ОЙЛЕРОВА ПРАВА И ОЙЛЕРОВА КРИВА НА ВПИСАН МНОГОЪГЪЛНИК В КОНИЧНО СЕЧЕНИЕ

Размер: px
Започни от страница:

Download "ОЙЛЕРОВА ПРАВА И ОЙЛЕРОВА КРИВА НА ВПИСАН МНОГОЪГЪЛНИК В КОНИЧНО СЕЧЕНИЕ"

Препис

1 Математика и информатика Volume 60, Number, 07 Mathematcs ad Iformatcs Educatoal Techologes Образователни технологии ОЙЛЕРОВА ПРАВА И ОЙЛЕРОВА КРИВА НА ВПИСАН МНОГОЪГЪЛНИК В КОНИЧНО СЕЧЕНИЕ Технически колеж Ловеч Резюме В статията се проследява последователното развитие на идеята за определяне на понятията Ойлерова права и Ойлерова окръжност на вписан в окръжност многоъгълник, която по естествен начин води до конструкция на Ойлерова права и Ойлерова крива за вписан в конично сечение многоъгълник Изследванията на различните конфигурации са подпомогнати с програмния продукт THE GEOMETER S SKETCHPAD (GSP) Keywords: coc, ceter of gravty, orthoceter, polygo, Euler le, Euler curvesp Увод Познатите Ойлерова права и Ойлерова окръжност на триъгълника притежават много свойства, свързани с триъгълника, на който принадлежат, както и с други фигури вследствие фрагментирането им на триъгълници Някои такива свойства се изразяват с теоремата на Шифлер за конкурентност на Ойлерови прави, теоремата на Фойербах за допиране на Ойлеровата окръжност с вписаните в триъгълника окръжности и теоремата за конкурентност на Ойлеровите окръжности на четирите триъгълника, които се получават от страните и диагоналите на четириъгълник Тези свойства, от своя страна, обогатяват геометрията на триъгълника и другите геометрични фигури, в които са включени съответните Ойлерови прави и Ойлерови окръжности Ойлерова права и Ойлерова окръжност притежава и вписаният в окръжност -ъгълник ( ) Може би, тъй като не са известни много свойства на тези забележителни права и окръжност, те не са достатъчно популярни Освен това конструирането на правата и окръжността на Ойлер при увеличаване на става все по-трудно за извършване с класическите инструменти линийка и пергел С помощта на някои от съвременните компютърни софтуерни средства конструирането и изследването на по-сложни геометрични обекти може значително да се опрости и улесни Такъв софтуерен продукт е например THE GEOMETER S SKETCHPAD (GSP) С помощта на GSP могат не само да се построяват споменатите права и окръжност при различни стойности на, 6

2 Ойлерова права и Ойлерова крива но те могат да се обобщят и в по-сложни конфигурации, получаващи се при замяна на описаната около -ъгълника окръжност с описано конично сечение С помощта на динамичните възможности на GSP могат да се изследват получените конструкции и да се открият зависимости, които да подскажат идеи за доказване на наблюдаваните свойства Като използваме възможностите на GSP, в следващите редове ще покажем как понятията Ойлерова права и Ойлерова окръжност могат да се обобщят за вписан в конично сечение -ъгълник ( ) Преди това обаче накратко ще припомним понятията Ойлерова права и Ойлерова окръжност за триъгълник След това по аналогия ще определим основните понятия, необходими за конструирането на Ойлерова права и Ойлерова окръжност на вписан в окръжност -ъгълник ( ) Ойлерова права и Ойлерова окръжност на триъгълник Нека A е произволен неравностранен триъгълник, а O и G са центърът на описаната окръжност, ортоцентърът и центърът на тежестта на A Точките O и H лежат на една права, която се нарича права на Ойлер за A (фиг ) Освен това са изпълнени равенствата ( ) OG ( OAù OA OA ), ( ) OH = OG (Равенството ( ) е изпълнено и когато O е произволна точка в пространството) нството е изпълнено и когато O е произволна точка в пространството) Фигура Ако M, M и M са средите съответно на страните, и, а H и H са петите на височините съответно през върховете A, 65

3 A и A, то точките M, M, M и A лежат на окръжност с център E, която се нарича окръжност на Ойлер за A (фиг ) Освен това са изпълнени равенствата ( ) GE = GO, ( ) HE = HO От ( ) и ( ) следва, че центърът E на Ойлеровата окръжност лежи върху правата на Ойлер Освен това от ( ) и ( ) следва, че G и H са центрове на хомотетия за описаната и за Ойлеровата окръжност Ойлерова права и Ойлерова окръжност на вписан в окръжност многоъгълник Преди да покажем по какъв начин се получават Ойлеровата права и Ойлеровата окръжност, е необходимо да определим понятията център на тежестта и ортоцентър на вписан многоъгълник като аналози на съответните понятия от геометрията на триъгълника Център на тежестта Центърът на тежестта G на A е пресечната точка на правите, свързващи върховете A и A с центровете на тежестта на съответните им срещуположни страни, и За G е изпълнено равенството ( ) Аналогично с помощта на GSP можем да свържем върховете A и A на четириъгълника с центровете на тежестта G и G съответно на триъгълниците A, A, A и A (фиг ) Установяваме, че правите AG G G и AG минават през една точка G С помощта на ( ) получаваме и векторното равенство OG = ( OA+ OA + OA + OA) при произволна точка O в пространството Получената по този начин точка G наричаме център на тежестта (медицентър) на четириъгълника (фиг ) Фигура Фигура Фигура След това с помощта на GSP свързваме върховете A и A 5 на петоъгълника A 5 с центровете на тежестта G и G 5 66

