Тригонометрични уравнения и неравенства

Препис

1 Тригонометрични уравнения и неравенства I. Тригонометрична окръжност Окръжност k с център О и радиус. II. Обобщен ъгъл Ъгълът, който се получава при завъртането на точка M по тригонометричната окръжност, се нарича обобщен ъгъл. На фиг. обобщеният ъгъл може да бъде: ± 0 0 ±.0 0 и т.н. Виждаме, че обобщения, ъгъл може да се получи при ротация на ъгъла: + k.0 0, () където k 0 ± ± е броят на оборотите (т.е. броят на завъртанията на второто рамо на ъгъла). Навсякъде в този урок числото k е произволно цяло число, за което имаме k 0 ± ± т.е. k Z. III. Радиан Всеки ъгъл може да се измерва с градусни мерки или радиани. Централен ъгъл, за който дължината на съответната му дъга е равна на радиуса на окръжността, се нарича радиан (rd). На фиг. се вижда, че AOM rd Превръщането от едната мерна единица в другата се извършва по следния начин: 0. rd 80 0 () 80 След градусната мярка се поставя знака за градус 0, а след радианната мярка не се записва означението rd r О M Фиг. r r A sin M Тема: Тригонометрични уравнения и неравенства стр. IV. Тангенсова и котангенсова ос Нека да имаме обобщен AOM: Тангенсова ос Оста At, която е допирателна до точка A (фиг. ) Котангенсова ос Оста Bc, която е допирателна до точка B (фиг. ) V. Тригонометрични функции и свойствата им: О M cos M A Фиг. P О Фиг. t M sin P tg P cotg C C M Това е функцията, която съпоставя на обобщен ъгъл ординатата M на точка M (Фиг. ). Графиката е синусоида (Фиг. 9) ДМ: Функцията е периодична с период т.е. sin sin ( ± ) Функцията е нечетна, т.е. sin ( ) sin Приема най-голяма стойност при + k. Приема най-малка стойност при + k. Приема стойност 0 при k. Расте от до във всеки интервал + k. + k. Намалява от + до във всеки интервал + k. + k. A B О Фиг. C c

2 cos Това е функцията, която съпоставя на обобщен ъгъл абсцисата M на точка M (Фиг. ). От равенството cos sin + следва, че графиката на cos се получава от синусоидата изместена (транслирана) наляво по оста, на разстояние (Фиг. ) Функцията tg е растяща в интервала, но не е растяща в интервал, съдържащ точките в които функцията не е дефинирана, т.е.точки от вида ДМ: Функцията е периодична с период т.е. cos cos ( ± ) Функцията е четна, т.е. cos ( ) cos Приема най-голяма стойност при k Приема най-малка стойност при + k. Приема стойност 0 при + k. Расте от до във всеки интервал [-+k. k.] Намалява от + до във всеки интервал [k. + k.] tg Това е функцията, която съпоставя на обобщен ъгъл ординатата P на точка P, която е пресечна точка между тангенсова ос At и второто рамо на обобщения ъгъл (Фиг. ). На координатната система графиката е показана на Фиг. ДМ: + k Функцията е периодична с период т.е. tg tg ( ± k) Функцията е нечетна, т.е. tg ( ) tg. Затова графиката и в интервала 0 е симетрична на графиката и в интервала 0 относно началото на координатната система Няма най-голяма и най-малка стойност Приема стойност 0 при k Расте от до + във всеки интервал + k + k. Например: функцията tg не е растяща в интервала (0 ). cotg Това е функцията, която съпоставя на обобщен ъгъл абсцисата C на точка C, която е пресечна точка между котангенсова ос Bc и второто рамо на обобщения ъгъл (Фиг. ). На координатната система графиката и е показана на Фиг. ДМ: k Функцията е периодична с период т.е. cotg cotg ( ± k) Функцията е нечетна, т.е. cotg ( ) cotg Няма най-голяма и най-малка стойност Приема стойност 0 при + k Намалява от + до във всеки интервал (k +k) Функцията cotg е намаляваща в интервала (k +k), но не е намаляваща в интервал, съдържащ точки, в които функцията не е дефинирана, т.е.точки от вида k. Например: функцията cotg не е намаляваща в интервала. VIII. Тригонометрични уравнения Уравнения, при които неизвестното се съдържа само под знака на тригонометричната функция. Например: уравнението cos +, не е тригонометрично. Тема: Тригонометрични уравнения и неравенства стр.

