Прост граф Един граф се състои от множество от върхове и множество от ребра. Едно ребро е двойка от върхове.
|
|
- Цеко Енчев
- преди 3 години
- Прегледи:
Препис
1 Теория на графите
2 Основни понятия
3 Прост граф Един граф се състои от множество от върхове и множество от ребра. Едно ребро е двойка от върхове. връх ребро Наричаме графа прост, ако между всеки два върха няма повече от едно ребро и нямаме ребро, чиито два края са един и същ връх.
4 Прост граф
5 Граф с примки примка примка е ребро, което има за краища един и същ връх примка
6 Мултиграф мултиграф е граф, в който между два върха може да има повече от едно ребро
7 Различни начини да представим граф v 1 v 2 v 3 списък Върхове: v 1, v 2, v 3, v 4 Ребра: v 1 v 2, v 1 v 3, v 1 v 4, v 2 v 4, v 3 v 4 v 1 v 2 v 3 v 4 картинка v 4 v v v таблица v
8 Примери за обекти, които можем да превърнем в графи
9 Частична карта на интернет през Картата представлява граф, чиито върхове са IP адреси. Между два върха има ребро, ако двата адреса имат директна връзка помежду си. By The Opte Project - Originally from the English Wikipedia; description page is/was here., CC BY 2.5, php?curid=
10 By RedAndr - self-made, the image was rendered by the ViewMol3D programs, CC BY-SA 3.0, Модел на молекулата на захарозата. Можем да получим граф, в който върховете съответстват на атоми, а ребрата съответстват на химични връзки между атомите.
11 By!Original:Kjell AndréVector: DTR - Vectorisation of Tetrahedron.jpg, CC BY- SA 3.0, p?curid= By User:DTR - Vectorisation of Image:Hexahedron.jpg, CC BY- SA 3.0, /index.php?curid= By User:Stannered - Vectorisation of Image:Octahedron.jpg, CC BY- SA 3.0, ndex.php?curid=
12
13 By Ikonact - Собствена творба, CC BY-SA 3.0,
14 Познанства между хора Ани, Бети, Виктор, Гого, Диди и Емил пътуват в едно купе. Ани се познава с Емил и Гого, Виктор познава Диди, а Емил познава Бети, Диди, Гого и Виктор. Гого познава Бети и Виктор. Колко души познава Виктор? (Начетайте графа, съответстващ на познанствата. Всички познанства са взаимни.) Бети Виктор Ани Гого Диди Емил
15 Два върха, свързани с ребро, се наричат съседи. Степента на един връх е броят на съседите му. Черният връх на картинката има степен 5.
16 Каква е степента на всеки от върховете? Колко е сумата от степените на върховете на всеки граф? Колко ребра има във всеки от графите? Граф 1 Сума: 12 Ребра: 6 Граф 2 Сума: 24 Ребра: 12 Сума: 24 Ребра: 12 Граф 3
17 Каква е степента на всеки от върховете? Колко е сумата от степените на върховете? Колко ребра има в графа? Русе Мездра Горна Оряховица Варна Карнобат Сума: 14 Ребра: 7
18 Сборът от степените на върховете в един граф е два пъти по-голям от броя на ребрата. Нека броят ребра е r. Всяко ребро има два края, следователно общия брой краища е 2r. От друга страна, можем да преброим краищата по друг начин. Нека графът има върхове v 1, v 2,, v n и степента на връх v i е d i. Един връх е край на толкова ребра, колкото е степента му. Това означава, че общият брой краища на ребра, е d 1 + d d n. Това дава 2r = d 1 + d d n
19 Разходки, пътища и цикли
20 Разходка V1 V2 V3 V6 V5 V0 V4 V7 V0 V1 V2 V3 V4 V5 V6 V2 V7 Поредица от върхове, такива, че между всеки два последователни съществува ребро, се нарича разходка.
