(не)разложимост на полиноми с рационални коефициенти Велико Дончев Допълнителен материал за студентите по Висша алгебра и Алгебра 2 на ФМИ 1 Предварит

Размер: px
Започни от страница:

Download "(не)разложимост на полиноми с рационални коефициенти Велико Дончев Допълнителен материал за студентите по Висша алгебра и Алгебра 2 на ФМИ 1 Предварит"

Препис

1 (не)разложимост на полиноми с рационални коефициенти Велико Дончев Допълнителен материал за студентите по Висша алгебра и Алгебра 2 на ФМИ 1 Предварителни сведения и твърдения Както е ясно от основната теорема на Алгебрата и нейните следствия [1, гл. III, 17], всеки полином с реални (или комплексни) коефициенти от степен n има точно n (комплексни) корена, броени с техните кратности. Тъй като за всеки реален полином f R[x] ако числото a C\R е корен на f, то и комплексно спрегнатото му a е корен (на f) и R[x] x 2 (a + a)x + aa f, тоест f се разлага над R в произведение на линейни и/или квадратни полиноми. За f C[x] ситуацията е по-проста : f се разлага на линейни полиноми над C (друг е въпросът как се намират!). Когато става въпрос за (не)разложимост на полиноми f Q[x], ситуацията коренно се променя. Съществуват неразложими полономи за всяка степен n. Освен някои отделни резултати (като критерия на Айзенщайн) в общия случай не съществува критерии дали даден полином f Q[x] е разложим или не над Q. Твърдение 1.1. Разложимостта на f Q[x] над Q се свежда до разложимост на целочислен полином над Q Наистина, нека f = a 0 + a 1 x a n x n Q[x] и q е най-големият общ знаменател на коефициентите. Тогава f = 1 q g, където g Z[x] и f и g са еднакво (не)разложими над Q. Пример 1. f = x + x2 = 1 6 (3 + 4x + 6x2 ) Дефиниция 1.1. Нека f = a 0 + a 1 x a n x n Q[x]. Казваме, че f е примитивен, ако НОД(a 0,..., a n ) = 1. Всеки рационален полином може да се представи като произведение на рационално число и примитивен полином. Наистина, нека f Q[x] и q е най-големият общ знаменател 1

2 на коефициентите. Тогава f = 1 g и g Z[x]. Да изнесем сега НОД-а d на коефициентите q на g. Получаваме където r Z[x] е примитивен. f = d q r, Пример 2. f = x + 4x2 = 1 21 (6 + 14x + 84x2 ) = 2 21 (3 + 7x + 42x2 ) Твърдение 1.2. Нека f е примитивен и c Q и ch Z[x]. Тогава c Z. Твърдение 1.3. (Лема на Гаус) Нека f и g са примитивни. Тогава fg е примитивен. Следствие: Ако f Z[x] е разложим над Q, то той е разложим и над Z. Наистина, нека f = f 1 f 2 е разлагане на f Q[x] над Q. Тогава представяме f i = d i q i r i, i = 1, 2, където r 1, r 2 са примитивни. Следивателно ( ) d1 d 2 f = f 1 f 2 = (r 1 r 2 ), q 1 q 2 където r 1 r 2 е примитивен (Лема Гаус), q = d 1d 2 q 1 q 2 е разлагане на f над Z. 2 Някои методи f = (qf 1 )f 2 Q и от 1.2 следва, че q Z. Тогава Твърдение 2.1. Нека p е просто число и π p : Z Z p е естественият хомоморфизъм от Z върху Z p. Този хомоморфизъм индуцира хомоморфизъм, ϕ p : Z[x] Z p [x] действащ по следния начин: ϕ p (a 0 + a 1 x a n x n ) = a 0 + a 1 x a n x n. Работно следствие: Нека f = a 0 + a 1 x a n x n Z[x], p a n. Тогава ако f е разложим над Z, то f = a 0 + a 1 x a n x n е от степен n и е разложим над Z p. Всъщност ползваме твърдението във формата: Нека f = a 0 + a 1 x a n x n Z[x], p a n. Тогава ако f е неразложим над Z p, то f е неразложим и над Z. Пример 3. Да се докаже, че f = x x 2 + 6x + 11 е Решение. Да разгледаме образа на f под действие на хомоморфизма ϕ за простото число p = 5. Получавамe ϕ 5 (f) = x 3 + x + 1. Понеже полиномът f е от трета степен, то ако се разлага над Z 5, то в разлагането му има поне един линеен полином. Следователно f трябва да има корен в Z 5. Но f(0) = 1, f(1) = 3, f(2) = 11 = 1, f(3) = 31 = 1, f(4) = 69 = 4. Следователно f няма корен в Z 5, следователно е неразложим над Z 5, следователно е неразложим над Z, следователно е 2

