Лекция 6 Ко-верижни комплекси и кохомологии. Сингулярни кохомологии и гладки сингулярни кохомологии. 1. Определения. Определение 6.1. Фамилията {(C n,

Размер: px
Започни от страница:

Download "Лекция 6 Ко-верижни комплекси и кохомологии. Сингулярни кохомологии и гладки сингулярни кохомологии. 1. Определения. Определение 6.1. Фамилията {(C n,"

Препис

1 Лекция 6 Ко-верижни комплекси и кохомологии. Сингулярни кохомологии и гладки сингулярни кохомологии. 1. Определения. Определение 6.1. Фамилията {(C n, d n )} n Z от леви (десни) R-модули C n и R-модулни хомоморфизми d n : C n C n+1 образува ко-верижен комплекс, ако d n+1 d n 0 за n Z,... C n dn C n+1... d n 1 d n+1. Определение 6.2. Ако {(C n, d n )} n Z е ко-верижен комплекс от R-модули, то елементите на R-подмодулите Z n (C ) := Ker(d n ) = {c C n d n (c) = 0 C n+1} на C n се наричат ко-цикли, а елементите на R-подмодулите на C n се наричат ко-граници. B n (C ) := Im(d n 1 ) = {d n 1 (c) c C n 1 } Възоснова на d n d n 1 0, ко-границите B n (C ) се съдържат в ко-циклите Z n (C ), така че можем да определим Определение 6.3. Кохомологиите на ко-верижен комплекс {(C n, d n )} n Z от R-модули са фактор-модулите H n (C ) := Z n (C )//B n (C ) за n Z. Лема-Определение 6.4. Нека R е комутативен пръстен с единица. (i) Ако {(S n (X, R), n )} n 0 е сингулярният верижен комплекс на топологично пространство X, то S n (X, R) := Hom R (S n (X, R), R) са R-модули, а d n : S n (X, R) S n+1 (X, R), d n (f) := f n+1 за f S n (X, R) са хомоморфизми на R-модули, които образуват така наречения сингулярен ко-верижен комплекс {(S n (X, R), d n )} n 0 на X. (ii) Ако {(Sn (M, R), n )} n 0 е гладкият сингулярен верижен комплекс на гладко многообразие M, то S n (M, R) := Hom R (S n (M, R), R) са R-модули, а d n : S (M, n R) S (M, n R), d n (f) := f n+1 за f S (M, n R) са хомоморфизми на R-модули, образуващи така наречения гладък сингулярен ко-верижен комплекс {(S (M, n R), d n )} n 0 на M. 57