21 Път V1 V2 V3 V5 V0 V4 V0 V1 V2 V3 V4 V5 Разходка, която не минава повече от веднъж през никой връх, наричаме път.
22 Цикъл V2 V1 V3 V0 V4 V6 V0 V1 V2 V3 V4 V5 V6 V5 Разходка, която не минава повече от веднъж през никой връх (без първия и последния) и се връща във върха, от който е започнала, се нарича цикъл.
23 Ако между два върха A и B съществуват два различни пътя, то в графа има цикъл. V1 V2 V3 B = V5 A = V0 V6 V4 V7 V9 V0 V1 V2 V3 V4 V5 V8 V0 V1 V2 V6 V7 V8 V9 V4 V5
24 Доказателство: Нека двата пътя между А и B са Av 1 v 2 v k B и Aw 1 w 2 w l B (където приемаме A = v 0 = w 0 и B = v k+1 = w l+1. Нека v i е първият връх от път 1, такъв че v i+1 w i+1 (такъв връх съществува, понеже пътищата са различни). Нека v j е първият връх от път 1 след v i, който присъства и в път 2 (такъв връх съществува, понеже B е и в двата пътя). V0 V1 V2 V3 V4 V5 V0 V1 V2 V6 V7 V8 V9 V4 V5 В примера от предната страница имаме v i = v 2 и v j = v 4 Полученият цикъл е v 2 v 3 v 4 v 9 v 8 v 7 v 6. Тогава участъкът от път 1 между v i и v j не съдържа връх от път 2. Участъкът от път 1 от v i до v j е v i v i+1 v j. Участъкът в път 2 от v i до v j е v i w i+1 w x v j за някое x. Следователно получаваме цикъла v i v i+1 v j w x w i+1.
25 Един граф е свързан, ако всеки два негови върха са свързани с път. Всеки граф е съставен от свързани компоненти. Един граф е свързан, ако има точно 1 компонента. свързан граф несвързан граф
26 Графи дървета
27 B Граф, в който между всеки два върха съществува единствен път, се нарича дърво А
28 Граф, в който между всеки два върха съществува единствен път, се нарича дърво Листа върхове от степен 1
29 Друг пример за дърво
30 Свойства на графите дървета Всяко дърво е свързан граф без цикли. Всеки свързан граф без цикли е дърво. От всеки свързан граф можем да получим дърво чрез премахване на няколко от ребрата му (може би 0 от ребрата му). Ако един граф дърво има n върха, то той има n 1 ребра. Всеки свързан граф с n върха и n 1 ребра е дърво. Всяко дърво с поне 2 върха съдържа поне едно листо.
Вариант 1 Писмен Изпит по Дискретни Структури 14/02/2018 г. Оценката се образува по следния начин: 2 + бр. точки, Наредени двойки бележим с ъглови ско
Вариант Писмен Изпит по Дискретни Структури 4/02/208 г. Оценката се образува по следния начин: 2 + бр. точки, Наредени двойки бележим с ъглови скоби, напр., b. Зад.. Намерете: а) (0.25 т.) подмножествата
ПодробноРешения на задачите от Тема на месеца за м. март 2018 Даден е многоъгълник, който трябва да бъде нарязан на триъгълници. Разрязването става от връх къ
Решения на задачите от Тема на месеца за м. март 2018 Даден е многоъгълник, който трябва да бъде нарязан на триъгълници. Разрязването става от връх към несъседен връх и открай до край, без линиите на разрезите
ПодробноExam, SU, FMI,
Поправителен изпит по Дискретни структури задачи СУ ФМИ 29. 08. 2016 г. Име: ФН: Спец.: Курс: Задача 1 2 3 4 5 Общо получени точки максимум точки 20 20 35 30 30 135 Забележка: За отлична оценка са достатъчни
ПодробноMicrosoft Word - KZ_TSG.doc
ПРИЛОЖЕНИЕ НА ТЕОРИЯТА НА СИГНАЛНИТЕ ГРАФИ ЗА АНАЛИЗ НА ЕЛЕКТРОННИ СХЕМИ С ОПЕРАЦИОННИ УСИЛВАТЕЛИ В теорията на електронните схеми се решават три основни задачи: ) анализ; ) синтез; ) оптимизация. Обект
