МАТЕМАТИКА клас

Препис

1 Career ROCKET: Respect, Opportunities, Choice, Knowledge, Equality and Training JUST/2015/RGEN/AG/ROLE/9706 МАТЕМАТИКА 5-12 клас Автор: Доц. д-р Николина Георгиева ДИУУ СОФИЯ, 2018 GERT Тази публикация се осъществява с финансовата подкрепа на програмата Права, Равенство и Гражданство (REC) на Европейския съюз. За съдържанието на тази публикация носи отговорност единствено консорциумът от НПО, с водеща организация ф-я ДОИТ и при никакви обстоятелства то не може да се разглежда като отразяващо мнението на Европейската Комисия.

2 Обучението по математика 5 12 клас Това пособие е предназначено за учители, преподаващи математика от 5 до 12 клас и има за цел да им помогне да повишат интереса на учениците към този предмет чрез използване на интерактивни и нестандартни методи и задачи и същевременно да интегрират идеята за равнопоставеност на момчетата и момичетата в сферата на точните науки. Исторически жените не са били насърчавани да учат математика, тъй като това се е считало за мъжка работа. Това убеждение е останало хиляди години в обществата, доминирани от мъже. В резултат на това жените са били държани настрана от математиката като общо правило. Въпреки това обаче светът познава множество забележителни жени математички, чиито имена, макар и слабо познати от съвременното общество са останали завинаги гравирани в историята на науката математика. Tеона е известна като първата жена математик. Родена през 6-ти век преди н.е. тя е учила математика от великия Питагор, за когото се омъжва. Питагор е насърчавал жените от своя кръг да учат математика. След него и великите философи като Сократ и Платон са отворили вратите на своите академии за жени, за да учат математика. След Теона в продължение почти на 1000 години светът не е запомнил друга жена математик, докато на сцената не се е появила през 4-ти век александрийската математичка Хипатия. Хипатия успяла да реши множество нерешени математически задачи, а освен това била и изключителен учител. Хипатия успява да подготви забележителни астрономически карти. Тя твърдяла, че математиката е единственият път към истината. Това нейно твърдение предизвикало неодобрението на религиозните лидери и по-късно струвало живота й. Смъртта на Хипатия сложила край на рационалната традиция на математиката в Александрия и упадъкът на математическата наука в Гърция започнал. Необходими били 1200 години, за да се възроди интереса и възхода на математиката, отбелязан с трудовете на Рене Декарт (Франция). По това време се появило и детето чудо Мария Анези, която има огромен принос в областта на смятането. Тя е автор на множество учебници по аритметика, алгебра, тригонометрия, аналитична геометрия и др. Като жена е срещала много трудности да си намери работа като преподавател или като изследовател. Тя е призната като първата жена професор по математика. Оттогава до днешни дни много жени са посветили живота си на математиката, но съзнателно или не, обществото рядко ги изтъква на преден план. Този наръчник има за цел да предостави на учителите нови възможности за мотивация на учениците в ориентацията им към науката математика. Първата група възможности са свързани с насърчаването и на двата пола към науката математика и нейните приложения, към формиране на интереси по проблематиката. Включени са идеи от дискретната математика, като описателна статистика, вероятности и комбинаторика по новите учебни програми.

3 Втората група възможности са свързани с осмисляне на равнопоставеността на половете и правата на жените в науката математика и нейните приложения. Представени са жени-изследователи, които са останали в историята на математиката със своите постижения Идеите се отнасят към теми от учебните програми по предмета в различни класове с възможности за избор от страна на учителя и адаптация в контекста на годишните тематични разпределения. Педагогическите ситуации включват комплекс от активни методи в рамките на новата образователна парадигма, описваща себе си като центрирана върху ученика, неговото развитие чрез индивидуална активност и взаимодействие с разнообразни средства за обучение и самообучение, разнообразни организационни форми на обучение, изграждане на цялостна образователна среда, насърчаваща самостоятелното или колективното придобиване на познания в един бързо развиващ се и променящ се свят. Тези ситуации могат да се обобщят по следния начин: Подготвени учебни дейности за групи ученици, които обсъждат учебното съдържание при преподаването му от дискусии до ролеви игри, учебни казуси, проекти и семинари. Учене чрез действие, изпълнение и представяне на продукт от страна на учениците. Възможности за уеб-препращане; уеб-търсене; уеб-проучване и Е- mail-проект. Учениците са активно въвлечени в учебния процес, като преподавателят е в ролята на режисьор. Активното учене включва четене, писане, дискусии, решаване на проблеми, анализ, синтез, оценяване, рефлексия/разсъждаване, обясняване и оценяване на собствения нов опит/.

4 Задачи от учебното съдържание по математика за 5 клас (нова учебна програма) І тема: Делимост В тази тема се въвеждат следните нови понятия: делител, кратно, остатък, общ делител, найголям общ делител, общо кратно, най-малко общо кратно, признаци за делимост, просто число, съставно число, прост множител, взаимно-прости числа, степен. Задача: Математическо състезание чрез тест, изработен от учителя. Срок за изпълнение 1 час Учителят разделя класа на 2 групи - момичета и момчета. Дава им самостоятелна работа с основни задачи от изучения раздел. След проверка на самостоятелните работи, учителят отчита резултатите на отделните групи. Учениците правят анализ на това, коя група се е справила по-добре момичетата или момчетата. Въпрос: Кой е по- добър по математика- момичетата или момчетата? Рефлексия и изводи: Събeрете писмените работи на учениците. Попитайте ги доколко са сигурни в отговорите си. Учениците допускат степен на сигурност. Дайте им верните отговори и ги накарайте да се самооценят Направете анализ на получените резултати, подчертайте допуснатите грешки и на какви пропуски в знанията и уменията им те се дължат. ІІ тема: Обикновени дроби В обучението по математика в 5 клас централно място заема изучаването на дробите. Това е първото разширение на множеството на целите числа до множеството на положителните числа, с което учениците се запознават. Най-важният момент при това разширение е разкриване на идеята за това разширение. При изучаването на действията с дроби има възможност да се покаже кои операции са изпълними в множеството на дробните числа, а не са изпълними в множеството на целите числа. В 5 клас това е възможно да се обясни на учениците само чрез практически примери, обосноваващи разширението. Във всички езици понятието за дробно число се обозначава с думи със същия корен като раздробявам, разчупвам ; на латински дроб е fractura, което е производно от frango ( разбивам, начупвам ).Първи с понятието за дроб са боравили арабите, а в европейската математика е въведено в началото на 13 век от Фибоначи. Названията числител и знаменател се срещат у Максим Планут в края на 13 век. През 1558 г. Траншан въвежда обикновената дроб (fractura vulgaris), унгарецът Зегнер въвежда термините правилна и неправилна дроб.първото писмено свидетелство за привеждане под общ знаменател е открито у Региомонтан в негова работа от 1464 г., а най-малък общ знаменател започва да се търси едва през втората половина на 16 век, след трудовете на Николо Тарталия (1556) и Христофор Клавий (1538).

5 Задача: Учителят разделя класа на 2 групи - момичета и момчета. Дава им самостоятелна работа: всеки за своя пол да изрази каква част от класа е, отличните оценки на своя пол каква част са от всички оценки в класа по математика до този момент, много добрите оценки каква част са... и т. н. След беседа по самостоятелната работа на учениците, учителят отчита резултатите на отделните групи. Учениците правят анализ на това, коя група се е справила по- добре - момичетата или момчетата. Задача-търсене: Разделете класа на групи и им поставете задача да намерят практически примери, чрез които да се обоснове необходимостта от изучаване на дробните положителни числа. Да проучат също, кои дроби са се появили първи в древността обикновенните или десетичните? Да подготвят конкретни примери. Срок на изпълнение - една седмица. Рефлексия и изводи. Когато групите докладват своите идеи коментирайте приложимостта на новото множество от числа във всекидневния живот с практически примери. Историческата последователност на появяването и употребата на видовете дроби се спазва и при изучаването им в училище по новите програми. Обикновените дроби се изучават преди десетичните, защото те са се появили още при древногръцките математици. При обяснението и оценяването на новия собствен опит на учениците, учителят може да допълни с исторически сведения за появата и използването на числата от древността до наши дни. За мотивирането на учениците може да се дадат за домашна работа намирането на интересни исторически факти за появата и развитието на понятието число. Задача: Учителят разделя класа на 2 групи - момичета и момчета. Дава им самостоятелна работа за 15 минути по темата (Да се покаже наученото: НОК и НОЗ, допълнителни множители, разширяване на дроби). След проверка на самостоятелните работи, учителят отчита резултатите на отделните групи. Учениците правят анализ на това, коя група се е справила по- добре - момичетата или момчетата. ІІІ тема: Десетични дроби В тази тема освен понятието десетична дроб, нейните части и операциите с тях е включено разчитане и интерпретиране на информация, представена с текст, с графики, с таблици или диаграми; Сравняване информация при свързани множества от данни; Използване информацията от графично и таблично представени данни, за да се отговори на въпроси, които са косвено свързани с таблицата или графиката. Нови понятия: процент, проста лихва, диаграма, пиктограма. Десетичните дроби получават широко разпространение в края на 16 век след отпечатването на книгата De Thiende ( Десетата ) на фламандския инженер Симон Стевин (1585). Превръщането на обикновени дроби в десетични и обратно се разглежда от Кавалиери през 1643 г. Десетичната запетая е въведена през 1529 г. от италианския астроном Маджини, а покъсно отново лансирана от Непер. До този момент е била използвана вертикална черта, нула в скобки или различни мастила: черно за цялата част и червено за дробната. Задача : В училище се провежда олимпиада по математика. При правилно решение на всички задачи (примерно 9 задачи) се получават 40 точки. Оценяването се извършва по следните правила:

6 От 1 до 10 точки слабо представяне; От 11 до 20 точки - удовлетворително представяне; От 21 до 30 точки - добро представяне; От 31 до 40 точки отлично представяне. На отлично представили се ученици се връчват награди, а на добре представилите се се връчват грамоти. Резултатите могат да се представят в следната таблица: Брой точки Пресмятане Брой ученици /// ///// // ///// / //// Общо 20 От таблицата се вижда, че само 4 ученика ще получат награди, а 6 ученика ще получат грамоти. Рефлексия и изводи. Направете дискусия за математическите състезания и с какво те допринасят за насочването на учениците към изучаването на математиката. За пример, разгледайте биографията на едно от българските момичета получили награди и медали в международните олимпиади по математика.споделете постиженията на Виолета Найденова от СМГ. Виолета Найденова е златното момиче на математиката (шампионка от международни олимпиади) Виолета Найденова e ученичка е в 12-и клас в Столичната математическа гимназия и подобно на българските гимнастички е златно момиче, но в математиката. Успяла е да натрупа пет медала от международни състезания, а преподавателите и я определят като една от най-големите надежди на математиката. Красив ум е краткото определение за Виолета. Започнах да се занимавам с математика от малка. Родителите ми ме записаха на уроци по математика в СМГ в четвърти клас. По-късно се записах там на училище и решаването на задачи се превърна в ежедневие, разказва осемнадесетгодишната Виолета Найденова. От всички олимпиади до момента младото момиче има 3 сребърни медала от балкански олимпиади по математика, един бронзов и един сребърен от международни състезания. За кратко в девети клас Виолета се занимава и с физика, но решава да прекрати и продължава само с математика. В България състезанията по математика са есенни, пролетни и зимни. Основното състезание е националната олимпиада, от която се подбират и националите ни за балканските и международните състезания. Преди да се избере кои са шестимата избрани, се прави разширен отбор от 26 души от 9-12-и клас. Следват серия контролни и състезателите се подбират според оценката. Срещу 107 математици от цял свят е трябвало да се изправи Виолета през миналата година на олимпиадата в Хонконг. Година по-рано е имала и състезание в Тайланд, във втория по големина град след Бангкок - Чианг Май. В свободното си време Виолета ходи на балет. Тя казва: За мен балетът е по-скоро почивка. Отпуска ме и ми помага.

