Семинар 1: Комплексни числа. Функции на комплексна променлива.

Препис

1 Семинар 1: Комплексни числа. Функции на комплексна променлива. Комплексно число, с: c z (, ) + + j а Re[c] реална част; Im[c] имагинерна част; j 1 r c + - модул на комплексното число (к. ч.). tg ϕ, ϕ rg c - аргумент на комплексното число (к. ч.). c r cos ϕ+ sn ϕ ( ) c r( cos ϕ+ sn ϕ ); r c + ; cos ϕ ; sn ϕ + + Уравнение на Oйлер: е ϕ cos ϕ+ sn ϕ c re ϕ Намиране на аргумента на едно к.ч.: 1. Чрез пресмятане на cos(ϕ) и sn(ϕ) и използване на единична окръжност. 1

2 . Чрез пресмятане на ϕ rctn(, ), дефиниран в границите (-π, π]. rctn rctn(, ) rctn + + rctn > rctn + π <, rctn π <, < rg( c) ϕ rctn rctn(, ) π, > π, < неопределен, Действия между комплексни числа: c1 ( 1, 1) 1+ 1 ; c (, ) + ± ( + ) ± ( + ) ; c cc ( ) + ( + ) c c c c c c 1 ( r ϕ 1 ϕ ( ϕ1+ ϕ ) 1e )( re ) r1 re

3 c + c + c c c c ϕ1 1 r1 e r1 ( ϕ1 ϕ ) e ϕ r r e Комплексно спрегнати числа: c + и c са комплексно спрегнати Имат един и същ модул: c c ( + )( ) ( ) + r e ϕ cos ϕ snϕ cos( ϕ ) + sn( ϕ ) e c + ( ) + c r ϕ cosϕ + snϕ e cosϕ snϕ e ϕ ϕ c ( + ) ( + )( + ) + + c ( ) ( )( + ) ϕ c re ϕ tgϕ e cos ϕ + sn ϕ ; tgϕ c ϕ re 1 tg ϕ Формула на Моавър ϕ n ( ) ( cos sn ) n n c re r n n ϕ+ ϕ Намиране на корен n-ти n n ϕ+ kπ ϕ+ kπ c rcos + sn ; k,1,..., n 1 n n Задача 1. Определете реалната и имагинерната част на комплексните числа: (а) ; (б) ; (в) + ; (г) 1 ; Задача. Определете модула и аргумента на на комплексните числа: (а) ; (б) ; (в) + ; (г) 1 ; Задача. Определете модула и аргумента на на комплексните числа: (а) + ; (б) - ; (а) c + ; а Re[c], Im[c], r c + + tg ϕ ϕ rctn(/) 6.9. (б) c - ; а Re[c], Im[c] -, r c ( ) + +

4 tgϕ ϕ rctn(-/) Задача. Пресметнете изразите: 1 1 (а) ; (б) 1+ ; (в) ( 1 )( + ) ( 1+ )( ) 1 1 ( 1 )( ) ( 1 )( ) + 1 (а) 1 + ( + )( ) ( ) ( 1) 1 ( 1 )( 1 ) (б) ( )( ) ( ) (в) ( 1 )( + ) ( 1 )( 1 )( + )( + ) ( 1+ )( ) ( 1+ )( 1 )( )( + ) ( 1 + )( + + ) ( 1 )( ) Задача. Намерете всички корени на уравнението ω + ϕ ω c re [ ] [ ] Re c ; Im c ( ) r + + ϕ ϕ π ; tg π π ω e cos + sn π π + kπ k cos + π sn n n 1 π + πk n ω e + π π π 11π π ( + ) π π π π k ω e cos + sn ; k 1ω e cos + sn π 7π 11π 11π k ω e cos + sn ; k ω e cos + sn π π π k ω e cos + sn. Задача 6. Като използвате формулата на Моавър намерете стойността на израза: 1 +

5 π z + r 1; tg + ϕ ϕ π 1 1π 6 6 π cos sn 1e e e cos sn 1 + π π + ( π+ π ) 6 6 Задачи за домашно Намерете стойностите на изразите: ) ( + ) ; б) ( 1 )( ) ( )( ) ( 1+ ) ( + ) в) ( 1 )( + ) Намерете всички корени на уравненията: ) ω 8 + ; б) ω в) ω ; г) ω ( 1+ ) Диференциране на функция на комплексна променлива. Теорема на Коши-Риман. Теорема 1. Ако функцията w f ( z) u( x, y) v( x, y) + e диференцируема в точката z x +y, то съществуват първите частни производни на функциите u(x,y) и v(x,y), при което в тази точка са в сила равенствата: (условия на Коши-Риман) Теорема. Ако в точката (x,y) съществуват първите частни производни на функциите u(x,y) и v(x,y), и са изпълнени условията на Коши-Риман, то функцията w f z u x, y + v x, y e диференцируема в тази точка. ( ) ( ) ( ) Дефиниция: Ако една функция f(z) е диференцируема във всяка точка на дадена област S от комплексната равнина, то функцията f(z) се нарича аналитична в областта S. f '( z) + + Задача 7. Дадена е функцията ( ) ( ) f z x y + xy като z x +y. Проверете дали f(z) е диференцируема и намерете f ', ако е диференцируема. u x, y x y ; v x, y xy ( ) ( ) ( )

6 ; x x y; y; Условията на Коши-Риман са изпълнени и функцията е диференцируема в цялата комплексна равнина. Нейната производна е: f '( z) + x+ y z Задача 8. Дадена е реалната част на диференцируемата функция f ( z) uxy (, ) + vxy (, ), u( x, y) x y x, като z x +y. Намерете функцията f ( z) uxy (, ) vxy (, ) (, ) ( ) u x y x y x +. x 1 x 1 dv x 1 dy v x, y x 1 y+ C x u y dc ( xy y + C ( x) ) y + dx dc dc y y + C ( x) const A dx dx v x, y xy y+ A ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (, ) (, ) ( ) ( ) ( ) ( ) f z u x y + v x y x y x + xy y+ A x+ y x+ y + A ( ) + ; ( ) f z z z A 1 Задача 9. f ' z + x 1+ y z 1 Дадена е имагинерната част на диференцируемата функция f ( z) uxy (, ) vxy (, ) v( x, y) snxsnh y, като z x +y. Намерете функцията f ( z) uxy (, ) + vxy (, ). v x, y snxsnh y ( ) cos xsnh y cos xsnh y ( ) ( ) u cos xsnh y u x, y cos xcosh y+ C x +, 6

7 v sn xcosh y; dc ( cos xcosh y+ C( x) ) sn xcosh y+ dx dc sn x cosh y sn x cosh y + C ( x) const A dx u x, y cosxcosh y+ A ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f z u x, y + v x, y cos xcosh y+ A+ sn xsnh y cos x+ y + A cos z+ A f '( z) + sn xcosh y+ cos xsnh y sn ( x+ y) sn z Задачи за домашно: 1. Дадена е функцията f ( z) ( x xy ) ( x y y ) намерете f ', ако е диференцируема. + проверете дали е диференцируема и. Дадена е функцията f ( z) sn xcosh y+ cos xsn y проверете дали е диференцируема и намерете f ', ако е диференцируема.. Дадена е реалната част на диференцируемата функция f ( z) uxy (, ) + vxy (, ), u( x, y) x cos( yln), като z x +y. Намерете функцията f ( z) uxy (, ) + vxy (, ).. Дадена е имагинерната част на диференцируемата функция f ( z) uxy (, ) vxy (, ) v( x, y) x+ y, като z x +y. Намерете функцията f ( z) uxy (, ) + vxy (, ). +, 7