3 Основните тригонометрични уравнения и техните решения са представени в следната таблица: У-ние: sin <<- т.е. > н.р. cos н.р. +k tg cotg Бележки: +k +k Таблица 0 -<< т.е. < k + k k + (A): + k (B): + k + k (A): + k k (B): + k + k k + k +k + k + k + k +k. Решенията (A) и (B) не са броя на решенията, а броя на групите решения. Тригонометричните уравнения имат безброй много решения (защото графиката на тригонометричната функция пресича много пъти права успоредна на абсцизната ос.. Уравненията tg и cotg имат решения за, а уравненията sin и cos имат решения за [ ]. Начини за решаване на тригонометрични уравнения: Основни тригонометрични уравнения Решават се по таблица. Дадено уравнение може да се преобразува до основно чрез използването на Тригонометрични формули Зад. : cos + Решение: I начин: От таблица (виж Таблици) определяме стойността на cos, а основното уравнение решаваме от таблица : + + k + k cos + cos + cos, n + + k + k II начин: От таблица (виж Таблици) определяме стойността на, а основното уравнение решаваме от таблица : + + k + k cos + n + + k + k Ако в множеството ъгли от вида +kβ параметъра k се замени с k±m, където m е цяло число, множеството не се променя. Например: в множеството нека да заменим k с k+, то полученото множество не се променя. Зад. : tg sin (99 ВВОУ) tg Решение: За дясната част използваме формула () от Тригонометрични формули и получаваме основно уравнение, чието решение определяме от Таблица : ДМ : + kn ( ) + k ( A) + k табл. sin cos cos cos + + k ( B) + k Групите ъгли (A) и (B) не са получени от едно и също тригонометрично уравнение, затова трябва да проверим има ли ъгли от едната група, които се съдържат в другата група, а така също трябва да отчетем и ДМ. Тема: Тригонометрични уравнения и неравенства стр.

