110 (Глава 2. Тензорен анализ 12. Диференциални операции в криволинейни координати Градиент на скаларно поле. Дефиницията (11.5) на градиента чр

Препис

1 0 (Глава 2. Тензорен анализ 2. Диференциални операции в криволинейни координати 2.. Градиент на скаларно поле. Дефиницията (.5) на градиента чрез производната по направление позволява лесно да намерим израза му не само за декартова, но и за произволна криволинейна координатна система q i. За целта е достатъчно да видим, че ai rf = f (2.) тъй като в посоката на вектора ai се мени само координатата q i, i = 2 3. Оттук f rf = a i : (2.2) q i= i В частност, ако системата q i е ортогонална, то векторите от дуалния базис са пропорционални на тези от изходния и затова rf = i= f ei (2.3) H i вж. (0.2), където ei са векторите на ортонормирания локален базис Градиент на векторно поле. Нека сега u = u(r) е векторна функция, дефинирана в област Ω ρe 3 на тримерното пространство E 3. Аналогично на случая на скаларна функция (.) можем да дефинираме производната du da = d d u a( ) fi fi fi =0 = lim!0 u(r 0 + a) u(r 0 ) u(m ) u(m 0 ) = lim M!M 0 jmm 0 j (2.4) вж. фиг.., при зададени точка M 0 2 Ω и вектор a, a 6= 0тукua( ) = u(r + a). Ако векторът a е единичен, вектор a = e, jej =,тоdu=de е производната на u по направлението e. Ако векторът a не е единичен, то очевидно du da = a du a = ae jej = (2.5) de

2 2. Диференциални операции в криволинейни координати ср. (.2) За да характеризираме скоростта на изменение на u(r) в дадената точка M, е необходимо да знаем производната ѝповсички възможни направления. Предвид (2.5) това е еквивалентно на задаването на векторната функция: a! du da 8 a 2E 3 : (2.6) Както и в случая на скаларно поле (.), лесно се проверява, че функцията (2.6) е линейно преобразование на E 3. Поради това съществува двувалентен тензор ru, нареченградиент на u, такъвче du da = a ru : (2.7) Формулата за диференциране на сложна функция, приложена към (2.4), показва, че компонентите на ru в декартова система Mx x 2 x 3 са частните производни (ru) ij = u j x i = i u j = u ji i j = 2 3 (2.8) където u i са компонентите на u в дадената декартова система. Попътно в (2.8) са въведени и различни означения за частните производни, които често се използват в литературата. За криволинейна координатна система q i, разлагаме полето u по векторите на локалния базис ai, т.е.u = u i ai. Тогава ru = r(u i ai) =(ru i ) Ω ai + u i rai = ui q j a j ai + u i rai (2.9) използвахме формулата (2.2) за ru i. От (2.9) се вижда, че за пресмятането наru е необходимо да знаем rai. Величините rai представляват двувалентни тензори те определят,,скоростта, с която се менят векторите на локалния базис ai, когато се преместваме в пространството. Тензорите rai се изразяват чрез т. нар. символи на Кристофел, които ще разгледаме по-подробно в Дивергенция на векторно поле в криволинейни координати. Да разгледаме дивергенцията r u на векторното поле u.

3 2 (Глава 2. Тензорен анализ Съгласно (2.9) имаме r u = ai ru i + u i r ai = i= u i + u i r ai : (2.0) Оказва се, че в ортогонална криволинейна система q i величините r ai, а по такъв начин и дивергенцията на полето u, могат да се пресметнат по прост начин, като използваме единствено формулата на Гаус без привличане на символите на Кристофел. Фиксираме точка M (q q 2 q 3 ) иразq на криволинейната система q i, обемът на глеждаме елементарния паралелепипед V, q3 образуван от дъгите ds i на координатните линии q dq3 i, i = 2 3, вж.фиг.2..дъгите ds i се описват в резултат на зада- dq dq2 дените нараствания dq i на координатите q i и затова ds i = H i dq i, съгласно (0.). q2 Предвид предположената ортогоналност паралелепипеда е Фиг. 2.. Към извода на (2.6) Тъй като той е безкрайно малък, можем да запишем dv = H H 2 H 3 dq dq 2 dq 3 : (2.) r u = r udv (2.2) dv V Прилагаме формулата на Гаус към интеграла (2.2): V r u dv = S u n ds u n = n u n е единичната външна нормала. Разбиваме шестте стени на паралелепипеда, т. е. повърхнината му S, на три групи: S = S [S 2 [S 3 като всяка от тях, S i, се състои от двете стени, перпендикулярни на координатните линии q i (по-точно, на векторите на локалния базис ai), i = 2 3. Тогава u n ds = u n ds + u n ds + u n ds: (2.3) S S S 2 S 3