2 58 6. СИНГУЛЯРНИ И ГЛАДКИ СИНГУЛЯРНИ КОХОМОЛОГИИ. Доказателство: Ще докажем само (i), доколкото разглежданията за (ii) са напълно аналогични. В Твърдение 9 (ii) от Въпрос 3 проверихме, че S n (X, R) := Hom R (S n (X, R), R) е R-модул относно поточковото събиране (ϕ + ψ)(γ n ) := ϕ(γ n ) + ψ(γ n ) за ϕ, ψ Hom R (S n (X, R), R), γ n S n (X, R) и поточковото умножение (rϕ)(γ n ) := rϕ(γ n ) с r R. Да напомним, че комутативността на пръстена R беше съществена за R-модулността на rϕ. Композицията f n+1 S n+1 (X, R) R на R-модулните хомоморфизми n+1 и f е хомоморфизъм на R-модули, така че f n+1 S n+1 (X, R). Така определените изображения d n : S n (X, R) S n+1 (X, R) са хомоморфизми на R-модули, доколкото d n (f + g) = (f + g) n+1 = f n+1 + g n+1 = d n (f) + d n (g) и d n (rf) = (rf) n+1 = r(f n+1 ) = rd n (f) за произволни f, g S n (X, R) и r R. Остава да проверим, че d n d n 1 (ϕ) = d n (ϕ n ) = ϕ n n+1 0, за да твърдим, че {(S n (X, R), d n )} n 0 е ко-верижен комплекс от R-модули, Q.E.D. Определение 6.5. Ко-циклите Z n (X, R) := Ker(d n ) на сингулярния ко-верижен комплекс {(S n (X, R), d n )} n 0 се наричат сингулярни ко-цикли. Ко-границите B n (X, R) := Im(d n 1 ) на {(S n (X, R), d n )} n 0 се наричат сингулярни ко-граници, а фактор-модулите H n (X, R) := Z n (X, R)/B n (X, R) носят името сингулярни кохомологии на топологичното пространство X. Ако M е многообразие, то ко-циклите Z n (M, R) := Ker(d n ) на гладкия сингулярен ко-верижен комплекс на M се наричат гладки сингулярни ко-цикли, а ко-границите B n (M, R) := Im(d n 1 ) се наричат гладки сингулярни кограници. Фактор-модулите H n (M, R) := Z n (M, R)/B n (M, R) носят името гладки сингулярни кохомологии на M. За пълнота да определим Определение 6.6. Нека {(C n, d n C )} n Z и {(D n, d n D )} n Z са ко-верижни комплекси от R-модули. Фамилията f = ( ) n Z от хомоморфизми на R-модули : C n D n образува морфизъм на тези ко-верижни комплекси, ако d n D = +1 d n C за n Z. d n C C n C n+1 +1 D n d n D D n+1 Всеки морфизъм f : C D на ко-верижни комплекси от R-модули индуцира хомоморфизми : Z n (C ) Z n (D ) на ко-циклите, доколкото за всяко z Z n (C ) е в сила d n D (z) = +1 d n C (z) = +1 (0) = 0. Аналогично, се ограничават до хомоморфизми : B n (C ) B n (D ),,

3 2. СЪГЛАСУВАНОСТ С НЕПРЕКЪСНАТИ (ГЛАДКИ) ИЗОБРАЖЕНИЯ. 59 съгласно d n 1 C (c) = dn 1 D 1 (c) B n (D ) за всяко c C n 1. Композицията πd n : Z n (C ) H n (D ) с естествения епиморфизъм πd n : Zn (D ) H n (D ) с ядро B n (D ) се пропусква през H n (C ), защото Ker(πC n ) = Bn (C ) Ker(πD n Z n (C )), т.е. πd n d n 1 C (c) = πn D dn 1 D 1 (c) = 0 H n (D ). С това получаваме комутативна диаграма Z n (C ) Z n (D ) π n C π n D H n (C H(f ) n ) H n (D ), където H( )(z + B n (C )) = (z) + B n (D ) е еднозначно определено от. Ако f : {(C n, d n )} n Z {(D n, δ n )} n Z и g : {(D n, δ n )} n Z {(E n, ε n )} n Z са морфизми на ко-верижни комплекси от R-модули, то тяхната композиция g f : {(C n, d n )} n Z {(E n, ε n )} n Z е морфизъм на ко-верижни комплекси, индуциращ хомоморфизмите H((g f ) n ) = H(g n )H( ) : H n (C ) H n (E ). Проверката на това, че g f = {g n } n Z е морфизъм на ко-верижни комплекси е напълно аналогична на тази за композиция на морфизми на верижни комплекси, направена във Въпрос 2. Съгласно (g f ) n = g n непосредствено пресмятаме, че H(g n )(c + B n (C )) = g n (c) + B n (E ) = H(g n )( (c) + B n (D )) = H(g n )H( )(c + B n (C )) за c Z n (C ). Да отбележим също, че тъждественият морфизъм f : C C, = Id C n на ко-верижен комплекс {(C n, d n )} n Z индуцира тъждествените хомоморфизми на кохомологиите H( ) = Id H n (C ), доколкото H( )(c + B n (C )) = (c) + B n (C ) = c + B n (C ) за c Z n (C ), n Z. Изоморфизъм на ко-верижни комплекси {(C n, d n )} n Z и {(D n, δ n )} n Z е морфизъм на ко-верижни комплекси f : C D с взаимно-еднозначни : C n D n за всички n Z. Непосредствено се проверява, че ако f = ( ) n Z е изоморфизъм на ко-верижни комплекси, то (f ) 1 : {( ) 1 } n Z е морфизъм, а оттам и изоморфизъм на ко-верижни комплекси. Всеки изоморфизъм f : C D на ко-верижни комплекси индуцира изоморфизми H( ) : H n (C ) H n (D ) на кохомологиите, защото H(( ) 1 )H( ) = H(( ) 1 ) = H(Id C n) = Id H n (C ), H( )H(( ) 1 ) = H( ( ) 1 ) = H(Id D n) = Id H n (D ) за n Z. С други думи, H( ) са взаимно-еднозначни хомоморфизми на R-модули и техните обратни H( ) 1 = H(( ) 1 ). 2. Съгласуваност с непрекъснати (гладки) изображения. Твърдение 6.7. Нека R е комутативен пръстен с единица.

