Функционален аспект на теорията на ОМ

Препис

1 Лекция 8 Функционален аспект на теорията на ОМ Идеята за дефиниране на оператори над ОМ е предложена за пръв път през 1982 г От първите опити досега се появиха много видове оператори, което наложи и създаване на техни класификации Първата от тях е свързана с момента от време, когато тези оператори могат да се приложат над дадена ОМ По този признак, операторите се делят на такива, които се прилагат: (a) преди началния момент на функциониране на ОМ, (б) по време на функциониране на ОМ, (в) след завършване на функционирането на ОМ Така класифицирани, операторите се разделят на две групи, в зависимост от това, дали могат (операторите от т (б)) или не (операторите от т (а) и (в)) да се приложат по време на функционирането на произволна ОМ Най-общо казано, ОМ, която допуска прилагането на оператори по време на функционирането

2 2 си, ще наричаме СамоМодифицираща се ОМ (СМОМ) Следователно операторите от втората група са по-интересни от гледна точка на теорията на ОМ През последните години стана ясно, че СМОМ имат свое самостоятелно място като средства за моделиране Операторите над ОМ могат да бъдат класифицирани и по друг признак, както това е направено в [4]: относно частите на ОМ, за които се отнасят Така те се разделят на: (а) глобални оператори, (б) локални оператори, (в) йерархични оператори, (г) редуциращи оператори, (д) разширяващи оператори, (е) динамични оператори Ще опишем операторите от отделните групи на тази класификация, като за всеки от тях ще посочим към коя група по първата класификация принадлежи Глобалните оператори са такива оператори, които изцяло преобразуват отделни компоненти на ОМ или дадена ОМ като цяло Например те могат да променят формата или структурата на дадена ОМ, ядрата в ОМ или някоя от функциите на ОМ, глобалните и времеви компоненти Локалните оператори действат само в рамките на отделен преход, но всеки от тях може да се разшири до глобален Третата група оператори са йерархичните Те се разделят по два различни начина: (a) относно обекта на действие или резултата от действието йерархичните оператори са свързани с позиции или с преходи в дадена ОМ или с цели ОМ;

3 81 Глобални оператори над ОМ 3 (б) относно общността на получения резултат в рамките на модела те са детайлизиращи и окрупняващи Четвъртият вид оператори редуциращите са такива, които отстраняват някой компонент от дадена ОМ, те които редуцират дадена ОМ по подходящ начин или определят от кой клас редуцирани ОМ е дадена ОМ Петият вид оператори разширяват дадена ОМ до разширена ОМ от някой от видовете, описани в Лекция 3 Накрая операторите от шестата група се наричат динамични, понеже те променят стратегиите за движение на ядрата в ОМ по време на функционирането и Ще изложим систематично операторния аспект на теорията на ОМ 81 Глобални оператори над ОМ Над множеството Σ на всички ОМ ще бъдат дефинирани оператори, които преобразуват дадена ОМ до нова, която е с предварително зададени свойства Тези оператори се наричат глобални и се делят на четири групи според компонентите на ОМ, над които действат: * структурни, които променят структурата на дадената ОМ като цяло; * динамични, които действат над динамичните и елементи; * времеви, които действат над времевите и елементи; * функционални които действат над функционалните и елементи Номерацията на отделните оператори следва последователността на тяхното конструиране през годините Тук ще сменим

4 81 Глобални оператори над ОМ 4 номерата на 5-и и 6-и оператор спрямо [1, 4, 5] с цел по-систематизираното им описание 811 Оператор G 1 Когато трябва да сравним две различни ОМ, които извършват еднаква работа, можем да използваме операторите за сложност, дефинирани в Лекция 6 Оказва се обаче, че двете мрежи може да са много различни например едната да има много позиции и малко на брой преходи, докато другата обратно Тогава относно един критерий, първата ще бъде по-добра, а относно друг по-добра ще бъде втората Полезно е преди сравняването да се унифицират структурите на двете ОМ Първият оператор, който ще дефинираме, нормализира структурата на всяка ОМ по еднотипен начин, представяйки графичната структура на всеки неин преход като композиция от преходи с еднаква графична структура Такъв е преходът от фиг 811, който означаваме като Z 2,2 Z 2,2 l 1 l 3 l 2 l 4 Фиг 811 При представянето на дадена ОМ чрез композиция на преходи от тип Z 2,2 в G 1 (E) се появяват фиктивни позиции, необходими за спазване на нотацията Очевидно оператор G 1 е приложим над дадена ОМ E преди или след функционирането и, но не и по време на работата и Ясно е, че G 1 (E) е ОМ

5 81 Глобални оператори над ОМ 5 На фиг 812 е показана ОМ, състояща се (за простота) само от два прехода, където и r 2 = r 1 = l 4 l 5 l 1 W 1,4 W 1,5 l 2 W 2,4 W 2,5 l 3 W 3,4 W 3,5 l 6 l 7 l 8 l 5 W 5,6 W 5,7 W 5,8 Z 1 Z 2 l 1 l 4 l 6 l 2 l 5 l 7 l 3 l 8 Фиг 812 За удобство предикатите на условията са означени с W i,j, където i и j са индексите съответно на входната и изходната позиция, свързани с предиката Резултатът от прилагането на оператор G 1 над тази ОМ е показан на фиг 813, където r * 1 = m 1 m 2 l 1 false l 2 false W 1,4 W 1,5, W 2,4 W 2,5 r * 2 = l 4 l 5 m 2 W 1,4 W 2,4 W 1,5 W 2,5, l 3 W 3,4 W 3,5