4 2. Диференциални операции в криволинейни координати 3 Нека u = u e + u 2 e 2 + u 3 e 3 (2.4) където ei е ортонормираният локален базис, ei = ai=h i, i = 2 3. Единичната нормала към двете стени, например, в S, съвпада с +e (на предната стена) и с e на задната. Следователно S u n ds = u ds fi fifi q +dq u ds fi fifi q върху предната стена стойността на координатата q е q +dq,съгласно конструкцията на елементарния паралелепипед, вж. фиг. 2.. На свой ред ds =ds 2 ds 3 = H 2 H 3 dq 2 dq 3 т. е. S u n ds = u H 2 H 3 fi fifi q+dq u H 2 H 3 fi fifi q dq 2 dq 3 = (u H 2 H 3 )dq dq 2 dq 3 : (2.5) Обръщаме внимание, че коефициентите на Ламе също зависят от координатите q i и поради това имат различни стойности при q и q +dq. Затова в (2.5) е отчетено, че произведението H 2 H 3 е различно на предната и на задната стени, перпендикулярни на e. Аналогично пресмятаме потоците през двойките стени S 2 и S 3 и внасяме съответните резултатите, заедно с (2.5), в (2.3). Отчитайки и формулата за dv, вж. (2.), намираме окончателно r u = ρ H H 2 H 3 (u H 2 H 3 ) + q 2 (u 2 H 3 H )+ ff (u 3 H H 2 ) : q 3 (2.6) Да забележим, че ако векторното поле u е зададено чрез компонентите си в локалния базис ai, то Оттук u = i= u i ai = i= u i = H i u i i = 2 3 u i H i ei : Ṗ i :

5 4 (Глава 2. Тензорен анализ Спрямо компонентите u i формулата (2.6) придобива един по-симетричен вид r u = (u i H H 2 H 3 ) : (2.7) H H 2 H 3 q i= i Оттук, в частност, следват формулите за дивергенцията на векторите ei на ортонормирания локален базис: r e = H H 2 H 3 r e 2 = H H 2 H 3 r e 3 = H H 2 H 3 (H 2 H 3 ) (H 3 H ) q 2 (H H 2 ) q 3 : (2.8) Да изредим няколко частни случая на формулата (2.6) за конкретни координатни системи. Например в полярни координати r u = r (ru r ) r + u ' ' където u = u r er +u ' e' (тъй като в случая H r =, H ' = r, вж. (0.5)). В цилиндрични координати r u = ru r r r + u ' ' + r u z r вж. (0.7). В сферични координати r u = r 2 r 2 u r r + u ' r sin ' + (u sin ) r sin където u = u r er + u ' e' + u e (тъй като в случая H r =, H ' = r sin, H = r) Лапласиан в криволинейни координати. Некаu = rf е потенциално поле. В ортогонална криволинейна система q i компонентите на rf имат познатия вид u i = H i f i = 2 3