4 60 6. СИНГУЛЯРНИ И ГЛАДКИ СИНГУЛЯРНИ КОХОМОЛОГИИ. (i) Всяко непрекъснато изображение f : X Y на топологични пространства индуцира морфизъм на сингулярните ко-верижни комплекси d 1 d n Y 0 = S 1 Y (Y, R) S 0 (Y, R) S n (Y, R) S n+1 (Y, R)... f 1 f 0 +1, 0 = S 1 d 1 X (X, R) S 0 (X, R) S n (X, R) dn X S n+1 (X, R)... откъдето и R-модулни хомоморфизми H( ) : H n (Y, R) H n (X, R). на съответните сингулярни кохомологии. (ii) Ако f : X Y и g : Y Z са непрекъснати изображения на топологични пространства, то тяхната композиция gf : X Z индуцира композицията (gf) = f g : S (Z, R) S (X, R) на морфизмите g : S (Z, R) S (Y, R) и f : S (Y, R) S (X, R) на сингулярните ко-верижни комплекси. Оттук H((gf) n ) = H( )H(g n ) : H n (Z, R) H n (X, R). (iii) Тъждественото изображение Id : X X на топологично пространство индуцира тъждествения морфизъм Id = (Id n ) n=0, Id n = Id S n (X,R) на сингулярния ко-верижен комплекс S (X, R) а оттам и тъждествените хомоморфизми H(Id n ) = Id H n (X,R) на сингулярните кохомологии. Доказателство: (i) За произволно ϕ S n (Y, R) определяме (ϕ) := ϕ като изображение на S n (X, R) в R. В качеството си на композиция на R-модулни хомоморфизми, (ϕ) Hom R (S n (X, R), R). С това получаваме съответствие : S n (Y, R) S n (X, R). Непосредствено се проверява, че са хомоморфизми на R-модули, доколкото (ϕ + ψ) = (ϕ + ψ) = ϕ + ψ = (ϕ) + (ψ) за ϕ, ψ S n (Y, R) = Hom R (S n (Y, R), R) и (rϕ) = (rϕ) = r(ϕ ) = r (ϕ) за r R. Остава да установим, че +1 d n Y = dn X. Наистина, за произволно ϕ S n (Y, R) е изпълнено +1 d n Y (ϕ) = +1 (ϕ Y n+1) = ϕ Y n+1+1 = ϕ X n+1 = d n X(ϕ ) = d n X (ϕ), защото : S n (X, R) S n 1 (Y, R) образуват морфизъм на сингулярните верижни комплекси и X n+1 S n+1 (X, R) S n (X, R) +1 Y n+1 S n+1 (Y, R) S n (Y, R) X n+1 = Y n+1+1. Следователно : S n (Y, R) S n (X, R) образуват морфизъм на сингулярните ко-верижни комплекси. Вече отбелязахме, че всеки морфизъм на ко-верижни комплекси индуцира хомоморфизми на съответните кохомологии. (ii) Достатъчно е да отбележим, че за ϕ S n (Z, R) е в сила (gf) n (ϕ) = ϕ(gf) n = ϕg n = (ϕg n ) = g n (ϕ), доколкото морфизмът (gf) : S (X, R) S (Z, R) на сингулярните верижни комплекси е композиция на морфизмите f : S (X, R) S (Y, R) и g : S (Y, R) S (Z, R). Оттук (gf) = f g и H((gf) n ) = H( g n ) = H( )H(g n ).,