7 Тема: Изключителни жени математици Задача: Учителят поставя задача на класа да намерят информация за изявени математици - жени. Учениците правят презентации за математиците жени (Мариам Мирзахани от Иран, Марина Ратнър - еврейка, родена в СССР, Мери Феърфакс Самървил от Шотландия и много други). ІV тема: Основни геометрични фигури В тази тема се разглеждат фигурите триъгълник, успоредник, ромб, трапец и техните елементи. Предвижда се изучаване и на видовете фигури, както и техните обиколки и лица. Задача - упражнение Учене чрез действие, изпълнение и представяне на продукт от страна на учениците. Целта е да се извършат реални измервания на предмети от заобикаляща учениците обстановка или модели с форма на видове триъгълници, успоредник, ромб, трапец. Да се намерят програмни продукти за демонстрация на геометричните фигури от този раздел. Учениците да придобият практически умения за чертане на тези фигури върху квадратна мрежа. Рефлексия и изводи: Направете дискусия за точното измерване на фигурите от реалния свят и подгответе учениците за по-нататъшното изучаване на закръглянето на числата със съответната точност. V тема: Геометрични тела В тази тема се изучават правоъгълен паралелепипед, куб, техните елементи връх, ръб, развивка, дължина, широчина, височина; лице на околна повърхнина; обем и техните мерни единици. Задача: Учене чрез действие, изпълнение и представяне на продукт от страна на учениците. Темата е Математическа работилница При организирането на урок Математическа работилница се постига активно учене чрез действие, изпълнение и представяне на продукт от страна на учениците. За целта може да се използват поредицата от блокчета с геометрични тела на издателство Просвета за 5 клас. Там се съдържат модели на телата и техните развивки и могат практически да се изрязват и сглобяват телата куб и правоъгълен наралепипед. Рефлексия и изводи: Направете дискусия за техните елементи връх, ръб, развивка, дължина, широчина, височина на двете тела и обсъдете точното им сглобяване. Важно е учениците да научат мерните единици за тези елементи и да ги измерят фактически при сглобените вече тела. Предложената практическа задача развива представите на учениците за пространство и обем.

8 Задачи от учебното съдържание по математика за 6 клас (нова учебна програма) І тема: Геометрични фигури и тела В тази тема се изучават понятията многоъгълник, правилен многоъгълник, окръжност и кръг, и продължава изучаването на телата - права призма и правилна пирамида, прав кръгов цилиндър и прав кръгов конус, сфера и кълбо. Ученикът разпознава развивките на тези тела, умее да намира обиколка и лице на равнинни фигури, лице на повърхнина и обеми на тела. Умее да прилага изученото за решаване на задачи с практически характер. Умее да изработва модели по зададени стойности на елементите на права призма, правилна пирамида, прав кръгов цилиндър, прав кръгов конус, както и изработване на дигитални изображения на тела, което развива уменията за изразяване чрез творчество. Използването на софтуерни продукти за чертане на блокова и линейна диаграма развива дигиталната компетентност на учениците. Задача: Учене чрез действие, изпълнение и представяне на продукт от страна на учениците. Темата е Математическа работилница. При организирането на урок Математическа работилница се постига активно учене чрез действие, изпълнение и представяне на продукт от страна на учениците. За целта може да се използват поредицата от блокчета с геометрични тела, на издателство Просвета за 6 клас. Там се съдържат 7 модела на телата правилна триъгълна призма; правилна шестоъгълна призма, правилен тетраедър; правилна четириъгълна пирамида; четириъгълна пирамида; прав кръгов цилиндър; конус с разрез и техните развивки и могат практически да се изрязват и сглобяват посочените тела. Рефлексия и изводи. Направете дискусия за елементи на телата - права призма и правилна пирамида, прав кръгов цилиндър и прав кръгов конус, сфера и кълбо връх, ръб, развивка, дължина, широчина, височина на посочените тела и обсъдете точното им сглобяване. Важно е учениците да научат мерните единици за тези елементи и да ги измерят фактически при сглобените вече тела. Предложената практическа задача развива представите на учениците за пространство и обем. ІІ тема: Рационални числа В тази тема учениците се запознават с отрицателните числа, като се прави съпоставка между положителни числа и отрицателни числа. Формира се множеството на рационалните числа.учениците изучават още абсолютна стойност на числата, правоъгълна координатна система, наредена двойка числа, координати на точка. Най-важният момент при това разширение е разкриване на идеята за това разширение. При изучаването на действията с положителни числа има възможност да се покаже кои операции са изпълними в множеството на рационалните числа, а не са изпълними в множеството на целите положителни числа. В 6 клас това е възможно да се обясни на учениците чрез възможността от по-малко число да се извади по-голямо и чрез практически примери, обосноваващи разширението.

9 Задача 1-търсене: Разделете класа на групи и им поставете задача да намерят практически примери, чрез които да се обоснове необходимостта от разширяване на множеството на положителните числа с изучаване на отрицателните числа. Задача 2: уеб-препращане: Заданието е предназначено за допълнителна работа извън редовните часове по математика в 6 клас в този раздел. То стимулира самостоятелното и екипно проучване на исторически факти, във връзка с възникването и приложението на правоъгълната равнинна координатна система и на нейния създател Рене Декарт. Учениците разширяват своите математически познания, което ги мотивира и стимулира за учебен труд. Възникване на координатната система Координатната система е открита от Рене Декарт, велик френски математик. Изучавайки тази система в 6 клас, вие забелязвате, че се използва и в някои други учебни предмети, като физика, география и др. У вас възникват редица въпроси като: кога е направил това откритие великият Декарт? Какви са историческите факти? и др. Знаете, че в Интернет има информация по този въпрос. Задача: Влезте в Интернет и посетете следния адрес: Прегледайте внимателно информацията за координатната система и за Р. Декарт. Може да потърсите информация и в други сайтове и отговорете на следните въпроси: 1. Исторически сведения за Рене Декарт - кога е живял, кои са неговите най-големи математически открития? 2. Основни свойства на правоъгълната равнинна координатна система. 3. Има ли и други видове координатни системи? Цели: Допълване на информацията по проблема от уроците, чрез търсене и анализиране на допълнителна информация от Интернет. Подготвяне на съобщение, което се изпраща по електронна поща на учителя и на членове на други екипи. Процес: - Работете в екип със свои съученици - Проучете информацията, която сте намерили в Уеб-сайта - Потърсете още информация и чрез търсачки по основни думи - Напишете съобщение без ограничения в обема - Изпратете съобщението на вашия учител и на други групи - Подгответе се за дискусия в следващите часове по математика Време: 1 седмица Източници: Кратка математическа енциклопедия; Книги за историята на математиката Помощ: Проучете посочената литература. Коментирайте със съучениците си в групата. При необходимост, поискайте помощ от учителя си. Продукти: Да се изпратят по електронна поща до учителя и съучениците от другите групи. Прикаченият файл е съобщението, което ще обсъждате в следващи часове по математика Оценка: Учителят ще прочете вашите разработки, ще провери дали информацията е вярна, дали проучването е обхванало повече източници; дали изложението е интересно и съдържа исторически факти. Допълнения: При необходимост, учителят прави инструкция как да се търси информация в Интернет. Използване на време от учебния час за записване на план за работа по темата. Рефлексия и изводи. Направете дискусия за математиката, нейният произход и развитие. Особено място в тази дискусия отделете на използването на координатната система от природните науки, като география, физика, химия и др. ІІІ тема: Степенуване и ІV тема Уравнения В първата тема е включено за изучаване действието степенуване; числени изрази съдържащи степени; операции със степени с равни основи; правила за степенуване на произведение,

10 частно и степен; степен с нулев показател и степен с цял показател; стандартен запис на числата; Питагорова теорема. Във втората тема се изучават числовите равенства и уравнения от вида ax + b = 0 (a 0) с техните свойства, както и правилата за решаване на уравнения. Решават се задачи за моделиране с уравнения приложение на степените, питагорови тройки. Задача: Дайте за решаване текстова задача, в която да се застъпва проблемът с равноправието на мъжете и жените и която води до съставяне на уравнение от вида ax + b = 0 (a 0). Рефлексия и изводи. Математическото моделиране, макар и в твърде елементарен вид, е много важна част от компетенциите, които учениците трябва да придобият. То е свързано и с използване на научните методи абстрахиране, анализ, синтез и др. за решаване на практически проблеми/задачи/. В този случай моделирането е приложимо и при обосновка на равноправието на половете. V тема: Пропорции В тази тема са предвидени да се изучат понятията отношения, пропорции, коефициент на пропорционалност. Много време е отделено на свойствата на пропорциите и приложението им. Правата и обратната пропорционалност и графичното й изобразяване чрез графика, разчитане на данни чрез диаграми и графики. Задача: Направете презентация с илюстрации на правата и обратната пропорционалност при практическа ситуация. По избор учителят може да раздели класа на групи и да диференцира задачата за избрани графични или диаграмни представяния. Възможна тема за обсъждане е необходимостта от пропорционално участие на жените и мъжете в управленските позиции на всички нива. В помощ на учителя: Мъжете и жените, както и момичетата и момчетата, са преживели в своето многовековно развитие различен опит и история, които са формирали различни техни нужди, приоритети, знания и умения, начини на решаване на конфликти и пр. Въпрос на степен на развита демокрация е балансираното участие на двата пола във вземането на решения, защото само тогава решенията, политиките и законите биха отразили всички тези важни разлики и биха отговорили по-пълно на съответните обществени нужди. Следователно, ако жените са средно 51% от населението на една страна, а мъжете са съответно 49%, то следва, че и в приблизително такава пропорция, те би трябвало да присъстват в управленските позиции; ако в една политическа партия жените представляват 40% от членската маса, то в приблизително такова съотношение те би трябвало да участват в нейните управителни органи и пр. Нещо повече, управленските решения са властови отношения, при които се контролира разпределението на благата и ресурсите на обществото, а справедливостта изисква то да удовлетворява и двата пола. Например: тъй като жените по-често са се занимавали с отглеждането на децата и с обгрижването на болни и/или възрастни хора вкъщи, те са придобили уникално познание за най-ефикасния начин за предоставяне на здравни и социални услуги, който трябва да се отчита при формулирането на политиките. В същото време, ако приемем това за женски бизнес, нуждите и вижданията на мъжете в обществото може да не се отчетат от обществото. В този смисъл, включването на повече мъже в тези дейности не само ще отчете техното мнение, но и ще ги окуражи да участват по-активно в тези сфери на дейност, което ще има положителен ефект върху цялото общество.