6 2. Диференциални операции в криволинейни координати 5 вж. (2.3). Заедно с (2.6) това води до формулата за лапласиана в ортогоналната система q i : ρ H2 H 3 f f = H H 2 H 3 H + q 2 H3 H H 2 В частност, в полярни координати f = r ( r f + q 2 H H 2 q 3 H 3 r f r ) + 2 f r ' 2 f : q 3ff (2.9) а в сферични ( f = r 2 r r 2 f r + sin sin f + sin 2 ) 2 f : ' 2 В частния случай на сферически симетрична функция f = f (r) последната формула съвпада с (.20) Ротация в криволинейни координати. Некаq i криволинейна координатна система. Тъй като координатите q i определят еднозначно положението на точките в пространството, съотношенията (0.3) са обратими, т. е. q i = q i (x j ) i j = 2 3 : Оттук rq i = j= x j ej (2.20) където ej са единичните вектори на декартовата система Ox x 2 x 3,вж. фиг. 0.. Съгласно дефиницията на градиента (2.) aj rq i = q j = ffi i j : Сравнението на последната формула с (2.3) ни дава за произволна криволинейна координатна система. rq i = a i (2.2)

7 6 (Глава 2. Тензорен анализ Нека сега q i е ортогонална система. Тогава rq i = a i = h i ei Ṗ i (2.22) където ei е ортонормираният локален базис. Сравнението с (0.2) показва, че h i = H i h i = ja i j = vu u X t 3 j= ψ x j! 2 вж. (2.20). Преди да преминем към пресмятането на ротацията на произволно векторно поле в координатите q i е необходимо да намерим ротацията на векторите ei от ортонормирания локален базис. За целта забелязваме, че полето a i е потенциално, вж. (2.22), и затова ротацията му е нула r a i = r ei =0 (2.23) H i съгласно критерия за потенциалност (.34). Нека f е произволно скаларно поле, а a е векторно поле. Пресмятаме r (f a). Съгласно дефиницията на ротацията (??) имаме [ r (f a)] i = " ijk j (fa k ) или, в безкоординатен вид, = " ijk f j a k + f" ijk ja k P jk r (f a) =rf a + f r a : (2.24) Прилагаме формулата (2.24) в (2.23) r ei = H i (rh i ) ei i = 2 3 (2.25) тъй като r H i = H 2 i rh i.но rh i = j= H j H i q j ej

8 2. Диференциални операции в криволинейни координати 7 вж. (2.3), и затова, например, rh e = j= H j H q j ej e : Оттук и от (2.25) намираме търсените изрази за ротациите r ei където използвахме, че r e = H 3 H r e 2 = H H 2 r e 3 = H 2 H 3 H q 3 e 2 H H 2 H 2 e 3 H 2 H 3 H 3 q 2 e H 3 H H q 2 e 3 H 2 q 3 e H 3 e 3 (2.26) e e 2 = e 3 e 2 e 3 = e e 3 e = e 2 (2.27) Упражнение 2.. Покажете, че r (a b) =b (r a) a (r b) (2.28) за произволни векторни полета a и b. Упражнение 2.2. Вземете в (2.28) a = e и b = e 2. От първото съотношение на (2.27) тогава следва r e = e 2 r e 3 e 3 r e 2 : Използвайки (2.26), изведете оттук съотношенията (2.8), астяхна помощ и общата формула (2.7) за дивергенцията на произволно векторно поле. Нека сега u = k=3 u k ek е произволно векторно поле, разложено по векторите на ортонормирания локален базис. С помощта на (2.24) и (2.25) намираме r u = k= [(ru k ) ek + u k r ek ]= k= = [ H k ru k + u k rh k ek] = H k H k k=» ru k + u k H k rh k ek k= r (H k u k ) ek

9 8 (Глава 2. Тензорен анализ т. е. 0 r u = X 3 H k k= j= (H k u k ) H j q j ej A e k : Използвайки (2.27), оттук намираме търсената формула за ротацията на произволно векторно поле в ортогонална криволинейна координатна система, именно, r u = H 2 H 3 + H 3 H + H H 2 ρ ρ ρ ff (u 3 H 3 ) (u 2H 2 ) e q 2 q 3 (u H ) q 3 (u 3H 3 ) (u 2 H 2 ) (u H ) q 2 В частност, в цилиндрични координати u z r u = r ' u ' z u r + z u z r + r (ru ' ) r e' er u r ' ez ff ff e 2 e 3 : (2.29) а в сферични r u = r sin + r sin + r (u ' sin ) (ru ) r u r ' r u r u ' (ru ' ) r e' : e er