5 2. СЪГЛАСУВАНОСТ С НЕПРЕКЪСНАТИ (ГЛАДКИ) ИЗОБРАЖЕНИЯ. 61 (iii) По определение, Id n : S n (X, R) S n (X, R) действа по правилото Id n (ϕ) = ϕid n = ϕ върху ϕ S n (X, R), доколкото Id = {Id Sn (X,R)} n=0. С други думи, Id n = Id S n (X,R), откъдето H(Id n ) = Id H n (X,R) за n 0, Q.E.D. Твърдение 6.8. Нека R е комутативен пръстен с единица. (i) Всяко гладко изображение f : M N на гладки многообразия индуцира морфизъм на гладките сингулярни ко-верижни комплекси 0 = S 1 (N, R) S (N, 0 R) S (N, n R) S n+1 (N, R)... f 1 d 1 N f 0 0 = S 1 d 1 M (M, R) S (M, 0 R) S (M, n R) dn M S +11 (M, R)... d n N откъдето и R-модулни хомоморфизми на гладките сингулярни кохомологии H( ) : H n (N, R) H n (M, R). (ii) Композицията на гладките изображения f : M N и g : N на гладки многообразия индуцира композицията (gf) = f g : S (P, R) S (M, R) на морфизмите g : S (P, R) S (N, R) и f : S (N, R) S (M, R) на гладките сингулярни ко-верижни комплекси, а оттам и хомоморфизмите H((gf) n ) = H( )H(g n ) : H n (P, R) H n (M, R) на гладките сингулярни кохомологии. (iii)тъждественото изображение Id : M M на гладко многообразие M индуцира тъждествения морфизъм Id = (Id n ) n=0, Id n = Id S n (M,R) на гладкия сингулярен ко-верижен комплекс на M и тъждествените хомоморфизми H(Id n ) = Id H n (M,R) на гладките сингулярни кохомологии Доказателство: Да отбележим само, че за произволна гладка сингулярна ко-верига ψ S (N, n R), композицията (ψ) := ψ се ограничава до гладка сингулярна ко-верига върху M, доколкото (Sn (M, R)) Sn (N, R) и ψ Hom R (Sn (N, R), R). С това получаваме R-модулен хомоморфизъм : S n (N, R) S n (M, R). Останалата част от доказателството повтаря Твърдение 6.7, Q.E.D. Следствие 6.9. Нека R е комутативен пръстен с единица. (i) Всеки хомеоморфизъм f : X Y на топологични пространства индуцира изоморфизъм f : S (Y, R) S (X, R) на съответните сингулярни ко-верижни комплекси, а оттам и R-модулни изоморфизми на сингулярните кохомологии H( ) : H n (Y, R) H n (X, R). (ii) Всеки дифеоморфизъм f : M N на гладки многообразия индуцира изоморфизъм f : S (N, R) S (M, R) +1 на гладките сингулярни ко-верижни комплекси, а оттам и изоморфизми на гладките сингулярни кохомологии. H( ) : H n (N, R) H n (M, R)

6 62 6. СИНГУЛЯРНИ И ГЛАДКИ СИНГУЛЯРНИ КОХОМОЛОГИИ. Доказателство: Ще проверим само (i), доколкото разсъждението за (ii) е аналогично. Съгласно Твърдение 6.7 (ii) и (iii) имаме и (f 1 ) n = (f 1 f) n = (Id X ) n = Id S n (X,R), (f 1 ) n = (ff 1 ) n = (Id Y ) n = Id Sn (Y,R). Следователно : S n (Y, R) S n (X, R) са изоморфизми на R-модули с ( ) 1 = (f 1 ) n, така че f : S (Y, R) S (X, R) е изоморфизъм на сингулярните коверижни комплекси, Q.E.D.