11 Рефлексия и изводи. Чрез презентациите учениците трябва да покажат дигитална компетентност и езикова компетентност. Презентациите могат да се придружават с доклади с исторически сведения за дял Пропорции и конкретни интересни задачи. VІ тема: Елементи на вероятности и статистика В тази тема са включени знания и умения за сравняване и съпоставяне на различни графични и таблични данни. Предвидени са и умения за организиране и представяне на емпирични данни в таблици и диаграми. Средно-аритметичното се използва за интерпретиране на тези данни. Задача: Уеб проучване. Учениците да проучат изследователския състав на института по математика и информатика на БАН чрез ГУГЪЛ: ИМИ на БАН. Да направят таблица и графика на съотношение жени / мъже по изследователски направления. Рефлексия и изводи. Коментирайте участието на жените в изследователската дейност на института. При представянето на резултатите от проучването в часа може да се организира и дискусия на тема Ролята на жените в българската наука.

12 Задачи от учебното съдържание по математика 7 клас (проект на учебна програма) І Тема. Цели изрази В тази тема се изучава важно учебно съдържание по алгебра. То включва: рационални изрази; променливи; числена стойност на израз; едночлени нормален вид, събиране и изваждане на едночлени; подобни едночлени; умножение, делене и степенуване на едночлени; многочлени, нормален вид; операции с многочлени събиране, изваждане, умножение.; умножение на многочлени с едночлени и многочлени с многочлени; тъждествата ( = ± 2ab + ( ± 3 b + (a + b) ( a - b) = - (a + b) ( ± ab + ) формули за съкратено умножение; разлагане многочлени на множители чрез изнасяне на общ множетел, чрез формулите за съкратено умножение, чрез групиране и чрез комбинирани методи. Приложения за решаване на алгебрични задачи. Задача: В обобщителния урок разделете класа на две групи момичета и момчета. Дайте им тест или контролна работа, в които сте включили основни задачи от темата. След изпълнението направете анализ на резултатите. Коя група се е справила по-добре? Учителят може да изготви кръгови диаграми с резултатите на отделните групи, изразени в % Рефлексия и изводи. При анализирането на обобщените резултати сравнете резултатите, обработени до %. Направете дискусия по проблема за представянето на двете групи. В световен мащаб, като цяло, математиците са повече от математичките. Една от причините за това е, че в миналото жените са имали ограничен достъп до образование и научни изследвания, въпреки, че обективно възможностите на двата пола за изучаване на математиката са еднакви. В историята на математиката има и женски имена, които си заслужава да бъдат запомнени. Едни от най-известните жени математици са: Еми Ньотер, Софи Жермен, София Ковалевска, Мариана Чорни, Емили дьо Шатле и др. Амали Еми Ньотер (Amalie Emmy Noether), известна като Еми Ньотер, е немска математичка, известна с трудовете си по алгебра и алгебрична геометрия, както и с преподавателската си дейност. Тя е един от най-значимите математици в началото на 20 век и от жените, които остават в историята на науката. Родена е на 23 март 1882 г. На нейно име е наименована една от най-важните теореми във физиката Теорема на Ньотер: За всяка непрекъсната симетрия на физична система има съответен закон за съхранение. Огромна част от работата на Еми Ньотер е свързана с алгебрата, където тя е допринесла за създаването на ново направление, известно като абстрактна алгебра. Еми Ньотер е един от математиците допринесли за развитието на общата теория на относителността. След като получил работата й, Айнщайн пише на Хилберт: Вчера получих от фрау Ньотер една много интересна работа за инвариантите. Впечатлен съм, че такива неща могат да бъдат разбрани по един обобщен начин, старата гвардия в Гьотинген трябва да вземе няколко урока от фрау Ньотер! Тя изглежда разбира нещата. През 1918 г. Ньотер доказва една от най-полезните теореми за физиката.тя е математик в момент, когато за жените в родната й Германия все още им е необходимо специално разрешение да присъстват в

13 университетите и да преподават. Тази жена с обширен и фундаментален принос в много области на математиката е била принудена да преподава от името на някой мъж-колега. Ньотер е предложена от Давид Хилберт и Феликс Клайн за преподавател в Гьотинген през 1915 г. Но опитите на Давид Хилберт да я направи доцент в Гьотинген се провалили заради предразсдъците на ръководството на университета. Той заявил: Не разбирам защо пола на кандидата е аргумент срещу избирането й за преподавател. Все пак тук е университет, а не мъжка баня! Aйнщайн се възхищава от нейните постижения. През 1935 г., след нейната смърт, в писмо към Ню Йорк Таймс, той пише: По преценката на най-компетентните живи математици, госпожица Ньотер беше най-значимият творчески математически гений, създаден откакто жените получават висше образование. Тема: Жени- математички Задача: Учениците подготвят презентация за първата жена- математик Теано/ Теона. Разказват за живота й и коментират трудностите, пред които е изправена една жена от далечното минало, в стремежа й да се изучи и развие като учен. Въпрос: Защо в миналото е било недопустимо жените да учат? Задача: Учениците подготвят презентация за известната жена-математик, физик и астроном от Александрия Хипатия. Разказват за живота й и коментират трудностите, пред които е изправена една жена от далечното минало, в стремежа й да се изучи и развие като учен. Въпрос: Как Хипатия постига своите успехи във време, в което на жените не се гледа като на блестящи умове? ІІ Тема: Уравнения Уравнението е математитическо равенство, съдържащо една или повече променливи. Решаването на уравнението се състои в намирането на стойностите на променливите, за които равенството би било изпълнено. Променливите се наричат също неизвестни, а стойностите, за които равенството е изпълнено решения на уравнението. Уравнението е равенство, което не е задължително да бъде изпълнено за всички възможни стойности на променливата. Съществува голямо разнообразие от уравнения, които намират приложение в различни области на математиката, като методите за тяхното решаване се различават, в зависимост от вида на уравнението. В тази тема се разглеждат линейни уравнения и свеждащи се до линейни. Решават се текстови задачи от движение, работа, смеси и сплави и др. Задача: Учениците да си припомнят уравненията в математиката и да обърнат внимание на уравненията, пред които ни поставя животът. Учителят припомня забраните пред жените да учат и да се занимават с научна дейност в миналото; провокира учениците да направят съпоставка на възможностите за обучение на жените в миналото и днес. Въпроси: Пред равни възможности ли са поставени в днешно време жените и мъжете? Равнопоставени ли са двата пола понастоящем? Задача: Дайте за домашна работа на учениците да намерят от сборници, учебници и други пособия текстови задачи, които водят до математически модел линейно уравнение.

14 Рефлексия и изводи: При обсъждането на задачите е добре да се вземат такива задачи, които са давани на конкурсния изпит след 7 клас. Ако учениците не са подготвили такива, учителят да предложи задачите от последните 2-3 години от изпита. Това ще ги стимулира да решават подобни задачи, готвейки се за кандидатстването след 7 клас. ІІІ Тема: Основни геометрични фигури В тази тема се изучават геометрични фигури, ъгъл, перпендикярни и успоредни прави и триъгълник. Решават се задачи с тези основни геометрични фигури. Учениците за първи път ще се срещнат с V аксиома на Евклид за успоредните прави, свойства на успоредните прави, сбор на ъглите в триъгълника, външен ъгъл за триъгълника. Задача: Направете проучване за възникването на геометрията. Коментирайте възникването на древната геометрия и връзката й с философията. Девизът на математико-философските школи от времето на Евклид бил Който не знае математика да не влиза.определете кои факти от историята могат да се свържат с неравнопоставеността между мъжете и жените. Проведете дискусия по темата. Рефлексия и изводи: Историческите факти за възникването на геометрията са важни за придобиване от учениците на представа за аксиоматичното изграждане на геометрията. Целесъобразно е да се изтъкне пред учениците, че в днешно време една област се признава за наука само ако е изградена дедуктивно т.е аксиоматично. Може да споменете, че последната научна област, призната за наука е Теорията на хаоса. Тя е последното постижение на 20 век. Алисия Бул Стот, родена на 8 юни 1860 г. в Корк, Ирландия е гениална математичка, специалист по политопи (фигури в 4-измерно пространство). Алисия е третата от 5-те дъщери на английския математик Джорж Бул, създател на алгебрата на съжденията (булева алгебра) и Мери Еверест Бул, математик и есеист, работеща в тясно сътрудничество с Хърбърт Уелс и Чарлз Дарвин. Една от сестрите на Алисия Бул е писателката Етел Лилиян (Бул)Войнич, автор на световно известния роман Стършел. Алисия не получава специално математическо образование но е запленена от разработките на зет си Джордж Хоуард Хинтън в областта на политопите и 4-мерното пространство и темата се превръща в тема на живота й. През 1893 г. тя научава, че Питър Шауте, математик от университета в Гронинг работи по същата тема и това е началото на продължително и плодотворно сътрудничество. Алисия участва с капацитета си да визуализира в пространството, докато Питър допълва работата и с формалното математическо описание. През 1914 г. тя получава титлата доктор хонорис кауза от университета в Гронинг. Политопът представлява генерализация на тяло в n - мерното пространство, също както полигонът (многоъгълник) е фигура в двумерното пространство а полиеъдърът е тяло в тримерното пространство. Терминът политоп е въведен от Рейнолд Хоппе през 1882 г. и популяризиран 20 години по-късно от Алисия Бул, когато тя го въвежда и в английския език. В 4-мерното пространство политопите се наричат полихори и може да си ги представим като тела полиедъри, които се придвижват в четвърто измерение например във времето. Политопите могат да бъдат изучавани, но е много трудно да бъдат визуализирани и това именно е една от най-големите заслуги на Арисия Бул. Именно тя си задава въпросът Каква форма ще видим ние, ако 4-измерен обект премине през нашето три-измерно пространство? ІV Тема: Еднакви триъгълници В геометрията две фигури са еднакви ако те имат едни и същи размери и форма. В този раздел се изучават четирите признаци за еднаквост на триъгълници; Равнобедрен, равностранен и правоъгълен триъгълник. Симетрала, медиана, височина и ъглополовяща на триъгълник; Теоремата за правоъгълен триъгълник с ъгъл.

