Глава 3 Едномерни стационарни задачи 3.1 Едномерна безкрайна правоъгълна потенциална яма В тази глава ще разгледаме най-простия едномерен потенциал: б
|
|
- Величка Дунавска
- преди 4 години
- Прегледи:
Препис
1 Глава 3 Едномерни стационарни задачи 3.1 Едномерна безкрайна правоъгълна потенциална яма В тази глава ще разгледаме най-простия едномерен потенциал: безкрайна правоъгълна потенциална яма. Преди това ще докажем две важни свойства на едномерните потенциали: четност и неизроденост на спектъра. Четност и оператор на четността Операторът на четността ˆP сменя знака (извършва инверсия) на координатата: ˆP ψ(x) = ψ( x), ˆP Ĥ(x) = Ĥ( x). (3.1) Нека да намерим собствените стойности p и собствените функции ψ(x) на оператора ˆP, От дефиницията на ˆP следва,че ˆP ψ(x) = pψ(x). (3.2) ˆP 2 ψ(x) = ˆP ˆP ψ(x) = ˆP pψ(x) = p ˆP ψ(x) = p 2 ψ(x). (3.3) От друга страна имаме ˆP 2 ψ(x) = ˆP ψ( x) = ψ(x). (3.4) Следователно собствените стойности на ˆP удовлетворяват p 2 = 1, откъдето p = ±1. В двата случая получаваме p = 1 : ˆP ψ(x) = ψ(x) = ψ( x); (3.5а) p = 1 : ˆP ψ(x) = ψ(x) = ψ( x). (3.5б) Следователно собствената стойност p = 1 отговаря на четни собствени функции [ψ( x) = ψ(x)], а собствената стойност p = 1 отговаря на нечетни собствени функции [ψ( x) = ψ(x)]. Напомняме, че функциите се делят на четни (симетрични), за които f( x) = f(x) [например f(x) = x 2 ]; нечетни (антисиметрични), за които f( x) = f(x) [например f(x) = x]; нито четни, нито нечетни (асиметрични), за които f( x) не може да се изрази чрез f(x) [например f(x) = x + x 2 ]. 1
2 2 Глава 3. ЕДНОМЕРНИ СТАЦИОНАРНИ ЗАДАЧИ Теорема 1. Ако потенциалната енергия е четна (симетрична) функция на координатата x [ ˆV ( x) = ˆV (x)], то собствените функции на Хамилтониана Ĥ(x) имат четност, т.е. те са или четни (симетрични), или нечетни (антисиметрични) функции на x. Доказателство. Най-напред отбелязваме, че ако ˆV ( x) = ˆV (x), то и Ĥ( x) = Ĥ(x), понеже: Ĥ = 2 d 2 + V (x). (3.6) 2m dx2 Следователно намираме за произволно избрана функция ψ(x) ˆP Ĥ(x)ψ(x) = Ĥ( x)ψ( x) = Ĥ(x)ψ( x) = Ĥ(x) ˆP ψ(x), (3.7) откъдето следва, че Хамилтонианът комутира с оператора на четността: ˆP Ĥ(x) = Ĥ(x) ˆP = 0. (3.8) Оттук следва, че двата оператора имат едни и същи собствени функции, откъдето следва, че собствените функции на Ĥ(x) имат определена четност, т.е. са или четни, или нечетни. Теорема 2. Всеки едномерен потенциал V (x) има неизроден енергетичен спектър. Доказателство. Допускаме, че за някаква собствена стойност E на Хамилтониана Ĥ(x) имаме 2 различни собствени функции ψ 1 (x) и ψ 2 (x): или [ 2 Ĥ(x)ψ 1 (x) = Eψ 1 (x), (3.9а) Ĥ(x)ψ 2 (x) = Eψ 2 (x). (3.9б) d 2 ] 2m dx 2 + V (x) ψ 1 (x) = Eψ 1 (x), (3.10а) d 2 ] 2m dx 2 + V (x) ψ 2 (x) = Eψ 2 (x). (3.10б) [ 2 Умножаваме първото уравнение с ψ 2, а второто с ψ 1 и ги приравняваме: ψ 2 (x) [ 2 d 2 ] 2m dx 2 + V (x) ψ 1 (x) = ψ 1 (x) [ 2 d 2 ] 2m dx 2 + V (x) ψ 2 (x), (3.11) откъдето намираме Това уравнение може да се представи по следния начин: ψ 2 (x)ψ 1(x) ψ 1 (x)ψ 2(x) = 0. (3.12) d [ ψ2 (x)ψ dx 1(x) ψ 1 (x)ψ 2(x) ] = 0, (3.13) след интегриране на което получаваме ψ 2 (x)ψ 1(x) ψ 1 (x)ψ 2(x) = C = const. (3.14) Това равенство следва да е валидно за всяко x, включително при x, където имаме ψ 1,2 (x 0) = 0; следователно C = 0 и ψ 2 (x)ψ 1(x) ψ 1 (x)ψ 2(x) = 0 = ψ 1 (x) ψ 1 (x) = ψ 2 (x) ψ 2 (x). (3.15)