4 Ойлерова права и Ойлерова крива съответно на четириъгълниците A A A A 5, A A 5 A A 5 A A 5 A A A, и (фиг ) Установяваме, че правите AG G G G и AG 5 5 минават през една точка G, за която е изпълнено векторното равенство OG = ( OA+ OA + OA+ OA + OA5) при произволна точка O в пространството Точката G наричаме център на тежестта (медицентър) на петоъ- 5 гълника A 5 (фиг ) До подобни изводи стигаме и при разглеждането на шестоъгълник 5 6 (фиг ) Така по индукция стигаме до извода, че ако A е произволен -ъгълник, правата, свързваща върха A с центъра на тежестта G ( =,, ) за -ъгълника, образуван от останалите върхове, минава през една точка G, за която е изпълнено векторното равенство ( 5 ) OG = ( OA+ OA + + OA ) при произволна точка O в пространството Равенството ( 5 ) по естествен начин обобщава ( ) и еднозначно определя точка G, която се нарича център на тежестта (медицентър) за -ъгълника A Така за центъра на тежестта на -ъгълника A имаме индуктивна конструкция за построяване и аналитично представяне с ( 5 ) Ортоцентър За определяне на ортоцентър на вписан в окръжност многоъгълник можем да приложим два подхода, основани на аналогии с построяването на центъра на тежестта Първо разглеждаме вписан в окръжност четириъгълник Аналогично на конструирането на центъра на тежестта G на построяваме ортоцентровете H и H съответно на триъгълниците A, A, A и A След това построяваме правите AH H H и AH Забелязваме, че тези прави се пресичат в една точка H (фиг 5) Нещо повече, четириъгълниците и HHHH са симетрични спрямо точката H (фиг 5) Това наблюдение можем да изразим с векторните равенства HH = HA ( =,,,) По-нататък да обърнем внимание, че ортоцентърът на A лежи върху правата, която минава през центъра на тежестта на върха A (който съвпада с A ) и е перпендикулярна на правата, определена от останалите два върха на A Това ни дава основание при да построим през центъра на тежестта на всяка от шестте двойки върхове (средите на свързващите ги отсечки) перпендикуляр към правата, определена от другата двойка върхове (фиг 6) Оказва се, че получените шест прави се пресичат в същата точка H, получена при предишната конструкция (четириъгълниците на фиг 5 и 6 са еднакви) Получената по този начин точка H наричаме ортоцентър на четириъгълника (фиг 5, 6) 67

5 Фигура 5 Фигура 6 68 Фигура 7 Фигура 8 По-нататък, следвайки опита от изследванията върху четириъгълника, разглеждаме вписан в окръжност петоъгълник A 5 Построяваме ортоцентровете H и H 5 съответно на четириъгълниците, 5, 5, 5 5 и Забелязваме, че правите AH, AH H H и AH 5 5 минават през една точка H (фиг 7) Освен това H е център на хомотетия за петоъгълниците A 5 и HHHHH, 5 като са изпълнени векторните равенства HH = HA ( =,,,,5) Подходът с центровете на тежестта се състои в следното: построяваме през центъра на тежестта на всеки от десетте триъгълника, образувани от върховете на A, 5 права, перпендикулярна на страната, съдържаща останалите два върха на A 5 Тези десет прави се пресичат в същата точка H (фиг 8) Точката H наричаме ортоцентър на A 5 (фиг 7, 8) По подобен начин разглеждаме и вписан в окръжност шестоъгълник Ако H е ортоцентърът на петоъгълника, образуван от върхо- 5 6

6 Ойлерова права и Ойлерова крива вете на A A A A A 5 A 6 без A, правите A H ( =,,,,5,6) се пресичат в точка H (фиг 9), която е център на хомотетия за шестоъгълниците 5 6 и HHHHHH 5 6 Изпълнени са векторните равенства HH = HA ( =,,,,5,6) Освен това всяка от петнадесетте прави, минаваща през центъра на тежестта на четириъгълник, върховете на който са измежду точките A 5 и A 6, и перпендикулярна на страната, определена от останалите два върха, минава през същата точка H (фиг 0) Точката H наричаме ортоцентър на 5 6 (фиг 9, 0) Фигура 9 Фигура 0 Така по индукция получаваме, че за вписания в окръжност -ъгълник A съществува точка H, която притежава следните свойства: ) правите, минаващи през центровете на тежестта за -ъгълниците, образувани от точките A,, които са перпендикулярни на правите, свързващи останалите два върха, се пресичат в една точка H ; ) ако H е ортоцентърът на -ъгълника, образуван от точките A, с изключение на A, то правите AH ( =,,, ) се пресичат в H ; ) изпълнени са векторните равенства HH = HA ; ) многоъгълникът HH H е хомотетичен на A Ясно е, че ) и ) следват от ) Ойлерова права и Ойлерова окръжност Ако A е многоъгълник, вписан в окръжност с център O, наблюденията с GSP показват, че точките H и O лежат на една права, която се нарича права на Ойлер за A На фиг са показани случаите при =,5,6 По индукция се получава равенството OH = ( OA+ OA + + OA ) От това равенство и ( 5 ) следва, че ( 6 ) OH = OG, 69

7 Това доказва, че точките H, и O лежат на една права От (6) при = се получава ( ) 70 Фигура Нека G е центърът на тежестта на -ъгълника, образуван от точките A, с изключение на A ( =,,, ) Наблюденията с GSP показват, че точките G ( =,,, ) лежат на окръжност, която се нарича окръжност на Ойлер за A На фиг са показани случаите при =,5,6 За центъра E на Ойлеровата окръжност е изпълнено векторното равенство OE = ( OA+ OA + + OA ) Оттук, векторното равенство за H и ( 5 ) следват ( 7 ) HE = HO, ( 8 ) GE = GO Равенствата ( 7 ) и ( 8 ) показват, че H и G са центрове на хомотетия за описаната и за Ойлеровата окръжност От ( 7 ) и ( 8 ) при = се получават съответно ( ) и ( ) Ойлерова права и Ойлерова крива на триъгълник, зависещи от точка Описаната за A окръжност е само един елемент на безкрайното множество криви от конични сечения, описани около A Нещо повече, ако O е произволна точка, нележаща на никоя от правите,,, MM, MM и MM в равнината на A, то A и A и съответните им симетрични спрямо O точки A, A и A лежат на крива от втора степен k ( O) с център O (фиг ) По този начин точката O е аналог на центъра на описаната окръжност По-нататък ще определим точка, която е аналог на ортоцентъра на A Височините на A са успоредни на правите, минаващи през центъра на описаната окръжност и точките M,