15 Задача: Учителят може да направи презентация за това учебно съдържание с динамичен софтуер. Нагледността спомага за по-бързото усвояване на съдържанието. Тя спомага и за формиране на умения за доказване на теореми и за формиране на логическо и дедуктивното мислене на учениците. Направете дискусия за появяването, развитието и аксиоматизирането на геометричното учебно съдържание. Кои математици са с найголеми приноси в тази област. Рефлексия и изводи: При дискусията да се подчертае, че навлизането на жени-изследователи в тази област става доста късно през втората половина на 18 век и началото на 19 век, когато математиката се развива бурно и в някои страни започва да се разрешава на жените да учат във висши курсове по математика. V Тема: Неравенства Две числа или два числови израза, свързани с един от знаците > или <, образуват числово неравенство. Всеки един от тези знаци се нарича знак на неравенството. Числото или изразът, който стои отляво(отдясно) на знака на неравенството, се нарича лява(дясна) страна на неравенството. Неравенства, които имат един и същи знак, се наричат еднопосочни, а тези, които имат различни знаци разнопосочни. Например: а > b и с > d са еднопосочни, а а > b и с < d разнопосочни. Освен числовите неравенства се изучават и неравенства с едно неизвестно, еквивалентни неравенства. Решения на линейни неравенства с интервали и графично върху числова ос. Задача: Учениците да си припомнят забраните пред жените да учат и да се занимават с научна дейност преди години и сега. Учителят провокира учениците да направят съпоставка на възможностите за обучение на жените в миналото и днес - да си припомнят основните факти от презентациите за Теона Крутонска и Хипатия и да разгледат възможностите за обучение на жените в настоящо време. Въпроси: Пред равни възможности ли са поставени в днешно време жените и мъжете? Равнопоставени ли са двата пола понастоящем? Задача: Учителят да намери в интернет пространството шест интерактивни урока за числовите неравенства. В тези часове учениците работят самостоятелно или по двама на един компютър. Рефлексия и изводи. При обсъждането на тези уроци е важно учениците да бъдат мотивирани максимално да усвоят свойствата, защото те са основа и за другите неравенства, които се изучават в следващите класове. Интерактивните уроци са интересни за учениците и показват връзката с информационните технологии на практика.

16 VІ Тема. Успоредник Успоредникът е четириъгълник, срещуположните страни на който са две по две успоредни, т. е. лежат на успоредни прави. Оттук идва и името на тази геометрична фигура. Успоредникът е равнинна (двуизмерна) геометрична фигура, образувана от пресичането на две двойки успоредни прави. В тази тема се изучават свойствата на успоредника и видовете успоредници правоъгълник, ромб, квадрат. Задача: Учениците да изработят презентация за видовете успоредници и свойствата им. Изработване на модели на видовете успоредници. Рефлексия и изводи: Коментирайте свойствата на видовете успоредници по какво те си приличат и по какво се различават. Наблегнете отново на връзката с информационните технологии. Шарлот Ангъс Скот, родена на 8 юни 1858 г.в Англия е британска математичка, която прави кариера в САЩ и има силно влияние върху привличане на жените към математическо образование. Тя е известна с това, че е изиграла важна роля в промяната на правилата на университета Кеймбридж за полагане на прочутия изпит по математика, наречен Математически трипос (Mathematical Tripos). В класическата си форма от 19 век изпитът е представлявал специален писмен изпит за студенти, кандидатстващи в университета в Кеймбридж. Преди 1824 г. Математическият трипос е бил известен като Изпит на Сената. От 1780 до 1909, старият изпит се е отличвал с няколко особености, включително публикуване на списъка с успешните кандидати и степента на трудност на поставените математически задачи. Например, през 1854 г. изпитът се е състоял от 16 различни сесии, разпределени в 8 дни, за общо 44,5 часа. Общият брой на въпросите е бил 211. Оценките на изпита никога не са били публикувани, но има данни за изпита през 1860, когато от възмижните 17,000 точки, най-добрият студент е получил 7634, вторият , а най-ниската оценка на приет кандидат е била 1500; били са приемани около 100 кандидати. Шарлот учи в колежа Гиртън в Кеймбридж от 1876 до 1880 г. През 1880 г. тя получава специално разрешение да се яви на изпита Трипос, на който до тогава жени не са били допускани. Тя се класира на 8-мо място сред всички кандидати, но поради това, че е жена, не получава полагащата й се титла. По време на церемонията по обявяването на резултатите, след седмия класиран всички студенти са извикали високо нейното име Скот от Гиртън, приветствали са я топло и дълго, размахвайки шапките си. След този случай на жените официално е било разрешено да се явяват на този изпит, като резултатите им са били обявявани, макар и отделно. Скот остава като преподавател по математика в колежа до 1884 г. През 1885 г. тя става първата жена във Великобритания, което защитава докторат в университета в Лондон, тай като Кеймбридж започва да присъжда докторски титли на жени едва след 1948 г. Математическата област на Шарлот Скот е изследването на специфични алгебрични криви от трета и повисока степен. През 1894 г. тя публикува труд под заглавие Въвеждащи изчисления към някои съвременни идеи и методи в равнинната аналитична геометрия, която 30 г- по-късно е издадена отново. Скот играе важна роля в прехода към абстрактните математически доказателства през 20 век.

17 VІІ Тема. Елементи на вероятности и статистика Организиране и представяне на данни. Построяване и интерпретиране на кръгова диаграма. Задачи от случайни събития и вероятностти. В този клас все още учебното съдържание се преподава индуктивно, чрез примери. Още от началото на 5 клас запознаването с вероятностните идеи и понятия внася редица нови и плодотворни идеи. Лишени от тях учениците получават изкривена представа за математиката. Те са убедени, че между вярно и невярно не съществува нищо друго. Когато се запознаят със стохастическите понятия и закони, те откриват съществуването на една различна математическа област, основана на понятието може би и с голямо приложение в живота. Основните й елементи са: статистически таблици; подредба и обобщаване на данните в таблиците; интерпретация; как варират данните, графично изображение. Задача 1: Проведена е контролна работа по математика със 70 ученика. В долната таблица е обобщен редът на допуснатите от учениците грешки Брой грешки честота а/ Постройте диаграмата на грешките б/ Какъв е средният брой на грешките? Задача 2: Провежда се поход до Витоша във връзка с годишнина на А. Константинов. Разпределението на участниците по възраст е следнато: Възраст, години Брой участници Като заместите всеки интервал с неговата среда, намерете средната възраст на участниците в похода. Рефлексия и изводи: Описателната статистика има за цел да събира, да организира данни в таблици, да означава случаите, да анализира и обобщава данните. Направете дискусия за приложението на описателната статистика в практиката. За домашна работа учениците могат да съставят задачи от тяхното ежедневие, илюстриращи това учебно съдържание.

18 Задачи от учебното съдържание по математика за 8 клас (нова учебна програма) І тема. Основни комбинаторни понятия В тази тема учениците се запознават за първи път с основните комбинаторни понятия пермутации, вариации, комбинации. Решават задачи от събиране и умножение на вероятности и формират умения да моделират конкретни ситуации. Задача 1: Учениците да направят проучване и да подберат житейски ситуации, които се решават чрез комбинаторните понятия и зависимости. Примери от тото, хазартни игри и др. Задача 2. Учениците да свържат изчисленията, които се правят при решаване на комбинаторни задачи с възможностите на информационните технологии за облекчаване на тези изчисления Рефлексия и изводи. При анализа на проучванията направени от учениците подчертайте връзката между решенията на подбраните комбинаторни задачи и възможностите на информационните технологии за улесняване на изчисленията. Двете дисциплини са от една културно-образователна степен и тяхната взаимозависимост е естествена. Подчертайте и приноса на жени-математички, които работят в тази област. Проф. дмн Стефка Буюклиева е български учен от Велико-Търновския Университет. Ръководител е на катедра Алгебра и Геометрия. Нейните постижения са в областите Алгебра, Теория на числата, Комбинаторика, Криптография и Защита на информацията. Има постижения в областта на комбинаторните и алгебрични структури, теория на числата, дискретната математика и алгоритмите. Специализирала е в Холандия под ръководството на проф. Жулиан Симонес. Една година е била в Германия в университета в гр. Магдебург с Хумболтова стипендия и в университета вгр. Есен по Европейската програма Жените в науката. Канена е да изнася доклади в Будапеща/Унгария/, Магдебург /Германия/, Университета в Гент /Белгия/, университета Каляри (Иналия) и университета в Осака /Япония/. Има 74 публикации и 212 цитирания от други автори по света. Ръководител е на проекти: 1. Алгебрични, геометрични и стохастически приложения при защита на информацията. 2. Алгебрични и геометрични модели в кодирането и криптографията. ІІ тема. Вектори В тази тема учениците се запознават с основното математическо понятие вектор. Учи се още събиране и изваждане на вектори, умножение на вектор с число и свойствата на тези операции. Важен момент е изразяването на вектора, като линейна комбинация от вектори. Връзката на операциите с вектори е най-силно изразена с физиката. Ето един пример за това. Задача: Уеб проект. Баснята Орел, рак и щука Вие сте в час по математика в 8 клас, обобщителен урок за вектор. Трябва да решите следната задача: Орел, рак и щука по някаква си слука, такваз им работа дошла, да теглят заедно кола.... Намерете вектора на силата, с която ракът трябва да тегли колата, за да се получи

19 резултатът от баснята. т.е. колата да не помръдне. Същата задача се решава и в часовете по физика, но там се говори за разлагане на силата на компоненти. Задача: Влезте в Интернет и посетете Прегледайте информацията и се опитайте да отговорите на следните въпроси: 1. Как се събират вектори с общо начало? Кои вектори са противоположни? 2. Как се прави математически модел на физична задача? Цели: Учениците прилагат знанията си за вектори при решаване на приложни задачи от физиката при разлагане на силата на компоненти. Изграждат умения за моделиране на реална ситуация, включваща разлагане на сила на компоненти и привеждане на ситуацията на математически език. Процес: Работете индивидуално и комуникирайте чрез видеовръзка със съученици в час по физика, които в същото време решават физичната задача.. Време: 20 минути Източници: Електронен вариант на справочник по математика.учебник по Математика за 8 клас, Помощ: Решавайте задачата, като контактувате със съученици, които са в час по физика. Погледнете възможните източници Продукти: Математическо решение на задачата. Да разпечатат решението на задачата и да го предадат на учителя. Оценка: Да се коментира анализът при решенията на задачата и се сравнят решенията на различните ученици. Рефлексия и изводи: При анализирането на работите на учениците е важно да се подчертае универсалността на понятието вектор, който помага при научното обяснение на доста практически ситуации. Векторният метод, като мощен универсален метод, освен в природните науки се използва въобще в науката. Коментирайте с учениците силата на математическите методи. ІV тема. Квадратен корен и V Тема: Квадратни уравнения Тези две теми са неразривно свързани и са твърде важни за обучението по математика в училище. Прави се още едно разширение на множеството на рационалните числа до множеството на ирационалните числа. Разглеждат се свойствата на рационалните числа. Преобразуват се изрази, съдържащи корени и се стига до понятието приближени стойности на корен. Изученото до тук дава възможност да се реши пълното квадратно уравнение, както и да се намират корените му чрез формулите на Виет. Това основно учебно съдържание за обучението е подходящо за прилагане от учениците на математическото моделиране за текстови задачи. Задача: Направете он-лайн тест с включени в него всички видове квадратни уравнения и текстови задачи, водещи до решаване чрез квадратно уравнение. Поправката на допуснатите грешки може да стане чрез препратка към геометричното решение. Всеки ученик да работи самостоятелно.