3 3.1. БЕЗКРАЙНА ПОТЕНЦИАЛНА ЯМА 3 ψ 4 (x) 2 V(x) E 4 ψ 3 (x) 2 ψ 2 (x) 2 E 3 ψ 1 (x) 2 E 2 0 a/2 E 1 x Фигура 3.1: Потенциалната енергия на безкрайна правоъгълна потенциална яма. Интегрираме двете страни на последното равенство като отчитаме, че ψ k (x) ψ k (x) dx = ln ψ k(x) + ln b k (k = 1, 2), (3.16) където b k са интеграционни константи, и така намираме ln ψ 2 (x) = ln ψ 1 (x) + ln b 1 ln b 2 = ln[bψ 1 (x)], b = b 1 /b 2. (3.17) Следователно имаме ψ 2 (x) = bψ 1 (x), т.е. функциите ψ 1 (x) и ψ 2 (x) са равни с точност до константен множител (който изчезва при нормиране) и следователно те описват едно и също енергетично състояние. С това допускането, че ψ 1 (x) и ψ 2 (x) описват различни състояния, е опровергано, откъдето следва, че собствените енергии са неизродени. Безкрайна правоъгълна потенциална яма Потенциалната енергия на безкрайна правоъгълна потенциална яма, изобразена на фигура 3.1, се задава по следния начин: V (x) = {, x > a/2, 0, x a/2. (3.18) Ще търсим решения на стационарното уравнение на Шрьодингер ĤΨ(x) = EΨ(x) (3.19) за енергии E > 0. Хамилтонианът е сума от кинетичната и потенциалната енергия, и стационарното уравнение на Шрьодингер добива вида d 2 Ĥ = 2 + V (x), (3.20) 2m dx2 d 2 2m Ψ(x) + [E V (x)]ψ(x) = 0. (3.21) dx2 2 Формата на потенциала V (x) показва, че има три различни области на решението:
4 4 Глава 3. ЕДНОМЕРНИ СТАЦИОНАРНИ ЗАДАЧИ 1. област I: x <, където V (x) = ; 2. област II: x a/2, където V (x) = 0; 3. област III: x > a/2, където V (x) =. Да разгледаме най-напред решението в областите I и III, където V (x) =. Разходимостта на потенциала води до разходимост на втория член в уравнение (3.21). Единственият начин да удовлетворим уравнението е ако вълновата функция Ψ(x) е тъждествено нула: ψ I (x) = ψ III (x) = 0. (3.22) В областта II потенциалната енергия е нула, V (x) = 0; имаме Ψ (x) + k 2 Ψ(x) = 0, (3.23) 2mE k = 2 > 0. (3.24) Това е обикновено линейно хомогенно диференциално уравнение от втори ред. Неговите решения имат вида ψ II (x) = e λx, където λ = const. Имаме ψ II (x) = λeλx и ψ II (x) = λ2 e λx и след заместване в (3.23) намираме (λ 2 + k 2 )ψ II (x) = 0 и следователно λ = ±ik. Така намираме, че общото решение на уравнение (3.23) има вида ψ II (x) = Ae ikx + Be ikx, (3.25) където A и B са интеграционни константи. Решението може да се представи и в следните форми ψ II (x) = C sin(kx) + D cos(kx) (3.26а) = F sin(kx + φ), (3.26б) където с използването на тригонометричните формули sin z = (e iz e iz )/2i и cos z = (e iz + e iz )/2 могат да се намерят връзките между константите: 2A = D ic, 2B = D + ic, (3.27а) 2A = if e iφ, 2B = if e iφ. (3.27б) Интеграционните константи се намират от условието за непрекъснатост на вълновата функция в точките на прекъснатост на V (x), x = ±a/2: ψ I () = ψ II (), (3.28а) ψ II (a/2) = ψ III (a/2). (3.28б) Задачата ни се опростява, ако приложим теорема 1, според която, поради четността на V (x), вълновата функция на всяко състояние е или четна, или нечетна функция на x. Ще разгледаме случаите на четни и нечетни вълнови функции поотделно. За целта е най-удобно да се използва тригонометричната форма на решението (3.26а), понеже cos(x) e четна, а sin(x) e нечетна функция. 1. Четна вълнова функция. Ако вълновата функция е четна, то решението е ψ II (x) = D cos(kx). (3.29)