Подробно16. Основни методи за интегриране. Интегриране на някои класове функции Интегриране по части. Теорема 1 (Формула за интегриране по части). Ако
6. Основни методи за интегриране. Интегриране на някои класове функции. 6.. Интегриране по части. Теорема (Формула за интегриране по части). Ако функциите f(x) и g(x) садиференцируеми в интервала (a, b)
ПодробноОсновен вариант за клас Задача 1. (4 точки) На графиката на полином a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, чиито коефициенти a n, a n 1,..., a 1
Основен вариант за 10 12 клас Задача 1. (4 точки) На графиката на полином a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0, чиито коефициенти a n, a n 1,..., a 1, a 0 са цели числа, са отбелязани две точки с целочислени
ПодробноKontrolno 5, variant 1
N P - П Ъ Л Н И З А Д А Ч И КОНТРОЛНО 5 ПО ДИЗАЙН И АНАЛИЗ НА АЛГОРИТМИ СУ, ФМИ ( ЗА СПЕЦИАЛНОСТ КОМПЮТЪРНИ НАУКИ, 1. ПОТОК; 3 МАЙ 018 Г. ) Задача 1. Разглеждаме задачата за разпознаване LongestCycle:
Подробно54. НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА НАЦИОНАЛЕН КРЪГ Задача 1. Да се намерят всички тройки от естествени числа (x, y, z) такива, че 2005 x + y + 200
54. НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА НАЦИОНАЛЕН КРЪГ Задача 1. Да се намерят всички тройки от естествени числа (x, y, z) такива, че x + y + 005 x + z + y + z е естествено число. Решение. Първо ще докажем,
ПодробноСОФИЙСКА МАТЕМАТИЧЕСКА ГИМНАЗИЯ ТУРНИР ПО МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА "ЗА ТОРТАТА НА ДИРЕКТОРА" ТЕМА ПО МАТЕМАТИКА 8 КЛАС Задача 1. Да се реши в цели чис
СОФИЙСКА МАТЕМАТИЧЕСКА ГИМНАЗИЯ ТУРНИР ПО МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА "ЗА ТОРТАТА НА ДИРЕКТОРА" ТЕМА ПО МАТЕМАТИКА 8 КЛАС Задача 1. Да се реши в цели числа уравнението p( + b) = (5 + b) 2, където p е просто.
ПодробноMicrosoft Word - PRMAT sec99.doc
Лекция 9 9 Изследване на функция Растене, намаляване и екстремуми В тази лекция ще изследваме особеностите на релефа на графиката на дадена функция в зависимост от поведението на нейната производна Основните
ПодробноMicrosoft Word - nbb2.docx
Коректност на метода на характеристичното уравнение за решаване на линейно-рекурентни уравнения Стефан Фотев Пиша този файл, тъй като не успях да намеря в интернет кратко и ясно обяснение на коректността
ПодробноМинистерство на образованието, младежта и науката 60. Национална олимпиада по математика Областен кръг, г. Условия, кратки решения и кри
Министерство на образованието, младежта и науката 60. Национална олимпиада по математика Областен кръг, 1-1.0.011 г. Условия, кратки решения и критерии за оценяване Задача 11.1. Да се намерят всички стойности
ПодробноMicrosoft Word - VM-2-7-integrirane-na-racionalni-funkcii-seminar.doc
7. Интегриране на рационални функции Съдържание. Пресмятане на неопределен интеграл от елементарни дроби. Интегриране на правилни рационални функции. Интегриране на неправилни рационални функции ТЕОРИЯ
Подробно(не)разложимост на полиноми с рационални коефициенти Велико Дончев Допълнителен материал за студентите по Висша алгебра и Алгебра 2 на ФМИ 1 Предварит
