Глава 17 ζ-функция на Hasse-Weil. Преди да разгледаме ζ-функцията на Hasse-Weil трябва да въведем някои числови инварианти на крива, определена над кр

Препис

1 Глава 7 ζ-функция на Hasse-Weil. Преди да разгледаме ζ-функцията на Hasse-Weil трябва да въведем някои числови инварианти на крива, определена над крайно поле. Лема 7.. Ако F е функционално поле на една променлива с крайно поле от константи F q, то за всяко естествено число съществуват краен брой A F N ефективни дивизори на F от степен. Доказателство: Нека D = v v, v 0 е ефективен дивизор от степен vpf degd = v degv =. Коефициентите v 0 са неотрицателни, а степените degv са естествени, така че за всички v PF с v 0 имаме v и degv. Достатъчно е да докажем, че за всяко естествено число d съществуват краен брой B d F класове дискретни нормирания v PF от степен d. Еквивалентно, за d N съществуват краен брой B d F F q -затворени точки на X от степен d. Всички F q -затворени точки от степен d са F q d-рационални, така че е достатъчно да установим крайността на броя на F q d-рационалните точки на X за да докажем лемата. Ако пълната гладка крива X с функционално поле F q X = F над F q се влага в проективното пространство P m F q, то F q d-рационалните точки XF q d P m F q d на X се съдържат в F q d-рационалните точки на P m F q, чийто брой е P m F q d = F q dm+ \ {0,..., 0} F q d = qdm+ q d <, Q.E.D. Да означим с NF броят на F q -рационалните точки на функционалното поле на една променлива F над F q. Ясно е, че NF = B F съвпада с броя на рационалните класове дискретни нормирания, т.е. с броя на класовете дискретни нормирания от степен. За всяко естествено разглеждаме функционалното поле на една променлива F = F F q над F q и означаваме с N F = NF броя на F q -рационалните точки на X. Определение 7.2. Ако N F е броят на F q -рационалните точки на гладка проективна крива X с функционално поле F q X = F над F q, то формалният степенен ред N F ζf, t = exp t = на t се нарича ζ-функция на Hasse-Weil на F. Пример 7.3. Функционалното поле F q P на проективната права P F q има ζ-функиця на Hasse-Weil ζf q P, t = qt t. 227

2 ζ-функция НА HASSE-WEIL. Доказателство: За всяко естествено число проективната права P F q има N F q P = P F q = F q 2 \ {0, 0} F q = q2 q = q + F q -рационални точки. По определение, ζf q P q +, t = exp t qt t = exp exp. = Използваме развитието в Тейлъров ред log x = = около x = 0, вземайки предвид, че производните Оттук и Q.E.D. = log x =! x за N. x x = e log x = exp = ζf q P, t = qt. t, x Лема 7.4. За произволно функционално поле на една променлива F с поле от константи F q е в сила ζf, t = t, degv където произведението е по класовете дискретни нормирания v PF на F. Доказателство: Ако B d F е броят на класовете дискретни нормирания v PF от степен degv = d, то Оттук, log t = degv t d. B df d= d= = B t degv d F log t d = d= = = B d F td. Чрез полагането m = d и размяна на реда на сумиране получаваме log = db t degv d F tm m. d/m Остава да забележим, че m= db d F = N m F, d/m защото точка P X е F q m-рационална тогава и само тогава, когато принадлежи на F q -затворена точка от степен d, деляща m и B d F е броят на F q - затворените точки от степен d, Q.E.D.