5 3.1. БЕЗКРАЙНА ПОТЕНЦИАЛНА ЯМА 5 Условията за непрекъснатост (3.28) в този случай изискват: D cos( ka/2) = 0, D cos(ka/2) = 0. (3.30) Поради четността на cos(x) тези две условия водят до едно и също условие: ka = (2n + 1)π (n = 0, 1, 2,...). (3.31) От дефиницията (3.24) на k следва, че това условие представлява условие за квантуване на енергията: E 2n+1 = 2 π 2 (2n + 1) 2 2ma 2 (n = 0, 1, 2,...). (3.32) Вълновата функция се дава експлицитно с ψ II (x) = D cos (2n + 1)πx. (3.33) a 2. Нечетна вълнова функция. Ако вълновата функция е нечетна, то решението е Условията за непрекъснатост (3.28) в този случай налагат: ψ II (x) = C sin(kx). (3.34) C sin( ka/2) = 0, C sin(ka/2) = 0, (3.35) които отново, този път поради нечетността на sin(x), представляват всъщност само едно условие, което изисква ka = 2nπ (n = 1, 2,...). (3.36) В този случай n = 0 дава тривиално решение, ψ II (x) 0. От дефиницията (3.24) на k следва отново, че това условие квантува енергията: E 2n = 2 π 2 (2n) 2 2ma 2 (n = 1, 2,...). (3.37) Вълновата функция е ψ II (x) = C sin 2nπx a. (3.38) Изразите (3.32) и (3.37) на енергията за четни и нечетни състояния могат да бъдат обединени в един израз: E n = 2 π 2 n 2 2ma 2 (n = 1, 2, 3,...). (3.39) Интеграционните константи C и D се определят от условието за нормиране на вълновите функции: За нечетните функции имаме: 1 = a/2 = C 2 2 Ψ(x) 2 dx = a/2 C 2 sin 2 2nπx C 2 dx = a 2 [ a a ] 4nπx a/2 sin 4nπ a Ψ II (x) 2 dx = 1. (3.40) a/2 [ 1 cos 4nπx ] dx a = C 2 a, (3.41) 2
6 6 Глава 3. ЕДНОМЕРНИ СТАЦИОНАРНИ ЗАДАЧИ откъдето намираме C = 2/a. Аналогично се намира, че D = 2/a. Като резюмираме всички резултати по-горе, стигаме до окончателните изрази за вълновите функции и енергиите на възможните състояния в безкрайната правоъгълна потенциална яма: 2 (2n + 1)πx ψ 2n+1 (x) = cos a a ψ 2n (x) =, E 2n+1 = 2 π 2 (2n + 1) 2 2ma 2 (n = 0, 1, 2,...),(3.42а) 2 2nπx sin a a, E 2n = 2 π 2 (2n) 2 2ma 2 (n = 1, 2,...). (3.42б) Плътността на вероятността на тези състояния има вида: P 2n (x) = ψ 2n (x) 2 = 2 2nπx sin2 a a, (3.43а) P 2n+1 (x) = ψ 2n+1 (x) 2 2 (2n + 1)πx = cos2 (3.43б) a a и е показано на фигура 3.1 за първите няколко състояния. И така, стигнахме до следните важни изводи: 1. Енергията на състоянията се квантува, като това свойство произлиза от условието за непрекъснатост на вълновата функция. 2. Квантуваните енергии не са еквидистантни, а са пропорционални на n 2, където квантовото число n = 1, 2,... номерира съответното квантово състояние. 3. Квантуваните енергии са обратно пропорционални на масата на частицата, т.е. в една и съща потенциална яма по-тежките частици имат по-ниски енергии. 4. Квантуваните енергии са обратно пропорционални на квадрата на ширината на ямата, т.е. при стесняване на ямата енергиите се повдигат нагоре. Обратно, при разширяване на ямата енергиите се снижават надолу, като при безкрайно широка яма енергиите се сливат в непрекъснат спектър. 5. Най-ниската енергия енергията на основното състояние ψ 1 (x) е винаги поголяма от нула, т.е. частицата не може да лежи на дъното на ямата. 6. Вълновите функции имат определена четност, като започват от четна и се редуват: четна-нечетна-четна Вълновата функция ψ n (x) има n 1 еквидистантни възела, т.е. точки x k, в които ψ n (x k ) = 0 и пльтността на вероятността там е нула. 8. Стените на потенциалната яма са недостъпни, както и в класическата механика (но тук това е поради безкрайно големия потенциал в стените).