3 Забележка: Няма рецепта кое просто число да се препоръча при използване на този метод. Въпреки това, често той е успешно приложим. Неразложимостта над крайно поле Z p се свежда до нерешимост на система алгебрични уранения над крайно поле. На теория това е много по-лесно, т.к. нерешимосттада може да се установи с краен брой проверки (виж brute force метода в края). Забележка: Ако f е разложим над Z p, това не означава задължително, че f е разложим над Z. Например f = x 2 + x + 1, е неразложим над Q (проверете!), но ако разгледаме ϕ 3 (f) = f за p = 3 ще получим, че т.е. f е разложим над Z 3. ϕ 3 (f) = f = x 2 + x + 1 = (2x + 1) 2, Твърдение 2.2. (Критерий на Айзенщайн) Нека f = a 0 + a 1 x a n x n, a n 0 целочислен полином. Нека p е такова просто число, че p a n, p a 0, a 1,..., a n, p 2 a 0. Тогава f е неразложим над Z (а следователно и над Q). Пример 4. [2, зад. 9.12a)] Да се докаже, че полиномът f = 2x 5 21x x + 63 е Решение. Прилагаме критерия на Айзенщайн за p = 7. Забележете, че не можем да приложим критерия за p = 3. Пример 5. Да се докаже, че полиномът f = x n + 2 е неразложим над Q за всяко n > 1. Решение. Прилагаме критерия на Айзенщайн за p = 2. Така излиза, че над Q има неразложими полиноми от произволна степен. Често критерия на Айзенщайн не е директно приложим. В помощ понякога идва следното Твърдение 2.3. Нека f Q[x] и a, b Q, a 0. Тогава полиномите f(x) и f(ax + b) са едновременно (не)разложими. Еквивалентно е да кажем, че (не)разложимостта на полиноми над Q е инвариантна относно линейна смяна на променливата. Пример 6. [2, зад. 9.12в)] Да се докаже, че полиномът f = x 4 8x x 2 11x 11 е Решение. Да разгледаме полиномът g = f(x + 2) = 3 + 9x 3x 2 + x 4. За него прилагаме критерия на Айзенщайн за p = 2 и заключваме, че g, а следователно и f са неразложими над Q. Забележка: И тук отново няма универсална рецепта как да се сетим каква смяна да направим. Забележка: За генерализации на критерия на Айзенщайн виж [2, зад. 9.10] Още един важен инструмент при разложимостта на рационални полиноми е 3

