110 (Глава 2. Тензорен анализ 12. Диференциални операции в криволинейни координати Градиент на скаларно поле. Дефиницията (11.5) на градиента чр

Размер: px
Започни от страница:

Download "110 (Глава 2. Тензорен анализ 12. Диференциални операции в криволинейни координати Градиент на скаларно поле. Дефиницията (11.5) на градиента чр"

Препис

1 0 (Глава 2. Тензорен анализ 2. Диференциални операции в криволинейни координати 2.. Градиент на скаларно поле. Дефиницията (.5) на градиента чрез производната по направление позволява лесно да намерим израза му не само за декартова, но и за произволна криволинейна координатна система q i. За целта е достатъчно да видим, че ai rf = f (2.) тъй като в посоката на вектора ai се мени само координатата q i, i = 2 3. Оттук f rf = a i : (2.2) q i= i В частност, ако системата q i е ортогонална, то векторите от дуалния базис са пропорционални на тези от изходния и затова rf = i= f ei (2.3) H i вж. (0.2), където ei са векторите на ортонормирания локален базис Градиент на векторно поле. Нека сега u = u(r) е векторна функция, дефинирана в област Ω ρe 3 на тримерното пространство E 3. Аналогично на случая на скаларна функция (.) можем да дефинираме производната du da = d d u a( ) fi fi fi =0 = lim!0 u(r 0 + a) u(r 0 ) u(m ) u(m 0 ) = lim M!M 0 jmm 0 j (2.4) вж. фиг.., при зададени точка M 0 2 Ω и вектор a, a 6= 0тукua( ) = u(r + a). Ако векторът a е единичен, вектор a = e, jej =,тоdu=de е производната на u по направлението e. Ако векторът a не е единичен, то очевидно du da = a du a = ae jej = (2.5) de

2 2. Диференциални операции в криволинейни координати ср. (.2) За да характеризираме скоростта на изменение на u(r) в дадената точка M, е необходимо да знаем производната ѝповсички възможни направления. Предвид (2.5) това е еквивалентно на задаването на векторната функция: a! du da 8 a 2E 3 : (2.6) Както и в случая на скаларно поле (.), лесно се проверява, че функцията (2.6) е линейно преобразование на E 3. Поради това съществува двувалентен тензор ru, нареченградиент на u, такъвче du da = a ru : (2.7) Формулата за диференциране на сложна функция, приложена към (2.4), показва, че компонентите на ru в декартова система Mx x 2 x 3 са частните производни (ru) ij = u j x i = i u j = u ji i j = 2 3 (2.8) където u i са компонентите на u в дадената декартова система. Попътно в (2.8) са въведени и различни означения за частните производни, които често се използват в литературата. За криволинейна координатна система q i, разлагаме полето u по векторите на локалния базис ai, т.е.u = u i ai. Тогава ru = r(u i ai) =(ru i ) Ω ai + u i rai = ui q j a j ai + u i rai (2.9) използвахме формулата (2.2) за ru i. От (2.9) се вижда, че за пресмятането наru е необходимо да знаем rai. Величините rai представляват двувалентни тензори те определят,,скоростта, с която се менят векторите на локалния базис ai, когато се преместваме в пространството. Тензорите rai се изразяват чрез т. нар. символи на Кристофел, които ще разгледаме по-подробно в Дивергенция на векторно поле в криволинейни координати. Да разгледаме дивергенцията r u на векторното поле u.

3 2 (Глава 2. Тензорен анализ Съгласно (2.9) имаме r u = ai ru i + u i r ai = i= u i + u i r ai : (2.0) Оказва се, че в ортогонална криволинейна система q i величините r ai, а по такъв начин и дивергенцията на полето u, могат да се пресметнат по прост начин, като използваме единствено формулата на Гаус без привличане на символите на Кристофел. Фиксираме точка M (q q 2 q 3 ) иразq на криволинейната система q i, обемът на глеждаме елементарния паралелепипед V, q3 образуван от дъгите ds i на координатните линии q dq3 i, i = 2 3, вж.фиг.2..дъгите ds i се описват в резултат на зада- dq dq2 дените нараствания dq i на координатите q i и затова ds i = H i dq i, съгласно (0.). q2 Предвид предположената ортогоналност паралелепипеда е Фиг. 2.. Към извода на (2.6) Тъй като той е безкрайно малък, можем да запишем dv = H H 2 H 3 dq dq 2 dq 3 : (2.) r u = r udv (2.2) dv V Прилагаме формулата на Гаус към интеграла (2.2): V r u dv = S u n ds u n = n u n е единичната външна нормала. Разбиваме шестте стени на паралелепипеда, т. е. повърхнината му S, на три групи: S = S [S 2 [S 3 като всяка от тях, S i, се състои от двете стени, перпендикулярни на координатните линии q i (по-точно, на векторите на локалния базис ai), i = 2 3. Тогава u n ds = u n ds + u n ds + u n ds: (2.3) S S S 2 S 3