8 Ойлерова права и Ойлерова крива M, M (фиг ) Това ни дава основание да построим в програмата GSP правите, минаващи през върховете A и A и успоредни съответно на правите OM, OM и OM Вижда се, че тези прави се пресичат в една точка H (фиг ) Освен това, както и да променяме положението на O, разглежданите прави винаги се пресичат в една точка По този начин получаваме една специална точка H, свързана с точката O, която наричаме ортоид на A, определен от центъра O на k ( O ) Оказва се, че ортоидът H притежава редица свойства, които са подобни на тези на ортоцентъра Тези свойства са описани подробно в (Grozdev & Nekov, 0) Едно от тези свойства се изразява с равенството ( ) Следователно точките O и G лежат на една права, която наричаме Ойлерова права на A, определена от описаната крива k ( O ) Фигура Фигура Както е показано в (Grozdev & Nekov, 0), точките M, M, M и пресечните точки на правите AH H, AH с,, лежат на конично сечение Ω (фиг ), което наричаме Ойлерова крива на точката H спрямо описаната крива k ( O ) Ако E е центърът на Ω, то са изпълнени равенствата ( ) и ( ), като G и H са центрове на хомотетия за k ( O ) и Ω Тези и други свойства на кривата Ω са описани подробно в (Grozdev & Nekov, 0) Параболите, описани около A, можем да разглеждаме като конични сечения с безкрайни центрове (Mateev, 977) Безкрайния център O на параболата можем да определим с направлението на даден вектор O (фиг ) Нека O е вектор, който не е колинеарен с никоя от правите, и Съществува единствена парабола k( O ), която минава през точките A и има за ос права, колинеарна с O (допира се до безкрайната права на равнината в безкрайната точка O ) (Mateev, 977) В този случай точката H 7

9 k O Правата през G и колинеарна с O, разглеждаме като Ойлерова права на A, зависеща от направлението O (или все едно зависеща от безкрайната точка O ) (фиг ) можем да разглеждаме като съвпадаща с безкрайния център на ( ) Съществува единствена парабола Ω, която минава през точките M, M, M и има за ос права, колинеарна с O Тази парабола наричаме Ойлерова крива на A, зависеща от направлението O (фиг ) Оказва се, че параболата Ω е хомотетична на k( O ) при хомотетия с център G и коефициент Това и други свойства на кривата Ω са описани подробно в (Grozdev & Nekov, 0) 5 Ортоид и Ойлерова права на вписан в конично сечение многоъгълник Нека първо разгледаме четириъгълник, вписан в конично сечение k ( O ) с център O Построяваме ортоидите H и H съответно на триъгълниците A, A, A и A, определени от O Забелязваме, че правите AH H H и AH се пресичат в една точка H (фиг ) Освен това четириъгълниците и HHHH са симетрични спрямо точката H (фиг ) и са изпълнени векторните равенства HH = HA ( =,,,) Затова точката H наричаме ортоид на спрямо O 7 Фигура Фигура 5 Фигура 6 По-нататък, аналогично на конструкцията на ортоид на триъгълника, извършваме следните построения: през центъра на тежестта на всяка двойка върхове на (средата на свързващата ги страна) построяваме права, успоредна на правата, минаваща през O и центъра на тежестта на останалата двойка върхове Така се получават шест прави, които минават през вече получената точка H (фиг 5)

10 Ойлерова права и Ойлерова крива Ако четириъгълникът A A A A е вписан в парабола, под ортоид ще разбираме безкрайната точка на описаната парабола (фиг 6) На фиг, 5 и 6 четириъгълниците са еднакви Фигура 7 Фигура 8 Фигура 9 Аналогично, ако A 5 е петоъгълник, вписан в конично сечение k ( O ) с център O, а H и H 5 са ортоидите съответно на четириъгълниците, 5, 5, 5 5 и, то правите AH H H H и AH 5 5 минават през една точка H (фиг 7), която наричаме ортоид на A 5 Освен това H е център на хомотетия за петоъгълниците A 5 и HHHHH, 5 като са изпълнени векторните равенства HH = HA ( =,,,,5) От друга страна, всяка права, минаваща през центъра на тежестта на триъгълник, образуван от върховете A 5, и успоредна на правата, минаваща през O и средата на отсечката, определена от останалите два върха, минава през ортоида H (фиг 8) Ако петоъгълникът A 5 е вписан в парабола, под ортоид ще разбираме безкрайната точка на описаната парабола (фиг 9) Така по индукция получаваме, че за -ъгълника A, вписан в конично сечение k ( O ) с център O, съществува точка H, която притежава следните свойства: (*) правите, минаващи през центровете на тежестта за -ъгълниците, образувани от точките A,, които са успоредни на правите през O и средите на отсечките, определени от останалите два върха, се пресичат в една точка H ; 7