4 Твърдение 2.4. Нека f = a 0 + a 1 x a n x n Z[x]. Тогава ако b Q, (b, c) = 1 е корен c на f, то b a 0, c a n. Това училищно твърдение е работно, т.к. всъщст казва, че имаме само краен брой канидати за корени. Пример 7. Да се намерят (ако има такива) рационалните корени на полинома f = x 100 x 50 x 24 x 14 x 12 x 8 x Решение. Според критерия единствените възможни корени са ±1. Директно се вижда, че и двете са корени. Последният ( brute force ) метод, който ще изложим свежда хипотезата за разложимост на рационален полином към множество от (в общия случай нелинейни) системи над Q. Същността му се състои в следното: Нека f = a 0 + a 1 x a n x n Q[x], a n 0, n > 1 и предполагаме, че f = (b b m x m )(c c q x q ), b m c q 0, m + q = n. Изполвайки метода за сравняване на коефициентите съставяме система с n+1 (нелинейни) уранвния за (m + 1)(q + 1) неизвестни. Същият алгоритъм може да се приложи и при разложимост над крайно поле Z p. Пример 8. Разгледайте решението на зад. 9.5в) от [2]. Пример 9. /От писмен изпит по Алгебра 2, спец. Компютърни науки от г./ Да се докаже, че полиномът f = x 5 + 3x 4 + 5x 3 + x 2 + 6x + 5 е неразложим над всяко от полетата Z 2 и Q. Решение. От работното следствие на редукционния критерий, ако докажем, че ϕ 2 (f) = f е неразложим над Z 2, то от тук ще следва, че той е неразложим и над Q. Пресмятаме ϕ 2 (f) = f = x 5 + x 4 + x 3 + x Да допуснем, че f е разложим над Z 2. Тък като степента на f е 5, то той се разлага или като произведение на полиноми от 1 и 4 степени, или като произведение на полиноми от 2 и 3 степени. Веднага се вижда, че f(0) = f(1) = 1 и следователно f няма корен в Z 2, т.е. не е възможно в разлагането му да има линеен полином. Нека сега допуснем, че f се разлага в произведение на полином от 2 и полином от 3 степен. f = (x 3 + ax 2 + bx + c)(x 2 + dx + e), a, b, c, d, e Z 2. Да забележим, че коефициентите старшите коефициенти на двата полинома в разлагането са 1 (тъй като иначе биха били 0, а тогава полиномите не биха със степени 2 и 3). Разкривайки скобите и събирайки подобните едночлени в последното равенство получаваме x 5 + x 4 + x 3 + x = x 5 + (a + d)x 4 + (ae + bd + c)x 2 + (be + cd)x + ce. Приравнявайки свободните коефициенти получаваме ce = 1 от където като единствената възможност имаме c = e = 1. Приравнявайки коефициентите пред x получаваме, че b + d = 0, т.е. имаме 2 случая: 4

5 1 сл. b = 1, d = 1. В този случай от a+d = 1 веднага получаваме a = 0. Сега замествайки a, e, b, d, c в ae + bd + c = 1 получаваме = 1, което е противоречие. 2 сл. b = 0, d = 0. В този случай от a + d = 1 веднага получаваме a = 1. Отново замествайки a, e, b, d, c в ae + bd + c = 1 получаваме = 1, което е противоречие. Следователно f е неразложим над Z 2, от където следва, че е неразложим и над Q. Задачи за упражнение от [2]: Литература [1] Пламен Сидеров, Керопе Чакърян Записки по алгебра: Групи, пръстени, полиноми, 2013, Веди [2] Асен Божилов, Пламен Сидеров, Керопе Чакърян Задачи по алгебра: Групи, пръстени, полиноми, 2013, Веди 5

16. Основни методи за интегриране. Интегриране на някои класове функции Интегриране по части. Теорема 1 (Формула за интегриране по части). Ако

16. Основни методи за интегриране. Интегриране на някои класове функции Интегриране по части. Теорема 1 (Формула за интегриране по части). Ако 6. Основни методи за интегриране. Интегриране на някои класове функции. 6.. Интегриране по части. Теорема (Формула за интегриране по части). Ако функциите f(x) и g(x) садиференцируеми в интервала (a, b)

Подробно

Глава 17 ζ-функция на Hasse-Weil. Преди да разгледаме ζ-функцията на Hasse-Weil трябва да въведем някои числови инварианти на крива, определена над кр

Глава 17 ζ-функция на Hasse-Weil. Преди да разгледаме ζ-функцията на Hasse-Weil трябва да въведем някои числови инварианти на крива, определена над кр Глава 7 ζ-функция на Hasse-Weil. Преди да разгледаме ζ-функцията на Hasse-Weil трябва да въведем някои числови инварианти на крива, определена над крайно поле. Лема 7.. Ако F е функционално поле на една

Подробно

Microsoft Word - nbb2.docx

Microsoft Word - nbb2.docx Коректност на метода на характеристичното уравнение за решаване на линейно-рекурентни уравнения Стефан Фотев Пиша този файл, тъй като не успях да намеря в интернет кратко и ясно обяснение на коректността

Подробно

Министерство на образованието, младежта и науката 60. Национална олимпиада по математика Областен кръг, г. Условия, кратки решения и кри

Министерство на образованието, младежта и науката 60. Национална олимпиада по математика Областен кръг, г. Условия, кратки решения и кри Министерство на образованието, младежта и науката 60. Национална олимпиада по математика Областен кръг, 1-1.0.011 г. Условия, кратки решения и критерии за оценяване Задача 11.1. Да се намерят всички стойности