6 81 Глобални оператори над ОМ 6 r * 3 = l 6 m 4 l 5 W 5,6 W 5,7 W 5,8 m 3 false false, r * 4 = l 7 l 8 m 4 W 5,7 W 5,8 m 5 false false Z 1 m 1 l 1 m 2 l 2 Z 2 l 4 Z 3 l 3 l 5 l 6 m 3 m 4 Z 4 m 5 l 7 l 8 Фиг 813 Както се показва в дисертацията на В Тасева [2], резултатът от прилагането на оператор G 1 над даден преход може да има V-, Λ- или X-образен вид Например след прилагане на оператор G 1 над прехода от фиг 814 можем да получим представимостите от фиг 815, 816 и 817 Нека функциите P и T задават съответно броя на преходите от тип Z 2,2, чрез които се представя даден преход Z, и броя на необходимите фиктивни позиции в това представяне Лесно се вижда, че за представимостта на преход с m 3 входа и n 3 изхода във всеки от трите вида представимости V, Λ, X са в сила равенствата: P (V, m, n) = P (Λ, m, n) = P (X, m, n) = 2 max(m, n) + min(m, n) 6,

7 81 Глобални оператори над ОМ 7 T (V, m, n) = T (Λ, m, n) = T (X, m, n) = m + n 3 Z l 1 l 5 l 2 l 6 l 3 l 7 l 4 l 8 l 9 Z 1 l 1 m 1 l 2 m 2 Z 2 m 3 l 3 m 4 Фиг 814 Z 4 m 6 m 7 Z 3 m 5 l 8 Z 5 m 8 m 9 l 7 m 10 Z 6 l 5 l 6 l 4 l 9 Фиг 815 В [7] е предложен друг начин за представимост на преходите на ОМ чрез оператор G 1 Нека означим този начин с F (от feedback или обратна връзка ) Например преходът от фиг 814 сега ще получи представимостта от фиг 818 и за него са в сила: T (F, m, n) = max(m, n),

8 81 Глобални оператори над ОМ 8 Z 1 l 2 m 2 l 1 m 1 Z 2 l 3 m 4 m 3 Z 3 l 4 l 5 m 5 Z 4 l 6 m 6 m 7 Z 5 l 7 m 8 m 9 Z 6 l 8 m 10 l 9 Фиг 816 Z 1 l 1 m 1 l 2 m 2 Z 3 m 6 Z 4 m 5 l 5 l 6 Z 2 l 3 m 3 l 4 m 4 m 7 Z 5 l 7 m 8 m 9 Z 6 l 8 m 10 l 9 Фиг 817 P (F, m, n) = 2 max(m, n) min(m, n) Накрая ще отбележим, че са в сила: G 1 (E) E, G 1 (G 1 (E)) = G 1 (E)

9 81 Глобални оператори над ОМ 9 Z 1 l 1 m 2 Z 2 l 2 m 3 l 6 Z 3 l 3 m 4 l 7 Z 4 l 4 m 5 l 8 Z 5 m 6 l 9 m 1 l 5 Фиг 818 В [8] е формулиран и решен по-общ проблем Нека е дадено множество S от различни по форма преходи, поне една от формите на които има повече от една входна позиция и поне една от формите има повече от една изходна позиция Описан е алгоритъм, който за дадена ОМ E може да построи нова ОМ, представяща E чрез оператор G 1, но преходите на която да са елементи на множеството S В частния случай, когато множество S съдържа само прехода от фиг 811, този алгоритъм съвпада с действието на оператор G Оператор G 2 Обратно на първия, този оператор свива дадена ОМ В резултат от прилагането му ОМ с множества Q I и Q O на входните и изходните си позиции се трансформира до преход със същите входни и изходни позиции В [4] е дадено подробно описание на вида на G 2 (E) и е показано, че това е ОМ Ясно е, че употребата на този оператор има само теоретично значение и, нещо повече, той не е приложим над дадена ОМ по