Microsoft Word - VM22 SEC55.doc
Лекция 5 5 Диференциални уравнения от първи ред Основни определения Диференциално уравнение се нарича уравнение в което участват известен брой производни на търсената функция В общия случай ( n) диференциалното
ПодробноMicrosoft Word - VM22 SEC66.doc
Лекция 6 6 Теорема за съществуване и единственост Метричното пространство C [ a b] Нека [ a b] е ограничен затворен интервал и да разгледаме съвкупността на непрекъснатите функции f ( определени в [ a
ПодробноMicrosoft Word - PRMAT sec99.doc
Лекция 9 9 Изследване на функция Растене, намаляване и екстремуми В тази лекция ще изследваме особеностите на релефа на графиката на дадена функция в зависимост от поведението на нейната производна Основните
ПодробноMicrosoft Word - Lecture 14-Laplace Transform-N.doc
Лекция 4: Интегрално преобразувание на Лаплас 4.. Дефиниция и образи на елементарните функции. Интегралното преобразувание на Лаплас Laplac ranorm се дефинира посредством израза: Λ[ ] преобразувание на
ПодробноMicrosoft Word - IGM-SER1010.doc
Лекция Редове на Фурие -теория Сведения за пространства със скаларно произведение В този раздел ще се занимаваме с периодични функции с период T > Една функция определена за всяко x R се нарича T -периодична
ПодробноMicrosoft Word - stokdovo saprotivlenie.doc
Движения при наличие на Стоксово съпротивление При един често срещан вид движения неподвижно тяло започва да се движи под действие на сила с постоянна посока Ако върху тялото действа и Стоксова съпротивителна
ПодробноMicrosoft Word - PMS sec1212.doc
Лекция Екстремуми Квадратични форми Функцията ϕ ( = ( K се нарича квадратична форма на променливите когато има вида ϕ( = aij i j i j= За коефициентите предполагаме че a ij = a ji i j При = имаме ϕ ( =
ПодробноMicrosoft Word - nbb2.docx
Коректност на метода на характеристичното уравнение за решаване на линейно-рекурентни уравнения Стефан Фотев Пиша този файл, тъй като не успях да намеря в интернет кратко и ясно обяснение на коректността
ПодробноMicrosoft Word - VM-LECTURE06.doc
Лекция 6 6 Уравнения на права и равнина Уравнение на права в равнината Тук ще разглеждаме равнина в която е зададена положително ориентирана декартова координатна система O с ортонормиран базис i и j по
ПодробноМинистерство на образованието, младежта и науката 60. Национална олимпиада по математика Областен кръг, г. Условия, кратки решения и кри
Министерство на образованието, младежта и науката 60. Национална олимпиада по математика Областен кръг, 1-1.0.011 г. Условия, кратки решения и критерии за оценяване Задача 11.1. Да се намерят всички стойности
Подробноmunss2.dvi
ОТГОВОРИ И РЕШЕНИЯ 3(x + y)(x xy + y )y(x y) 1. (Б) Преобразуваме: (x y)(x + y)(x + y ) x(x xy + y ) = 3y (x + y)(x y) x = (x + y ) 3 y x y x x + y = 3 y x (x y ) 1 ( x y ) + 1 = 3 ( 3 ) 1 9 3 ( 3 ) +
ПодробноЛЕКЦИЯ 6 ЗАКОН ЗА ИНЕРЦИЯТА Определение. Броят на положителните коефициенти в каноничния вид на дадена квадратична форма се нарича положителен индекс
ЛЕКЦИЯ 6 ЗАКОН ЗА ИНЕРЦИЯТА Определение. Броят на положителните коефициенти в каноничния вид на дадена квадратична форма се нарича положителен индекс на инерцията на тази квадратична форма. Броят на отрицателните
Подробно16. Основни методи за интегриране. Интегриране на някои класове функции Интегриране по части. Теорема 1 (Формула за интегриране по части). Ако
