Лекция 7: Граница на функция и непрекъснатост

Препис

1 Лекция 7: Граница на функция и непрекъснатост 7.1. Граница на функция. Да разгледаме функцията у дефинирана в дадено множество {} и точка а, която принадлежи на това множество. Дефиниция 1: Числото b се нарича граница на функцията у в точката х а, ако за всяка сходящ редица, х 1, х,..., х n,, с граница в точката а съответната редица от стойности на функцията, х 1, х,..., х n,, e сходяща с граница b. За да се означи граница на функция се използва символът: b 7.1 Функцията у може да има само една граница в точката а, понеже редицата {х n } може да има само една граница. Примери: e 7. e ln 1 cos 1 sin Граничните стойности на функциите при х могат да бъдат крайни: π e, rc, h вж. Фигури 4.4а, 5.5b, и 6.3а. В други случаи, на безкрайност функциите са разходящи:, e, sh 7.8 вж. Фигури 4.1, 4.4а, и 6.1а. За периодичните функции sin, cos,, и c не съществуват граници при х±. Aко съществуват границите на функциите и, b и с 7.9 oт свойствата на операцията граничен преход следват съотношенията: 33

2 ] b c, ] b c, 7.1 ] bc, / ] b / c c Граница на функцията у sin /. За тази функция не е очевидно каква е нейната граница, понеже и числителят и знаменателят клонят към при х. За да намерим въпросната граница, ще се възползуваме от факта, че са в сила неравенствата π sin при х < 7.1 което се вижда от преките изчисления. Делим неравенствата 7.1 на положителното число sin : 1 sin 1 cos при π х < 7.13 Като заместим в неравенствата 7.13 величините с реципрочните им стойности, получаваме: sin 1 cos при π х < 7.14 И понеже cos 1, от неравенствата 7.14 следва: sin Лява и дясна граница на функция Дефиниция : Числото b се нарича дясна лява граница на функцията у в точката х а, ако за всяка редица, х 1, х,..., х n,, с граница в точката а, чиито членове са по-големи по-малки от а, съответната редица от стойности на функцията, х 1, х,..., х n,, e сходяща с граница b. За дясна граница на функция се използват означенията: b или а b 7.16 За лява граница на функция се използват означенията: b или а b 7.17 Ако в точката а лявата и дясната раница съществуват и съвпадат, то в съответствие с Дефиниция 1, съществува и границата на функцията в тази точка. 34

3 Пример: На Фигури 7.1а и 7.1b са представени графиките на функциите ε а х и ε b х, дефинирани както следва: 1 при х ε 7.18а 1 при х < 1 при х > ε b при х 7.18b 1 при х < Фигура 7.1. Графики на функциите ε а х и ε b х дефинирани с ур. 7.18а и 7.18b. За функциите ε а х и ε b х е изпълнено: ε 1; ε ε а ε ± 1; ε ε ε 7.19b ± b b b В ур. 7.19а,b лявата и дясната граница съществуват, но не съвпадат. В ур. 7.19а стойността на функцията ε а х в точката х съвпада с дясната граница на функцията в тази точка. В ур. 7.19b стойността на функцията ε b х в точката х не съвпада нито с дясната нито с лявата граница на функцията в тази точка. Функцията ε b х често се означава със sn и показва знака на аргумента х. Названието на тази функция идва от латинската дума sinum знак. b 35