4 Засичането ще разгледаме в общ случай. Нека да имаме следните групи ъгли (за означаване на обобщения ъгъл сме използвали различен параметър): ( C) + k ( D) + l ( E) p ( F) q. Разглеждаме групите ъгли (C) и (D) като ги приравним: l + k +. + k + l l k, т.е. C 0 D 0 ъглите от групата (С) се съдържат в групата (D), защото l се получава като умножим k с. Затова ъглите от групата (С) са дублиращи и трябва да отпаднат.този извод може да се направи, и ако групите ъгли (C) и (D) се нанесат на тригонометричната окръжност по следния начин: Задаваме стойности на k и l от 0 до тогава докато точките започват да се повтарят (фиг.). Виждаме, че ъглите С 0 и D 0 съвпадат. Затова можем да кажем, че ъглите от групата С са дублиращи. Разглеждаме групите ъгли (А) и (В) като ги приравним: k + + l. k + l k l 0 0 D A 0 0 Фиг. 0 0 D A 0 Като отчетем Бележката от зад. следва, че ъглите от групата (В) се съдържат в групата (А), т.е. те са дублиращи 0 0 и трябва да отпаднат. Същият извод можем да направим, и ако ги нанесем върху тригонометричната 90 0 окръжност (фиг. ) A B 0 Разглеждаме групите ъгли (Е) и (F) като ги приравним: p q q. p q p, т.е. излишните Фиг. ъгли са от групата (F) и то не всички, а тези които са кратни на. Определянето на излишните ъгли (и тези които ще E E F E F останат) се прави от тригонометричната окръжност (фиг.7). Двете групи съвпадат при ъгли 0 и. Затова едната група решения ще бъдат групата Е, т.е. Е F Е 0 F 0 k. Останалите отговори: групираме по следния на- E E 7 F чин: Отговорите и E (както се вижда от фиг.7) се различават F Фиг.7 с Затова можем да ги запишем по следния Тема: Тригонометрични уравнения и неравенства стр. начин: + k.. По същия начин отговорите и могат да бъдат записани като + k. Тези два отговора записваме ± + k. В крайна сметка след засичането на групите (E) и (F) получаваме, че решенията са: k ± + k Нека сега да разгледаме групите ъгли (С) и (F) като ги приравним: q + k. + k q q k + От тук се вижда, че групите ъгли (С) и (F) се различават с дробно число. В такъв случай дублиращи ъгли няма и двете групи ъгли са решения. Да повторим, че групите ъгли не се засичат, когато са получени от едно и също основно тригонометрично уравнение. В случай, когато броят на групите са много и могат да бъдат записани по общ начин (както при фиг. 7), тогава те също се групират (без обаче да изключваме част от тях). + Нека сега се върнем на групите (А) и (В), които са решения на дадената задача. От фиг. видяхме, че групите решения (В) са дублиращи. Тогава решенията на уравнението остават да бъдат групата (А). Като отчетем Д.М. виждаме, че ъглите от групата ( A ) + k не принадлежат на Д.М.(защото тогава tg не е дефиниран) и трябва да се изключат от решенията. И, както виждаме от фиг., окончателните решения са групите ъгли: k (отговарящи на точки (А 0 )) и + k (отговарящи на точки (А )). Чрез разлагане на множители При този метод всички едночлени се прехвърлят от едната страна на равенството и с помощта на формулите от Тригонометрични формули, се стремим да достигнем до равенството: f() g() 0 f() 0 или g() 0 () При този начин за решаване отговорите винаги се засичат по описания по-горе начин. Зад. : cos +cos cos

5 Решение: cos + cos cos 0 cos ( cos + cos ) 0. Прилагайки Следващите случаи са когато A B (), това уравнение се разделя на следните две: ) cos 0 ( A) + k ) cos + cos 0. Полагаме: cos, ДМ : [ ]. Уравнението добива вида: + 0 ДМ и. От полагането получаваме + k cos cos cos ( B) + k Групите ъгли (А) и (В) са решения на уравнението. Уравнения от вида:.sin A + b.cos B c, () където + b 0 o В случаите, когато b, а c 0, се решават като преобразуваме едната тригонометрична функция в другата (от таблица ) и приложим Тригонометрични формули (7) до (0). Зад. : cos +sin 0 Решение: От Таблица преобразуваме sin в cos и след това използваме формула (9): cos + cos 0 cos cos 0. cos cos 0 Прилагайки (), това уравнение се разделя на следните две: + + )cos 0 + k ( A) + k )cos 0 + k ( B) + k A 0 B 0 Групите ъгли (А) се съдържат в групата ъгли (В), защото: + k + l. + k + l l k, т.е. ъглите от групата (А) са дублиращи (този извод можем B да го направим и от фиг.8). Затова решенията на нашето уравнения са само групата ъгли ( B) k + Фиг.8 B Тема: Тригонометрични уравнения и неравенства стр. o Зад. : cos + sin Когато b, а c 0, тогава повдигаме () на квадрат и като приложим Тригонометрични формули () и () получаваме основно тригонометрично уравнение c sin Всяко повдигане на квадрат на тригонометрично уравнение довежда до появата на чужди корени. Те се отстраняват чрез непосредствена проверка. Решение: Повдигаме на квадрат двете страни на уравнението: ( ) ( ) cos + sin + sin cos sin cos sin cos sin 7 7 ( A) + k ( B) + k Непосредствено проверяваме за появата на чужди корени по следния начин: Групите ъгли (А) са 7 9. Заместваме в даденото уравнение: cos + sin е решение cos + sin не е решение, т.е. той е чужд корен и след отстраняването му групата ъгли (А) има вида 7 ( A) + k. Тази група е решение на даденото уравнение. Групите ъгли (В) са. Заместваме в даденото уравнение: cos + sin е решение cos + sin не е решение, т.е. той е чужд корен и след отстраняването му групата ъгли (В) има вида ( B) k +. Тази група е решение на даденото уравнение.