Подробно

Microsoft Word - Lecture 14-Laplace Transform-N.doc

Microsoft Word - Lecture 14-Laplace Transform-N.doc Лекция 4: Интегрално преобразувание на Лаплас 4.. Дефиниция и образи на елементарните функции. Интегралното преобразувание на Лаплас Laplac ranorm се дефинира посредством израза: Λ[ ] преобразувание на

Подробно

ЛЕКЦИЯ 6 ЗАКОН ЗА ИНЕРЦИЯТА Определение. Броят на положителните коефициенти в каноничния вид на дадена квадратична форма се нарича положителен индекс

ЛЕКЦИЯ 6 ЗАКОН ЗА ИНЕРЦИЯТА Определение. Броят на положителните коефициенти в каноничния вид на дадена квадратична форма се нарича положителен индекс ЛЕКЦИЯ 6 ЗАКОН ЗА ИНЕРЦИЯТА Определение. Броят на положителните коефициенти в каноничния вид на дадена квадратична форма се нарича положителен индекс на инерцията на тази квадратична форма. Броят на отрицателните

Подробно

Microsoft Word - VM-2-7-integrirane-na-racionalni-funkcii-seminar.doc

Microsoft Word - VM-2-7-integrirane-na-racionalni-funkcii-seminar.doc 7. Интегриране на рационални функции Съдържание. Пресмятане на неопределен интеграл от елементарни дроби. Интегриране на правилни рационални функции. Интегриране на неправилни рационални функции ТЕОРИЯ

Подробно

Глава 2 Ньотеровост и еднозначно разлагане на зародиши на холоморфни функции Продължаваме с изучаване на зародишите на холоморфните в 0 n C n функции.

Глава 2 Ньотеровост и еднозначно разлагане на зародиши на холоморфни функции Продължаваме с изучаване на зародишите на холоморфните в 0 n C n функции. Глава 2 Ньотеровост и еднозначно разлагане на зародиши на холоморфни функции Продължаваме с изучаване на зародишите на холоморфните в 0 n C n функции. Да напомним, че u O n точно когато u(0 n ) 0 В такъв

Подробно

Глава 15 Въпрос 15: Оператор на Рейнолдс. Крайна породеност на пръстена от инвариантни полиноми на крайна матрична група. Навсякъде в настоящия въпрос

Глава 15 Въпрос 15: Оператор на Рейнолдс. Крайна породеност на пръстена от инвариантни полиноми на крайна матрична група. Навсякъде в настоящия въпрос Глава 15 Въпрос 15: Оператор на Рейнолдс. Крайна породеност на пръстена от инвариантни полиноми на крайна матрична група. Навсякъде в настоящия въпрос полето k е с характеристика char(k = 0. За произволни

Подробно

Глава 11 Гладки и особени точки. Бирационалност на неприводимо многообразие с хиперповърхнина. Нека X k n е неприводимо афинно многообразие над алгебр

Глава 11 Гладки и особени точки. Бирационалност на неприводимо многообразие с хиперповърхнина. Нека X k n е неприводимо афинно многообразие над алгебр Глава 11 Гладки и особени точки. Бирационалност на неприводимо многообразие с хиперповърхнина. Нека X k n е неприводимо афинно многообразие над алгебрично затворено поле k, а X е точка от X. В Лема-Определение

Подробно

Линейна алгебра 7. Умножение на матрици. Обратими матрици. Матрични уравнения специалности: Математика, Бизнес математика, Приложна математика, I курс

Линейна алгебра 7. Умножение на матрици. Обратими матрици. Матрични уравнения специалности: Математика, Бизнес математика, Приложна математика, I курс . Обратими матрици. Матрични уравнения специалности: Математика, Бизнес математика, Приложна математика, I курс лектор: Марта Теофилова Кратка история Матричното умножение е въведено от немския математик

Подробно

Microsoft Word - VM-LECTURE21.doc

Microsoft Word - VM-LECTURE21.doc Лекция Числови редове Определения и примери Абсолютна и условна сходимост Числовите редове представляват безкрайни суми () = L L Величината се нарича общ член на реда Сумирането в () започва от = но по

Подробно

Microsoft Word - PRMAT sec99.doc

Microsoft Word - PRMAT sec99.doc Лекция 9 9 Изследване на функция Растене, намаляване и екстремуми В тази лекция ще изследваме особеностите на релефа на графиката на дадена функция в зависимост от поведението на нейната производна Основните