Глава 13 Пълни многообразия Определение Пред-многообразието X е отделимо, ако диагоналът = {(x, x) x X} е затворено подмножество на X X. Отделим

Глава 13 Пълни многообразия Определение Пред-многообразието X е отделимо, ако диагоналът = {(x, x) x X} е затворено подмножество на X X. Отделим Глава 13 Пълни многообразия Определение 13.1. Пред-многообразието X е отделимо, ако диагоналът = {(x, x) x X} е затворено подмножество на X X. Отделимите пред-многообразия X се наричат многообразия. Ако

Подробно

Глава 4 Раздуване на комплексно многообразие в точка. Векторни разслоения. Нека M е комплексно многообразие с размерност dim p M = n в точка p M. Разд

Глава 4 Раздуване на комплексно многообразие в точка. Векторни разслоения. Нека M е комплексно многообразие с размерност dim p M = n в точка p M. Разд Глава 4 Раздуване на комплексно многообразие в точка. Векторни разслоения. Нека M е комплексно многообразие с размерност dim p M = в точка p M. Раздуването на M в p заменя точката p с проективно пространство

Подробно

Лекция 1 Предварителни сведения за модули 1. Модули, бимодули Навсякъде в настоящия курс разглежданите пръстени R са асоциативни и имат единица 1 R, о

Лекция 1 Предварителни сведения за модули 1. Модули, бимодули Навсякъде в настоящия курс разглежданите пръстени R са асоциативни и имат единица 1 R, о Лекция 1 Предварителни сведения за модули 1. Модули, бимодули Навсякъде в настоящия курс разглежданите пръстени R са асоциативни и имат единица 1 R, освен ако не е специално указано. Да напомним, че асоциативен

Подробно

Глава 15 Въпрос 15: Оператор на Рейнолдс. Крайна породеност на пръстена от инвариантни полиноми на крайна матрична група. Навсякъде в настоящия въпрос

Глава 15 Въпрос 15: Оператор на Рейнолдс. Крайна породеност на пръстена от инвариантни полиноми на крайна матрична група. Навсякъде в настоящия въпрос Глава 15 Въпрос 15: Оператор на Рейнолдс. Крайна породеност на пръстена от инвариантни полиноми на крайна матрична група. Навсякъде в настоящия въпрос полето k е с характеристика char(k = 0. За произволни

Подробно

Глава 17 ζ-функция на Hasse-Weil. Преди да разгледаме ζ-функцията на Hasse-Weil трябва да въведем някои числови инварианти на крива, определена над кр

Глава 17 ζ-функция на Hasse-Weil. Преди да разгледаме ζ-функцията на Hasse-Weil трябва да въведем някои числови инварианти на крива, определена над кр Глава 7 ζ-функция на Hasse-Weil. Преди да разгледаме ζ-функцията на Hasse-Weil трябва да въведем някои числови инварианти на крива, определена над крайно поле. Лема 7.. Ако F е функционално поле на една

Подробно

Глава 12 Пред-многообразия Така както диференцируемите многообразия се моделират локално чрез евклидови пространства, така и квази-проективните многоо

Глава 12 Пред-многообразия Така както диференцируемите многообразия се моделират локално чрез евклидови пространства, така и квази-проективните многоо Глава 12 Пред-многообразия Така както диференцируемите многообразия се моделират локално чрез евклидови пространства, така и квази-проективните многообразия X се моделират локално с афинни многообразия.

Подробно

Глава 6 Диференциални форми. Лема на Poincare За да въведем ко-допирателното разслоение на гладко или комплексно многообразие, както и неговите външни

Глава 6 Диференциални форми. Лема на Poincare За да въведем ко-допирателното разслоение на гладко или комплексно многообразие, както и неговите външни Глава 6 Диференциални форми. Лема на Poincare За да въведем ко-допирателното разслоение на гладко или комплексно многообразие, както и неговите външни степени, са необходими някои предварителни сведения

Подробно

Глава 5 Критерий за субхармоничност Да разгледаме някои общи свойства на полу-непрекъснатите отгоре функции, преди да се съсредоточим върху онези от т