4 2. Диференциални операции в криволинейни координати 3 Нека u = u e + u 2 e 2 + u 3 e 3 (2.4) където ei е ортонормираният локален базис, ei = ai=h i, i = 2 3. Единичната нормала към двете стени, например, в S, съвпада с +e (на предната стена) и с e на задната. Следователно S u n ds = u ds fi fifi q +dq u ds fi fifi q върху предната стена стойността на координатата q е q +dq,съгласно конструкцията на елементарния паралелепипед, вж. фиг. 2.. На свой ред ds =ds 2 ds 3 = H 2 H 3 dq 2 dq 3 т. е. S u n ds = u H 2 H 3 fi fifi q+dq u H 2 H 3 fi fifi q dq 2 dq 3 = (u H 2 H 3 )dq dq 2 dq 3 : (2.5) Обръщаме внимание, че коефициентите на Ламе също зависят от координатите q i и поради това имат различни стойности при q и q +dq. Затова в (2.5) е отчетено, че произведението H 2 H 3 е различно на предната и на задната стени, перпендикулярни на e. Аналогично пресмятаме потоците през двойките стени S 2 и S 3 и внасяме съответните резултатите, заедно с (2.5), в (2.3). Отчитайки и формулата за dv, вж. (2.), намираме окончателно r u = ρ H H 2 H 3 (u H 2 H 3 ) + q 2 (u 2 H 3 H )+ ff (u 3 H H 2 ) : q 3 (2.6) Да забележим, че ако векторното поле u е зададено чрез компонентите си в локалния базис ai, то Оттук u = i= u i ai = i= u i = H i u i i = 2 3 u i H i ei : Ṗ i :

5 4 (Глава 2. Тензорен анализ Спрямо компонентите u i формулата (2.6) придобива един по-симетричен вид r u = (u i H H 2 H 3 ) : (2.7) H H 2 H 3 q i= i Оттук, в частност, следват формулите за дивергенцията на векторите ei на ортонормирания локален базис: r e = H H 2 H 3 r e 2 = H H 2 H 3 r e 3 = H H 2 H 3 (H 2 H 3 ) (H 3 H ) q 2 (H H 2 ) q 3 : (2.8) Да изредим няколко частни случая на формулата (2.6) за конкретни координатни системи. Например в полярни координати r u = r (ru r ) r + u ' ' където u = u r er +u ' e' (тъй като в случая H r =, H ' = r, вж. (0.5)). В цилиндрични координати r u = ru r r r + u ' ' + r u z r вж. (0.7). В сферични координати r u = r 2 r 2 u r r + u ' r sin ' + (u sin ) r sin където u = u r er + u ' e' + u e (тъй като в случая H r =, H ' = r sin, H = r) Лапласиан в криволинейни координати. Некаu = rf е потенциално поле. В ортогонална криволинейна система q i компонентите на rf имат познатия вид u i = H i f i = 2 3

6 2. Диференциални операции в криволинейни координати 5 вж. (2.3). Заедно с (2.6) това води до формулата за лапласиана в ортогоналната система q i : ρ H2 H 3 f f = H H 2 H 3 H + q 2 H3 H H 2 В частност, в полярни координати f = r ( r f + q 2 H H 2 q 3 H 3 r f r ) + 2 f r ' 2 f : q 3ff (2.9) а в сферични ( f = r 2 r r 2 f r + sin sin f + sin 2 ) 2 f : ' 2 В частния случай на сферически симетрична функция f = f (r) последната формула съвпада с (.20) Ротация в криволинейни координати. Некаq i криволинейна координатна система. Тъй като координатите q i определят еднозначно положението на точките в пространството, съотношенията (0.3) са обратими, т. е. q i = q i (x j ) i j = 2 3 : Оттук rq i = j= x j ej (2.20) където ej са единичните вектори на декартовата система Ox x 2 x 3,вж. фиг. 0.. Съгласно дефиницията на градиента (2.) aj rq i = q j = ffi i j : Сравнението на последната формула с (2.3) ни дава за произволна криволинейна координатна система. rq i = a i (2.2)