6 + k + k. В тези решения не се включват групите ъгли +k, но Бележки:.Задачата може да бъде решена и като се умножат двете страни на даденото уравнение с подходящо число и се приложи Тригонометрични формули (7). Подобен начин за решаване ще покажем в Зад. 7.. Задачата може да бъде решена и като използваме формула (7), за да достигнем до основното уравнение. o Използване на универсалната субституция (виж Тригонометрични формули (9) и ()). В такъв случай уравнение () се преобразува в квадратно спрямо tg. Знаем, че тангенса не е дефиниран за Зад. : sin + cos, затова в нашия случай след решаването на квадратното уравнение трябва да изключим ъглите Решение: Като използваме универсалната субституция от Тригонометрични формули (9) и () получаваме уравнението tg tg. ДМ на това + tg tg уравнение е: + k + k и след полагането tg получаваме: + +. Тогава от полагането получаваме tg. От таблица виждаме, че нямаме изчислен ъгъл, при който тангенса да бъде равен на, но такъв ъгъл съществува. Затова този ъгъл означаваме с. От таблица определяме, че решенията на уравнението са Тема: Тригонометрични уравнения и неравенства стр. трябва непосредствено да проверим дали тези групи ъгли са решения на даденото уравнение. От sin 0 + k cos и заместваме в даденото уравнение:.0, т.е. групата ъгли +k са решения на даденото уравнение и затова ги прибавяме към крайните решения. Окончателните решения са: + k, +k. Ъгълът определяме от таблица (или калкулатор) и има приблизителна стойност 7 0. o Чрез въвеждане на спомагателен ъгъл В някои случаи лявата страна уравнението () е полезно да се замени с израза sin(±φ). Преобразуването става като разделим двете страни на уравнение () с + b и получаваме: b c. Въвеждаме φ с равенствата: sin A + + b cos A + b + b cosϕ и b sin ϕ (такива полагания могат да се направят, + b + b защото b + ). Така за горното уравнение получаваме: + b + b cosϕ sin A + sin ϕ cos A c. Прилагаме Тригонометрични формули (7) и получаваме + b исканото основно тригонометрично уравнение c sin( A +ϕ ). Това + b уравнение (или уравнение ()) има решение, ако c + b. () Зад. 7: sin cos Решение: Сравнявайки това уравнение с уравнение () стигаме до извода, че A,, b и c. Тогава + b т.е. делим даденото уравнение с и получаваме: ( 7 ) sin cos cos sin sin cos sin + k + k + + k + k