3 7. ζ-функция НА HASSE-WEIL. 229 Лема 7.5. За произволно функционално поле на една променлива F с поле от константи F q е в сила ζf, t = A F t, където A F е броят на ефективните дивизори на F от степен. Доказателство: Съгласно Лема 7.4, достатъчно е да проверим, че =0 t = A degv F t. Представяме множителите на лявата страна като суми на безкрайни геометрични прогресии t = t m degv degv и получаваме t = degv =0 t m degv. 7. За всяко неотрицателно цяло число, събираемото t на формалния степенен ред 7. се получава от класовете дискретни нормирания v PF и неотрицателните цели m v, за които m v degv =. Оттук, коефициентът на t в 7. е равен на броя A F на ефективните дивизори D = m v v от V PF степен degd = m v degv = и Q.E.D. t = A degv F t, Лема 7.6. Нека F е функционално поле на една променлива с поле от константи F q, ω = e 2πi е примитивен -ти корен на единицата в C, а F = F F q. Тогава ζf, t = j=0 =0 ζf, ω j t. Доказателство: Лема 7.4 свежда твърдението на лемата към равенството w PF t = degw j=0 t degv ω j degv Произволен клас дискретни нормирания w PF на F се ограничава до клас дискретни нормирания v PF на F. Ако P v F е множеството на класовете дискретни нормирания w PF, които се ограничават до w F = v PF, то PF = P v F. Достатъчно е да докажем, че за всяко v PF е в сила w P vf t = degw t degv ω j degv Ако v PF е от степен degv = d и δ = GCDd, е най-големият общ делител на d и, токомплексното число ω d = e 2πid е примитивен корен на единицата

4 ζ-функция НА HASSE-WEIL. от степен GCDd, = δ. Следователно множеството { ω jd 0 j δ } δ се състои от корените на единицата от степен δ, всеки от които е записан δ пъти. Достатъчно е да докажем равенството за ω d = e 2πi d. Наистина, δ t d ωd s = t d δ t d δ = δ δ t d ωd s s=0 t d ωd s = t d δ t d δ = t d δ, s=0 s=0 съгласно x δ = δ x ωd s, Q.E.D. s=0 Да напомним, че дивизорите D и D 2 на функционално поле на една променлива F се наричат линейно еквивалентни, ако разликата им D D 2 = divf е дивизор на рационална функция f F. Класът на линейна еквивалентност на дивизор D означаваме с [D]. Дивизорът divf на f F е от степен 0, така че групата divf, + на главните дивизори е подгрупа на групата Div 0 F, + на дивизорите на F от степен 0. Лема 7.7. Дивизорите Div 0 F от степен 0 на функционално поле на една променлива F се разбиват в краен брой hf класове на линейна еквивалентност. Ако F има дивизор от степен N, то множеството Div F на дивизорите на F от степен се състои от hf класа на линейна еквивалентност. Доказателство: Ако кривата X с функционално поле F q X = F е от род g, избираме дивизор D DivF от степен degd = d g. По теоремата на Riema, ld degd g +, така че съществува рационална функция f LD \ {0} и ефективен дивизор D + divf 0 от степен d, линейно еквивалентен с D. Съгласно Лема 7., съществуват краен брой A d F ефективни дивизори на F от степен d = degd = degd + divf, така че ефективните дивизори, линейно еквивалентни с D са краен брой. Ако съществува D DivF от степен degd = m, то класовете на линейна еквивалентност на дивизорите D Div m F от степен m са във взаимно еднозначно съответствие с класовете на линейна еквивалентност на дивизорите Div 0 F от степен 0. По-точно, ако фиксираме класа на линейна еквивалентност [D] на D Div m F, то произволен клас на линейна еквивалентност [H] на дивизор H от степен m отговаря на едназначно определен клас на линейна еквивалентност [H D] на дивизор H D Div 0 F от степен 0. Използвайки споменатото съответствие между класовете на линейна еквивалентност на дивизорите от степен m g и дивизорите от степен 0 получаваме съществуването на краен брой hf класове на линейна еквивалентност на дивизорите от степен 0. След това прилагаме споменатото съответствие за прозволно m, за което съществува дивизор D DivF от степен degd = m, Q.E.D. Ще изброим ефективните дивизори, които са линейно еквивалентни с D, в зависимост от размерността ld на линейната система LD на D. Ако ld, то f LD\{0} тогава и само тогава, когато D+divf е ефективен дивизор, линейно еквивалентен с D. Броят на f LD \ {0} F ld q \ {0,... 0} е q ld. Главните дивизори divf = divg съвпадат тогава и само тогава, когато div = 0 и f g F q. Оттук, броят на ефективните дивизори на F, f g

