ). Чрез проекцията q : Bl 0 D P 1, qz, [a]) = [a] издърпваме g i, U i ) до локални карти q 1 U i, f i ) върху Bl 0 D с f i z, [a]) = a1,..., 1, z i, +1,..., a ), както в доказателството на Лема 4.1. Холоморфното изображение действа по правилото G := F f 1 i : C E Gw 1,..., w ) = f β,α w i w 1,..., w i w i 1, w i, w i w i+1,..., w i w ) 4.2) за w = w 1,..., w ) C. Компонентите G 1,..., G : C C на G се определят от компонентите на F, т.е. G s w 1,..., w ) = F s w i w 1,..., w i w i 1, w i, w i w i+1,..., w i w ), [w 1 :... : w i 1 : 1 : w i+1 :... w ]) за 1 s. Фиксираме точка b C и разглеждаме идеала I b := G 1,..., G OC,b, породен от G 1,..., G в локалния пръстен O C,b на b в C. Ако b i 0, то поради взаимната еднозначност на f β,α с f β,α 0 ) = 0 съществува 1 j с G j b) 0. Оттук, I b = O C,b съвпада с целия локален пръстен и е главен идеал, породен от 1 C O C,b. В случая b i = 0 ще докажем, че I b = w i OC,b се поражда от w i O C,b. Съгласно f β,α 0 ) = 0 съществува -матрица Az) от холоморфни функции A ij z) на z с Оттук, f β,α z) = z 1,..., z )Az). G 1 w),..., G w)) = Gw) = f β,α w i w 1,..., w i w i 1, w i, w i w i+1,..., w i w ) = w i w 1,..., w i w i 1, w i, w i w i+1,..., w i w )Aw i w 1,..., w i w i 1, w i, w i w i+1,..., w i w )

7 50 4. РАЗДУВАНЕ В ТОЧКА. ВЕКТОРНИ РАЗСЛОЕНИЯ. и всяка компонента G s w) w i OC,b е от идеала, породен от w i. От друга страна, матрицата A0 ) = Jf β,α )0 ) е обратима и съществува матрица Az) 1 от холоморфни функции върху околност на 0 върху D, така че Комбинирайки с 4.2) получаваме z 1,..., z ) = f β,α a)az) 1. w i w 1,..., w i w i 1, w i, w i w i+1,..., w i w ) = G 1 w),..., G w))aw i w 1,..., w i w i 1, w i, w i w i+1,..., w i w ) 1. По този начин, w i се оказва в идеала I b = G 1,..., G OC,b и w i OC,b I b. Това доказва I b = w i OC,b, Q.E.D. 3. Векторни разслоения Полезен клас от комплексни многообразия са холоморфните векторни разслоения. Нека K е полето R на реалните числа или полето C на комплексните числа. Определение 4.9. Под K-векторно разслоение C с ранг r над топологично пространство M разбираме топологично пространство E с непрекъснато изображение π : E M, така че: i) във всяка точка p M слоят E p = π 1 p) е K-линейно пространство с размерност r и ii) всяка точка p M има околност U върху M с хомеоморфизъм Φ : π 1 U) U K r, за който ΦE p ) = p K r Φ и композицията E p p K r K r линеен изоморфизъм. pr 2 е K- Пространството M се нарича база на векторното разслоение. Двойките U, Φ) са локални тривиализации на π : E M. Съгласно условие ii) от определението, за произволни локални тривиализации U α, Φ α ) и U β, Φ β ) на π : E M с U α U β, композицията Φ α Φ 1 β : U α U β ) K r U α U β ) K r е от вида Id Uα U β, g α,β ) за непрекъснато изображение g α,β : U α U β GLr, K), което се нарича функция на прехода. Функциите на прехода изпълняват условията g α,α p) = E r за p U α, 4.3) g α,β p)g β,γ p)g γ,α p) = E r за p U α U β U γ, където E r GLr, K) е единичната матрица от ред r. Като отворено подмножество на множеството M r r K) K r2 на матриците от ред r с елементи от K = R или C, общата линейна група GLr, K) = {A M r r K) det A 0} има естествена структура на гладко многообразие. Ако базата M на векторно разслоение π : E M е гладко многообразие и функциите на прехода g α,β : U α U β GLr, K) са гладки изображения, то E е гладко многообразие и казваме, че π : E M е гладко векторно разслоение. По-точно, ако множествата U α на всички тривиализации U α, Φ α ), α A на π : E M се съдържат