Глава 5 Критерий за субхармоничност Да разгледаме някои общи свойства на полу-непрекъснатите отгоре функции, преди да се съсредоточим върху онези от т Глава 5 Критерий за субхармоничност Да разгледаме някои общи свойства на полу-непрекъснатите отгоре функции, преди да се съсредоточим върху онези от тях, които са субхармонични. Лема-Определение 5.1. Нека

Подробно

Microsoft Word - VM22 SEC66.doc

Microsoft Word - VM22 SEC66.doc Лекция 6 6 Теорема за съществуване и единственост Метричното пространство C [ a b] Нека [ a b] е ограничен затворен интервал и да разгледаме съвкупността на непрекъснатите функции f ( определени в [ a

Подробно

Microsoft Word - IGM-SER1111.doc

Microsoft Word - IGM-SER1111.doc Лекция Редове на Фурие поточкова сходимост Теорема на Дирихле Тук ще разглеждаме -периодична функция ( ) която ще искаме да бъде гладка по части Това означава че интервала ( ) може да се раздели на отделни

Подробно

Глава 3 Крайнопородени алгебри и модули над ньотеров пръстен В настоящия въпрос са събрани някои предварителни сведения за доказателството на Теоремат

Глава 3 Крайнопородени алгебри и модули над ньотеров пръстен В настоящия въпрос са събрани някои предварителни сведения за доказателството на Теоремат Глава 3 Крайнопородени алгебри и модули над ньотеров пръстен В настоящия въпрос са събрани някои предварителни сведения за доказателството на Теоремата на Хилберт за нулите. Междувременно, направената

Подробно

Глава 10 Рационални диференциални 1-форми 1. Определение и структура на свободен модул на рационалните диференциални 1-форми около гладка точка Ако X

Глава 10 Рационални диференциални 1-форми 1. Определение и структура на свободен модул на рационалните диференциални 1-форми около гладка точка Ако X Глава 10 Рационални диференциални 1-форми 1. Определение и структура на свободен модул на рационалните диференциални 1-форми около гладка точка Ако X k n е квази-афинно многообразие над алгебрично затворено

Подробно

Microsoft Word - PRMAT sec99.doc

Microsoft Word - PRMAT sec99.doc Лекция 9 9 Изследване на функция Растене, намаляване и екстремуми В тази лекция ще изследваме особеностите на релефа на графиката на дадена функция в зависимост от поведението на нейната производна Основните

Подробно

Пръстени. Разглеждаме непразното множество R, което е затворено относно две бинарни операции събиране и умножение + : R R R : R R R. Казваме, че R е п

Пръстени. Разглеждаме непразното множество R, което е затворено относно две бинарни операции събиране и умножение + : R R R : R R R. Казваме, че R е п Пръстени. Разглеждаме непразното множество R, което е затворено относно две бинарни операции събиране и умножение + : R R R : R R R. Казваме, че R е пръстен, ако са изпълнени аксиомите 1.-4. за абелева

Подробно

Microsoft Word - PMS sec1212.doc

Microsoft Word - PMS sec1212.doc Лекция Екстремуми Квадратични форми Функцията ϕ ( = ( K се нарича квадратична форма на променливите когато има вида ϕ( = aij i j i j= За коефициентите предполагаме че a ij = a ji i j При = имаме ϕ ( =

Подробно

Глава 7 Рационални функции и изображения Да отбележим, че ако R е комутативна област с единица, то множеството S = R \ {0 R } на ненулевите елементи н

Глава 7 Рационални функции и изображения Да отбележим, че ако R е комутативна област с единица, то множеството S = R \ {0 R } на ненулевите елементи н Глава 7 Рационални функции и изображения Да отбележим, че ако R е комутативна област с единица, то множеството S = R \ {0 R } на ненулевите елементи на R е мултипликативно затворено и локализацията S 1

Подробно

Глава 11 Гладки и особени точки. Бирационалност на неприводимо многообразие с хиперповърхнина. Нека X k n е неприводимо афинно многообразие над алгебр