(не)разложимост на полиноми с рационални коефициенти Велико Дончев Допълнителен материал за студентите по Висша алгебра и Алгебра 2 на ФМИ 1 Предварителни сведения и твърдения Както е ясно от основната
ПодробноЛЕКЦИЯ 6 ЗАКОН ЗА ИНЕРЦИЯТА Определение. Броят на положителните коефициенти в каноничния вид на дадена квадратична форма се нарича положителен индекс
ЛЕКЦИЯ 6 ЗАКОН ЗА ИНЕРЦИЯТА Определение. Броят на положителните коефициенти в каноничния вид на дадена квадратична форма се нарича положителен индекс на инерцията на тази квадратична форма. Броят на отрицателните
ПодробноРекурсия Трифон Трифонов Увод в програмирането, спец. Компютърни науки, 1 поток, спец. Софтуерно инженерство, 2016/17 г. 21 декември 2016 г. 4 януари
Рекурсия Трифон Трифонов Увод в програмирането, спец. Компютърни науки, 1 поток, спец. Софтуерно инженерство, 2016/17 г. 21 декември 2016 г. 4 януари 2017 г. Трифон Трифонов (УП 16/17) Рекурсия 21.12.16
ПодробноЛинейна алгебра 7. Умножение на матрици. Обратими матрици. Матрични уравнения специалности: Математика, Бизнес математика, Приложна математика, I курс
. Обратими матрици. Матрични уравнения специалности: Математика, Бизнес математика, Приложна математика, I курс лектор: Марта Теофилова Кратка история Матричното умножение е въведено от немския математик
ПодробноСеминар № 2: Граници на редици, признаци на Даламбер и Коши за сходимост на редове
Семинар / 7 Семинар : Парциална сума на числов ред. Метод на пълната математическа индукция. Критерии за сходимост на редове.! Редица (последователност): x, x,, x, x! Ред: x x x...... Числов ред (безкрайна
ПодробноРЕФЕРАТ по дисциплината Дискретни структури 1. (*) Докажете асоциативността на операциите обединение и сечение на множества, тоест, че за произволни м
РЕФЕРАТ по дисциплината Дискретни структури. (*) Докажете асоциативността на операциите обединение и сечение на множества, тоест, че за произволни множества A, B и C са изпълнени следните равенства: (A
ПодробноСОФИЙСКА МАТЕМАТИЧЕСКА ГИМНАЗИЯ ТУРНИР ПО МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА "ЗА ТОРТАТА НА ДИРЕКТОРА" ТЕМА ПО МАТЕМАТИКА КЛАС Задача 1. Дадена е двуизмер
СОФИЙСКА МАТЕМАТИЧЕСКА ГИМНАЗИЯ ТУРНИР ПО МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА "ЗА ТОРТАТА НА ДИРЕКТОРА" ТЕМА ПО МАТЕМАТИКА 10-11 КЛАС Задача 1. Дадена е двуизмерна огледална стая във формата на правилен шестоъгълник
Подробно036v-b.dvi
МАТЕМАТИКА И МАТЕМАТИЧЕСКО ОБРАЗОВАНИЕ, 2010 MATHEMATICS AND EDUCATION IN MATHEMATICS, 2010 Proceedings of the Thirty Ninth Spring Conference of the Union of Bulgarian Mathematicians Albena, April 6 10,
ПодробноPaint.net
Paint.net Урок 1 запознаване с различни разширения и слоеве Какво е разширение на един файл? Както знаете, всеки един файл си има име и разширение. Как изгелжда това: Име Разширение Името е уникално за
Подробно1 Основен вариант за клас Задача 1. Хартиен триъгълник, един от ъглите на който е равен на α, разрязали на няколко триъгълника. Възможно ли е