8 3. ВЕКТОРНИ РАЗСЛОЕНИЯ 51 в локални карти V i, Ψ i ), i I върху M, то U α K r, Ψ i Uα Id K r), α A са локални карти върху E. За U α V i и U β V j, функциите на прехода Ψ i Φ α Φ 1 β Ψ 1 j = Ψ i Ψ 1 j, g α,β ) : Ψ j U α U β ) K r Ψ i U α U β ) K r между тези карти са дифеоморфизми. Относно така зададената структура на гладко многообразие върху E, проекцията π : E M е гладко изображение, както и локалните тривиализации Φ α : π 1 U α ) U α K r. Аналогично, ако M е комплексно многообразие, то C-векторно разслоение π : E M е холоморфно, ако функциите на прехода g α,β : U α U β GLr, C) са холоморфни изображения. Тук използваме, че отвореното подмножество GLr, C) = {A M r r C) det A 0} на M r r C) C r2 е комплексно многообразие.) Както в гладкия случай, E има естествена структура на комплексно многообразие, относно която проекцията π : E M е холоморфно изображение, както и локалните тривиализации Φ α : π 1 U α ) U α C r. Следващото твърдение установява, че функциите на прехода g α,β определят еднозначно с точност до изоморфизъм) векторното разслоение E. Твърдение Нека M е топологично пространство с отворено покритие {U α } α A и g α,β : U α U β GLr, K) са непрекъснати изображения, изпълняващи условията g α,α = E r за α A и g α,β g β,γ g γ,α = E r за α, β, γ A с U α U β U γ. Тогава съществува векторно разслоение π : E M от ранг r върху M с функции на прехода g α,β. Ако M е гладко съответно, комплексно) многообразие и g α,β са гладки съответно, холоморфни) изображения, то π : E M е гладко съответно, холоморфно) векторно разслоение. Доказателство: За да определим E като топологично пространство, върху непресичащото се обединение α A U α K r въвеждаме релацията p, v) p, w) за p, v) U α K r, p, w) U β K r точно когато v = g α,β p)w. Проверяваме, че e релация на еквивалентност. За целта използваме, че ако g α,β p) GLr, K) зависи непрекъснато от p, то и g α,β p) 1 GLr, K) зависи непрекъснато от p. По-точно, g α,β p) 1 = 1 det g α,β p) g α,βp), където j, i)-тият елемент на матрицата g α,β p) M r r K) е адюнгираното 1 количество на i, j)-тия елемент на g α,β p). Понеже det g α,β p) и елементите на g α,β p) зависят непрекъснато от елементите на g α,β p), функцията на прехода g β,α p) := g α,β p) 1 e непрекъсната и p, v) p, w) е еквивалентно на p, w) p, v). Ако p, u) p, v) и p, v) p, w), то u = g α,β p)v и v = g β,γ p)w, откъдето u = g α,β p)g β,γ p)w = g α,γ p)w и p, u) p, w). Следователно e релация на еквивалентност и можем да определим E като множеството на класовете на еквивалентност на U α K r относно. Изображението, Π : α A U α K r M ограничаващо се до канонични проекции pr 1 : U α K r върху всички U α K r индуцира изображение π : E M. Топологията върху E има за отворени подмножества праобразите π 1 U) на отворените подмножества U M, така че проекцията π : E M е непрекъснато изображение. Ще проверим, че α A

9 52 4. РАЗДУВАНЕ В ТОЧКА. ВЕКТОРНИ РАЗСЛОЕНИЯ. π : E M изпълнява условията i) и ii) от Определение 4.9. За всяка точка p M слоят E p = π 1 p) = p K r / α A,p U α е изоморфен на K r. По-точно, за произволно фиксирано β A с p U β и всички α A \ {β} с U α p, изображенията U β U α ) K r U α U β ) K r, q, w) q, g α,β q)w) се ограничават до K-линейни изоморфизми p K r p K r, p, w) p, g α,β p)w), защото g α,β p) GLr, K). Можем да отъждествим слоя E p = π 1 p) с K- линейното пространство p K r K r с размерност r, съдържащо се в U β K r. Това установява верността на i) от Определение 4.9. Ако ϕ : α A U α K r E е изображението, съпоставящо на точка p, v) U α K r класът на еквивалентност на p, v) относно, то имаме комутативна диаграма U α K r α A ϕ Π от непрекъснати сюрективни изображения. За произволно фиксирано β A праобразът на U β под действие на Π е Π 1 U β ) = U β K r ) U α U β ) K r ). α A\{β} За произволни α A \ {β} и p, v) U α K r са в сила отъждествявания U α U β ) K r U β U α ) K r U β K r, E M π p, v) p, g β,α p)v) = p, g α,β p) 1 v) в E, така че отвореното множество π 1 U β ) = Π 1 U β )/ е изоморфно на произведението U β K r. Разглежданият изоморфизъм π 1 U β ) U β K r отъждествява слоевете E p = π 1 p) π 1 U β ) с p K r U β K r за p U β. С това сме проверили условие ii) от Определение 4.9 и сме доказали, че ) π : E = U α K r / M α A е векторно разслоение с ранг r. Гладкостта на E при гладка база M и гладки функции на прехода g α,β : U α U β GLr, K) е доказана преди формулировката на Твърдение Аналогично се извежда, че E е комплексно многообразие, ако M е комплeксно многообразие и функциите на прехода g α,β : U α U β GLr, C) са холоморфни, Q.E.D.