7 o От тъждеството (.sina + b.cosa) + (b.sina.cosa) + b намираме (b.sina.cosa) + b c. Тогава от системата sin A + b cos A c получаваме основните тригонометрични уравнения: b sin A cos A ± + b c c ± b + b c sin A и bc cos A + b + b c () Хомогенни тригонометрични уравнения Те са от вида: 0 sin n + sin n-.cos + + n- sin.cos n- + n cos n 0 (7) Хомогенните уравнения нямат решение при cos 0, защото тогава от горното уравнение следва, че и sin 0. Обаче от Тригонометрични формули () знаем, че не съществува, за което двете функции едновременно да са 0. Затова уравнение (7) можем да го разделим на sin n или cos n. Тогава хомогенното уравнение се превръща в: 0 tg n + tg n- + + n- tg + n 0. Сега полагаме tg и уравнението се превръща в квадратно алгебрично, което решаваме. + b Зад. 8: sin ( + ) sin cos + cos 0 (ПУ, 99) Решение: Допускаме, че cos 0, от Тригонометрични формули () получаваме sin. Като заместим в даденото уравнение, получаваме 0 т.е. при това допускане уравнението не се удовлетворява. Затова делим на cos 0 и получаваме: sin sin tg + tg + 0 Полагаме : tg ДМ : + k cos ( ) ( ) cos ( + ) + 0 D ( + ) ( ) + ( ) От полагането имаме следните случаи ) tg ( A) + k ДМ. ) tg ( B) + k ДМ. D Окончателните отговори са групата ъгли (А) и (В). Някои уравнения не са от вида (7),но могат да се преобразуват с помощта на Тригонометрични формули. Например: Уравнението:.sin +b.sin.cos + c.cos +d 0, където + d 0 (8) Тема: Тригонометрични уравнения и неравенства 7 стр. се свежда до квадратно за tg, когато d представим като.d и приложим Тригонометрични формули (). Друг начин за преобразуване на тригонометрично уравнение в хомогенно е използването на подходящи Тригонометрични формули: Уравнение (8) може да се преобразува до квадратно за tg с помощта на Тригонометрични формули (8) и (0) или до квадратно спрямо четвърта степен за с универсалната субституция (9) и (). В случаите, когато формулите (8) и (0) свеждат уравнението до рационално за tg (тогава наред с тях се използват и формулите (8) и ()), тяхното използване трябва да се предпочита пред това на формулите (9) и (). Зад. 9: cos sin cos sin.(sin + cos ) Решение: Разкриваме скобите и прехвърляме всички едночлени отляво: cos sin.cos sin.cos sin 0. Това уравнение е хомогенно, затова допускаме, че cos 0, от Тригонометрични формули () получаваме sin. Като заместим в даденото уравнение, получаваме 0, т.е. при това допускане уравнението не се удовлетворява. Затова делим на cos 0, и като заместим sin tg получаваме: tg + tg + tg 0. ДМ : + k. Полагаме: tg cos и получаваме ( )( + ) + ( )( + ) + ( ) 0 ( )( ) 0 ( )( + + ) 0. Разглеждаме следните два случая: ) 0 tg ( A) + k ДМ. ) D < 0НР.. Окончателните решения на даденото уравнение са групите (А). Полученото в горната задача уравнение от трета степен може да се реши с правилото на Хорнер. Уравнения за които използваме, че неравенствата sin и cos, са верни за всяко. Зад. 9: sin + sin 9