10 81 Глобални оператори над ОМ 10 време на функционирането и 813 Оператор G 3 Понякога след функционирането на някоя ОМ се оказва, че част от преходите и не са се активирали нито веднъж, а в някои от техните позиции нито веднъж не е влязло ядро Удобно е на базата на дадена ОМ E да се конструира такава ОМ, която съответства на реално функциониралата част на E Това се постига чрез оператор G 3 Той съпоставя на дадена ОМ E нова ОМ G 3 (E), която съдържа само тези преходи на E, които са се активирали поне по веднъж и само тези позиции на E, през които е преминало поне по едно ядро Ясно е, че този оператор ще може да се прилага само след като дадената ОМ вече е завършила функционирането си За целта ще бъде необходимо така да се дефинират характеристичните функции на ОМ, че те да дадат информация за маршрута на всяко от ядрата на мрежата 814 Оператор G 4 Когато имаме ОМ с множества Q I и Q O на входните и изходните си позиции, тя може да се модифицира чрез оператор G 4 до нова ОМ с подобен вид, но различаваща се от първата по това, че най-вляво и най-вдясно са добавени два нови прехода: първият с една входна позиция (p 1 ), различна от останалите позиции на ОМ, и с множество на изходните позиции Q I, а вторият с множество на входните позиции Q O и с една изходна позиция (p 2 ), различна от останалите позиции на ОМ В [4] е дадено подробно описание на вида на G 4 (E) и е показано, че това е ОМ Сега всички ядра влизат в ОМ през позиция p 1 и предикатите на условието на прехода ги насочват към позициите от множество Q I, в които биха постъпили в първоначалната ОМ E; всички ядра напускат новата ОМ през позиция p 2 без нова характеристика, те с характеристиката, която са получили в позиция от

11 82 Оператори G 6, G 7,, G множеството Q O Затова за всяка ОМ E е в сила G 4 (E) E 815 Оператор G 5 Оператор G 5 съпоставя на дадена мрежа E нова ОМ E, в която всяка част от E с вида на фиг 819 е заменена с преход от вида на фиг 8110, за който r = r 1 r 2 r s1 (за операция вж Приложение 1) Този оператор е подобен на оператор G 2, който обаче преобразува ОМ глобално, докато G 5 я преобразува само локално Z 1 Z 2 Z s Z * 1 l 1,1 l 2,1 l s,1 l * 1,1 l * s,1 l 1,p1 l 2,p2 l s,ps l * 1,p 1 l * s,ps Фиг 819 Фиг Оператори G 6, G 7,, G 20 Всеки един от тези оператори променя някой от компонентите на дадена ОМ E, съответно: G 6 (E, b ) = A, π A, π L, c, f, θ 1, θ 2, K, π K, θ K, T, t 0, t *, X, Φ, b,

12 82 Оператори G 6, G 7,, G където b е нова функция, която задава максималния брой характеристики, които може да придобие едно ядро, движейки се в мрежата; G 7 (E, T ) = A *, π A, π L, c, f, θ * 1, θ 2, K, π K, θ * K, T, t 0, t *, където X, Φ, b, A * = { L, L, T T + t 1, t 2, r, M, L, L, t 1, t 2, r, M, A}, θ * 1(t) = θ 1 + T T, θ * K(t) = θ K + T T ; G 8 (E, t 0 ) = A *, π A, π L, c, f, θ 1, θ * 2, K, π K, θ * K, T, t 0, t * t0 t 0, където X, Φ, b, A * = { L, L, t 1, t 2 t0 t 0, r, M, L, L, t 1, t 2, r, M, A}, θ * 2(t) = θ * 2 t0 t 0 ; G 9 (E, t * ) = A, π A, π L, c, f, θ 1, θ 2, K, π K, θ K, T, t 0, t *, X, Φ, b ; G 10 (E, K ) = A, π A, π L, c, f, θ 1, θ 2, K, π K, θ K, T, t 0, t *, X, Φ, b, където K е новото множество от ядра, а π K, θ K и X са функции, дефинирани над него; G 11 (E, X ) = A, π A, π L, c, f, θ 1, θ 2, K, π K, θ K, T, t 0, t *,

13 82 Оператори G 6, G 7,, G X, Φ, b ; G 12 (E, Φ ) = A, π A, π L, c, f, θ 1, θ 2, K, π K, θ K, T, t 0, t *, X, Φ, b ; G 13 (E, f ) = A, π A, π L, c, f, θ 1, θ 2, K, π K, θ K, T, t 0, t *, X, Φ, b ; G 14 (E, π A) = A, π A, π L, c, f, θ 1, θ 2, K, π K, θ K, T, t 0, t *, X, Φ, b ; G 15 (E, π L) = A, π A, π L, c, f, θ 1, θ 2, K, π K, θ K, T, t 0, t *, X, Φ, b ; G 16 (E, c ) = A, π A, π L, c, f, θ 1, θ 2, K, π K, θ K, T, t 0, t *, X, Φ, b ; G 17 (E, θ 1) = A, π A, π L, c, f, θ 1, θ 2, K, π K, θ K, T, t 0, t *, X, Φ, b ; G 18 (E, θ 2) = A, π A, π L, c, f, θ 1, θ 2, K, π K, θ K, T, t 0, t *, X, Φ, b ; G 19 (E, π K) = A, π A, π L, c, f, θ 1, θ 2, K, π K, θ K, T, t 0, t *, X, Φ, b ; G 20 (E, θ K) = A, π A, π L, c, f, θ 1, θ 2, K, π K, θ K, T, t 0, t *, X, Φ, b Очевидно оператор G 7 е приложим само преди активирането на ОМ, понеже след това прилагането му е безсмислено Оператори G 8 и G 9 са приложими както преди, така и по време на функционирането на дадена ОМ За оператори G 10, G 11, G 12, G 13,