7 6 (Глава 2. Тензорен анализ Нека сега q i е ортогонална система. Тогава rq i = a i = h i ei Ṗ i (2.22) където ei е ортонормираният локален базис. Сравнението с (0.2) показва, че h i = H i h i = ja i j = vu u X t 3 j= ψ x j! 2 вж. (2.20). Преди да преминем към пресмятането на ротацията на произволно векторно поле в координатите q i е необходимо да намерим ротацията на векторите ei от ортонормирания локален базис. За целта забелязваме, че полето a i е потенциално, вж. (2.22), и затова ротацията му е нула r a i = r ei =0 (2.23) H i съгласно критерия за потенциалност (.34). Нека f е произволно скаларно поле, а a е векторно поле. Пресмятаме r (f a). Съгласно дефиницията на ротацията (??) имаме [ r (f a)] i = " ijk j (fa k ) или, в безкоординатен вид, = " ijk f j a k + f" ijk ja k P jk r (f a) =rf a + f r a : (2.24) Прилагаме формулата (2.24) в (2.23) r ei = H i (rh i ) ei i = 2 3 (2.25) тъй като r H i = H 2 i rh i.но rh i = j= H j H i q j ej

8 2. Диференциални операции в криволинейни координати 7 вж. (2.3), и затова, например, rh e = j= H j H q j ej e : Оттук и от (2.25) намираме търсените изрази за ротациите r ei където използвахме, че r e = H 3 H r e 2 = H H 2 r e 3 = H 2 H 3 H q 3 e 2 H H 2 H 2 e 3 H 2 H 3 H 3 q 2 e H 3 H H q 2 e 3 H 2 q 3 e H 3 e 3 (2.26) e e 2 = e 3 e 2 e 3 = e e 3 e = e 2 (2.27) Упражнение 2.. Покажете, че r (a b) =b (r a) a (r b) (2.28) за произволни векторни полета a и b. Упражнение 2.2. Вземете в (2.28) a = e и b = e 2. От първото съотношение на (2.27) тогава следва r e = e 2 r e 3 e 3 r e 2 : Използвайки (2.26), изведете оттук съотношенията (2.8), астяхна помощ и общата формула (2.7) за дивергенцията на произволно векторно поле. Нека сега u = k=3 u k ek е произволно векторно поле, разложено по векторите на ортонормирания локален базис. С помощта на (2.24) и (2.25) намираме r u = k= [(ru k ) ek + u k r ek ]= k= = [ H k ru k + u k rh k ek] = H k H k k=» ru k + u k H k rh k ek k= r (H k u k ) ek

9 8 (Глава 2. Тензорен анализ т. е. 0 r u = X 3 H k k= j= (H k u k ) H j q j ej A e k : Използвайки (2.27), оттук намираме търсената формула за ротацията на произволно векторно поле в ортогонална криволинейна координатна система, именно, r u = H 2 H 3 + H 3 H + H H 2 ρ ρ ρ ff (u 3 H 3 ) (u 2H 2 ) e q 2 q 3 (u H ) q 3 (u 3H 3 ) (u 2 H 2 ) (u H ) q 2 В частност, в цилиндрични координати u z r u = r ' u ' z u r + z u z r + r (ru ' ) r e' er u r ' ez ff ff e 2 e 3 : (2.29) а в сферични r u = r sin + r sin + r (u ' sin ) (ru ) r u r ' r u r u ' (ru ' ) r e' : e er

Microsoft Word - Lecture 9-Krivolineyni-Koordinati.doc

Microsoft Word - Lecture 9-Krivolineyni-Koordinati.doc 6 Лекция 9: Криволинейни координатни системи 9.. Локален базиз и метричен тензор. В много случаи е удобно точките в пространството да се параметризират с криволинейни координати и и и вместо с декартовите

Подробно

40 Глава 1. Тензорна алгебра 6. Пример тензор на инерцията на Ойлер В този момент нека прекъснем формалното изложение на тензорната алгебра за да обсъ

40 Глава 1. Тензорна алгебра 6. Пример тензор на инерцията на Ойлер В този момент нека прекъснем формалното изложение на тензорната алгебра за да обсъ 40 Глава 1. Тензорна алгебра 6. Пример тензор на инерцията на Ойлер В този момент нека прекъснем формалното изложение на тензорната алгебра за да обсъдим по-подробно два класически примера на двувалентни