6. Основни методи за интегриране. Интегриране на някои класове функции. 6.. Интегриране по части. Теорема (Формула за интегриране по части). Ако функциите f(x) и g(x) садиференцируеми в интервала (a, b)
Подробноvibr_of_triat_mol_alpha
Месечно списание за Култура, Образование, Стопанство, Наука, Общество, Семейство http://www.kosnos.co Симетрично валентно трептение на симетрични нелинейни триатомни молекули Този материал е продължение
ПодробноMicrosoft Word - IGM-SER1111.doc
Лекция Редове на Фурие поточкова сходимост Теорема на Дирихле Тук ще разглеждаме -периодична функция ( ) която ще искаме да бъде гладка по части Това означава че интервала ( ) може да се раздели на отделни
ПодробноMicrosoft Word - Lekciya-8-9-Proizvodni-na-Elementarnite-Funkcii.doc
Лекция 8. Производни на логаритмичната, показателната и степенната функции 8.. Производна на логаритмичната функция, у log (0
ПодробноMicrosoft Word - IGM-CA2222ааа.doc
Лекция α Функциите e ln и Функциите e и ln Тук ще дадем още едно определение за експоненциалната функция което разбира се води до същия резултат както определението със степенен ред без да доказваме еквивалентността
Подробно110 (Глава 2. Тензорен анализ 12. Диференциални операции в криволинейни координати Градиент на скаларно поле. Дефиницията (11.5) на градиента чр
0 (Глава 2. Тензорен анализ 2. Диференциални операции в криволинейни координати 2.. Градиент на скаларно поле. Дефиницията (.5) на градиента чрез производната по направление позволява лесно да намерим
ПодробноОсновен вариант, клас Задача 1. (3 точки) За кои n съществуват различни естествени числа a 1, a 2,..., a n, за които сборът е естествено число
Основен вариант, 0. 2. клас Задача. (3 точки) За кои n съществуват различни естествени числа, a 2,..., a n, за които сборът е естествено число? a 2 a 3 + + a n Решение: Ще докажем, че n =, n > 2. При n
Подробно26. ТУРНИР НА ГРАДОВЕТЕ ЕСЕНЕН ТУР Основен вариант, клас Задача 1. (5 точки) Функциите f и g са такива, че g(f(x)) = x и f(g(x)) = x за всяк
26. ТУРНИР НА ГРАДОВЕТЕ ЕСЕНЕН ТУР Основен вариант, 10. - 12. клас Задача 1. (5 точки) Функциите f и g са такива, че g(f(x)) = x и f(g(x)) = x за всяко реално число x. Ако за всяко реално число x е в сила
Подробно54. НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА НАЦИОНАЛЕН КРЪГ Задача 1. Да се намерят всички тройки от естествени числа (x, y, z) такива, че 2005 x + y + 200
54. НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА НАЦИОНАЛЕН КРЪГ Задача 1. Да се намерят всички тройки от естествени числа (x, y, z) такива, че x + y + 005 x + z + y + z е естествено число. Решение. Първо ще докажем,
ПодробноMicrosoft Word - VypBIOL-06-rabota.doc
ВЪПРОС 6 МЕХАНИЧНА РАБОТА И МОЩНОСТ КИНЕТИЧНА И ПОТЕНЦИАЛНА ЕНЕРГИЯ Във въпроса Механична работа и мощност Кинетична и потенциална енергия вие ще се запознаете със следните величини, понятия и закони,
ПодробноMicrosoft Word - PMS sec11.doc
Лекция Матрици и детерминанти Определения Матрицата е правоъгълна таблица от числа Ако е матрица с m реда и стълба то означаваме () O m m m m ( ) За елементите на матрицата се използва двойно индексиране
ПодробноBULGARIAN PARTICIPATION IN THE SPS AND PS EXPERIMENTS
Молекулно-динамични симулации в различни термодинамични ансамбли Каноничен ансамбъл като Ако малката система е състои от една частица Брой на клетките във фазовото пространство, където може да се намира
ПодробноГлава 15 Въпрос 15: Оператор на Рейнолдс. Крайна породеност на пръстена от инвариантни полиноми на крайна матрична група. Навсякъде в настоящия въпрос