8 Решение: За да е в сила горното уравнение, трябва да е изпълнена системата: + k ( A) + k sin. Засичаме отговорите и решение на дадената задача ще бъдат само дублиращите групи ъгли: sin l ( B) + l 8 9 l 8 + k k l l + 9k, т.е ъглите от групата (А) се съдържат в групата (В) и те са дублиращи. Затова окончателното решение на даденото 8 9 уравнение са k + Зад. 0: cos.cos 7 Решение: Разглеждаме следните два случая:: ( A) k cos k l т.е. ъглите (А) са дублиращи ) k l 7k cos 7 7 l ( B) l 7 7 Общото решение в този случай е k ( A) + k cos + k l т.е. ) + k + l + 7k cos l ( B) + l ъглите от групата (А) се съдържат в ъглите от групата (В) и те са дублиращи. Общото решение в този случай е + k Нанасяйки решенията () и () на тригонометричната окръжност, виждаме, че се различават с Затова можем да ги обединим (не да ги засечем) в група ъгли k, което е и решение на дадената задача. Уравнения, в които участват само изразите sin + cos и sin.cos или sin cos и sin.cos. За sin + cos (или sin cos ) използваме Тригонометрични формули (7) и правим полагането sin + cos sin + (или sin cos cos +. От тук се вижда, че ДМ : [ ] (защото sin ). Израза sin.cos получаваме като повдигнем полагането на квадрат, т.е. ( sin + cos ) sin + sin.cos + cos sin.cos. Зад. : sin + cos sin cos Тема: Тригонометрични уравнения и неравенства 8 стр. Решение: Полагаме sin + cos. Повдигаме двете страни на квадрат и след преобразуване получаваме sin.cos. От Тр. Ф. (7) полагането се записва във вида sin + ДМ : [ ], и даденото уравнение добива вида 0 ДМ, ДМ От полагането получаваме sin + cos sin + sin +, + + k ( A) + k + + k ( B) + k Групите ъгли (А) и (В) са окончателните решения на даденото уравнение. Следват избрани задачи от Основни типове задачи: Зад. : sin + cos sin.cos Решение: Повдигаме на квадрат двете страни на уравнението: sin + sin.cos + cos sin cos (sin + cos + sin.cos sin.cos) sin cos ( + sin.cos). (sin cos) ( + sin cos) sin ( + sin ). Полагаме sin, ДМ : [ ] и получаваме ( + ) + 0. Това уравнение от трета степен решаваме с помощта на правилото на Хорнер. Делителите на свободния член са ± ±. По правилото на Хорнер намираме кой от тях може да бъде решение на даденото уравнение 0 Щом r 0 числото е точен корен. Следващите 0 делители не ги проверяваме, а записваме дадения многочлен като произведение от двучлен и квадратна функция: ( )( + + ) 0 0 или + + 0, D < 0 Н.Р. т.е. решението е само. От полагането получаваме

9 sin + k + k. Повдигането на квадрат довежда по появата на чужди корени, затова ще направим проверка. От тригонометричната ок- ръжност виждаме, че получената група ъгли може да разделим на две групи: ( A) k и ( B) + k.. Непосредствено се проверява, че само групата + (А) удовлетворява даденото уравнение (защото за група (В) от таблица се вижда, че sin и cos. Замествайки в даденото уравнение, получаваме:, което очевидно не е вярно, т.е. група (В) не са решения на даденото уравнение). Окончателните решения на даденото уравнения са само група ( A) k + Зад. : cos +cos + cos Решение: За понижаване на степента използваме Тригонометрични формули (9) и получаваме: cos cos + cos + cos + cos ( cos + cos) ( 9) + cos + cos 0 cos.cos + cos 0 cos ( cos + cos) )cos 0 + k ( A) + k ( ) cos 0 + k ( B) + k 9 )cos + cos 0 cos.cos 0 cos 0 ( C) + k Като приравним групите ъгли (С) и (В) виждаме, че (C) е дублираща група и тя отпада като решения. Окончателните решения са: + k. и + k.. Когато тригонометричните функции участват в уравнението чрез четни степени, полезно е да се използват Тригонометрични формули за понижаване на степените (7) и (9). 0 Тема: Тригонометрични уравнения и неравенства 9 стр. Зад. 8: При кои стойности на реалния параметър, уравнението ( )cos + ( )sin има решение. Решение:. Използваме Тригонометрични формули () : ( )( sin ) + ( ) sin sin + sin + ( ) sin ( ) sin + ( ) sin + 0 ( ) sin + ( ) sin + 0 Разглеждаме два случая: ) При 0, горното уравнение се превръща линейното уравнение sin, което няма решение т.е. не е решение на даденото уравнение ) При 0 в горното уравнение полагаме sin : ( ) + ( ) + 0 D ( ) 8( ) ( ) + D ( ) ( ) ( ) ( ).) sin. Това уравнение няма решение.б) sin. Това уравнение има решение, когато е изпълнено: ( 0] ( + ) ( 0] [ + ) ( ) [ + ) 0 0 От ) и ) следва, че даденото уравнение има решение при ( 0] [ + ) VIII. Тригонометрични неравенства Решаването на тригонометрични неравенства обикновено се свежда до решаване на основни тригонометрични неравенства. Те са представени в таблицата: Таблица Неравенство: < -<< т.е. < > sin > k + +k<< +k н.р. н.р. (Фиг. 9) sin < +k<<+k н.р. н.р. (Фиг. 0) k + cos > +k<<+k +k н.р. н.р. [0] (Фиг. )