Подробно

Microsoft Word - VM22 SEC55.doc

Microsoft Word - VM22 SEC55.doc Лекция 5 5 Диференциални уравнения от първи ред Основни определения Диференциално уравнение се нарича уравнение в което участват известен брой производни на търсената функция В общия случай ( n) диференциалното

Подробно

Microsoft Word - VypBIOL-02-Kin-Okryznost.doc

Microsoft Word - VypBIOL-02-Kin-Okryznost.doc ВЪПРОС КИНЕМАТИКА НА ДВИЖЕНИЕТО НА МАТЕРИАЛНА ТОЧКА ПО ОКРЪЖНОСТ Във въпроса Кинематика на движението на материална точка по окръжност вие ще се запознаете със следните величини, понятия и закони, както

Подробно

Microsoft Word - VypBIOL-01-kinematika.doc

Microsoft Word - VypBIOL-01-kinematika.doc ВЪПРОС 1 КИНЕМАТИКА НА МАТЕРИАЛНА ТОЧКА ОСНОВНИ ПОНЯТИЯ И ВЕЛИЧИНИ Във въпроса Кинематика на материална точка основни понятия и величини вие ще се запознаете със следните величини, понятия и закони, както

Подробно

Microsoft Word - stokdovo saprotivlenie.doc

Microsoft Word - stokdovo saprotivlenie.doc Движения при наличие на Стоксово съпротивление При един често срещан вид движения неподвижно тяло започва да се движи под действие на сила с постоянна посока Ако върху тялото действа и Стоксова съпротивителна

Подробно

Microsoft Word - PMS sec1212.doc

Microsoft Word - PMS sec1212.doc Лекция Екстремуми Квадратични форми Функцията ϕ ( = ( K се нарича квадратична форма на променливите когато има вида ϕ( = aij i j i j= За коефициентите предполагаме че a ij = a ji i j При = имаме ϕ ( =

Подробно

Microsoft Word - Lecture 14-Laplace Transform-N.doc

Microsoft Word - Lecture 14-Laplace Transform-N.doc Лекция 4: Интегрално преобразувание на Лаплас 4.. Дефиниция и образи на елементарните функции. Интегралното преобразувание на Лаплас Laplac ranorm се дефинира посредством израза: Λ[ ] преобразувание на

Подробно

Комплексни числа Алгебричен вид: c a ib, където Тригонометричен вид: c r cos i sin Показателна форма: c i re i 1 е имагинерната единица. В полярни коо

Комплексни числа Алгебричен вид: c a ib, където Тригонометричен вид: c r cos i sin Показателна форма: c i re i 1 е имагинерната единица. В полярни коо Комплексни числа Алгебричен вид: c i, където Тригонометричен вид: c r cos i sin Показателна форма: c i re i е имагинерната единица. В полярни координати: r cos, r sin Модул на комплексно число: r c Аргумент

Подробно

Microsoft Word - VypBIOL-06-rabota.doc

Microsoft Word - VypBIOL-06-rabota.doc ВЪПРОС 6 МЕХАНИЧНА РАБОТА И МОЩНОСТ КИНЕТИЧНА И ПОТЕНЦИАЛНА ЕНЕРГИЯ Във въпроса Механична работа и мощност Кинетична и потенциална енергия вие ще се запознаете със следните величини, понятия и закони,

Подробно

Microsoft Word - VM-LECTURE06.doc

Microsoft Word - VM-LECTURE06.doc Лекция 6 6 Уравнения на права и равнина Уравнение на права в равнината Тук ще разглеждаме равнина в която е зададена положително ориентирана декартова координатна система O с ортонормиран базис i и j по

Подробно

Microsoft Word - Lekciya-8-9-Proizvodni-na-Elementarnite-Funkcii.doc

Microsoft Word - Lekciya-8-9-Proizvodni-na-Elementarnite-Funkcii.doc Лекция 8. Производни на логаритмичната, показателната и степенната функции 8.. Производна на логаритмичната функция, у log (0

Подробно

Microsoft Word - Sem03_KH_VM2-19.docx

Microsoft Word - Sem03_KH_VM2-19.docx Семинар Символи на Кронекер и Леви-Чивита. Видове произведения между вектори и тензори. В едно D евклидово пространство R³ имаме: Скалар: p брой индекси 0, брой компоненти 0 =. Вектор: a = a, a, ) брой