Глава 15 Въпрос 15: Оператор на Рейнолдс. Крайна породеност на пръстена от инвариантни полиноми на крайна матрична група. Навсякъде в настоящия въпрос полето k е с характеристика char(k = 0. За произволни
ПодробноMicrosoft Word - VM-2-7-integrirane-na-racionalni-funkcii-seminar.doc
7. Интегриране на рационални функции Съдържание. Пресмятане на неопределен интеграл от елементарни дроби. Интегриране на правилни рационални функции. Интегриране на неправилни рационални функции ТЕОРИЯ
ПодробноDIC_all_2015_color.dvi
РУМЕН НИКОЛОВ ДАСКАЛОВ ЕЛЕНА МЕТОДИЕВА ДАСКАЛОВА В И С Ш А М А Т Е М А Т И К А ЧАСТ II y y = e O y = ln Диференциално и интегрално смятане Габрово, 05 Автори: Авторите са преподаватели в катедра Математика
ПодробноMicrosoft Word - VypBIOL-29-Vylni.doc
ВЪПРОС 9 МЕХАНИЧНИ ВЪЛНИ Във въпроса Механични вълни вие ще се запознаете със следните величини, понятия и закони, както и с основните единици за измерване: Вълнов процес Механична вълна Звукова вълна
ПодробноМИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО ФИЗИКА ОБЛАСТЕН КРЪГ, г. Тема клас (Четвърта състезателна група) Прим
МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО ФИЗИКА ОБЛАСТЕН КРЪГ, 18.0.018 г. Тема 10-1.клас (Четвърта състезателна група) Примерни решения и критерии за оценяване Общи указания 1.
Подробно(не)разложимост на полиноми с рационални коефициенти Велико Дончев Допълнителен материал за студентите по Висша алгебра и Алгебра 2 на ФМИ 1 Предварит
(не)разложимост на полиноми с рационални коефициенти Велико Дончев Допълнителен материал за студентите по Висша алгебра и Алгебра 2 на ФМИ 1 Предварителни сведения и твърдения Както е ясно от основната
ПодробноMicrosoft Word - MA11 sec77.doc
Лекця 7 7 Дефнця свойства на определен нтеграл Сум на Дарбу Определенят нтеграл е фундаментално средство в математката с разнообразн съдържателн прложеня Той се зползва за пресмятане на геометрчн фзчн
ПодробноMicrosoft Word - Sem02_KH_VM2-19.doc
Семинар Действия с матрици. Собствени стойности и собствени вектори на матрици. Привеждане на квадратична форма в каноничен вид. Матрица k всяка правоъгълна таблица от k-реда и -стълба. Квадратна матрица
ПодробноЛинейна алгебра 11. Собствени стойности и собствени вектори на матрица и линейно преобразувание. Диагонализиране на матрица специалности: Математика,
на матрица и линейно преобразувание. Диагонализиране на матрица специалности: Математика, Бизнес математика, Приложна математика, I курс лектор: Марта Теофилова Собствени стойности и собствени вектори
ПодробноСеминар 6: Обикновени диференциални уравнения от 2 ред.
Семинар 6 Обикновени диференциални уравнения от ред. Хомогенни линейни ОДУ-я с постоянни коефициенти (ХЛОДУПК): y ( ) +a y ( ) + +a y=0 Характеристично уравнение (ХУ): k +a k + +a =0 1) Всеки реален корен
ПодробноИзследване на устойчивостта на равновесното състояние на системи с краен брой степени на свобода Следващият пример илюстрира основните разсъждения при
Изследване на устойчивостта на равновесното състояние на системи с краен брой степени на свобода Следващият пример илюстрира основните разсъждения при изследване на устойчивостта на равновесната форма
ПодробноDIC_all_2014.dvi
РУМЕН НИКОЛОВ ДАСКАЛОВ ЕЛЕНА МЕТОДИЕВА ДАСКАЛОВА В И С Ш А М А Т Е М А Т И К А ЧАСТ II y y = e O y = ln Диференциално и интегрално смятане Габрово, 04 Автори: Авторите са преподаватели в катедра Математика
Подробно