1 Основен вариант за 10 12 клас Задача 1 Хартиен триъгълник, един от ъглите на който е равен на α, разрязали на няколко триъгълника Възможно ли е всички ъгли на всички получени тръгълници да са по-малки
ПодробноXXX МЕЖДУНАРОДЕН ТУРНИР НА ГРАДОВЕТЕ Пролетен тур, ОСНОВЕН ВАРИАНТ за клас РЕШЕНИЯ Задача 1. Правоъгълник е разделен на няколко по-малки право
XXX МЕЖДУНАРОДЕН ТУРНИР НА ГРАДОВЕТЕ Пролетен тур, ОСНОВЕН ВАРИАНТ за 10 1 клас РЕШЕНИЯ Задача 1 Правоъгълник е разделен на няколко по-малки правоъгълника Възможно ли е всяка отсечка, която свързва центровете
ПодробноЛИНЕЙНА АЛГЕБРА III ДЕТЕРМИНАНТИ От гледна точка на изследването на линейни системи, може да се каже, че идеята за т.н. детерминанта като число, харак
ЛИНЕЙНА АЛГЕБРА III ДЕТЕРМИНАНТИ От гледна точка на изследването на линейни системи може да се каже че идеята за т.н. детерминанта като число характеризиращо дадена квадратна матрица се появява още при
ПодробноMicrosoft Word - IGM-SER1111.doc
Лекция Редове на Фурие поточкова сходимост Теорема на Дирихле Тук ще разглеждаме -периодична функция ( ) която ще искаме да бъде гладка по части Това означава че интервала ( ) може да се раздели на отделни
ПодробноРЕЦЕНЗИЯ от проф. дмн Тодор Желязков Моллов професор във ФМИ при ПУ "Паисий Хилендарски" на дисертационен труд за получаване на образователната и науч
РЕЦЕНЗИЯ от проф. дмн Тодор Желязков Моллов професор във ФМИ при ПУ "Паисий Хилендарски" на дисертационен труд за получаване на образователната и научна степен доктор по професионално направление 4.5 Математика
ПодробноОсновен вариант, клас Задача 1. (3 точки) За кои n съществуват различни естествени числа a 1, a 2,..., a n, за които сборът е естествено число
Основен вариант, 0. 2. клас Задача. (3 точки) За кои n съществуват различни естествени числа, a 2,..., a n, за които сборът е естествено число? a 2 a 3 + + a n Решение: Ще докажем, че n =, n > 2. При n
ПодробноЛинейна алгебра 11. Собствени стойности и собствени вектори на матрица и линейно преобразувание. Диагонализиране на матрица специалности: Математика,
на матрица и линейно преобразувание. Диагонализиране на матрица специалности: Математика, Бизнес математика, Приложна математика, I курс лектор: Марта Теофилова Собствени стойности и собствени вектори
ПодробноMicrosoft Word - VypBIOL-02-Kin-Okryznost.doc
ВЪПРОС КИНЕМАТИКА НА ДВИЖЕНИЕТО НА МАТЕРИАЛНА ТОЧКА ПО ОКРЪЖНОСТ Във въпроса Кинематика на движението на материална точка по окръжност вие ще се запознаете със следните величини, понятия и закони, както
ПодробноГлава 5 Критерий за субхармоничност Да разгледаме някои общи свойства на полу-непрекъснатите отгоре функции, преди да се съсредоточим върху онези от т
Глава 5 Критерий за субхармоничност Да разгледаме някои общи свойства на полу-непрекъснатите отгоре функции, преди да се съсредоточим върху онези от тях, които са субхармонични. Лема-Определение 5.1. Нека
ПодробноMicrosoft Word - MA11 sec77.doc
Лекця 7 7 Дефнця свойства на определен нтеграл Сум на Дарбу Определенят нтеграл е фундаментално средство в математката с разнообразн съдържателн прложеня Той се зползва за пресмятане на геометрчн фзчн
ПодробноMicrosoft Word - VM22 SEC55.doc