5 7. ζ-функция НА HASSE-WEIL. 23 линейно еквивалентни с D е q ld q. Ако съществува D DivF от степен, то множеството Div F на дивизорите на F от степен се състои от hf класа на линейна еквивалентност [D ],..., [D hf ] и броят на ефективните дивизори на F от степен е A F = hf i= q l[di]. 7.3 q Ако degd = > 2g 2, то Теоремата на Riema е изпълнена с равенство и ld = degd g + = g +. В резултат, A F = hf q + g. q Твърдение 7.8. За произволно функционално поле на една променлива F с крайно поле от константи F q, ζ-функцията на Hasse-Weil ζf, t е рационална функция на t, т.е. частно на полиноми на t. Доказателство: Да напомним, че степента на дивизор deg : DivF, + Z, + е хомоморфизъм на групата DivF на дивизорите на F. Образът imdeg е ненулева подгрупа на безкрайната циклична група Z, +, така че imdeg = kz за някое k N. Естествените числа, които не се делят на k не са в образа на deg и не съществуват ефективни дивизори на F от степен. Следователно A F = 0 за N \ kn и ζf, t = A km F t km. съгласно Лема 7.5. Да предположим, че F е от род gf. Заместваме 7.3 в горното равенство и отделяме полинома 2g 2 hf f t = q l[dkm i ] t km Z[t] q i= от степен degf k2g 2, където [D km ],..., [D km hf ] са класовете на линейна еквивалентност на дивизорите на F от степен km. Тогава ζf, t f t = hf q km+ g t km q m>2g 2 е формален степенен ред с цели коефициенти, който се представя във вида hf ζf, t f t = q km+ g t km f 2 t q чрез полинома f 2 t = 2g 2 hf q km+ g t km Z[t] q от степен degf 2 = k2g 2. Непосредствено се пресмята, че ζf, t f t + f 2 t = hf q q g qt km hf t km = q

6 ζ-функция НА HASSE-WEIL. = hf q g q q k t k t k по формулата за сума на безкрайна геометрична прогресия. Това доказва, че ако F е от род gf, то ζf, t е частно на полиноми на t. В случая gf = 0 имаме A F = hf q q+ за N, така че hf ζf, t = q km+ [ ] t km hf q = qt km hf t km = q q q hf q = q. q k t k hf q. t k и hf q ζf, t = [tk q k q + q ] q k t k t k също е рационална функция на t, Q.E.D. 7.4 Следствие 7.9. Ако F е функционално поле на една променлива с поле от константи F q, то за всяко естествено число съществува дивизор D DivF на F от степен degd =. Доказателство: Достатъчно е да установим, че F има дивизор D DivF от степен degd =. В означенията от доказателството на Твърдение 7.8 представяме ζf, t = f t f 2 t + hf q g q q k t k t k, където k е минималната естествена степен на дивизор на F. За да докажем, че k = забелязаваме, че ζf, t има прост полюс в t =. Понеже t = е прост корен на полинома t k, формалният степенен ред ζf k, t k има прост полюс в t =. Съгласно Лема 7.6 ζf k, t k = hf ζf, ω j k t = i= j=0 ζf, ω j kt, където всички множители i ] t km q q l[dkm са равни помежду си и представляват степенни редове на t k. В резултат, ζf k, t k = ζf, t k, така че ζf k, t k има полюс с кратност k в t =. Понеже ζf k, t k има прост полюс в t =, оттук следва k = и F има дивизор D DivF от степен degd =, Q.E.D. Като частен случай на Следствие 4.3, ако функционалното поле на една променлива F е от род gf = 0, то F има ефективен дивизор D DivF от степен degd =, т.е. клас дискретни нормирания D = v PF от степен degv =. Наистина, ако D DivF е необезателно ефективен дивизор от степен degd =, то по Теоремата на Riema имаме ld degd gf + = 2. Следователно съществува f LD \ {0} и ефективен дивизор D 0 = D + divf 0 от степен degd 0 = degd =. В представянето D 0 = v v с v 0 и degv N има едиствен ненулев коефициент vo = и D 0 = v o е клас дискретни нормирания от степен degv o =. Съгласно Следствие 4.4, F = F q P F q е функционалното поле на проективната права P F q тогава и само тогава, когато F е от род gf = 0 и съществува клас дискретни нормирания v o на F от степен degv o =. Направените разглеждания установяват, че F = F q P F q точно когато F е от род gf = 0.