11 (**) ако H е ортоидът на -ъгълника, образуван от точките A, с изключение на A, то правите AH ( =,,, ) се пресичат в H ; (***) изпълнени са векторните равенства HH = HA ; (****) многоъгълникът HH H е хомотетичен на A Точката H, притежаваща изброените свойства, наричаме ортоид на A Преди да докажем формулираните твърдения, трябва да отбележим, че (**) и (****) са непосредствени следствия от (***) Затова е достатъчно да докажем (***) Освен това при = в (****) хомотетията преминава в централна симетрия Проведените наблюдения показват, че за ортоида H е изпълнено векторното равенство ( 6 ) Затова формулираните твърдения ще бъдат доказани, ако ги проверим за точката H, удовлетворяваща ( 6 ) Нека G е центърът на тежестта за A A, а M е средата на Тогава OG = ( OA + + OA ) и OM = ( OA + OA ) Затова от ( 6 ) следва G H OH OG ( ) OA = = + OA = OM Следователно правата GH е успоредна на OM Аналогично се получава твърдение (*) и за останалите двойки успоредни прави По-нататък ще докажем, че от ( 6 ) следва (***) Имаме HH = OH OH = OG OH = OG OA OH = = OH OH OA = OH OA = HA С това (***) е доказано От проведените разсъждения следва, че за ортоида е изпълнено равенството ( 6 ) Оттук получаваме, че точките H и O лежат на една права Тази права наричаме Ойлерова права на вписания в коничното сечение k ( O ) многоъгълник A Ако многоъгълникът A е вписан в парабола, под ортоид ще разбираме безкрайната точка на описаната му парабола, а правата през медицентъра G, която е успоредна на оста на параболата, наричаме Ойлерова права на A (фиг 6, 9,, ) Ойлерова крива на вписан в конично сечение многоъгълник Нека четириъгълникът е вписан в конично сечение k ( O ) с център O Построяваме центровете на тежестта G и G съответно на триъгълниците A, A, A и A През точките G 7

12 Ойлерова права и Ойлерова крива и G минават безброй много конични сечения От тях трябва да определим едно, което обобщава случая с вписан в окръжност четириъгълник Тъй като GG = GA ( =,,,), то четириъгълникът GGGG е хомотетичен образ на при хомотетия с център G и коефициент Затова разглеждаме кривата Ω, която минава през точките G и има за център точката E, определена с равенството GE = GO От това определение следва, че Ω е хомотетична на k ( O ) при споменатата хомотетия и минава през G Кривата Ω наричаме Ойлерова крива на, определена от O Трябва да се отбележи, че точката H също е център на хомотетия за k ( O ) и Ω Фигура 0 Фигура Фигура Фигура 75

13 Ако четириъгълникът е вписан в парабола, точките G и G лежат на единствена парабола с ос, успоредна на оста на описаната парабола (фиг ) Тази парабола наричаме Ойлерова крива на На фиг 0 и четириъгълниците са еднакви Нека сега A ( ) 5 е многоъгълник, вписан в конично сечение k ( O ) с център O Ако G е центърът на тежестта на -ъгълника, образуван от точките A, с изключение на A ( =,,, ), то са изпълнени равенствата GG = GA Следователно GG G е хомотетичен на A при хомотетия с център G и коефициент Аналогично се вижда, че ортоидът H на A е център на хомотетия с коефициент Тъй като A е вписан в k ( O ), то от хомотетичността следва, че GG G също е вписан в крива Ω, центърът E на която удовлетворява равенствата ( 7 ) и ( 8 ) Кривата Ω наричаме Ойлерова крива на A (фиг ) Ако многоъгълникът A е вписан в парабола, точките G, лежат на единствена парабола с ос, успоредна на оста на описаната парабола (фиг ) Тази парабола наричаме Ойлерова крива на A 5 Връзки на Ойлеровите криви с ортоида Ортоидът лежи върху забележителната за A права на Ойлер и има свойството да е център на хомотетия за описаната крива k ( O ) и кривата на Ойлер Оказва се, че при Ойлеровите криви на -ъгълниците, вписани в k ( O ), също притежават интересни свойства, свързани с ортоида на A Фигура 76

14 Ойлерова права и Ойлерова крива Случая с четириъгълник ще отбележим отделно Средите на шестте отсечки, свързващи точките A и A, лежат на една крива от втора степен Ω, която е Ойлерова крива на всеки от върховете на спрямо триъгълника, образуван от останалите три върха Както е показано в (Nekov, 0), центровете на всички описани около конични сечения лежат върху Ω Върху Ω се намират и безкрайните центрове на двете описани за параболи, когато е изпъкнал четириъгълник В (Nekov, 0) е показано още, че центърът на тежестта G на е център на Ω Тъй като ортоидът H е точка, която е симетрична на центъра на пораждащата го описана крива, то H лежи върху Ω Като вземем предвид и това, че ортоидът спрямо описана парабола е безкрайната точка на параболата, заключаваме: всеки ортоид на четириъгълника лежи върху общата Ойлерова крива на триъгълниците A A A A A и A (фиг ) Фигура 5 Сега да разгледаме по-подробно случаите за многоъгълник A A A, когато 5 Първо да отбележим, че, ако A е вписан в парабола, Ойлеровите криви на всички -ъгълници, образувани от точките A,, са параболи с оси, успоредни на оста на описаната парабола Следователно: всички Ойлерови криви минават през ортоида на A (фиг 5) Опитът от разгледаните случаи ни подсказва, че можем да очакваме подобно свойство на Ойлеровите криви за многоъгълник A, вписан в крива k ( O ) с център O при 5 Експериментите с GSP показват следните два резултата 77

15 Твърдение Ойлеровите криви на всички -ъгълници, образувани от върховете A, на вписания в конично сечение с център O многоъгълник A, са еднакви и минават през ортоида H на A (фиг 6) Твърдение Центровете на Ойлеровите криви на всички -ъгълници, образувани от върховете A, на вписания в конично сечение с център O многоъгълник A, лежат на крива, която е еднаква с Ойлеровите криви и има за център ортоида H на A (фиг 6) Първо да отбележим, че еднаквостта на Ойлеровите криви на -ъгълни- ците следва от хомотетичността им с описаната крива Нека E е центърът на Ойлеровата крива Ω на -ъгълника, образуван от точките A, с изключение на върха A ( =,,, ) Ортоидът H на A A е център на хомотетия за Ω и описаната крива k ( O ) Тъй като A A е -ъгъл- ник, тази хомотетия има коефициент Затова HE = HO Оттук OG = OH + OA Сега от (***) и ( 6 ) следва ( ) H H = A H = OA OH = OA OG = ( )( ) = OA OH = HA Следователно при разглежданата хомотетия точката A от k ( O ) се изобразява в точката H от Ω По аналогичен начин се показва, че другите Ойлерови криви минават през H С това твърдение е доказано ез H С това твърдение е доказано Фигура 6 78