Глава 11 Гладки и особени точки. Бирационалност на неприводимо многообразие с хиперповърхнина. Нека X k n е неприводимо афинно многообразие над алгебр Глава 11 Гладки и особени точки. Бирационалност на неприводимо многообразие с хиперповърхнина. Нека X k n е неприводимо афинно многообразие над алгебрично затворено поле k, а X е точка от X. В Лема-Определение

Подробно

Microsoft Word - nbb2.docx

Microsoft Word - nbb2.docx Коректност на метода на характеристичното уравнение за решаване на линейно-рекурентни уравнения Стефан Фотев Пиша този файл, тъй като не успях да намеря в интернет кратко и ясно обяснение на коректността

Подробно

Глава 14 Теорема на Бенке-Зомер. Локална псевдоизпъкналост. Ще започнем с изучаване на една Теорема на Бенке-Зомер, известна под името Принцип за непр

Глава 14 Теорема на Бенке-Зомер. Локална псевдоизпъкналост. Ще започнем с изучаване на една Теорема на Бенке-Зомер, известна под името Принцип за непр Глава 14 Теорема на Бенке-Зомер. Локална псевдоизпъкналост. Ще започнем с изучаване на една Теорема на Бенке-Зомер, известна под името Принцип за непрекъснатост. За целта да напомним, че произволна n-торка

Подробно

ЛЕКЦИЯ 6 ЗАКОН ЗА ИНЕРЦИЯТА Определение. Броят на положителните коефициенти в каноничния вид на дадена квадратична форма се нарича положителен индекс

ЛЕКЦИЯ 6 ЗАКОН ЗА ИНЕРЦИЯТА Определение. Броят на положителните коефициенти в каноничния вид на дадена квадратична форма се нарича положителен индекс ЛЕКЦИЯ 6 ЗАКОН ЗА ИНЕРЦИЯТА Определение. Броят на положителните коефициенти в каноничния вид на дадена квадратична форма се нарича положителен индекс на инерцията на тази квадратична форма. Броят на отрицателните

Подробно

Глава 2 Ньотеровост и еднозначно разлагане на зародиши на холоморфни функции Продължаваме с изучаване на зародишите на холоморфните в 0 n C n функции.

Глава 2 Ньотеровост и еднозначно разлагане на зародиши на холоморфни функции Продължаваме с изучаване на зародишите на холоморфните в 0 n C n функции. Глава 2 Ньотеровост и еднозначно разлагане на зародиши на холоморфни функции Продължаваме с изучаване на зародишите на холоморфните в 0 n C n функции. Да напомним, че u O n точно когато u(0 n ) 0 В такъв

Подробно

Microsoft Word - VM-LECTURE06.doc

Microsoft Word - VM-LECTURE06.doc Лекция 6 6 Уравнения на права и равнина Уравнение на права в равнината Тук ще разглеждаме равнина в която е зададена положително ориентирана декартова координатна система O с ортонормиран базис i и j по

Подробно

Microsoft Word - IGM-SER1010.doc

Microsoft Word - IGM-SER1010.doc Лекция Редове на Фурие -теория Сведения за пространства със скаларно произведение В този раздел ще се занимаваме с периодични функции с период T > Една функция определена за всяко x R се нарича T -периодична

Подробно

Microsoft Word - IGM-CA2222ааа.doc

Microsoft Word - IGM-CA2222ааа.doc Лекция α Функциите e ln и Функциите e и ln Тук ще дадем още едно определение за експоненциалната функция което разбира се води до същия резултат както определението със степенен ред без да доказваме еквивалентността

Подробно

Частично рекурсивни, рекурсивни и примитивно рекурсивни функции. Рекурсивни и рекурсивно номеруеми множества Този текст съдържа някои сведения от теор

Частично рекурсивни, рекурсивни и примитивно рекурсивни функции. Рекурсивни и рекурсивно номеруеми множества Този текст съдържа някои сведения от теор Частично рекурсивни, рекурсивни и примитивно рекурсивни функции. Рекурсивни и рекурсивно номеруеми множества Този текст съдържа някои сведения от теорията на изчислимостта, които ще се предполагат известни