14 83 Оператор G G 14, G 15 и G 19 трябва да се каже, че при някои допълнителни условия те са приложими над дадена ОМ по всяко време, те и преди, и по време на функционирането и, и след това Например оператор G 10 може да замени само тези от ядрата на ОМ, които до момента не са постъпили в мрежата, а оператор G 11 може да замени само характеристиките на точно тези ядра Ако оператор G 16 трябва да намали капацитета на дадена позиция, той може да се приложи само в случай, че текущо в позицията има не по-голям брой ядра от броя на ядрата, който съответства на стойността на втория аргумент на оператора Ако оператор G 16 увеличава капацитета на позицията, той може да се приложи винаги Оператор G 17 може да се приложи, ако моментът на активиране на прехода, който се задава като втори аргумент на оператора, е след текущия момент от време Продължителността на активното състояние на прехода не може да се намали от оператора G 18, ако се окаже, че преходът е активен, а операторът изисква той вече да е деактивиран Ако оператор G 20 смени момента на влизане на дадено ядро в ОМ с нов по-ранен момент, ядрото ще влезе в ОМ при първа възможност Следователно този оператор може да се прилага във всеки момент от функционирането на ОМ 83 Оператор G 21 Засега той е последният от дефинираните глобални оператори Операторът G 21 намалява сложността на ОМ, като слива в една позиция всички позиции от множеството на изходните позиции на даден преход, които едновременно с това са елементи на множеството на входните позиции на друг преход в мрежата (вж [6, 9]) Капацитетът на новата позиция е сума от капацитетите на слетите позиции Например оператор G 21 преобразува фрагмента от някоя ОМ

15 84 Локални оператори над ОМ 15 от фиг 8111 до вида от фиг 8112 Zi l 1 Zj Zi Zj ls l Фиг 8111 Фиг 8112 Следвайки [1] ще отбележим, че е в сила Теорема 811 Нека a и a са необходимите аргументи за оператори G i и G j (за някои оператори тези аргументи може да липсват) Тогава за всяка ОМ двата оператора комутират, те: G i (G j (E, a ), a ) = G j (G i (E, a ), a ), когато i = 1, 2, 5 и j = 7,, 11, 19, 20; i = 3 и j = 7, 8; i = 4, 6 и j = 7,, 20 7 i < j Локални оператори над ОМ Локалните оператори променят отделни компоненти на определен преход в дадена ОМ Те са три вида: времеви (L 1, L 2, L 3, L 4 ), които променят съответно времевите параметри на даден преход t 1, t 2, θ 1, θ 2 ; матрични (L 5, L 6 ), които променят съответно някой елемент на ИМ r и ИМ M в прехода;

16 85 Йерархични оператори над ОМ 16 други, които променят типа на прехода (L 7 ), капацитета на някоя от позициите му (L 8 ), характеристичната функция на някоя от позициите му (L 9 ) или вида на оценъчната функция за предикатите на условията му (L 10 ) Всеки от тези оператори (L i, 1 i 10) може да бъде разширен до глобален (L i, 1 i 10), който променя всички компоненти на ОМ от съответния вид 85 Йерархични оператори над ОМ По начина на своето действие йерархичните оператори се разделят на две групи: разширяващи (H 1, H 3, H 6, H 7 и в някои случаи H 5 ); свиващи (H 2, H 4 и в някои случаи H 5 ) По обекта на действието си те се разделят на на три групи: действащи върху или даващ в резултат позиция (H 1 и H 2 ); действащи върху или даващ в резултат преход (H 3 и H 4 ); действащи върху или даващ в резултат подмрежа (H 5, H 6, H 7 ) Разширяващите оператори позволяват да се детайлизира моделиран чрез ОМ процес, докато свиващите оператори дават възможност моделът да се окрупни, като се пренебрегнат някои от детайлите му Първите четири оператора са описани подробно в [4], петият в [1], а следващите два в [5] Йерархични оператори H 1 и H 3 заместват съответно позиция или преход на дадена ОМ с цяла нова ОМ Обратно, оператори

17 85 Йерархични оператори над ОМ 17 H 2 и H 4 заместват част от дадена ОМ съответно с позиция или преход Нека [l 1, l 2 ] означава типа на даден преход, в който позиция l 1 е заменена с позиция l 2 и нека A B = (A B) (B A) Първият йерархичен оператор H 1 (фиг 831) има вида H 1 (E, l *, E ) = E, където l, l, l L E L E За него са възможни четири случая: 1 Ако l * L E, то E = E 2 Ако l * L E Q E, то E = (A E ({ L 1, L 1, t1 1, t1 2, r 1, M 1, 1, L 1, L 1 {l*, l }, t 1 1, където t 1 2, r 1, M 1, 1[l *, l ] l * L 1 } { L 2, L 2, t2 1, t2 2, r 2, M 2, 2, L 2 {l*, l }, L 2, t2 1, t2 2, r 2, M 2, 2[l, l * ] l * L 2 }) A E { {l }, Q I E, t 1 1, 0, r, M, (l ), Q O E, {l }, t 2 1, 0, r, M, (Q O E )}, π A π A,π L π L,c L c L,f f, θ A 1 θa 1,θA 2 θa 2, K E K E, π K π K, θ K θ K, T, t 0 E, t* E t0 E t 0 E, X E X E, Φ E Φ E, b E b E, r = Q I E l W 1 W 2 W Q I E и за 1 i Q I E W i = ядрото е елемент на множество K i, където K E = Q I E i=1 K i,