20 Рефлексия и изводи. Коментирайте допуснатите от учениците грешки и отново наблегнете на когнитивната страна на този тест, водеща до използването на научните методи анализ, синтез, абстрахиране, индукция, дедукция, обобщение и др. По този начин активно се работи за интелектуалното развитие на учениците. Подходящо е тук да ги запознаете с една известна немска математичка Амалия Еми Ньотер, която има постижения в алгебрата, известна като абстрактна алгебра. Амалия Еми Ньотер (Amalie Emmy Noether) е родена е на 23 март 1882 г. На нейно име е наименована една от най-важните теореми във физиката Теорема на Ньотер: За всяка непрекъсната симетрия на физична система има съответен закон за съхранение. Огромна част от работата на Еми Ньотер е свързана с алгебрата, където тя е допринесла за създаването на ново направление, известно като абстрактна алгебра. Еми Ньотер е един от математиците допринесли за развитието на общата теория на относителността. През 1918 г. Ньотер доказва една от най-полезните теореми за физиката.тя е математик в момент, когато за жените в родната й Германия все още е необходимо специално разрешение да присъстват в университетите и да преподават. Тази жена с обширен и фундаментален принос в много области на математиката е била принудена да преподава от името на някой мъж-колега. Ньотер е предложена от Давид Хилберт и Феликс Клайн за преподавател в Гьотинген през 1915 г. Но опитите на Давид Хилберт да я направи доцент в Гьотинген се провалили заради предразсдъците на ръководството на университета. Той заявил: Не разбирам защо полът на кандидата е аргумент срещу избирането й за преподавател. Все пак тук е университет, а не мъжка баня! VІ тема. Окръжност В тази тема е вкючено за изучаване понятието окръжност; Взаимни положения на точка и окръжност; Взаимни положения на права и окръжност; Допирателни към окръжност; Централни ъгли, дъги и хорди; Видове ъгли вписан, периферен, ъгъл чийто връх е вътрешна или външна точка за окръжността; Взаимно положение на две окръжности, общи допирателни. Задача : Уеб-проучване. Поставете на учениците задачата да проучат интересни решения на задачи от съотношение между дължината на окръжността и нейния диаметър. Да се върнат в 19 век и да потърсят интересни задачи и интересни решения. Едни от тях са дадени от С.Ковалевска, когато тя е била на 14 години. Рефлексия и изводи. Уеб-проучването е подходящо да се дава при урока за окръжност и нейните елементи на сформирани екипи от ученици. Време за проучването - една седмица. При сравняване на изследователските търсения на учениците предложете и вашата версия. Коментирайте постиженията на жените в математическите изследвания. София Ковалевска е живяла във време, когато за жените били затворени всички пътища за прогрес. Родена е в Москва на 15 януари 1850 г. С рядка енергия тя търси и намира изход от това положение и става професор първата жена професор по математика в Стокхолм, с нейната най-важна работа Задачата за въртенето на тежко твърдо тяло около неподвижна точка. На 18 декември 1888 г.получава и Бордеровата премия от Парижката академиа на науките, висше научно отличие едно от найголемите, с което били удостоявани дейците на науките. На 19 ноември 1889 г., на 39 години, физикоматематическото отделение на науките в Петербург я избира за член-кореспондент в раздела на математическите науки, като чуждестранен учен, доктор по математика и професор в Стокхолмския Университет. Първият допир на София с математиката става съвсем рано по един странен начин. Когато семейството се премества да живее в имението си, наложило се временно да облепят стените на детската стая с хартия. За целта послужили листовете от литографските лекции по диференциално и интегрално смятане на Остроградски. София с часове разглеждала странните и непонятни за нея знаци по тези листове.

21 Някои от тях така проникнали в паметта й, че след много години при първите уроци по диференциално смятане тя вече знаела понятията за граница и производна функция. Получаването на университеско образование в Русия било невъзможно и София решава да се учи в чужбина. Единствената страна, в университета на която допускали жени била Швейцария и единстената възможност да замине за чужбина бил фиктивен брак. В Университета в Санкт Петербург имало един талантлив младеж Владимир Ковалевски, който искал да замине за чужбина и се съласил на такъв брак. Тогава тя е на 18 години. Ковалевска учи в Хайделберг при проф. Кьонингсбергер след това в 1870 г. при прочутия Вайерщрас в Берлин. По това време в Берлинския университет не допускали жени и тя се обръща към самия Вайерщрас. Той й обещал да я изпита и за опит й дал да реши няколко задачи, приготвени от него за найподготвените студенти в математическия факултет. За голямо негово учудване се оказало, че не само всички задачи са решени вярно, но и самите решения са необикновено добре и точно обяснени. Четири години тя работи под негово ръководство като частна студентка. След това тя заминава за Швейцария. През 1874 г. Съветът на Гьотингенския университет присъжда на София Ковалевска степента доктор по математика с най-висша похвала. През 1883 г. Ковалевска получава покана от известния математик Митаг-Лефрер да заеме длъжността приват-доцент в Стокхолмския университет. С нейна помощ се организира една от най-добрите математически катедри. През 1888 г. Парижката академия на науките обявява коткурс за премията на Бордер. От 15 представени разработки за по-нататъшното усъвършенстане на задачата за въртене на твърдо тяло в някое съществено направление била отличена тази на София Ковалевска. Президентът на Френската академия астрономът Жансен при връчването на премията отбелязва: Между венците, които даваме днес, един от тай-прекрасните и най-трудно достижими се поставя на челото на жена. Нашите колеги намериха, че нейният труд е не само свидетелство за задълбочени и широки познания, но е признак за ум с голяма изобретателност. Получавайки премията на Бордер, Ковалевска, която вече е достатъчно известна сред математическия свят, става знаменитост. VІІ тема. Рационални изрази В тази тема се изучават понятията рационална дроб и дефиниционно множество (ДМ); Свойствата на рационалните дроби; Привеждане към общ знаменател; Операциите събиране, изваждане, умножение и делене с рационални дроби. Дробни уравнения, моделиране на дробни уравнения. Задача. Дайте на учениците да решат текстови задачи. Например, Ученик изминавал разстоянието от А до В, което е 6 км, за едно и също време. Веднъж той се движел от А до В с 1 км/ч по-бавно, отколкото обикновено. Като стигнал в В той пресметнал, че трябва да увеличи скоростта с 1,5 км/ч, за да се прибере в А за същото време. С каква скорост се е движел обикновено ученикът? Рефлексия и изводи. Текстовата задача води до съставяне на дробно рационално уравнение. То е математически модел на реална ситуация. Математиката, в случая, помага да се даде отговор на посочения практически проблем. Важно е пред учениците да се подчертае прецизността при даване отгор на задачата т.е., че решенията трябва да са в ДМ. Прецизността е важно качество, което математиката трябва да формира.споделете с учениците историята на Мария Анези. Мария Гаетана Анези е италианска математичка, първата жена професор, назначена в Болонския университет от папа Бенедикт ХІV. Живяла е между 1718 и 1799 година. Тя била много надарена и рано развило се дете. Нейният баща, знатен феодал, горещо поощрявал своята дъщеря в заниманията й с науката и я представял в обществото на различни учени, както било прието по това време. Мария била скромно дете, след смъртта на баща си, тя се оттеглила от активна научна дейност и отишла в манастир. Оставила е едно бележито произведение на алгебрата Instituzioni analyticke, в което е решила няколко определени и неопределени алгебрични задачи. Вторият том на това

22 съчинение е посветен изцяло на анализа на безкрайно малките величини, която наука тогава била съвсем в началото на развитието си. То е най-пълното изложение по този въпрос. Голям е приносът на Анези и в изучаването на кривите от трети ред. Една от тези криви се казва Крива на Анези или още Къдрицата на Анези, имайки предвид графиката на тази крива. VІІІ тема. Вписани и описани фигури Темата включва окръжност, вписана и описана около триъгълник; външно вписани окръжности; ортоцентър на триъгълник; забележителни точки в триъгълника; Четириъгълник, вписан и описан около окръжност Задача: Дайте на учениците задачи от учебното съдържание от този раздел, които могат да се решат по различни начини (повече от един). Дайте им 3 дни за изпълнението на домашната работа. Рефлексия и изводи. Коментирайте в час различните решения и подчертайте, че най-краткото от тях е най-красиво. Формирайте у тях умения да използват научните методи абстрахиране, анализ, синтез, аналогия, дедукция, индукция, обобщение. ІХ тема. Еднаквости в равнината В темата се разглеждат геометричните преобразования осева симетрия, централна симетрия, ротация, транслация. Те са мощен метод за решаване на трудни геометрични задачи. Задача. Уеб търсене: Еднаквостите в обучението по математика в 8 клас Увод: В Уеб може да научите много за математическите преобразования, каквито са еднаквостите. Вие можете да прегледате предварително някои презантации по този въпрос в известни сайтове. Задача: Влезте в Интернет и посетете Уеб-сайта на ДИУУ/ Прегледайте внимателно програмния продукт Еднаквости и се опитайте да отговорите на въпросите, зададени по-долу: 1.Ротацията каква еднаквост е? Свойства. 2.Има ли двойни точки и колко са те? Цели: Визуализирайте чрез copy/ paste, това което ви заинтересова най-много, например, илюстрациите. Процес: Работете индивидуално или в екип. Напишете отговорите на поставените въпроси и ги изпринтирайте Време: 15 минути Източници: и други програмни продукти посветени на еднаквостите. Помощ: Поискайте помощ от партньора си по екип. Ако това не помогне, потърсете помощ от учителя. Продукти: Всеки ученик да изпрати на учителя с отговорите на въпросите. Оценка: Учителят оценява продуктите на учениците. Рефлексия и изводи. При анализирането на резултатите коментирайте как динамичният софтуер като Гео-Гебра или Геонехт показват нагледно и в действие възможностите на еднаквостите за решаване на геометрични задачи. Покажете им практически задачи