7 7. ζ-функция НА HASSE-WEIL. 233 Следващото твърдение конкретизира числителя на ζ-функцията на Hasse-Weil при знаменател qt t. Твърдение 7.0. За произволно функционално поле на една променлива F с поле от константи F q съществува полином LF, t Z[t], така че ζf, t = LF, t qt t, deg LF, t 2g, LF, 0 = и LF, = hf е броят на класовете на линейна еквивалентност на дивизорите на F от степен 0. Доказателство: Ако F е от род gf = 0, то вече знаем, че ζf, t = qt t, така че твърдението е изпълнено с LF, t Z[t]. От 7.4 следва, че функционалното поле F = F q P F q на проективната права P F q има hf = или за всяка естествено число, дивизорите на F q P F q от степен са линейно еквивалентни помежду си. Оттук нататък ще предполагаме, че gf. В означенията от Твърдение 7.8 полагаме ft := f t f 2 t Z[t] и представяме ζf, t = ft + hf q q g qt t чрез полинома ft от степен degf 2g 2. След привеждане под общ знаменател получаваме hf [ ft qt t + q q g t qt ] ζf, t = 7.5 qt t и определяме полинома LF, t = ft qt t + hf q [q g t qt] = ζf, t qt t на t от степен deg LF, t 2g. Да отбележим, че полиномът LF, t на t е с цели коефициенти, защото се представя като произведение LF, t = qt tζf, t = qt t A F t на полинома qt t с цели коефициенти и формалния степенен ред ζf, t = A F t с цели коефициенти. Непосредствено се пресмята, че =0 LF, 0 = [ qt tζf, t] t=0 = ζf, 0 = exp а LF, = = =0 N F t t=0 = exp0 =, { ft qt t + hf [ q g t qt ]} t=0 = q = hf q = hf, q Q.E.D. Ще докажем, че L-полиномът LF, t на функционално поле на една променлива F от род gf или, еквивалентно, ζ-функицята ζf, t се определят еднозначно от N F,..., N gf F, където N i F = NF i е броят на F q i-рационалните точки на гладката проективна крива X с F q X = F. За целта ни трябва следната

8 ζ-функция НА HASSE-WEIL. Лема 7.. Ако ζf, t е ζ-функцията на Hasse-Weil на функционалното поле на една променлива F с род gf = g, то рационалната функция t g ζf, t се запазва при заместване на t с qt, т.е. t g ζf, t = Доказателство: Съгласно Лема 7.5, t g ζf, t = qt g ζ F,. qt A F t + g =0 за броя A F на ефективните дивизори на F от степен. Да забележим, че формалният степенен ред >2g 2 A F t + g = >2g 2 hf q q+ g t + g зависи само от рода g на F и броя hf на класовете на линейна еквивалентност на дивизорите на F от фиксирана степен, докато първите 2g събираеми 2g 2 =0 A F t + g = 2g 2 =0 hf i= q [D i ] q t + g зависят от размерностите l[d i ] на линейните системи на представителите D,..., D hf на класовете на линейна еквивалентност на дивизорите Div F от степен. Полагаме Xt := да бъде онази част от 2g 2 =0 2g 2 =0 hf, 0 2g 2. Означаваме с Y t := t g ζf, t Xt = hf i= q l[d i ] q t+ g A F t + g, която зависи от l[d i ] за i =2g hf q q+ g t + g =0 hf q t+ g останалите събираеми на t g ζf, t. След сумиране на двете безкрайни геометрични прогресии получаваме Y t = hf q g t g q qt t g. t Нeпоследствено се пресмята, че Y = hf q g, qt q q g t g q qt q g t g qt Y = hf [ ] t qt q t g t qt q g t g, qt Y = hf q g t g qt q qt t g = Y t. t