Подробно

Пръстени. Разглеждаме непразното множество R, което е затворено относно две бинарни операции събиране и умножение + : R R R : R R R. Казваме, че R е п

Пръстени. Разглеждаме непразното множество R, което е затворено относно две бинарни операции събиране и умножение + : R R R : R R R. Казваме, че R е п Пръстени. Разглеждаме непразното множество R, което е затворено относно две бинарни операции събиране и умножение + : R R R : R R R. Казваме, че R е пръстен, ако са изпълнени аксиомите 1.-4. за абелева

Подробно

СОФИЙСКА МАТЕМАТИЧЕСКА ГИМНАЗИЯ ТУРНИР ПО МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА "ЗА ТОРТАТА НА ДИРЕКТОРА" ТЕМА ПО МАТЕМАТИКА КЛАС Задача 1. Дадена е двуизмер

СОФИЙСКА МАТЕМАТИЧЕСКА ГИМНАЗИЯ ТУРНИР ПО МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА ЗА ТОРТАТА НА ДИРЕКТОРА ТЕМА ПО МАТЕМАТИКА КЛАС Задача 1. Дадена е двуизмер СОФИЙСКА МАТЕМАТИЧЕСКА ГИМНАЗИЯ ТУРНИР ПО МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА "ЗА ТОРТАТА НА ДИРЕКТОРА" ТЕМА ПО МАТЕМАТИКА 10-11 КЛАС Задача 1. Дадена е двуизмерна огледална стая във формата на правилен шестоъгълник

Подробно

Глава 10 Рационални диференциални 1-форми 1. Определение и структура на свободен модул на рационалните диференциални 1-форми около гладка точка Ако X

Глава 10 Рационални диференциални 1-форми 1. Определение и структура на свободен модул на рационалните диференциални 1-форми около гладка точка Ако X Глава 10 Рационални диференциални 1-форми 1. Определение и структура на свободен модул на рационалните диференциални 1-форми около гладка точка Ако X k n е квази-афинно многообразие над алгебрично затворено

Подробно

Основен вариант за клас Задача 1. (4 точки) На графиката на полином a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, чиито коефициенти a n, a n 1,..., a 1

Основен вариант за клас Задача 1. (4 точки) На графиката на полином a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, чиито коефициенти a n, a n 1,..., a 1 Основен вариант за 10 12 клас Задача 1. (4 точки) На графиката на полином a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0, чиито коефициенти a n, a n 1,..., a 1, a 0 са цели числа, са отбелязани две точки с целочислени

Подробно

Основен вариант, клас Задача 1. (3 точки) За кои n съществуват различни естествени числа a 1, a 2,..., a n, за които сборът е естествено число

Основен вариант, клас Задача 1. (3 точки) За кои n съществуват различни естествени числа a 1, a 2,..., a n, за които сборът е естествено число Основен вариант, 0. 2. клас Задача. (3 точки) За кои n съществуват различни естествени числа, a 2,..., a n, за които сборът е естествено число? a 2 a 3 + + a n Решение: Ще докажем, че n =, n > 2. При n

Подробно

Microsoft Word - PMS sec1212.doc

Microsoft Word - PMS sec1212.doc Лекция Екстремуми Квадратични форми Функцията ϕ ( = ( K се нарича квадратична форма на променливите когато има вида ϕ( = aij i j i j= За коефициентите предполагаме че a ij = a ji i j При = имаме ϕ ( =

Подробно

Линейна алгебра 11. Собствени стойности и собствени вектори на матрица и линейно преобразувание. Диагонализиране на матрица специалности: Математика,

Линейна алгебра 11. Собствени стойности и собствени вектори на матрица и линейно преобразувание. Диагонализиране на матрица специалности: Математика, на матрица и линейно преобразувание. Диагонализиране на матрица специалности: Математика, Бизнес математика, Приложна математика, I курс лектор: Марта Теофилова Собствени стойности и собствени вектори

Подробно

Глава 13 Пълни многообразия Определение Пред-многообразието X е отделимо, ако диагоналът = {(x, x) x X} е затворено подмножество на X X. Отделим