4 7.4. Непрекъснатост на функция Дефиниция 3: Функцията се нарича непрекъсната в точката х а, ако границата на тази функция в точката а съществува и е равна на стойността на фуннкцията в тази точка, а: 7. Ако функцията е непрекъсната във всяка точка от множеството {}, то казваме, че тя е непрекъсната в множеството {}. Примери: Функциите n, e, sin, cos, rc, sh, ch, h и Arsh са непрекъснати в интервала < х <. Функцията ln е непрекъсната в интервала < х <. Функциите rcsin, rccos и Arh са непрекъснати в интервала 1 < х < 1. Предвид ур. 7.1 и 7.11, ако функциите и са непрекъснати в дадено множество {}, то функциите, и също са непрекъснати в множеството {}. Частното на две функции, /, е непрекъснато в множеството {} навсякъде с изключение на точките в които функцията в знаменателя е равна на нула. Последните точки се наричат особени точки. Примери за частно на две функции с особени точки в нулите на знаменателя представляват функциите n и c ; виж ур. 5.13, както и Фигури 5.5а и 5.6а Класификация на особените точки 1 Отстранима особена точка. Точката а се нарича отстранима особена точка на функцията, ако граница на съществува в тази точка, но не е равна на а. Пример: cos при х 7.1 при х Този вид особеност може да се отстрани, като функцията се предефинира в точката х а така, че да бъде равно на а. Например, особеността в ур. 7.1 може да се отстрани като предефинираме 1. Особена точка от първи род. Точката а се нарича особена точка от първи род на функцията, ако в тази точка лявата и дясната граници на функцията съществуват, но не са равни една на друга, т.е.: 7. В особена точка от първи род функцията търпи краен скок. 36

5 Пример: Функциите ε а х и ε b х на Фигура 7.1 имат особена точка от първи род при х. Дефиниция: Функцията се нарича частично непрекъсната в интервал а, b] ако тя е непрекъсната навсякъде в интервала а, b] с изключение на краен брой особени точки от нулев и първи род, и границите и съществуват. b 3 Особена точка от втори род. Точката а се нарича особена точка от втори род на функцията, ако в тази точка лявата и/или дясната граници на функцията са безкрайност, или пък не съществуват. Пример: Функциите и с имат особена точка от втори род, съответно, при х π/ и х ; вж. Фигури 5.5а и 5.6а:, π / π / 7.3 c, c 7.3b Функцията ln има особена точка от втори род в граничната точка на своята дефиниционна област, х : ln 7.4 Типичен пример за несъществуваща граница на функция е sin1/. Лекция 8: Производна на функция. Правила за диференциране 8.1. Нарастване на аргумента и функцията. Производна. Нека х е малко нарастване на аргумента х на функцията у, такова че както х така и х х да принадлежат на дефиниционната област на. Съответното нарастване на функцията ще означаваме с у: 8.1 Пример: Нарастването на функцията у sin, съответствуващо на нарастване на аргумента х, е sin sin cos sin 8. вж. формула 8 в Таблица

6 Дефиниция: Производна,, на функцията у в дадена точка х наричаме границата: 8.3 Ако съществува границата в ур. 8.3, казваме, че функцията е диференцируема в точката х. Съответно, ако не съществува границата в ур. 8.3, казваме, че функцията не е диференцируема в точката х. Означението / е въведено от немския математик Лайбниц G. Leibniz, , а означението от френския математик и физик Лагранж J.-L. Lrne, Пример 1: С помощта на уравнения 8. и 8.3 намираме производната на функцията у sin : sin sin cos sin / / cos 8.3 където използвахме ур С други думи, производната на функцията sin съществува за всяка точка х от реалната ос и е равна на cos. Пример : С помощта на уравнения 8. и 8.3 намираме производната на функцията у : 8.4 Следователно, производната на функцията у реалната ос и е равна на. съществува за всяка точка х от 8.. Геометричен смисъл на производната. На Фигура 8.1 са изобразени графиката на дадена функция, у, както и нарастването на аргумента, х, и нарастването на функцията, у. За правоъгълния триъгълник, в който х и у са катети, имаме Фигура 8.1: ϕ 8.5 където ϕх х е срещулежащият ъгъл на катета у. Освен това, ъгълът ϕх х характеризира наклона на секущата PQ на кривата у ; вж. Фигура 8.1. При граничен преход х, секущата PQ преминава в допирателната тангентата към кривата у в точката х, а ур. 8.5 добива вида: ϕ