18 85 Йерархични оператори над ОМ 18 M = Q I E l, r = M = l true Q O E true l Q O E, l * E E Фиг Ако l * Q I E, то E = (A E { L, L, t 1, t 2, r, M,, L {l *, l }, L, t 1, t 2, r, M, l * L }) { Q O E, {l}, t 2 1, 0, r, M, (Q O E } A E, π A π A, π L π L, c L c L, f f, θ A 1 θa 1, θa 2 θa 2, K E K E, π K π K, θ K θ K, T, t 0 E, t* E t0 E t 0 E,

19 85 Йерархични оператори над ОМ 19 където X E X E, Φ E Φ E, b E b E, r = M = l true Q O E true l Q O E 4 Ако l * Q O E, то E = (A E ({ L 1, L 1, t 1, t 2, r, M,, L, L {l *, l }, t 1, t 2, r, M, където [l *, l ] l * L 2 } { {l}, QI E, t 2 1, 0, r, M, (l) } A E, π A π A, π L π L, c L c L, f f, θ A 1 θa 1, θa 2 θa 2, K E K E, π K π K, θ K θ K, T, t 0 E, t* E t0 E t 0 E, X E X E, Φ E Φ E, b E b E, r = Q I E l W 1 W 2 W Q I E и за 1 i Q I E W i = ядрото е елемент на множество K i, където K E = Q I E i=1 K i,, M = Q I E l

20 85 Йерархични оператори над ОМ 20 Вторият йерархичен оператор H 2 действа обратно на първия, те заменя подмрежа на дадена ОМ с позиция Третият йерархичен оператор H 3 е подобен на първия, но той заменя преход на дадена ОМ с нова ОМ, чиито входни позиции са входовете на прехода и изходни позиции изходите му Ако Z е фиксиран преход да дадена ОМ E и ако E е нова ОМ, за която pr 1 Z = Q I E и pr 2 Z = Q O E, то (фиг 832) Z E E Фиг 832 където: 1 Ако Z A, то E = E H 3 (E, Z, E ) = E, 2 Ако Z A и Z = G 2 (E ), където G 2 е вторият глобален оператор (вж точка 811), то E = (A E {Z}) A E, π A π A, π L π L, c L c L, f f, θ A 1 θa 1, θa 2 θa 2, K E K E, π K π K, θ K θ K,

21 85 Йерархични оператори над ОМ 21 T, t 0 E, t* E t0 E t 0 E, X E X E, Φ E Φ E, b E b E Четвъртият йерархичен оператор H 4 действа обратно на втория, те заменя подмрежа на дадена ОМ с преход, който има за входове и изходи съответно входните и изходните позиции на мрежата Нека E е подмрежа на дадена ОМ E и нека E е нова ОМ, за която са в сила условията: 1 G 2 (E ) = G 2 (E ) 2 ( l L E Q O E )( Z A E A E )(l pr 1 Z) &( l L E Q I E )( Z A E A E )(l pr 2 Z), тe двете мрежи E и E имат еднакви входни и изходни позиции Тогава (вж фиг 833) петият йерархичен оператор H 5 има вида E E E Фиг 833 H 5 (E, E, E ) = E, където 1 Ако E е празна ОМ, то E = E

22 85 Йерархични оператори над ОМ 22 2 Ако E не е празна ОМ, то E = (A E A E ) A E, π A π A, π L π L, c L c L, f f, θ A 1 θa 1, θa 2 θa 2, K E K E, π K π K, θ K θ K, T, GCD(t 0 E, t0 E ), t * E GCD(t0 E, t0 E ) t 0, E X E X E, Φ E Φ E, b E b E Нека е дадена ОМ E и нека ядрата α 1,, α m, β 1,, β n са в нейната позиция l Нека в момента от време t [T, T +t * ] ядрата α 1,, α m представят съответно различните ОМ A 1,, A m, където A i = A i, π i A, π i L, c i, f i, θ i 1, θ i 2, K i, π i K, θ i K, T i, t 0 i, t * i, X i, Φ i, b i Всяка ОМ A i (1 i m) удовлетворява условието Q I A i = Q O A i = 1, където Q I A i и Q O A i са множествата на входните и изходните позиции на ОМ A i Нека наречем тези ядра H 6 -ядра Нека l pr 2 Z 1 pr 1 Z 2, където Z 1, Z 2 A E и Z i = L i, L i, t i 1, t i 2, r i, M i, i, за i = 1, 2 с ИМ r i и ИМ M i са r i = l 1 l j l 1 l k (r i l j,l k r i l j,l k l n предикат, l j L i, l k L i ) l m,