10 cos < [0 ] н.р. н.р. +k<< +k (Фиг. ) Таблица k Ако имаме нестрого неравенство (например: sin ) и (или ), то след като неравенствата sin > (или cos >) нямат решения, то остава да търсим решение само за sin. Неравенство: <<+ Неравенство <<+ tg > + k < < + k (Фиг. ) cotg > (0 ) +k +k +k k<<+k (Фиг. ) + +k + tg < Фиг. 9 cotg < (0 ) k < < + k (Фиг. ) +k<<+k (Фиг. ) +k +k +k +k +k +k / + Фиг. Фиг. / + Фиг. / / / Фиг. 0 Фиг. Тема: Тригонометрични уравнения и неравенства 0 стр.

11 +k +k / / Зад. 0: sin < cos Решение:. Преобразуваме до основно тригонометрично неравенство: ( 7 ) sin cos < 0..sin.cos < 0 sin < 0 0 > + k 0 + k < < 0 + k + k + k < k Зад. : cos + sin + > 0 / Фиг. / Фиг. / / Решение:. От таблица имаме sin cos cos + и неравенството има вида: cos + cos + + > 0 Полагаме : cos + ДМ : [ ] + > 0 ( + ) 7 )cos + < + k < + < + k + k < < + k )cos > От ) и ) следва, че решенията са 7 + k < < + k. IX. Тригонометрични преобразования Зад. : Намерете tg 7 0. Решение:. Аргумента на дадената тригонометрична функция представяме така, че да може да използваме Таблица за стойностите на тригонометричните функции: tg 7 0 tg ( ) ( ) + ТФ ( + ). 0 0 tg0 tg. 0 0 tg0. tg Зад. : Намерете стойността на всички тригонометрични функции, ако tg и ( ). sin cos Решение:.Синус и косинус намираме от системата tg ( ). Решаваме я чрез заместване: от () получаваме sin cos. sin + cos ( ) Тема: Тригонометрични уравнения и неравенства стр.

12 заместваме в () cos + cos 9 cos cos ±, но по условие е в I квадрант, то знакът на cos е положителен, затова cos. Заместваме в sin cos и получаваме sin Остава да намерим котангенс от формулата cotg Зад. : Пресметнете tg cotg 8. 8 cot g tg Решение: За да използваме формулите за половинки ъгли (виж ТФ.. до.) трябва да представим и тогава: 8 cos sin 8 cos + + cos 8 sin 8 ( ) tg.. 8 cos cot g. + 8 tg + 8 Зад. : Намерете tg, ако cos и ( ). Решение:. Използваме (ТФ..), която за нашия случай е tg tg tg tg. Остава да намерим tg. tg. tg tg От основното тригонометрично тъждество намираме sin cos 9 sin ±, но по условие е във II квадрант, то знакът на sin е отрицателен, откъдето sin tg tg sin. cos tg tg 8. Задачи за упражнение: Следват задачи групирани по сложност. Част от тях са давани на конкурсни изпити или на матури. За съжаление те са авторски и не се разпространяват свободно. Използват се за подготовка на кандидатстуденти с учител от Учебен център СОЛЕМА. Учебен център СОЛЕМА подготвя ученици за кандидатстване във всички университети, а така също и за кандидатстване след 7 клас. За цените и всичко свързано с подготовката на кандидатстудентите и учениците кандидатстващи след 7 клас по математика и физика, виж раздел За нас. Тема: Тригонометрични уравнения и неравенства стр.