9 Остава да докажем, че X 7. ζ-функция НА HASSE-WEIL. 235 qt = Xt, за да получим, че t g ζf, t = Xt + Y t се запазва под действие на трансформацията t qt. За целта представяме Xt = q l[d] t deg[d]+ g q [D],0 deg[d] 2g 2 като сума по класовете [D] на линейна еквивалентност на дивизорите D DivF от степен 0 degd 2g 2. Замяната на t с qt дава X = q l[d] deg[d] +g t g deg[d]. qt q [D],0 deg[d] 2g 2 По Теорема 22 на Riema-Roch, за произволен F q -линеен диференциал ω Ω \ {0} е в сила X = q l[divω D] t deg[divω D] g+, qt q [D],0 deg[d] 2g 2 съгласно degdivω = 2g 2. Непосредствено се проверява, че съответствието D divω D индуцира пермутация на дивизорите D DivF от степен 0 degd 2g 2, така че X qt = q [divω D],0 deg[divω D] 2g 2 q l[divω D] t deg[divω D] g+ = = q l[h] t deg[h] g+ = Xt. q [H],0 deg[h] 2g 2 Това доказва, че t g ζf, t = qt ζ F, g qt, Q.E.D. Лема 7. дава функционално уравнение за L-полинома LF, t на F. Поточно, от t g LF, t t qt = t g ζf, t = q g t g ζ получаваме, че Ако LF, t = 2g a i i с a i Z, то LF, t = q g t 2g L F, qt LF, t = q g t 2g L F,. qt = q g t 2g 2g a i q i t i = F, q g t g+ L F, qt = qt qt t 2g a i q g i t 2g i = 2g j=0 a 2g j q j g t j след замяна на индекса на сумиране 0 i 2g с 0 j = 2g i 2g. Сравнявайки коефициентите в получаваме 2g a i t i = LF, t = 2g j=0 a 2g j q j g t j a i = q i g a 2g i за 0 i 2g. В частност, старшият коефициент a 2g = q g a 0 = q g, съгласно a 0 = LF, 0 =. По този начин, коефициентите a 0 =, a,..., a g на LF, t определят еднозначно коефициентите a g+,..., a 2g, a 2g = q g. За определянето на a,..., a g

10 ζ-функция НА HASSE-WEIL. разглеждаме LF, t = ζf, t t qt = exp =0 N F t t qt и пресмятаме логаритмичната производна d dt log LF, t = N F t t q qt. Представяме t = t = =0 = = t и qt = q t =0 = q t като суми на безкрайни геометрични прогресии и получаваме d dt log LF, t = N F t t q q t = Ако положим то получаваме = = d dtlf, t LF, t = N F q t. = = S F = N F q +, 7.6 = d dt log LF, t = S F t. 7.7 Замествайки LF, t = 2g a i t i и d dt LF, t = 2g ia i t i представяме 2g i= ia i t i = d dt LF, t = 2g i= = a i t i S F t. = Сравняването на коефициентите на t i за i 2g дава i ia i = a j S i j F. 7.8 j=0 Числата S i = N i F q i + се определят еднозначно от N i F. Следователно N F,..., N g F определят еднозначно S F,..., S g F, които от своя страна задават еднозначно a,..., a g по формулите 7.8 за i g.