Лекция 5 5 Диференциални уравнения от първи ред Основни определения Диференциално уравнение се нарича уравнение в което участват известен брой производни на търсената функция В общия случай ( n) диференциалното
ПодробноЛекция Приложение на линейната многопроменлива регресия за изчисляване на топлини на образуване на алкани Дефиниция на топлина на образуване Топлина н
Лекция Приложение на линейната многопроменлива регресия за изчисляване на топлини на образуване на алкани Дефиниция на топлина на образуване Топлина на образуване на едно химично съединение се нарича енталпията
ПодробноIATI Day 1 / Senior Задача Activity (Bulgarian) X INTERNATIONAL AUTUMN TOURNAMENT IN INFORMATICS SHUMEN 2018 При лошо време навън Лора и Боби обичат д
Задача Activity (Bulgarian) При лошо време навън Лора и Боби обичат да се събират и да играят настолни игри. Една от любимите им игри е Activity. В тази задача ще разгледаме обобщение на играта. Играта
ПодробноMicrosoft Word - 12-Teacher_Getting Loopy BGG.docx
СЪЗДАВАНЕ НА ЦИКЛИ Времетраене на урока: 30 минути. Основната продължителност на урока включва само дейностите. Въвеждащите и обобщаващи предложения могат да се използват за задълбочаване на знанията,
ПодробноMicrosoft Word - PMS sec11.doc
Лекция Матрици и детерминанти Определения Матрицата е правоъгълна таблица от числа Ако е матрица с m реда и стълба то означаваме () O m m m m ( ) За елементите на матрицата се използва двойно индексиране
Подробноdoll Механична кукла Механичните кукли автоматично повтарят предварително зададена последователност от движения. В Япония има традиции в изработката н
doll Механична кукла Механичните кукли автоматично повтарят предварително зададена последователност от движения. В Япония има традиции в изработката на механични кукли, датиращи от древни времена. Движенията
ПодробноIATI Day 1/Junior Task 1. Trap (Bulgaria) X INTERNATIONAL AUTUMN TOURNAMENT IN INFORMATICS SHUMEN 2018 Задача 1. Капан Образуваме редица от точки, кои
Task 1. Trap (Bulgaria) Задача 1. Капан Образуваме редица от точки, които са върхове с целочислени координати в квадратна решетка. Всеки две последователни точки от редицата определят единична хоризонтална
ПодробноMicrosoft Word - VM22 SEC66.doc
Лекция 6 6 Теорема за съществуване и единственост Метричното пространство C [ a b] Нека [ a b] е ограничен затворен интервал и да разгледаме съвкупността на непрекъснатите функции f ( определени в [ a
ПодробноМалко контролно 2 по ДАА 7 юни 2017г. Зад.1. (2т.) Разполагаме с n на брой правоъгълни кутийки с разнообразни широчини и дължини. Можем да поставяме к
Малко контролно 2 по ДАА 7 юни 2017г. Зад.1. (2т.) Разполагаме с n на брой правоъгълни кутийки с разнообразни широчини и дължини. Можем да поставяме кутийка в някоя друга само ако широчината и дължината
ПодробноМИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА ЦЕНТЪР ЗА КОНТРОЛ И ОЦЕНКА НА КАЧЕСТВОТО НА УЧИЛИЩНОТО ОБРАЗОВАНИЕ УВАЖАЕМИ УЧЕНИЦИ, МАТЕМАТИКА 7. КЛАС 20 МАЙ
МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА ЦЕНТЪР ЗА КОНТРОЛ И ОЦЕНКА НА КАЧЕСТВОТО НА УЧИЛИЩНОТО ОБРАЗОВАНИЕ УВАЖАЕМИ УЧЕНИЦИ, МАТЕМАТИКА 7. КЛАС МАЙ 1 г. ПЪРВИ МОДУЛ Вариант 1 Време за работа минути. ПОЖЕЛАВАМЕ
Подробно