23 85 Йерархични оператори над ОМ 23 M i = или, накратко, l 1 l j (m i l j,l k l 1 l k m i l j,l k l n естествено число, l j L i, l k L i ) l m, r i = L i (r i l j,l k L i rl i j,l k предикат, l j L i, l k L i ), M i = L i (m i l j,l k L i m i l j,l k естествено число, l j L i, l k L i ) Шестият йерархичен оператор H 6 има вида (фиг 834) H 6 (E; l; t; α 1,, α m ; A 1,, A m ) m m = (A E {Z 1, Z 2 }) {Z 1, Z 2 } A i, πa E πa, i m m m m m πl E πl, i c E c i, f E f i, θ1 E θ1, i θ2 E θ2, i i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 m m m K E K i, πk E πk, i θk E θk, i min(t E, min T i), GCD(t 0 E, t 0 i,, t 0 t 0 E m), max(t E + t* E 1 i m GCD(t 0 A, t0 i,, t0 m), i=1 i=1 i=1

24 85 Йерархични оператори над ОМ 24 max T t 0 m m m i i+ t* i 1 i m GCD(t 0 A, t0 i,, t0 m) ), X E X i, Φ E Φ i, b E b i, където Z 1 = L 1, (L 1 {l}) {l 1,, l m, l m+1}, t 1 1, t 1 2, r 1, M 1, 1, Z 2 = (L 2 {l}) {l 1,, l m, l m+1}, L 2, t 2 1, t 2 2, r 2, M 2, 2 i=1 i=1 i=1 H 6 (E) Z E 1 Z 2 l H 6 Z l 1 A 1 l 1 Z l m l m A m l m+1 Фиг 834 Тук ({l 1,, l m, l m+1} {l 1,, l m, l m+1}) L E =, където L E е множеството на всички позиции на ОМ E; r 1 = L 1 {l} l 1 l m l m+1 L 1 ru,v 1 r 1 u,l 1 r 1 u,l m r1 u,l m+1 (u L 1, v L 1 {l}) (u L 1 ) където за u L 1 и 1 i m, r 1 u,l i = r1 u,l & текущо разглежданото ядро е i-тото H 6-ядро,

25 85 Йерархични оператори над ОМ 25 r 1 u,l m+1 = r1 u,l & текущо разглежданото ядро не е H 6-ядро, L 1 {l} l 1 l m l m+1 M 1 = L 1 m 1 u,v m 1 u,l 1 m 1 u,l m m1 u,l m+1 (u L 1, v L 1 {l}) (u L 1 ) където за u L 1 и 1 i m + 1 и за 1 i m, [c E m 1 u,l i = m1 u,l, m c i ](l i) = c i (l i) = 1, i=1, r 2 = [c E m c i ](l m+1) = c E (l) m, i=1 L 2 L 2 {l} r2 u,v (u L 2 l 1 r 2 l 1,v l m+1 (v L r 2 l m+1,v 2 ) {l}, v L 2 ), където за v L 2 M 2 = и 1 i m + 1 r 2 l i,v = r2 l,v, L 2 L 2 {l} m2 u,v (u L 2 l 1 m 2 l 1,v l m+1 (v L m 2 l m+1,v 2 ) {l}, v L 2 ),

26 85 Йерархични оператори над ОМ 26 и [c E m i=1 c i ](l i ) = 1; 2 = 2 [l/ (l 1,, l m+1)], където булевият израз [u/v] означава, че на мястото на променливата u в стои променливата v Ще отбележим, че алгоритмите за движение на ядрата дават възможност точно по едно H 6 -ядро да влиза във всяка една от позициите l 1,, l m Дотук предполагахме, че pr 2 Z 1 pr 1 Z 2 = 1, тe l pr 2 Z 1 pr 1 Z 2 е единствен елемент на това множество Случаят pr 2 Z 1 pr 1 Z 2 > 1 е подобен, но сега вместо позиция l ще разглеждаме множество от позиции, като за всяка от тях ще работим по описания начин Затова няма да обсъждаме този случай Нека са дадени ОМ E и неин преход Z = L, L, t 1, t 2, r, M,, където ИМ r и ИМ M имат вида l 1 l 1 l j l n r = r i,j l i (r i,j предикат, 1 i m, 1 j n) l m,

27 85 Йерархични оператори над ОМ 27 l 1 l 1 l j l n M = l i m i,j (m i,j 0 естествено число, 1 i m, 1 j n) l m Нека в момент от време t [T, T + t * ] процесът на оценяване на вярностните стойности на предикатите r i1,j 1,, r iu,jv за 0 u m и 0 v n да бъде реализиран съответно чрез ОМ A i1,j 1,, A iu,jv, където A ip,j q = A ip,jq, π ip,jq A, πip,jq L, c ip,jq, f ip,jq, θ ip,jq 1, θ ip,jq 2, K ip,jq, π ip,jq K, θip,jq K, T ip,jq, t 0 i p,j q, t * i p,j q, X ip,jq, Φ ip,jq, b ip,jq за i p {i 1, i 2,, i u } и j q {j 1, j 2,, j v } Нека C min = min c E(l i) 1 i m и t o = 1 (t 2 C min max 2C max min 1 p u 1 q v t* i p,j q ) Нека наречем тези предикати H 7 -предикати Седмият йерархичен оператор H 7 има вида (фиг 835): H 7 (E; Z; t; r i1,j 1,, r iu,j v ; A i1,j 1,, A iu,j v ) = (A E {Z}) {Z, Z, Z * } ( π E L ( u v p=1 q=1 π ip,jq L ), c E ( u u p=1 q=1 p=1 q=1 v u A ip,jq ), πa E ( v u c ip,jq ), f E ( v p=1 q=1 p=1 q=1 π ip,jq A ), v f ip,jq ),