23 Задачи от учебното съдържание по матeматика 9 клас (проект за нова учебна програма) І Тема. Вероятности и статистика Вероятността е степента на знанието, че дадено събитие е настъпило или ще настъпи. Понятието вероятност има точно математическо значение, което намира широко приложение при предвиждането на възможни събития и разбирането на поведението на сложни системи в различни области, като статистиката, финансите, природните тауки, техниката, философията. По отношение на численото изразяване, вероятността винаги е между 0 и 1. Колкото по-висока е вероятността на едно събитие, толкова по-сигурни сме, че събитието ще се случи. Теория на вероятностите изучава вероятността и анализа на случайни явления. Централни обекти на теорията на вероятностите са случайни величини, стохастични процеси и събития: математически абстракции на недетерминирани събития или измерените количества, които са или единични събития или се развиват с течение на времето в привидно случайни събития. Ако едно хвърляне на монета или хвърляне на зарове се счита за случайно събитие, то след това, ако се повтаря много пъти тази поредица от случайни събития ще демонстрира някакви закономерности, които могат да бъдат изучавани и прогнозирани. Математически резултати, описващи такива модели са законът за големите числа и централната гранична теорема. В този раздел е предвидено да се изучи класическата вероятност, защото само тя е достъпна за изучаване в училище. По тази причина е предвидено да се изучи понятието случайно събитие на основата на множествата, както и вероятност на сума от несъвместими и съвместими събития. Задача 1: За 20 ученици от един клас били резервирани всички места на един ред на киносалон. Каква е вероятността момче и момиче да получат билети на съседни места? Решение = = = 190 Това са всички възможности за избор на 2 билета на съседни места. Благоприятните възможности са: 1 и 2; 2 и 3; 3 и 4; и 20. Това са 19 двойки билети. Тогава вероятността момче и момиче да получат билети на две съседни места е Р = = Задача 2: Разделете класа на групи и поставете задачата да се направи уебпроучване за възможността да се предвижда резултата при случайни явления. Кога е възникнала тази необходимост, какво е историческото й развитие, кога тази наука е призната за математическа наука изградена аксиоматично? Рефлексия и изводи: Тази задача е упражнение за научна аргументация. Основната идея тук е да се покаже как е възможно да се изчисли шансът да се случи дадено събитие. Такива възможности предлага науката за случайността или теорията на вероятностите. При представянето от групите на техните уеб-проучвания, споделете и вашето мнение

24 Кратка историческа справка. Систематичното изследване на вероятностите е сравнително ново явление в човешката история. Започва от хазартните игри и показва, че интерес към количествената оценка на вероятностите съществува от хилядолетия, но строгите математически формулировки се появяват сравнително скоро. Извън опростените работи на Джироламо Кардано, понятието за вероятност в съвременния смисъл се появява в кореспонденцията между Пиер дьо Ферма и Блез Паскал през 1654 година. През 1657 година Кристиян Хюйгенс за пръв път интерпретира научно темата, а Якоб Бернули (1713) и Абраам дьо Моавр (1718) я разглеждат като клон на математиката. Като математическа основа за статистиката, теорията на вероятностите е от съществено значение за много човешки дейности, които включват количествен анализ на големи набори от данни. Методи на теорията на вероятностите се прилагат за описание на сложни системи, като се има предвид само частично познаване на състоянието им, като например в статистическата механика. Голямо откритие на двадесети век във физиката е вероятностният характер на някои физични явления на атомно ниво, описани в квантовата механика. Основни понятия в теорията на вероятностите са: Вероятност; Вероятностно пространство; Случайна величина; Локална теорема на Моавър-Лаплас; Функция на разпределението; Математическо очакване; Независимост; Закон за големите числа; Разпределение на случайната величина; Условна вероятност; Пълна вероятност. Има най-малко два успешни опити да се формализира вероятността, а именно формулировката на Колмогоров и формулировката на Кокс. При формулирането на Колмогоров (вероятностно пространство), множествата се тълкуват като събития, а вероятността като мярка за клас от множества. В теоремата на Кокс, вероятността се приема като примитивна (тоест не е допълнително анализирана) и акцентът е върху изграждането на последователност при създаване на съответствие между вероятностните стойности и предложения. И в двата случая законите на вероятностите са същите, с изключение на техническите подробности. За пресмятането на благоприятните и всички възможни случаи се използва комбинаториката с нейните формули за изчисляване на пермутации, вариации и комбинации. ІІ тема. Функции Понятието функция е математическо понятие, което се изучава от първия до последния клас на средното училище. Една приблизителна дефиниция на понятието функция е следната: Нека A и B са множества. Функция от A в B е правило, което съпоставя на всеки елемент от A точно един елемент от B. Тази интуитивна представа за функциите се използва от древни времена и все още се среща на места, където строга дефиниция не е необходима, например в училищните учебници по математика. В тази тема освен понятието функция с нейните допустими стойности /ДМ/ се изучават още различните начини на задаване на функцията, графика на линейна и квадратна функция, изследване на функция растене, намаляване, минимум, максимум, стойност на квадратната функция. Графично представяне на решенията на уравнение. Задача: Поставете на учениците задание да направят уеб-проект за понятието функция в екипи по тяхно желание. В него да включат исторически факти и приложението му в света около нас. Да потърсят жени изследовотели, които са допринесли за развитието му. Разгледайте проектите в обощителния урок за темата. Рефлексия и изводи. При анализа на представените проучвания от екипите подчертавайте колко е всеобхватно това понятие и че всичко около нас е функция на нещо друго. Представете вашата версия за жени, допринесли за развитието на функционалната зависимост на явленията. Мария Гаетана Анези (Maria Gaetana Agnesi) e италианска математичка. Получава известност със своя учебник по диференциално смятане и изучаваната от нея крива от трета степен версиера, наречена още къдрица на Анези.

25 Родена е през 1718 година в Милано. Баща и е професор в Болонския университет. Мария Гаетана от малка получава добро образование, като изучава математика и древни и източни езици. До тринадесетия си рожден ден вече владеела гръцки, иврит, испански, немски и латински. Знае се, че на 9 години тя изнася на латински език беседа, посветена на достъпа на жените до висше образование. Баща и имал силно влияние над нея през целия и живот и тя никога не сключва брак и не напуска родния си дом. Анези имала късмет, че открила добър учител по математика в лицето на монаха Рамиро Рампинели, преподавател в университетите в Болоня и Рим. Под негово ръководство тя изучава трудовете на французите Гийом Франсоа дьо Лопитал и Шарл Рене Рейно (Charles René Reyneau), и се вдъхновява за написването на своя известен двутомен учебник Instituzioni analitiche ad uso della gioventu italiana ( Основи на анализа за употреба от италианската младеж ). В първия му том се разглеждат крайните величини, а във втория безкрайно малките. В частност, доказва, че всяко уравнение от трета степен има три корена.уравнението се разглежда като функция. Учебникът е завършен през 1745 година и изпратен за рецензия от Якопо Рикати и неговия син Винченцо Рикати, а три години по-късно издаден. Този труд прави голямо впечатление на математическата общност в Европа. В рецензия на Парижката академия на науките е отбелязано умелото, стройно и хомогенно изложение, с което са представени резултатите на много математици, използвали за доказателствата си твърде разнообразен математически инструментариум. Впечатлен е и папа Бенедикт ХІV, който в писмо до Анези заявява, че трудът и ще прослави Италия и академията в Болоня. През октомври 1750 година тя получава покана да ръководи катедрата по математика там, но възпрепятствана от своя властен баща, тя така и никога не приема поканата. Две години по-късно той умира, но Анези вече е взела решението да отдаде остатъка от живота си на болногледачество и благотворителност, като отваря дом за възрастни бедни жени. Похарчила цялото си състояние за благородната кауза, през 1799 година тя умира в пълна мизерия в хосписа, който някога е управлявала. През 1755 год. Леонид Ойлер дава в книгата си Institutiones calculi differentialis съвременното разбиране за функция, а именно зависимост между две величини, при което промяната на едната величина (аргумента на функцията) води до промяна на другата величина (стойността на функцията). Въпреки това определение обаче Ойлер разглежда само непрекъснати функции, които могат да се изразят с формула, състояща се от крайно или безкрайно много алгебрични операции. Фурие започва да раглежда и някои прекъснати функции, но той смята, че всяка функция може да се изрази чрез ред на Фурие. Дирихле за пръв път разглежда числовите функции в пълната им общност. Той дава съвременната дефиниция на непрекъсната функция и дава пример за навсякъде прекъсната функция. Също така изяснява разликата между функцията и уравненията. История на понятието: Обекти, които според съвременните разбирания се считат за функции, са били разглеждани още в дълбока древност. В древен Вавилон например са открити таблици на квадратите и кубовете на естествените числа. Птоломей е изчислявал дължини на хорди в окръжност, което по същество означава, че е използвал тригонометрични функции. Понятието обаче започва да се оформя през 14 век. Самото название функция се използва за първи път от Готфрид Лайбниц около 1670 г. Функциите, които той е разглеждал, днес се наричат диференцируеми функции и са най-често срещаният вид функции в приложенията на математиката. За тях имат смисъл понятията граница и производна на нейното представяне чрез формули. ІІІ Тема. Системи линейни уравнения с две неизвестни Тази тема включва системи линейни уравнения с две неизвестни и тяхното решаване чрез събиране и заместване; графична представяне на рушенията; моделиране на системи линейни уравнения. Задача. Изберете текстова задача, в която да са засегнати заетите в науката мъже и жени и която да води до математически модел на линейни уравненея с две неизвестни. Рефлексия и изводи. При анализирането на решението на задачата може да направите дискусия за равноправието на половете.