16 Ойлерова права и Ойлерова крива Сега разглеждаме хомотетия с център точката Р от Ойлеровата права, за която е изпълнено равенството OP = OG Тогава PE + PA = OE OP + OA OP = OG OP = o Оттук имаме PE = PA ( =,,, ) Следователно при разглежданата хомотетия точките A от k ( O ) се изобразяват в точките E ( =,,, ) Следователно точките E ( =,,, ) лежат на една крива ω, хомотетична на k ( O ) с коефициент на хомотетия Но кривите Ω ( =,,, ) са хомотетични на k ( O ) със същия коефициент Затова ω е еднаква с Ω ( =,,, ) С това твърдение е доказано 6 Заключение При проведените изследвания с помощта на аналогия и програмата GSP на всеки многоъгълник, вписан в конично сечение, съпоставихме Ойлерова права и Ойлерова крива, като естествени обобщения на известните ни от геометрията на триъгълника Освен това триъгълниците и четириъгълниците притежават безкрайни множества от Ойлерови прави и съответните им Ойлерови криви Според приложения подход на обобщение петоъгълникът притежава единствени Ойлерова права и Ойлерова крива, защото притежава единствено описано конично сечение REFERENCES / ЛИТЕРАТУРА Grozdev, S & V Nekov (0) Geeralzato of some classcal theorems the Geometry of the tragle Theoretcal ad appled aspects of Mathematcs, Iformatcs ad Educato Collectos of the materals of the Iteratoal Scetfc Coferece, 5 5 Archagelsk: SAFU [Гроздев, С & В Ненков (0) Обобщения некоторых классических теорем геометрии треугольника Теоретические и прикладные аспекты математики, информатики и образования Сборник материалов международной научной конференции, 5 5 Архангельск: САФУ] Nekov, V (0) Set of the ceters of the crcumscrbed cocs of a quadrlateral Mathematcs ad Iformatcs,, 5 0 [Ненков, В (0) Множество на центровете на описаните за четириъгълник конични сечения Математика и информатика,, 5 0] Mateev (977) Projectve Geometry Sofa: Nauka zkustvo [Матеев, А (977) Проективна геометрия София: Наука и изкуство] 79

17 Grozdev, S & D Dekov (06) Computer Dscovered Mathematcs: Orthology Ceters of the Euler Tragles Mathematcs ad Iformatcs, 59 (5), 9 0 [Гроздев, С & Д Деков (06) Математика, открита от компютър: центрове на ортология на Ойлеровите триъгълници Математика и информатика, 59 (5), 9 0] Sergeeva, T, M Shabaova & S Grozdev (0) Bases of the Dyamc geometry Moscow: ASOU, 60 pages (ISBN ) [Сергеева, Т, М Шабанова & С Гроздев (0) Основы динамической геометрии Москва: АСОУ, Москва, 60 страници (ISBN )] Malchesk, R, S Grozdev & K Aevska (05) Geometry of Complex Numbers Sofa: Arhmedes, 0 pages (ISBN ) EULER LINE AND EULER CURVE OF AN INSCRIBED POLYGON IN A CONIC Abstract The paper follows the successve developmet of the dea to defe the otos of Euler le ad Euler curve of a scrbed polygo a crcle, whch leads a atural way to the costructo of Euler le ad Euler curve of a scrbed polygo a coc Varous cofguratos are examed by the help of the computer program THE GEOMETER S SKETCHPAD (GSP) Dr Vesel Nekovssoc Prof Techcal College, Lovech, Sajko Saev St 5500 Lovech, Bulgara E-mal: vekov@malbg Mr Dael Agelovssst Prof Techcal College, Lovech, Sajko Saev St 5500 Lovech, Bulgara E-mal: dagelovbg@malbg 80

22v-final.dvi

22v-final.dvi МАТЕМАТИКА И МАТЕМАТИЧЕСКО ОБРАЗОВАНИЕ, 015 MATHEMATCS AND EDUCATON N MATHEMATCS, 015 Proceedings of the Forty Fourth Spring Conference of the Union of Bulgarian Mathematicians SOK Kamchia, April 6, 015

Подробно

Математика Volume 61, Mathematics и информатика Number 1, 2018 and Informatics Educational Technologies Образователни технологии ВРЪЗКИ МЕЖДУ ЗАБЕЛЕЖИ

Математика Volume 61, Mathematics и информатика Number 1, 2018 and Informatics Educational Technologies Образователни технологии ВРЪЗКИ МЕЖДУ ЗАБЕЛЕЖИ Математика Volume 6, Mathematics и информатика Number, 08 and Informatics Educational Technologies Образователни технологии ВРЪЗКИ МЕЖДУ ЗАБЕЛЕЖИТЕЛНИ ТОЧКИ В ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА ) ) Технически университет

Подробно

Основен вариант за клас Задача 1. (4 точки) На графиката на полином a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, чиито коефициенти a n, a n 1,..., a 1

Основен вариант за клас Задача 1. (4 точки) На графиката на полином a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, чиито коефициенти a n, a n 1,..., a 1 Основен вариант за 10 12 клас Задача 1. (4 точки) На графиката на полином a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0, чиито коефициенти a n, a n 1,..., a 1, a 0 са цели числа, са отбелязани две точки с целочислени

Подробно

Как да съставим задачи като използваме подобните триъгълници, свързани с височините на триъгълника

Как да съставим задачи като използваме подобните триъгълници, свързани с височините на триъгълника Съставяне на задачи с подобни триъгълници, свързани с височините на триъгълника Бистра Царева, Боян Златанов, Катя Пройчева Настоящата работа е адресирана към учителите по математика и техните изявени

Подробно

036v-b.dvi

036v-b.dvi МАТЕМАТИКА И МАТЕМАТИЧЕСКО ОБРАЗОВАНИЕ, 2010 MATHEMATICS AND EDUCATION IN MATHEMATICS, 2010 Proceedings of the Thirty Ninth Spring Conference of the Union of Bulgarian Mathematicians Albena, April 6 10,