28 85 Йерархични оператори над ОМ 28 K E ( X E ( където u θ E 1 ( p=1 q=1 u v p=1 q=1 θ ip,jq 1 ), θ E 2 ( v u K ip,jq ), πk E ( v p=1 q=1 u v p=1 q=1 θ ip,jq 2 ), π ip,jq K ), θe K ( u v p=1 q=1 min(t E, min 1 p u min 1 q v T ip,jq ), GCD(t 0 E, t 0 i 1,j 1,, t 0 i u,j v ), max(t E + t 0 E t* E GCD(t 0 A, t0 i 1,j 1,, t 0 i u,j v ), max max (T t 0 i i p,j q + p,j q t * i p,j q 1 p u 1 q v GCD(t 0 A, t0 i 1,j 1,, t 0 i u,j v ) ), u p=1 q=1 v u X ip,jq ), Φ E ( p=1 q=1 v u Φ ip,jq ), b E ( p=1 q=1 Z = L, {l i 1,, l i u, l 1,, l m}, t 1, t o, r, M,, θ ip,jq K ), v b ip,jq ), r = l i 1 l i u l 1 l m l 1 W 1,i1 W 1,iu V 1,1 V 1,n, l m W m,i1 W m,iu V m,1 V m,n и за a {1, 2,, m} и p {1, 2,, u} { ra,ip, ако a = i W a,ip = p false, в противен случай ; за a {1, 2,, m} и b {1, 2,, n}: { ra,b, ако b {i V a,b = 1,, i p } false, в противен случай ;

29 85 Йерархични оператори над ОМ 29 E l r 1 l 1 l i l j l m l n E Z l 1 l i 1 A i1,j 1 Z l j 1 l 1 l m l i u A iu,j v l j v l n l 1 l m Z * l 1 l n Фиг 835

30 85 Йерархични оператори над ОМ 30 M = l i 1 l i u l 1 l m l 1 M 1,i1 M 1,iu N 1,1 N 1,n, l m M m,i1 M m,iu N m,1 N m,n където за a {1, 2,, m}, b {1, 2,, n} и p {1, 2,, u} и е символът на Кронекер; M a,ip = m a,ip δ(a, i p ), N a,b = m a,b (1 δ(a, b)) { 1, ако x = y δ(x, y) = 0, в противен случай Z = {l j 1,, l j v, l 1,, l n}, L, t 1 + t 2 t 0, t 0, r, M, (l j 1,, l j v, l 1,, l n), където ИМ r и ИМ M имат вида r = l 1 l n l j 1 true true l j v true true l 1 true true l n true true, M = l 1 l n l j 1 l j v l 1 l n ;

31 85 Йерархични оператори над ОМ 31 Z * = {l 1,, l m}, {l 1,, l n}, t 1 + t 0, t 2 t 0, r *, M *, където l 1 l j l n *, r * = l 1 r i,j l i (r i,j предикат, 1 i m, 1 j n) l m, l 1 l j l n M * = l 1 m i,j (m i,j 0 естествено число, l i 1 i m, 1 j n), l m а предикатите r i,j и числата m i,j са както по-горе за 1 i m, 1 j n Типът на прехода Z * е * = l 1 l 1 l m l m [ ], където x y [z(y)] означава, че променливата y в z(y) трябва да бъде заменена с променливата x Например a [b c] = a c, b a c [b&d] = a&c b d Ядрата не получават нови характеристики в позиции l i 1,, l i u, l 1,, l m, l 1,, l n, докато в позиции l i 1,, l i v, l 1,, l n те получават същите характеристики, както и в позиции l 1,, l n на прехода Z

32 86 Редуциращи и разширяващи оператори над ОМ Редуциращи и разширяващи оператори над ОМ Четвъртата група оператори съдържа два оператора Първият от тях R 1 има вида R 1 (E) Той посочва кои компоненти на дадена ОМ E са редуцирани Вторият оператор има вида R 2 (E, Y ), където E е дадена ОМ, от която този оператор редуцира (отстранява) компонент Y, така че новата ОМ става редуцирана ОМ от клас Σ Y Затова тези два оператора се наричат редуциращи оператори (вж [3, 4, 5]) Операторите от петата група се наричат разширяващи оператори Те имат вида E i, (E, a), където i е номерът на съответното разширение на ОМ E според реда на разширенията, описани в Лекция 3, а a са допълнителните компоненти, необходими за реализацията на това разширение Например първите четири оператора разширяват дадена ОМ E до интуиционистки размита ОМ от съответния тип, петият разширява E до цветна ОМ и тн 87 Динамични оператори над ОМ Операторите от последната шеста група, са свързани с начина на функциониране на ОМ Те се наричат динамични оператори и и се разпределят в пет подгрупи Оператори D (1,i) определят алгоритъма за движение на ядрата в преходите в дадена ОМ (1 i 18) Първият от тях (D (1,1) ) е свързан с първия алгоритъм от точка 12, при които капацитетите на позициите и на дъгите са крайни Оператор D (1,2) е свързан със случая, когато капацитетът на позициите е краен, а на дъгите е безкраен, а D (1,3) със случая, когато капацитетът на позициите е краен, а на дъгите е 1 Следващите три оператора (D (1,4), D (1,5) и D (1,6) ) са свързани със случаите, когато капацитетът на позициите е безкраен, докато капацитетът на дьгите е съответно