Подробно

Microsoft Word - PRMAT sec99.doc

Microsoft Word - PRMAT sec99.doc Лекция 9 9 Изследване на функция Растене, намаляване и екстремуми В тази лекция ще изследваме особеностите на релефа на графиката на дадена функция в зависимост от поведението на нейната производна Основните

Подробно

Microsoft Word - VypBIOL-10-Tvyrdo-Tialo.doc

Microsoft Word - VypBIOL-10-Tvyrdo-Tialo.doc Въпрос 10 МЕХАНИКА НА ИДЕАЛНО ТВЪРДО ТЯЛО Във въпроса Механика на идеално твърдо тяло вие ще се запознаете със следните величини, понятия и закони, както и с основните единици за измерване: Идеално твърдо

Подробно

Глава 3 Едномерни стационарни задачи 3.1 Едномерна безкрайна правоъгълна потенциална яма В тази глава ще разгледаме най-простия едномерен потенциал: б

Глава 3 Едномерни стационарни задачи 3.1 Едномерна безкрайна правоъгълна потенциална яма В тази глава ще разгледаме най-простия едномерен потенциал: б Глава 3 Едномерни стационарни задачи 3.1 Едномерна безкрайна правоъгълна потенциална яма В тази глава ще разгледаме най-простия едномерен потенциал: безкрайна правоъгълна потенциална яма. Преди това ще

Подробно

Microsoft Word - Sem03+04sup_KH_VM2-11.doc

Microsoft Word - Sem03+04sup_KH_VM2-11.doc Връзка между символ на Кронекер (Conece delta i ) и символ на Леви Чивита (Levi-Civita symbol ε i ) Примери от векторния анализ Всички разглеждания се правят за случая на тримерно евклидово пространство

Подробно

Microsoft Word - VM22 SEC66.doc

Microsoft Word - VM22 SEC66.doc Лекция 6 6 Теорема за съществуване и единственост Метричното пространство C [ a b] Нека [ a b] е ограничен затворен интервал и да разгледаме съвкупността на непрекъснатите функции f ( определени в [ a

Подробно

Microsoft Word - IGM-SER1111.doc

Microsoft Word - IGM-SER1111.doc Лекция Редове на Фурие поточкова сходимост Теорема на Дирихле Тук ще разглеждаме -периодична функция ( ) която ще искаме да бъде гладка по части Това означава че интервала ( ) може да се раздели на отделни

Подробно

Microsoft Word - Lekciya Red-na-Taylor-Pravilo-L-Hopital.doc

Microsoft Word - Lekciya Red-na-Taylor-Pravilo-L-Hopital.doc Лекция. Производни oт по-висок порядък. Развиване на функции в ред на Тейлър.. Производна от -ти порядък. Производната на дадена функция у = дефинирана и диференцируема в интервала a b на свой ред е дефинирана

Подробно

Microsoft Word - Lecture 8-Integrirane na Vektori i Tenzori-New.doc

Microsoft Word - Lecture 8-Integrirane na Vektori i Tenzori-New.doc Лекция 8: Интегриране на тензорни величини 8.. Криволинейни интеграли а Параметризация на крива. Да разгледаме крива в пространството, която свързва точките А и В Фиг. 8.. В общия случай, крива в пространството

Подробно

16. Основни методи за интегриране. Интегриране на някои класове функции Интегриране по части. Теорема 1 (Формула за интегриране по части). Ако

16. Основни методи за интегриране. Интегриране на някои класове функции Интегриране по части. Теорема 1 (Формула за интегриране по части). Ако 6. Основни методи за интегриране. Интегриране на някои класове функции. 6.. Интегриране по части. Теорема (Формула за интегриране по части). Ако функциите f(x) и g(x) садиференцируеми в интервала (a, b)

Подробно

Линейна алгебра 7. Умножение на матрици. Обратими матрици. Матрични уравнения специалности: Математика, Бизнес математика, Приложна математика, I курс

Линейна алгебра 7. Умножение на матрици. Обратими матрици. Матрични уравнения специалности: Математика, Бизнес математика, Приложна математика, I курс . Обратими матрици. Матрични уравнения специалности: Математика, Бизнес математика, Приложна математика, I курс лектор: Марта Теофилова Кратка история Матричното умножение е въведено от немския математик

Подробно

Slide 1

Slide 1 Проектът се осъществява с финансовата подкрепа на Оперативна Програма Развитие на Човешките Ресурси 7 3, Съфинансиран от Европейския Социален Фонд на Европейския Съюз Инвестира във вашето бъдеще! ПОВИШАВАНЕ