Подробно

МАТЕМАТИКА И МАТЕМАТИЧЕСКО ОБРАЗОВАНИЕ, 2007 MATHEMATICS AND EDUCATION IN MATHEMATICS, 2007 Proceedings of the Thirty Sixth Spring Conference of the U

МАТЕМАТИКА И МАТЕМАТИЧЕСКО ОБРАЗОВАНИЕ, 2007 MATHEMATICS AND EDUCATION IN MATHEMATICS, 2007 Proceedings of the Thirty Sixth Spring Conference of the U МАТЕМАТИКА И МАТЕМАТИЧЕСКО ОБРАЗОВАНИЕ, 2007 MATHEMATICS AND EDUCATION IN MATHEMATICS, 2007 Proceedings of the Thirty Sixth Spring Conference of the Union of Bulgarian Mathematicians St. Konstantin & Elena

Подробно

СОФИЙСКА МАТЕМАТИЧЕСКА ГИМНАЗИЯ ТУРНИР ПО МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА "ЗА ТОРТАТА НА ДИРЕКТОРА" ТЕМА ПО МАТЕМАТИКА КЛАС Задача 1. Дадена е двуизмер

СОФИЙСКА МАТЕМАТИЧЕСКА ГИМНАЗИЯ ТУРНИР ПО МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА ЗА ТОРТАТА НА ДИРЕКТОРА ТЕМА ПО МАТЕМАТИКА КЛАС Задача 1. Дадена е двуизмер СОФИЙСКА МАТЕМАТИЧЕСКА ГИМНАЗИЯ ТУРНИР ПО МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА "ЗА ТОРТАТА НА ДИРЕКТОРА" ТЕМА ПО МАТЕМАТИКА 10-11 КЛАС Задача 1. Дадена е двуизмерна огледална стая във формата на правилен шестоъгълник

Подробно

26. ТУРНИР НА ГРАДОВЕТЕ ЕСЕНЕН ТУР Основен вариант, клас Задача 1. (5 точки) Функциите f и g са такива, че g(f(x)) = x и f(g(x)) = x за всяк

26. ТУРНИР НА ГРАДОВЕТЕ ЕСЕНЕН ТУР Основен вариант, клас Задача 1. (5 точки) Функциите f и g са такива, че g(f(x)) = x и f(g(x)) = x за всяк 26. ТУРНИР НА ГРАДОВЕТЕ ЕСЕНЕН ТУР Основен вариант, 10. - 12. клас Задача 1. (5 точки) Функциите f и g са такива, че g(f(x)) = x и f(g(x)) = x за всяко реално число x. Ако за всяко реално число x е в сила

Подробно

XXX МЕЖДУНАРОДЕН ТУРНИР НА ГРАДОВЕТЕ Пролетен тур, ОСНОВЕН ВАРИАНТ за клас РЕШЕНИЯ Задача 1. Правоъгълник е разделен на няколко по-малки право

XXX МЕЖДУНАРОДЕН ТУРНИР НА ГРАДОВЕТЕ Пролетен тур, ОСНОВЕН ВАРИАНТ за клас РЕШЕНИЯ Задача 1. Правоъгълник е разделен на няколко по-малки право XXX МЕЖДУНАРОДЕН ТУРНИР НА ГРАДОВЕТЕ Пролетен тур, ОСНОВЕН ВАРИАНТ за 10 1 клас РЕШЕНИЯ Задача 1 Правоъгълник е разделен на няколко по-малки правоъгълника Възможно ли е всяка отсечка, която свързва центровете

Подробно

годишно разпределение по математика за 8. клас 36 учебни седмици по 3 учебни часа = 108 учебни часа I срок 18 учебни седмици = 54 учебни часа II срок

годишно разпределение по математика за 8. клас 36 учебни седмици по 3 учебни часа = 108 учебни часа I срок 18 учебни седмици = 54 учебни часа II срок годишно разпределение по математика за 8. клас 36 учебни седмици по 3 учебни часа = 08 учебни часа I срок 8 учебни седмици = 54 учебни часа II срок 8 учебни седмици = 54 учебни часа на урок Вид на урока

Подробно

1 Основен вариант за клас Задача 1. Хартиен триъгълник, един от ъглите на който е равен на α, разрязали на няколко триъгълника. Възможно ли е

1 Основен вариант за клас Задача 1. Хартиен триъгълник, един от ъглите на който е равен на α, разрязали на няколко триъгълника. Възможно ли е 1 Основен вариант за 10 12 клас Задача 1 Хартиен триъгълник, един от ъглите на който е равен на α, разрязали на няколко триъгълника Възможно ли е всички ъгли на всички получени тръгълници да са по-малки

Подробно

Министерство на образованието, младежта и науката 60. Национална олимпиада по математика Областен кръг, г. Условия, кратки решения и кри

Министерство на образованието, младежта и науката 60. Национална олимпиада по математика Областен кръг, г. Условия, кратки решения и кри Министерство на образованието, младежта и науката 60. Национална олимпиада по математика Областен кръг, 1-1.0.011 г. Условия, кратки решения и критерии за оценяване Задача 11.1. Да се намерят всички стойности

Подробно

ПРОГРАМА ПО МАТЕМАТИКА I. Алгебра 1. Цели и дробни рационални изрази и действия с тях. Формули за съкратено умножение. 2. Квадратен корен. Корен n-ти.

ПРОГРАМА ПО МАТЕМАТИКА I. Алгебра 1. Цели и дробни рационални изрази и действия с тях. Формули за съкратено умножение. 2. Квадратен корен. Корен n-ти. ПРОГРАМА ПО МАТЕМАТИКА I. Алгебра 1. Цели и дробни рационални изрази и действия с тях. Формули за съкратено умножение. 2. Квадратен корен. Корен n-ти. Коренуване на произведение, частно, степен и корен.