26 Ада Лъвлейс, родена Огъста Ейда Байрон в Лондон е английска математичка, единственото законно дете на поета Лорд Байрон. Родителите на Ада се разделят едва месец след раждането и. Малко след това Лорд Байрон напуска Англия завинаги и тъй като през 1824 г. умира в Гърция, Ада никога не се среща с баща си. Става известна с превода си на научната статия Елементи от аналитичната машина на Чарлз Бабидж за машина, наподобяваща компютър, към който тя добавя свои бележки. Днес тя се смята за първия програмист в историята, след като написва алгоритъм за намиране на числата на Бернули в такава форма, че да бъде разчетена от машината (т.е. компютърна програма). За разлика от мнозина, включително и самият Бабидж, които отбелязват само полезността на машината за математически изчисления, Ада Лъвлейс успява да прозре отвъд това и да предугади потенциала на компютрите. Ада расте като болнаво и много слабо дете и прекарва цялото си детство у дома над книгите. На 13- годишна възраст се разболява от шарка, в резултат на която дълго остава парализирана и близо година прекарва на легло. С образованието и се заемат частни учители, сред които са известни учени и математици като Огъстъс де Морган първият професор по математика на Лондонския университет. В свое писмо до лейди Байрон Морган предрича следата, която възпитаничката му ще остави, съзирайки огромния и потенциал и откривателски дух. През 1833 г., на 17-годишна възраст, Ада Лъвлейс се запознава с един от големите учени на епохата, с когото стават приятели за цял живот. Това е Чарлз Бабидж, професор по математика в Кеймбридж. Двамата започват да водят усилена кореспонденция по теми като математика, логика и други науки. По това време Бабидж вече е популярен в Лондон като изобретател на механична машина за математически изчисления, наподобяваща компютър, която смята с точност до 20 знака. През 1823г. правителството отпуска първата субсидия за проекта му, наречен Аналитичната машина на Бабидж, но изграждането и продължава десет години, конструкцията все повече се усложнява и през 1833 г. финансирането е прекратено. Ада има шанса да види машината преди да бъде завършена, запленена е от идеите на Бабидж и го насърчава да продължи работата си по проекта. Самият Бабидж никога не пише за своите изобретения, но през 1842 г. италианският математик и инженер Луиджи Менабрия, публикува в швейцарско издание на френски език статия, озаглавена Елементи от аналитичната машина на Чарлз Бабидж. Ада превежда статията от френски на английски език, като при превода добавя извънредно много собствени идеи. Сред тях е неин метод за автоматично пресмятане на уравненията на Бернули с машината. Именно този метод се смята за първия алгоритъм, писан специално за изчислителна машина, или иначе казано първата компютърна програма. През 1998 г. Британското компютърно общество учредява медал в чест на Графинята на Лъвлейс, който се дава за заслуги в областта. Езикът за програмиране ADA, създаден по поръчка на Министерството на отбраната на САЩ, е кръстен на нейно име. V тема. Системи уравнения от втора степен с две неизвестни Тази тема вкючва системи уравнения от втора степен с две неизвестни и тяхното решаване чрез събиране и заместване; графична представяне на рушенията; Разглеждат се случаите, когата едното уравнение е линейно, а другото от втора степен и когато и двете уравнения са от втора степен; моделиране на системи линейни уравнения. Задача. Дайте на учениците задачи от учебното съдържание от този раздел, които могат да се решат по различни зачини/повече от един/. Освен това да направят презентация на различните решения. Дайте им 3 дни за изпълнението на домашната работа. Рефлексия и изводи. При обсъждането и интерпретирането на представените от учениците презентации поговорете за точността в науката математика и цеността да се намери най-краткото и най-просто решение.

27 Задачи от учебното съдържание по математика 10 клас (проект за нова учебна програма) І тема. Ирационалнии изрази. Ирационални уравнения Темата включва понятието ирационални изрази; преобразуване на ирационални изрази; ирацинални уравнения с квадратен радикал и с два квадратни радикала; ирационални уравнения, които се решават чрез полагане. Включени са и задачи, които водят до разбиране на смисъла на релациите следва и еквивалентност. Задача: Разделете учениците на две групи и им задайте тестове в два варианта, като всеки от тях съдържа по 10 въпроса /задачи/. Рефлексия и изводи: В дискусия обсъдете резултатите по равнища на задачите и направете препоръки, които смятате за подходящи. Трябва да се знае, че нито класификацията на тестовите задачи по равнища, нито получените оценки са категорични. Те могат да бъдат насочващ елемент при работата. Това означава, че резулттатът от един отделен тест може да не съответства на действителната подготовка на ученикоа. Ако обаче този резултат се повтори в няколко теста, то той би могъл да се приеме като достоверно отражение на неговите знания и умения. ІІ Тема. Прогресии В тази тема са включени понятието числова редица, начин на задаване, аритметична и геометрична прогресия, техните общи членове и формулите за задаване, комбинирани задачи. Към тази тема са включени още понятията лихва, сложна лихва, депозит, капитал, кредит и др. Изучаването на числовите редици се свързва с понятието функция. Например, Функция с дефиниционна област множеството на първите n естествени числа се нарича крайна числова редица. Функция с дефиниционна област множеството на всички естествени числа се нарича безкрайна числова редица. Тъй като редиците са функции, дефинирани в множеството на естествените числа, то и тях можем да задаваме с формули. Задача1 : Задайте на учениците следния тест. Като използвате съответното графично представяне на членове, опитайте се да напишете формула за общия член на редиците от 1 до Член ли е числото 82 на редицата? А числото 131? 2.

28 Член ли е числото 82 на редицата? А числото 121? 3. Член ли е числото 72 на редицата? А числото 121? Задача 2: Дайте за домашна работа учениците да съставят практическа задача с изчисляване на лихва на депозит, лихвен процент, първоначален капитал, нарастнал капитал. Рефлексия и изводи: Коментирайте как отделните ученици са стигнали до откриване на съответния общ член на редиците 1, 2 и 3. Обърнете внимание на начина на мислене на учениците, защото това е основната цел на обучението по математика да формира логическо мислене. Втората задача дава възможност учениците, излизайки от своя жизнен опит, да могат да формулират задачи. Това ще покаже не само техните знания и умения, но и придобитите компетенции в обучението по математика. Освен това, това задание е подготовка към следващата тема, свързана със статистиката. ІІІ тема. Статистическа обработка на данни Тази тема е посветена на описателната статистика. Изучават се понятията генерална съвкупност, извадка, наредена извадка, вариационен ред. Основно място заемат централните тенденции - мода, медиана, средноаритметично, квартили, размах. Задача: Разделете на екипи учениците и им възложете следната задача Уеб- търсене. Обобщени характеристики на данни. Увод: Всеки ученик знае как може да намери своя среден успех за срока или за цялата учебна година. Как обаче може да се определи: средната стойност на максималната температура за един месец или за цялата година за страната /за София/? Същият въпрос може да се зададе и за максималните валежи за страната или за София. Знаете, че такава информация се публикува на сайта на Института по метеорология на БАН и търсите тази информация в Интернет Задача: Влезте в Интернет и посетете уеб-страницата на Института по метеорология на БАН: Прегледайте внимателно информацията и подберете данни за: максималните температури на въздуха за един месец в София, максималните температури на въздуха за страната за 1 година, максималните стойности на валежите за страната за 1 година, максималните стойности на валежите за един месец в София Цели: Учениците представят, обработват и анализират събраната информация за мак- сималните стойности на температурите и на валежите. Стига се до извода, че намирането на средните стойности

29 при тези данни е по-удобно да се изчисли с помощта на програмата Excel от пакета програми на Microsoft Office. Процес: В последния час класът е разделен на групи. На всяка група е поставена задачата да събере данни по посочените по горе проблеми. Събраните данни подредете в таблици. Време: 60 минути Източници: Уеб-страницата на Института по Метеорология на БАН. Потърсете исканите данни и в справочници. Помощ: В групата помислете за подреждането на данните и възможностите да бъдат намерени на друго място подредени. Продукти: Разпечатайте и запишете на файл уеб страницата с използваната информация Използвайте възможностите на Excel за намиране на средните стойности и получените резултати. Разпечатайте. Оценка: Учителят ще провери вашите изчисления и ще прецени прецизно и правилно ли сте изпълнили задачата. Рефлексия и изводи: При анализирането на резултатите коментирайте приложимостта на учебното знание за решаване на реални проблеми от живота. В дискусията включете въпроса за публично известни български мъже и жени в днешно време, които са специалисти в тази област. ІV Тема. Решаване на триъгълник. В тази тема основно място заемат тригонометричните функции синус, косинус, тангенс, котангенс на ъгли от [ ], основни тригонометрични тъждества, Синусова и Косинусова теорема, решаване на произволен триъгълник чрез тези теореми. Задача: В обобщителния урок дайте на учениците задачата за намиране на всички елементи на триъгълника при дадени три страни на триъгълника. Рефлексия и изводи. При сравняване на изследователските търсения на учениците предложете и вашата версия. Примерът е много удачен да се систематизират знанията, обхващащи и трите вида триъгълници остроъгълен, правоъгълен, тъпоъгълен. Коментирайте постиженията на жените в математическите изследвания. Разкажете на учениците за състезанията на студентите по математика и природни науки. Тази година най-добрите математици-студенти от цял свят ще решават задачи в Американския университет в България за 17-тата Международна олимпиада по математика и точните науки. Проявата се организира от Юнивърсити колидж Лондон в сътрудничество с АУБ. В нея ще вземат участие над 350 студенти от 44 страни от цял свят, сред тях са младежи и девойки от Индонезия, Иран, Бразилия, САЩ, и от университети от почти всички европейски държави. Равно участие на двата пола е осигурено. Над 120 ВУЗ-а ще имат свои представители в олимпиадата. Състезанието ще се проведе в два кръга. Задачите ще бъдат определени непосредствено преди започване на надпреварата. Церемонията по нейното закриване се провеждаще в Аудиториума на АУБ, когато ще се раздават и наградите. Те са осигурени от Волфрам рисърч, Springer Publishing и други спонсори. Според д-р Хрисина Драганова, преподавател в Юнивърсити колидж Лондон и координатор на състезанието, победителите от олимпиадата получават летящ старт, независимо от сферата, в която са решили да се реализират. Те ще могат да продължат образованието си в докторски степени в престижни университети, или да започнат работа в световноизвестни компании от ранга на DEShaw. Една от победителките, Мариана Чорни от Унгария, например, е станала професор на 25 годишна възраст, което е изключително постижение.