Подробно

16. НЯКОИ НЕРАВНОВЕСНИ И НЕЛИНЕЙНИ ЯВЛЕНИЯ В КРИСТАЛИТЕ ТОПЛОПРОВОДНОСТ, ЕЛЕКТРОПРОВОДИМОСТ, ЕЛЕКТРОСТРИКЦИЯ. ТЕРМОЕЛЕКТРИЧНИ ЕФЕКТИ 1. Нелинейни или

16. НЯКОИ НЕРАВНОВЕСНИ И НЕЛИНЕЙНИ ЯВЛЕНИЯ В КРИСТАЛИТЕ ТОПЛОПРОВОДНОСТ, ЕЛЕКТРОПРОВОДИМОСТ, ЕЛЕКТРОСТРИКЦИЯ. ТЕРМОЕЛЕКТРИЧНИ ЕФЕКТИ 1. Нелинейни или 16. НЯКОИ НЕРАВНОВЕСНИ И НЕЛИНЕЙНИ ЯВЛЕНИЯ В КРИСТАЛИТЕ ТОПЛОПРОВОДНОСТ, ЕЛЕКТРОПРОВОДИМОСТ, ЕЛЕКТРОСТРИКЦИЯ. ТЕРМОЕЛЕКТРИЧНИ ЕФЕКТИ 1. Нелинейни или квадратични ефекти 1.1. Електрострикция При голяма

Подробно

Microsoft Word - Sem02_KH_VM2-19.doc

Microsoft Word - Sem02_KH_VM2-19.doc Семинар Действия с матрици. Собствени стойности и собствени вектори на матрици. Привеждане на квадратична форма в каноничен вид. Матрица k всяка правоъгълна таблица от k-реда и -стълба. Квадратна матрица

Подробно

ПРИМЕРНИ ЗАДАЧИ ЗА КОНТРОЛНА РАБОТА 3 ПО ЛИНЕЙНА АЛГЕБРА специалност Математика и Информатика Вариант 1 Задача 1. (2 точки) Дадени са линейно простран

ПРИМЕРНИ ЗАДАЧИ ЗА КОНТРОЛНА РАБОТА 3 ПО ЛИНЕЙНА АЛГЕБРА специалност Математика и Информатика Вариант 1 Задача 1. (2 точки) Дадени са линейно простран ПРИМЕРНИ ЗАДАЧИ ЗА КОНТРОЛНА РАБОТА 3 ПО ЛИНЕЙНА АЛГЕБРА специалност Математика и Информатика Вариант 1 Задача 1. ( точки) Дадени са линейно пространство U с базиси e 1, e и e 1 = e 1 +e, e = e 1 + 3e

Подробно

Microsoft Word - IGM-SER1010.doc

Microsoft Word - IGM-SER1010.doc Лекция Редове на Фурие -теория Сведения за пространства със скаларно произведение В този раздел ще се занимаваме с периодични функции с период T > Една функция определена за всяко x R се нарича T -периодична

Подробно

Microsoft Word - VM-2-7-integrirane-na-racionalni-funkcii-seminar.doc

Microsoft Word - VM-2-7-integrirane-na-racionalni-funkcii-seminar.doc 7. Интегриране на рационални функции Съдържание. Пресмятане на неопределен интеграл от елементарни дроби. Интегриране на правилни рационални функции. Интегриране на неправилни рационални функции ТЕОРИЯ

Подробно

Семинар № 2: Граници на редици, признаци на Даламбер и Коши за сходимост на редове

Семинар № 2: Граници на редици, признаци на Даламбер и Коши за сходимост на редове Семинар 4 / 7 Семинар 4: Производна на неявна функция. Развитие на функция в ред на Тейлър. Правило на Лопитал. Развитие на функция в ред на Тейлър Дефиниция: Нека функцията f() да е дефинирана в някаква

Подробно

vibr_of_triat_mol_alpha

vibr_of_triat_mol_alpha Месечно списание за Култура, Образование, Стопанство, Наука, Общество, Семейство http://www.kosnos.co Симетрично валентно трептение на симетрични нелинейни триатомни молекули Този материал е продължение

Подробно

Microsoft Word - VM-LECTURE21.doc

Microsoft Word - VM-LECTURE21.doc Лекция Числови редове Определения и примери Абсолютна и условна сходимост Числовите редове представляват безкрайни суми () = L L Величината се нарича общ член на реда Сумирането в () започва от = но по

Подробно