Подробно

Microsoft Word - VM-LECTURE06.doc

Microsoft Word - VM-LECTURE06.doc Лекция 6 6 Уравнения на права и равнина Уравнение на права в равнината Тук ще разглеждаме равнина в която е зададена положително ориентирана декартова координатна система O с ортонормиран базис i и j по

Подробно

Основен вариант, клас Задача 1. (3 точки) За кои n съществуват различни естествени числа a 1, a 2,..., a n, за които сборът е естествено число

Основен вариант, клас Задача 1. (3 точки) За кои n съществуват различни естествени числа a 1, a 2,..., a n, за които сборът е естествено число Основен вариант, 0. 2. клас Задача. (3 точки) За кои n съществуват различни естествени числа, a 2,..., a n, за които сборът е естествено число? a 2 a 3 + + a n Решение: Ще докажем, че n =, n > 2. При n

Подробно

Microsoft Word - PRMAT sec99.doc

Microsoft Word - PRMAT sec99.doc Лекция 9 9 Изследване на функция Растене, намаляване и екстремуми В тази лекция ще изследваме особеностите на релефа на графиката на дадена функция в зависимост от поведението на нейната производна Основните

Подробно

54. НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА НАЦИОНАЛЕН КРЪГ Задача 1. Да се намерят всички тройки от естествени числа (x, y, z) такива, че 2005 x + y + 200

54. НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА НАЦИОНАЛЕН КРЪГ Задача 1. Да се намерят всички тройки от естествени числа (x, y, z) такива, че 2005 x + y + 200 54. НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА НАЦИОНАЛЕН КРЪГ Задача 1. Да се намерят всички тройки от естествени числа (x, y, z) такива, че x + y + 005 x + z + y + z е естествено число. Решение. Първо ще докажем,

Подробно

Eastern Academic Journal ISSN: Issue 2, pp , August, 2019 МЕТОДИ ЗА ИЗОБРАЗЯВАНЕ НА МНОГОСТЕНИ Снежанка И. Атанасова Университет по хра

Eastern Academic Journal ISSN: Issue 2, pp , August, 2019 МЕТОДИ ЗА ИЗОБРАЗЯВАНЕ НА МНОГОСТЕНИ Снежанка И. Атанасова Университет по хра МЕТОДИ ЗА ИЗОБРАЗЯВАНЕ НА МНОГОСТЕНИ Снежанка И. Атанасова Университет по хранителни технологии Пловдив sneja_atan@yahoo.com РЕЗЮМЕ В настоящата статия се разглеждат различни методи за изобразяване на

Подробно

СОФИЙСКА МАТЕМАТИЧЕСКА ГИМНАЗИЯ ТУРНИР ПО МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА "ЗА ТОРТАТА НА ДИРЕКТОРА" ТЕМА ПО МАТЕМАТИКА 8 КЛАС Задача 1. Да се реши в цели чис

СОФИЙСКА МАТЕМАТИЧЕСКА ГИМНАЗИЯ ТУРНИР ПО МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА ЗА ТОРТАТА НА ДИРЕКТОРА ТЕМА ПО МАТЕМАТИКА 8 КЛАС Задача 1. Да се реши в цели чис СОФИЙСКА МАТЕМАТИЧЕСКА ГИМНАЗИЯ ТУРНИР ПО МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА "ЗА ТОРТАТА НА ДИРЕКТОРА" ТЕМА ПО МАТЕМАТИКА 8 КЛАС Задача 1. Да се реши в цели числа уравнението p( + b) = (5 + b) 2, където p е просто.

Подробно

40 Глава 1. Тензорна алгебра 6. Пример тензор на инерцията на Ойлер В този момент нека прекъснем формалното изложение на тензорната алгебра за да обсъ

40 Глава 1. Тензорна алгебра 6. Пример тензор на инерцията на Ойлер В този момент нека прекъснем формалното изложение на тензорната алгебра за да обсъ 40 Глава 1. Тензорна алгебра 6. Пример тензор на инерцията на Ойлер В този момент нека прекъснем формалното изложение на тензорната алгебра за да обсъдим по-подробно два класически примера на двувалентни

Подробно

Решения на задачите от Тема на месеца за м. март 2018 Даден е многоъгълник, който трябва да бъде нарязан на триъгълници. Разрязването става от връх къ

Решения на задачите от Тема на месеца за м. март 2018 Даден е многоъгълник, който трябва да бъде нарязан на триъгълници. Разрязването става от връх къ Решения на задачите от Тема на месеца за м. март 2018 Даден е многоъгълник, който трябва да бъде нарязан на триъгълници. Разрязването става от връх към несъседен връх и открай до край, без линиите на разрезите

Подробно

munss2.dvi

munss2.dvi ОТГОВОРИ И РЕШЕНИЯ 3(x + y)(x xy + y )y(x y) 1. (Б) Преобразуваме: (x y)(x + y)(x + y ) x(x xy + y ) = 3y (x + y)(x y) x = (x + y ) 3 y x y x x + y = 3 y x (x y ) 1 ( x y ) + 1 = 3 ( 3 ) 1 9 3 ( 3 ) +

Подробно

Глава 13 Пълни многообразия Определение Пред-многообразието X е отделимо, ако диагоналът = {(x, x) x X} е затворено подмножество на X X. Отделим

Глава 13 Пълни многообразия Определение Пред-многообразието X е отделимо, ако диагоналът = {(x, x) x X} е затворено подмножество на X X. Отделим Глава 13 Пълни многообразия Определение 13.1. Пред-многообразието X е отделимо, ако диагоналът = {(x, x) x X} е затворено подмножество на X X. Отделимите пред-многообразия X се наричат многообразия. Ако

Подробно

Microsoft Word - IGM-SER1111.doc

Microsoft Word - IGM-SER1111.doc Лекция Редове на Фурие поточкова сходимост Теорема на Дирихле Тук ще разглеждаме -периодична функция ( ) която ще искаме да бъде гладка по части Това означава че интервала ( ) може да се раздели на отделни