Подробно

Microsoft Word - VM22 SEC55.doc

Microsoft Word - VM22 SEC55.doc Лекция 5 5 Диференциални уравнения от първи ред Основни определения Диференциално уравнение се нарича уравнение в което участват известен брой производни на търсената функция В общия случай ( n) диференциалното

Подробно

16. Основни методи за интегриране. Интегриране на някои класове функции Интегриране по части. Теорема 1 (Формула за интегриране по части). Ако

16. Основни методи за интегриране. Интегриране на някои класове функции Интегриране по части. Теорема 1 (Формула за интегриране по части). Ако 6. Основни методи за интегриране. Интегриране на някои класове функции. 6.. Интегриране по части. Теорема (Формула за интегриране по части). Ако функциите f(x) и g(x) садиференцируеми в интервала (a, b)

Подробно

СОФИЙСКА МАТЕМАТИЧЕСКА ГИМНАЗИЯ ТУРНИР ПО МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА "ЗА ТОРТАТА НА ДИРЕКТОРА" ТЕМА ПО МАТЕМАТИКА КЛАС Задача 1. Дадена е двуизмер

СОФИЙСКА МАТЕМАТИЧЕСКА ГИМНАЗИЯ ТУРНИР ПО МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА ЗА ТОРТАТА НА ДИРЕКТОРА ТЕМА ПО МАТЕМАТИКА КЛАС Задача 1. Дадена е двуизмер СОФИЙСКА МАТЕМАТИЧЕСКА ГИМНАЗИЯ ТУРНИР ПО МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА "ЗА ТОРТАТА НА ДИРЕКТОРА" ТЕМА ПО МАТЕМАТИКА 10-11 КЛАС Задача 1. Дадена е двуизмерна огледална стая във формата на правилен шестоъгълник

Подробно

(не)разложимост на полиноми с рационални коефициенти Велико Дончев Допълнителен материал за студентите по Висша алгебра и Алгебра 2 на ФМИ 1 Предварит

(не)разложимост на полиноми с рационални коефициенти Велико Дончев Допълнителен материал за студентите по Висша алгебра и Алгебра 2 на ФМИ 1 Предварит (не)разложимост на полиноми с рационални коефициенти Велико Дончев Допълнителен материал за студентите по Висша алгебра и Алгебра 2 на ФМИ 1 Предварителни сведения и твърдения Както е ясно от основната

Подробно

Лекции по математика за Биолози ( Т. Боев, ФМИ - БФ ) О П Р Е Д Е Л Е Н И И Н Т Е Г Р А Л И (кратък вариант) 0.1. Уводни бележки. а) Интеграли и лица

Лекции по математика за Биолози ( Т. Боев, ФМИ - БФ ) О П Р Е Д Е Л Е Н И И Н Т Е Г Р А Л И (кратък вариант) 0.1. Уводни бележки. а) Интеграли и лица Лекции по математика за Биолози ( Т. Боев, ФМИ - БФ ) О П Р Е Д Е Л Е Н И И Н Т Е Г Р А Л И (кратък вариант).. Уводни бележки. а) Интеграли и лица на фигури. Класическият въпрос за пресмятане лицата (

Подробно

036v-b.dvi

036v-b.dvi МАТЕМАТИКА И МАТЕМАТИЧЕСКО ОБРАЗОВАНИЕ, 2010 MATHEMATICS AND EDUCATION IN MATHEMATICS, 2010 Proceedings of the Thirty Ninth Spring Conference of the Union of Bulgarian Mathematicians Albena, April 6 10,

Подробно

Примерни задачи за линейни изображения уч. год. Задача 1. В линейното пространство V с базис e 1, e 2, e 3 са дадени векторите a 1 = e 1 +

Примерни задачи за линейни изображения уч. год. Задача 1. В линейното пространство V с базис e 1, e 2, e 3 са дадени векторите a 1 = e 1 + Примерни задачи за линейни изображения - 21-211 уч год Задача 1 В линейното пространство V с базис e 1, e 2, e 3 са дадени векторите a 1 = e 1 + e 2 + pe 3, a 2 = e 1 + e 2 + (p + qe 3, a 3 = 2e 1 + 3e

Подробно