Глава 13 Пълни многообразия Определение Пред-многообразието X е отделимо, ако диагоналът = {(x, x) x X} е затворено подмножество на X X. Отделим Глава 13 Пълни многообразия Определение 13.1. Пред-многообразието X е отделимо, ако диагоналът = {(x, x) x X} е затворено подмножество на X X. Отделимите пред-многообразия X се наричат многообразия. Ако

Подробно

Линейна алгебра 12. Квадратични форми специалности: Математика, Бизнес математика, Приложна математика, I курс лектор: Марта Теофилова Линейна алгебра

Линейна алгебра 12. Квадратични форми специалности: Математика, Бизнес математика, Приложна математика, I курс лектор: Марта Теофилова Линейна алгебра специалности: Математика, Бизнес математика, Приложна математика, I курс лектор: Марта Теофилова Реални квадратични форми Израз от вида f(x 1, x 2,..., x n ) = n i=1 j=1 n a ij x i x j, (1) където x i

Подробно

54. НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА НАЦИОНАЛЕН КРЪГ Задача 1. Да се намерят всички тройки от естествени числа (x, y, z) такива, че 2005 x + y + 200

54. НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА НАЦИОНАЛЕН КРЪГ Задача 1. Да се намерят всички тройки от естествени числа (x, y, z) такива, че 2005 x + y + 200 54. НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА НАЦИОНАЛЕН КРЪГ Задача 1. Да се намерят всички тройки от естествени числа (x, y, z) такива, че x + y + 005 x + z + y + z е естествено число. Решение. Първо ще докажем,

Подробно

Глава 7 Рационални функции и изображения Да отбележим, че ако R е комутативна област с единица, то множеството S = R \ {0 R } на ненулевите елементи н

Глава 7 Рационални функции и изображения Да отбележим, че ако R е комутативна област с единица, то множеството S = R \ {0 R } на ненулевите елементи н Глава 7 Рационални функции и изображения Да отбележим, че ако R е комутативна област с единица, то множеството S = R \ {0 R } на ненулевите елементи на R е мултипликативно затворено и локализацията S 1

Подробно

Microsoft Word - VM-LECTURE06.doc

Microsoft Word - VM-LECTURE06.doc Лекция 6 6 Уравнения на права и равнина Уравнение на права в равнината Тук ще разглеждаме равнина в която е зададена положително ориентирана декартова координатна система O с ортонормиран базис i и j по

Подробно

Microsoft Word - IGM-SER1111.doc

Microsoft Word - IGM-SER1111.doc Лекция Редове на Фурие поточкова сходимост Теорема на Дирихле Тук ще разглеждаме -периодична функция ( ) която ще искаме да бъде гладка по части Това означава че интервала ( ) може да се раздели на отделни

Подробно

Microsoft Word - IGM-SER1010.doc

Microsoft Word - IGM-SER1010.doc Лекция Редове на Фурие -теория Сведения за пространства със скаларно произведение В този раздел ще се занимаваме с периодични функции с период T > Една функция определена за всяко x R се нарича T -периодична

Подробно

Глава 3 Крайнопородени алгебри и модули над ньотеров пръстен В настоящия въпрос са събрани някои предварителни сведения за доказателството на Теоремат

Глава 3 Крайнопородени алгебри и модули над ньотеров пръстен В настоящия въпрос са събрани някои предварителни сведения за доказателството на Теоремат Глава 3 Крайнопородени алгебри и модули над ньотеров пръстен В настоящия въпрос са събрани някои предварителни сведения за доказателството на Теоремата на Хилберт за нулите. Междувременно, направената

Подробно

Microsoft Word - VM22 SEC66.doc

Microsoft Word - VM22 SEC66.doc Лекция 6 6 Теорема за съществуване и единственост Метричното пространство C [ a b] Нека [ a b] е ограничен затворен интервал и да разгледаме съвкупността на непрекъснатите функции f ( определени в [ a

Подробно

Задача 1. Да се реши уравнението софийски университет св. климент охридски писмен конкурсен изпит по математика II 31 март 2019 г. Tема 1 (x 1) x 2 =

Задача 1. Да се реши уравнението софийски университет св. климент охридски писмен конкурсен изпит по математика II 31 март 2019 г. Tема 1 (x 1) x 2 = Задача 1. Да се реши уравнението софийски университет св. климент охридски писмен конкурсен изпит по математика II 1 март 019 г. Tема 1 x 1) x = x x 6. Решение: 1.) При x