Подробно

Microsoft Word - Tema-8-klas-PLOVDIV.doc

Microsoft Word - Tema-8-klas-PLOVDIV.doc МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА СЪЮЗ НА МАТЕМАТИЦИТЕ В БЪЛГАРИЯ Пролетен математически турнир 7 9 март 9 г., ПЛОВДИВ Тема за 8 клас Задача. Дадено е уравнението ax + 9 = x + 9ax 8x, където a е

Подробно

Задача 1. Да се реши уравнението софийски университет св. климент охридски писмен конкурсен изпит по математика II 31 март 2019 г. Tема 1 (x 1) x 2 =

Задача 1. Да се реши уравнението софийски университет св. климент охридски писмен конкурсен изпит по математика II 31 март 2019 г. Tема 1 (x 1) x 2 = Задача 1. Да се реши уравнението софийски университет св. климент охридски писмен конкурсен изпит по математика II 1 март 019 г. Tема 1 x 1) x = x x 6. Решение: 1.) При x

Подробно

Microsoft Word - PMS sec1212.doc

Microsoft Word - PMS sec1212.doc Лекция Екстремуми Квадратични форми Функцията ϕ ( = ( K се нарича квадратична форма на променливите когато има вида ϕ( = aij i j i j= За коефициентите предполагаме че a ij = a ji i j При = имаме ϕ ( =

Подробно

Microsoft Word - VypBIOL-10-Tvyrdo-Tialo.doc

Microsoft Word - VypBIOL-10-Tvyrdo-Tialo.doc Въпрос 10 МЕХАНИКА НА ИДЕАЛНО ТВЪРДО ТЯЛО Във въпроса Механика на идеално твърдо тяло вие ще се запознаете със следните величини, понятия и закони, както и с основните единици за измерване: Идеално твърдо

Подробно

Глава 5 Критерий за субхармоничност Да разгледаме някои общи свойства на полу-непрекъснатите отгоре функции, преди да се съсредоточим върху онези от т

Глава 5 Критерий за субхармоничност Да разгледаме някои общи свойства на полу-непрекъснатите отгоре функции, преди да се съсредоточим върху онези от т Глава 5 Критерий за субхармоничност Да разгледаме някои общи свойства на полу-непрекъснатите отгоре функции, преди да се съсредоточим върху онези от тях, които са субхармонични. Лема-Определение 5.1. Нека

Подробно

Microsoft Word - Sem03_KH_VM2-19.docx

Microsoft Word - Sem03_KH_VM2-19.docx Семинар Символи на Кронекер и Леви-Чивита. Видове произведения между вектори и тензори. В едно D евклидово пространство R³ имаме: Скалар: p брой индекси 0, брой компоненти 0 =. Вектор: a = a, a, ) брой

Подробно

ЛЕКЦИЯ 6 ЗАКОН ЗА ИНЕРЦИЯТА Определение. Броят на положителните коефициенти в каноничния вид на дадена квадратична форма се нарича положителен индекс

ЛЕКЦИЯ 6 ЗАКОН ЗА ИНЕРЦИЯТА Определение. Броят на положителните коефициенти в каноничния вид на дадена квадратична форма се нарича положителен индекс ЛЕКЦИЯ 6 ЗАКОН ЗА ИНЕРЦИЯТА Определение. Броят на положителните коефициенти в каноничния вид на дадена квадратична форма се нарича положителен индекс на инерцията на тази квадратична форма. Броят на отрицателните

Подробно

Р Е П У Б Л И К А Б Ъ Л Г А Р И Я М И Н И С Т Е Р С Т В О Н А О Б Р А З О В А Н И Е Т О, М Л А Д Е Ж Т А И Н А У К А Т А НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМ

Р Е П У Б Л И К А Б Ъ Л Г А Р И Я М И Н И С Т Е Р С Т В О Н А О Б Р А З О В А Н И Е Т О, М Л А Д Е Ж Т А И Н А У К А Т А НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМ Т Е М А ЗА 4 К Л А С Задача. Дуорите са същества, които имат два рога, а хепторите имат 7 рога. В едно стадо имало и от двата вида същества, а общият брой на рогата им бил 6. Колко дуори и хептори е имало

Подробно

Microsoft Word - VM22 SEC55.doc

Microsoft Word - VM22 SEC55.doc Лекция 5 5 Диференциални уравнения от първи ред Основни определения Диференциално уравнение се нарича уравнение в което участват известен брой производни на търсената функция В общия случай ( n) диференциалното

Подробно

Тест за кандидатстване след 7. клас Невена Събева 1. Колко е стойността на израза : 8? (А) 201; (Б) 226; (В) 1973; (Г) На колко е ра

Тест за кандидатстване след 7. клас Невена Събева 1. Колко е стойността на израза : 8? (А) 201; (Б) 226; (В) 1973; (Г) На колко е ра Тест за кандидатстване след 7 клас Невена Събева 1 Колко е стойността на израза 008 00 : 8? (А) 01; (Б) 6; (В) 197; (Г) 198 На колко е равно средното аритметично на 1, 1, и 1,? (А) 4, 15(6); (Б) 49, ;

Подробно

Microsoft Word - VM22 SEC66.doc

Microsoft Word - VM22 SEC66.doc Лекция 6 6 Теорема за съществуване и единственост Метричното пространство C [ a b] Нека [ a b] е ограничен затворен интервал и да разгледаме съвкупността на непрекъснатите функции f ( определени в [ a

Подробно

Microsoft Word - nbb2.docx

Microsoft Word - nbb2.docx Коректност на метода на характеристичното уравнение за решаване на линейно-рекурентни уравнения Стефан Фотев Пиша този файл, тъй като не успях да намеря в интернет кратко и ясно обяснение на коректността

Подробно

Microsoft Word - Lecture 14-Laplace Transform-N.doc

Microsoft Word - Lecture 14-Laplace Transform-N.doc Лекция 4: Интегрално преобразувание на Лаплас 4.. Дефиниция и образи на елементарните функции. Интегралното преобразувание на Лаплас Laplac ranorm се дефинира посредством израза: Λ[ ] преобразувание на

Подробно