7 където ъгълът ϕх характеризира наклона на допирателната към кривата в точката х. При > функцията е нарастваща, докато при < тя е намаляваща. Фигура 8.1. Когато х, тогава точката Q клони към точката Р, и секущата PQ клони към допирателната РМ. С други думи, производната на функцията у в дадена точка е равна на тангенса от ъгъла на наклон на допирателната към кривата в тази точка вж. ур. 8.6 и Фигура 8.1. Освен това, при малко х, имаме у ϕ. Aко функцията у е растяща х и у имат еднакъв знак, тогава ϕ > ; т.е. ъгълът ϕ е остър: < ϕ < 9. Обратно, Aко функцията у е намаляваща х и у имат обратни знаци, тогава ϕ < ; т.е. ъгълът ϕ е тъп: 9 < ϕ < 18. На Фигура 8. е показана графиката на функцията при х > 8.7 при х < Фигура 8.. Графика на функцията зададена с ур В точката х тази функция е непрекъсната, но не е диференцируема. За функцията лявата и дясната граница на отношението у/х съществуват в точката х, но са различни: 1,

8 С други думи, функцията не е диференцируема в точката х. От друга страна, функцията е непрекъсната в точката х, както и във всяка друга точка х от реалната ос. Както се вижда от Фигура 8., в точката х графиката на разглежданата функция има чупка, т.е. наклонът на тангентата към кривата търпи краен скок. Aко една функция е диференцируема във всяка точка от интервала, b], то нейната графика е гладка, т.е. няма чупки Физически смисъл на производната. Много физически величини могат да се изразят като производни. Като пример, да разгледаме праволинейното движение на тяло по посока на оста х с променлива скорост, v, която зависи от момента време,. Преместването на тялото се описва от функцията х. Mоментната скорост на тялото представлява производната на функцията х по времето: v 8.9 На свой ред, ускорението на тялото представлява производната на функцията v по времето: v v v v 8.1 Сравнението на ур. 8.9 и 8.1 показва, че ускорението е равно на втората производна на преместването, х, по времето, : v Правила за диференциране на сбор, разлика, произведение и частно. Да разгледаме две функции, и, които са диференцируеми в точката х, т.е. съществуват границите:, 8.1 За краткост, ще използваме и означенията, Да разгледаме сумата, у, на двете функции. За нейната производна получаваме: ] ] ] 8.14 За случая на разлика, у, доказателството е напълно аналогично. С други думи, правилото за диференциране на сума и разлика има вида: 4

9 ] ± ± 8.15 Да разгледаме произведението на две функции, у. За нарастването на функцията ух получаваме: 8.16 Към дясната страна на последното уравнение прибавяме и изваждаме и групираме членовете по следния начин: ] ] 8.17 При последната стъпка, използвахме ур След това, делим ур на х и извършваме граничен преход х: 8.18 С други думи, доказахме равенството: ] 8.19 което е известно като формула на Лайбниц за диференциране на произведение. 3 Да разгледаме частното, у /, на две функции. За нарастването на функцията получаваме: 8. Към числителя прибавяме и изваждаме и групираме членовете: ] ] 8.1 След това, делим ур. 8.1 на х, и предвид ур получаваме: 8. Накрая, като извършим граничния преход х, получаваме формулата за диференциране на частно: ]

10 8.5. Правило за диференциране на обратна функция. Да разгледаме функцията у ух и нейната обратна функция, х ху. Производните на двете функции се дефинират както следва: ; 8.4 Тук у е нарастването на функцията у ух съответствуващо на нарастване на аргумента х. Обаче, х и у са едни и същи за правата и за обратната функция, вж. Фигура 8.1. Следователно, х може да се интерпретира и като нарастването на обратната функция, х ху, съответствуващо на нарастване на нейния аргумент у. В допълнение към това, имаме: В съответствие с ур. 8.4, граничният преход х и у в ур. 8.5 дава: 1 1 или 8.6 С други думи, производната на обратната функция е равна на реципрочната стойност на производната на правата функция. Уравнение 8.6 задава правилото за диференциране на обратна функция Правило за диференциране на функция от функция. Да разгледаме сложната функция z z]. Задаването на тази сложна функция или функция от функция е еквивалентно на задаването на двете обикновени функции: z z и. По дефиниция имаме: z z z z ; ; 8.7 Освен това, в сила е тъждеството: z z 8.8 В съответствие с ур. 8.7, граничният преход х и у в ур. 8.8 дава: z z или z z 8.9 Уравнение 8.9 задава правилото за диференциране на функция от функция. Пример: 8.3 ] където използвахме факта, че производната на константа е нула, /, oсвен това, / / 1. 4