30 V тема. Елементи от Стереометрията Разглеждат се прави и равнини в пространството; Взаимни положения на прави, равнини и ъгли; Ортогонално проектиране, ъгъл между две прави; Отново се разглеждат права призма, пирамида, прав кръгов конус прав кръгов цилиндър, сфера и кълбо; Практическа работа. Задача. Разделете класа на екипи. Всеки екип да разработи Е-mail проект за отделните тела призма, пирамида, конус, цилиндър, сфера и кълбо, като използват Geo-Gebra. Време за работа една седмица. След това направете семинар, заедно с учителя по информационни технологии, на който групите да представят своите проекти. Рефлексия и изводи. При представянето на проектите определете критерии по които да оцените изследователската работа на всеки екип. Може да направите съревнование между екипи само от момчета и екипи само от момичета. По този начин ще коментирате равните възможности на екипите и от двата пола. Мариам Мирзахани е индийка, родена през 1977 г. в Техеран. Получава средното си образование в училището Фарзанеган, училище специално за момичета, но част от Националната организация за развитие на изключителни таланти в Иран. През 1994 г. и 1995 г. печели златни медали на международни олимпиади по математика. През 1999 г. завършва Технологичния университет "Шариф" в Техеран. От 1999 г. живее в Съединените щати като през 2004 г. защитава докторска степен в Харвардския университет. От 2008 г. Мирзахани е професор по математика в университета в Станфорд. През 2010 г. е поканена на Международния конгрес на математиците, където изнася лекция на тема "Топология, динамични системи и обикновени диференциални уравнения." На 5 август 2014 на Международния конгрес на математиците в Сеул са обявени имената на носителите на най-престижната математическа награда, която може да се разглежда като аналог на Нобеловите награди - медала Фийлдс. Сред 56-те досегашни победители, Мариам Мирзахани е първата жена математик печелила отличие в областта на математиката. От 78 години насам, тя е първата математичка/иранка/ удостоена с престижната награда - медалът Фийлдс (Филдсов медал), смятан за най-високото отличие в областта на математиката. Тя е избрана за "зашеметяващи постижения в теорията на Римановите повърхности и техните модулни, параметрични пространства." Медалът Фийлдс се присъжда на всеки четири години от Международния математически съюз на изключителни математици под 40 години, които показват обещаващо бъдеще в постижениеята си. С обявяването на Мирзахани, медалистите стават 54-ма мъже и само 1 жена. Много се надяваме медалът Фийлдс на Мирзахани да е знак за промяна. "Аз ще бъда щастлива, ако това насърчава младите жени учени и математици," казва тя в съобщение за пресата. Кристиане Русо, вицепрезидент на Международния математически съюз, казва за Гардиън това е "един изключителен момент" и "празник за жените", сравним с преминаването на бариерата на Нобеловите награди от Мария Кюри по физика и химия от началото на 20 век. Постижението на Мирзахани хвърля светлина върху добре документираните недостатъци и пристрастия, пред които са изправени жените в математиката и науката. Например, в проучване от 2008 г. в Йейл, професори са били помолени да оценят въображаеми кандидати за позицията лабораторен мениджър. Когато подаденото заявление било с мъжко име в горната част, професорите оценяват кандидата като по-компетентен отколкото, когато идентичното заявление е с женско име отгоре. Това предпочитание показват членове на факултета от мъжки и женски пол. Тези недостатъци са допълнени от документирани истории за мъже, които си присвояват заслугата за открития и изобретения, направени от жени. Мирзахани, която е израснала в Иран преди да защити дисертацията си в Харвард и да стане професор в Станфорд казва, че тя първоначално не осъзнавала силата си по математика: "Аз не мисля, че всеки трябва да стане математик, но вярвам, че много студенти не дават на математиката реален шанс. Аз бях зле по математика няколко години в средното училище; просто не се интересувах от нея. Виждам и разбирам, че без да бъдеш запален, математиката може да изглежда безсмислена, скучна и студена."

31 Задача за дискусия: Обсъдете с учениците защо е важно да се показват пред обществото историите и постиженията на успелите жени те стават ролеви модели за другите момичета и жени; дават им кураж, че също могат да успеят; разчупват се обществени стереотипи за физическите и физиологичните възможности на жените; обогатява се научната практика с нови открития.

32 Задачи от учебното съдържание по матаматика 11 клас (проект на учебна програма) І тема. Степен и логаритъм В тази тема се изучават понятията степен, логаритъм и техните свойства; Преобразуване на ирационални изрази; Графики на функции у =, у =, у =. Степен с рационален показател, показателна функция и графика; Логаритмична функция и графика. Степенуването е съкратен запис на произведение на еднакви множители. Логаритъмът естепента (x), на която трябва да бъде повдигната основата (a), за да се получи числото b: x = log ab (чете се: x е равно на логаритъм от b при основа a). Например, логаритъм от 1000 при основа 10 е 3, защото 1000 е 10 на степен 3. Задача: Направете проучване на жени-математички, изследователки в криптографията и ги свържете с изследователки по химия и психо физиката. Коментирайте приноса им за световната наука. Логаритмите започват да се използват в началото на 17 век от Джон Непер като средство за опростяване на някои изчисления. Те бързо намират широко приложение в науката и техниката за изчисления със сметачна линия или предварително подготвени логаритмични таблици. При тях се използва едно важно свойство на логаритмите - сумата от логаритмите на две числа е равна на логаритъм от тяхното произведение: log a(xy) = log a(x) + log a(y). Съвременното означение на логаритмите е въведено през 18 век от Леонард Ойлер, който открива и тяхната връзка със степенна функция. В науката и техниката най-често се използват логаритми с основа неперовото число e (естествен логаритъм) и с основа 10 (десетичен логаритъм). За тях се използват и специални означения - ln вместо log e и lg вместо log 10. В информатиката се изполва и двоичният логаритъм - с основа 2. Логаритъмът с дадена основа е обратна функция на степенната функция със същата основа, например естественият логаритъм е обратна функция на експонента. По подобен начин комплексния логаритъм е обратна функция на степенната функция при комплексните числа. Друг вариант на логаритмичната функция е дискретния логаритъм, използван в криптографията. Логаритмичните скали се използват за по-компактно изобразяване на величини, които варират в широки граници. Например, децибелът е логаритмична мярка, измерваща отношения (електрически потенциали, мощности или звуково налягане). В химията водородният показател (ph) е логаритмична мярка за киселинността на воден разтвор. Логаритмите се срещат често в различни научни формули, както и в измервания за сложността на алгоритми и при фракталите. С тях се описват музикалните интервали, участват в оценки за броя на простите числа или в някои модели на психо физиката. Рефлексия и изводи. Коментирайте представените от учениците проучвания за жениизследователки в посочената област и техните постижения за световната наука. Габриел Емили Льо Тонелие дьо Бретьойл, маркиза дьо Шатле (Gabrielle Émilie Le Tonnelier de Breteuil, marquise du Châtelet) е родена на 17 декември 1706 година в Париж. Тя е е френска математичка и физичка от епохата на Просвещението. Била е муза и вдъхновителка на Волтер. Превела е на френски Математически начала на натурфилософията на Нютон. През 1737 г. маркиза дьо Шатле публикува дисертация върху природата и разпространението на огъня (на: Dissertation sur la nature et la propagation du feu), въз основа на изследванията си на огъня, в която предсказва природата на светлината и това, което днес е познато като инфрачервено излъчване.

33 ІІ Тема. Решаване на равнинни фигури В темата са включени решаване на успоредник, решаване на трапец, решаване на четириъгълник, решаване на правилен многоъгълник. Задача. Разделете класа на четири групи. Всяка група да вземе решаването на задачи от отделна геометрична фигура. Учителят да подготви задачите. Време за работа един час. Рефлексия и изводи. Това е тема, която обобщава решаването на равнинни фигури, които са изучавани досега. Обобщението изисква умело използване и съчетаване на научните методи анализ, синтес, абстрахиране, обобщение, аналогия, индукция, дедукция и др. Целта е учениците да покажат как използват научната аргументация при решаване на задачи. ІІІ тема. Тригонометрия Изучават се понятията обобщен ъгъл, радиан; Тригонометрични функции на обобщен ъгъл, четност, нечетност, периодичност; Основни тригонометрични тъждества; Графики на функциите,, у =, ; формули за синус и косинус на сбор и разлика на два ъгъла; Формули за тангенс и котангенс на сбор и разлика на два ъгъла; формули за тригонометрични функции на удвоен ъгъл; формули за сбор и произведение на функции. Задача: Направете проучване за съвременни жени изследователки на геометрични проблеми в математиката.. Коментирайте приноса им за математическата наука. Еми Ньотер е един от математиците допринесли за развитието на общата теория на относителността. След като получил работата й, Айнщайн пише на Хилберт: Вчера получих от фрау Ньотер една много интересна работа за инвариантите. Впечатлен съм, че такива неща могат да бъдат разбрани по един обобщен начин, старата гвардия в Гьотинген трябва да вземе няколко урока от фрау Ньотер! Тя изглежда разбира нещата. През 1918 г. Ньотер доказва една от най-полезните теореми за физиката.тя е математик в момент, когато за жените в родната й Германия все още е необходимо специално разрешение да присъстват в университетите и да преподават. Тази жена с обширен и фундаментален принос в много области на математиката е била принудена да преподава от името на някой мъж-колега. Ньотер е предложена от Давид Хилберт и Феликс Клайн за преподавател в Гьотинген през 1915 г. Но опитите на Давид Хилберт да я направи доцент в Гьотинген се провалили заради предразсъдъците на ръководството на университета. Той заявил: Не разбирам защо полът на кандидата е аргумент срещу избирането й за преподавател. Все пак тук е университет, а не мъжка баня! Aйнщайн се възхищава от нейните постижения. През 1935 г., след нейната смърт, в писмо към Ню Йорк Таймс, той пише: По преценката на най-компетентните живи математици, госпожица Ньотер беше най-значимият творчески математически гений, създаден откакто жените получават висше образование. Рефлексия и изводи. При коментирането на проучванията на учениците за жениизследователки на тригонометричните функции и въобще на функциите в математиката използвайте софтуерни продукти на графики на функции. Това ще спомогне за придобиване на математическа компетентност и на дигитална компетентност.

34 Задачи от учебното съдържание по математика 12 клас (проект на учебна програма) І тема. Статистика Разделът включва групиране на данни, хистограми, диаграми, таблично и графично представяне на акумулирани честоти, харектеристики на разсейването; вероятност и статистическа честота; Оценяване на неизвестен дял от генералната съвкупност чрез извадки. Диаграма на нормалното разпределение, често използвано в статистиката Статистиката е математическа дисциплина, която изучава добиването на информация чрез анализ и интерпретация на емпирични данни, използвайки теорията на вероятностите. Статистическата дейност включва също планирането и организирането на събирането на данни чрез проучвания и експерименти. Статистиката възниква във връзка с нуждите на емпиричната наука и се отличава от повечето клонове на математиката по своята приложна насоченост. Статистически методи се прилагат в широк кръг области, като природните и обществени науки, държавното управление и бизнеса. Една от основните подобласти на статистиката е описателната статистика, която се занимава с обобщаването на систематизирани данни. Това е от особена важност при емпиричните изследвания и описването на резултати от експерименти. Чрез методите на статистиката данните могат да бъдат анализирани, като се отчита случайността и несигурността на наблюденията, и въз основа на това се правят изводи за съдържащи се в тях закономерности