33 87 Динамични оператори над ОМ 33 краен, безкраен или 1 Оператори D (1,7), D (1,8) и D (1,9) са свързани със случаите, когато капацитетът на позициите е 1, докато капацитетът на дьгите е съответно краен, безкраен или 1 Първият алгоритъм е най-общ Във всички други част от проверките отпадат Когато преходите са активни точно по един такт, те когато се проверяват само ядрата с най-висок приоритет във входните позиции, алгоритмите D (1,10), D (1,11),, D (1,18) също са по-прости Те съответстват на първите девет Оператори D (2,1) и D (2,2) разрешават или забраняват разцепване на дадено ядро, а оператори D (2,3) и D (2,4) разрешават или забраняват сливане на две ядрa Оператори D (3,1) и D (3,2) забраняват или разрешават движението на ядрата от входни към изходни позиции като пакети, в които за всички ядра се проверяват еднакви предикати и всички ядра получават еднакви характеристики Оператори D (4,1),, D (4,4) са свързани с начина за оценяване на вярностните стойности на предикатите на условията на преходите в дадена ОМ: със стандартната оценка, описана в точка 21, с експертни оценки, с решаване на оптимизационни процедури (например, транспортна задача), на базата на натрупани статистически данни и други Оператори D (5,1), D (5,2) и D (5,3) определят движението на ядрата съответно от входовете към изходите на ОМ (в стандартния случай), от изходите към входовете на ОМ или двупосочно движение на ядрата Операторите от различните видове, както и всички други оператори, които могат да се дефинират над ОМ, имат важно теоретично и приложно значение Те променят вида и начина на функциониране на отделните ОМ Така става възможно да се

34 87 Динамични оператори над ОМ 34 създават по-детайлни модели на реални процеси, които се променят във времето Нека a е векторът на допълнителните компоненти за оператор H 6, тe a е списъкът от позиции и моментът от време, в който трябва да се приложи операторът, списъкът на ядрата, които ще се заменят с мрежи, както и списъкът на самите нови ОМ Нека b е списъкът на допълнителните компоненти за някой друг оператор Y В сила е Теорема 831 За всяка ОМ E равенството е валидно за H 6 (Y (E, b), a) = Y (H 6 (E, a), b) Y {H i 1 i 5} {E i 1 i 9} {E i 1 i 9} {D(1, i) 1 i 18} {R, D(2, 2), D(2, 3)}, ако областите на действие на двата оператора H 6 и Y са различни Нека a е вектор с допълнителните компоненти за оператор H 7, те a съдържа позицията и момента от време, в който трябва да се приложи операторът, списъка на предикатите, които ще се заменят с мрежи, както и списъка на самите нови ОМ Нека b е списъкът на допълнителните компоненти за някой оператор Y В сила е Теорема 832 За всяка ОМ E равенството е в сила за H 7 (Y (E, b), a) = Y (H 7 (E, a), b) Y {G i i = 7, 8, 9, 11, 12, 14, 15, 17, 18, 19, 20} {H i 1 i 6} {D(1, i) 1 i 18} {D(2, 2), D(2, 4), D(3, 1)}, ако областите на действие на оператори H 7 и Y са различни

35 Библиография [1] Атанасов, К Въведение в теорията на обобщените мрежи Бургас, Понтика Принт, 1992 [2] Тасева, В Моделиране на процеси в здравни структури чрез обобщени мрежи Дисертационен труд за придобиване на ОНС Доктор, СНС по АСУ, София, 2007 [3] Angelova, N, D Zoteva Implementation of the reducing operators over generalized nets in GN IDE, Issues in Intuitionistic Fuzzy Sets and Generalized Nets, Vol 12, 2015/2016, [4] Atanassov, K Generalized Nets Singapore, World Scientific, 1991 [5] Atanassov, K On Generalized Nets Theory Sofia, Prof Marin Drinov Publishing House, 2007 [6] Atanassov, K, E Sotirova On Global operator G 21 defined over generalized nets Cybernetics and Information Technologies, Vol 4, 2004, No 1, [7] Atanassova, V The generalized nets transitions representability problem: Extension with boundary cases and minimal solution International Journal of Intelligent Systems, Vol 29, 2014, Issue 3,

36 Библиография 36 [8] Gyurov, P, Atanassov K On the representation of generalized net transitions by fixed set of transitions Preprint IM-MFAIS- 2-91, Sofia, 1991; In: Applications of Generalized Gets K Atanassov, Ed World Scientific, Singapore, 1993, [9] Sotirova, E On a modification of the global operator G 21 over generalized nets Proceedings of the Jangjeon Mathematical Society, Vol 9, 2006, No 1, 65-78