Подробно

Microsoft Word - Sem02_KH_VM2-19.doc

Microsoft Word - Sem02_KH_VM2-19.doc Семинар Действия с матрици. Собствени стойности и собствени вектори на матрици. Привеждане на квадратична форма в каноничен вид. Матрица k всяка правоъгълна таблица от k-реда и -стълба. Квадратна матрица

Подробно

Глава 10 Теорема на Bezout. Полиномиални кодове върху равнинни криви. Определение Множеството Z(f) = {[x : y : z] P 2 (k) f(x, y, z) = 0} на нул

Глава 10 Теорема на Bezout. Полиномиални кодове върху равнинни криви. Определение Множеството Z(f) = {[x : y : z] P 2 (k) f(x, y, z) = 0} на нул Глава 10 Теорема на Bezout. Полиномиални кодове върху равнинни криви. Определение 10.1. Множеството Zf = {[x : y : z] P k fx, y, z = 0} на нулите на евентуално разложим хомогенен полином fx, y, z k[x,

Подробно

РЕФЕРАТ по дисциплината Дискретни структури 1. (*) Докажете асоциативността на операциите обединение и сечение на множества, тоест, че за произволни м

РЕФЕРАТ по дисциплината Дискретни структури 1. (*) Докажете асоциативността на операциите обединение и сечение на множества, тоест, че за произволни м РЕФЕРАТ по дисциплината Дискретни структури. (*) Докажете асоциативността на операциите обединение и сечение на множества, тоест, че за произволни множества A, B и C са изпълнени следните равенства: (A

Подробно

СОФИЙСКА МАТЕМАТИЧЕСКА ГИМНАЗИЯ ТУРНИР ПО МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА "ЗА ТОРТАТА НА ДИРЕКТОРА" ТЕМА ПО МАТЕМАТИКА 8 КЛАС Задача 1. Да се реши в цели чис

СОФИЙСКА МАТЕМАТИЧЕСКА ГИМНАЗИЯ ТУРНИР ПО МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА ЗА ТОРТАТА НА ДИРЕКТОРА ТЕМА ПО МАТЕМАТИКА 8 КЛАС Задача 1. Да се реши в цели чис СОФИЙСКА МАТЕМАТИЧЕСКА ГИМНАЗИЯ ТУРНИР ПО МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА "ЗА ТОРТАТА НА ДИРЕКТОРА" ТЕМА ПО МАТЕМАТИКА 8 КЛАС Задача 1. Да се реши в цели числа уравнението p( + b) = (5 + b) 2, където p е просто.

Подробно

Microsoft Word - DIS.doc

Microsoft Word - DIS.doc Лекции и семинарни занятия по диференциално и интегрално смятане 1 Писани са от мен, Иван Димитров Георгиев (вече завършил) студент по информатика, електронната ми поща е ivndg@yhoo.com. Четени са през

Подробно

Exam, SU, FMI,

Exam, SU, FMI, Поправителен изпит по Дискретни структури задачи СУ ФМИ 29. 08. 2016 г. Име: ФН: Спец.: Курс: Задача 1 2 3 4 5 Общо получени точки максимум точки 20 20 35 30 30 135 Забележка: За отлична оценка са достатъчни

Подробно

Microsoft Word - Tema-8-klas-PLOVDIV.doc

Microsoft Word - Tema-8-klas-PLOVDIV.doc МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА СЪЮЗ НА МАТЕМАТИЦИТЕ В БЪЛГАРИЯ Пролетен математически турнир 7 9 март 9 г., ПЛОВДИВ Тема за 8 клас Задача. Дадено е уравнението ax + 9 = x + 9ax 8x, където a е

Подробно

РЕЦЕНЗИЯ от проф. дмн Тодор Желязков Моллов професор във ФМИ при ПУ "Паисий Хилендарски" на дисертационен труд за получаване на образователната и науч

РЕЦЕНЗИЯ от проф. дмн Тодор Желязков Моллов професор във ФМИ при ПУ Паисий Хилендарски на дисертационен труд за получаване на образователната и науч РЕЦЕНЗИЯ от проф. дмн Тодор Желязков Моллов професор във ФМИ при ПУ "Паисий Хилендарски" на дисертационен труд за получаване на образователната и научна степен доктор по професионално направление 4.5 Математика

Подробно