10 3. ВЕКТОРНИ РАЗСЛОЕНИЯ 53 Определение Сечение на векторно разслоение π : E M над отворено подмножество U M е непрекъснато изображение s : U E с π s = Id U. Означаваме с ΓU, E) множеството на сеченията на E над U. Когато E е гладко съотвeтно, холоморфно) векторно разслоение, обикновено разглеждаме само гладките съответно, само холоморфните) сечения на E. Сеченията s : M E на π : E M са свързани чрез функциите на прехода. По-точно, за произволна локална тривиализация Φ α : π 1 U α ) U α K r съществува непрекъснато изображение s α : U α K r, така че композицията Φ α s) : U α U α K r, Φ α s)p) = p, s α p)). Това се дължи на условието Φ α π 1 p)) = p K r от определението за векторно разслоение, което е еквивалентно на съществуването на комутативна диаграма π 1 U α ) π U α Φ α pr 1 U α K r за първата канонична проекция pr 1 : U α K r U α, pr 1 p, v) = p на директното произведение U α K r. По-точно, за произволни точки p U α и r π 1 p) от Φ α π 1 p)) = p K r получаваме pr 1 Φ α r) = p = πr). Следователно pr 1 Φ α = π, откъдето pr 1 Φ α s Uα = π s = Id Uα. Втората канонична проекция pr 2 : U α K r K r, pr 2 p, v) = v e непрекъснато изображение, така че и композицията pr 2 Φ α s : U α K r е непрекъснато изображение, което означаваме с s α. Сега равенството Φ α Φ 1 β ) Φ β s) = Φ α s е еквивалентно на Id Uα U β, g α,β ) Id Uα U β, s β ) = Id Uα U β, s α ) и се свежда до g α,β s β Uα U β = s α Uα U β. Обратно, произволна фамилия от непрекъснати изображения s α : U α K r, свързани с равенствата g α,β s β Uα U β = s α Uα U β задава глобално сечение s : M E на векторното разслоение π : E M. За произволно отворено подмножество U M, множеството ΓU, E) на непрекъснатите гладките или, съответно, холоморфните) сечения на E над U е линейно пространство над K относно поточково определените събиране и умножение с λ K, s + t : U E, s + t)p) := sp) + tp) за p U λs : U E, λsp) := λsp) за p U. Така въведените структури на K-линейни пространства върху ΓU α, E), α A са съгласувани помежду си, защото s α ΓU α, E) зависят линейно от s β ΓU β, E) чрез равенствата s α Uα U β = g α,β s β Uα U β. Векторните разслоения π : L M с ранг 1 се наричат линейни. Задача Да се докаже, че раздуването Bl 0 +1C +1 на C +1 в началото 0 +1 C +1 е холоморфно линейно разслоение q : Bl 0 +1C +1 P, qz, L) = L над комплексното проективно пространство P. Това разслоение се нарича универсално. Да се намерят функциите на прехода на универсалното линейно разслоение над P, спрямо стандартното отворено покритие P = i=0 U i с

11 54 4. РАЗДУВАНЕ В ТОЧКА. ВЕКТОРНИ РАЗСЛОЕНИЯ. U i = {[a] P 0} и холоморфно сечение s : U i Bl 0 +1C +1 на q : Bl 0 +1C +1 P над U i. Задача Да се докаже, че ако π : L M е холоморфно линейно разслоение над комплексно многообразие M с функции на прехода g α,β : U α U β C, то за всяко цяло число m съществува холоморфно линейно разслоение π m : L m M с функции на прехода g α,β ) m : U α U β C. Задача Нека g ij : U i U j C са функциите на прехода на универсалното линейно разслоение q : Bl 0 +1C +1 P спрямо стандартното афинно покритие P = i=0 U i с U i = {[a] P 0}, а π : L P е холоморфно линейно разслоение с функции на прехода h i,j := g 1 ij = g ji : U i U j C спрямо P = i=0 U i. Да се намерят холоморфни изображения σ j : U i U j C, задаващи холоморфно сечение σ : U i L на π : L P над U i.