= 1. 2 P( BC) P C B = = =.

Размер: px
Започни от страница:

Download "= 1. 2 P( BC) P C B = = =."

Препис

1 Вероятност и независимост Пълна група събития и формула на пълната вероятност ) Преговор Имаме Ω { EEE EET ETE ETT TEE TET TTE TTT} и v( Ω ) V A { EEE EET ETE TEE} B { TEE TET TTE TTT} { ETT TET TTE} P( B ) P( ) P( B) ( ) P( B) P B P( B ) P( B) P( ) P( AB) P( A B) P( B) P( AB ) P( A) P( B ) P( AB) P( A) P( B) събитията A и B не са a) б) в) независими P( B ) независими P( B) P( ) P( B) P( B) P( ) събитията B и не са Четните числа при хвърляне на зар са а простите числа са P( B ) и P( AB ) P( AB) ( ) P( AB) P A B P( B A) P( B) P( A) a) Нека A{пада се число което се дели на } и B{пада се число по-малко от } Числата които се делят на при хвърляне на зар са и а числата по-малки от са P( AB) P( A B) P( B) б) P( { пада се число по-голямо от } { пада се четно число} ) в) P( { пада се } { пада се нечетно число} )

2 Модул IV Вероятности и анализ на данни РЕШЕНИЯ Всички изходи са ɶ V A {()()()( )()()} благоприятни изхода Събитието B има благоприятни изхода всяко от числата при второ хвърляне се съединява с всяко от числата от до при първо хвърляне AB A B {()()()} благоприятни изхода P( AB ) и P( B ) P( AB) P( A) P( B) A и B са независими Попълваме таблица за всички възможни случаи при хвърляне на два зара а) P( {еднакви числа} {сбор по-малък от }) 0 б) P( {сбор по-малък от } {еднакви числа} ) в) P( {пада се на единия зар} {число по-голямо от на другия зар} ) г) P( {на единия зар число по-малко от } {на другия се пада } ) д) P( {на единия зар се пада } {сбор по-голям от } ) е) P( {сбор по-голям от } {на единия зар се пада } )

3 Модул IV Вероятности и анализ на данни РЕШЕНИЯ Всички изходи са (както при едновременно хвърляне на два зара) a) P( {-ви път четно число} {-ри път просто число} ) б) P( {-ви път число по-голямо от } {-ри път четно число} ) в) P( {-ри път нечетно число} {сбор } ) 9 Извадени са бели топки остават бели и черни топки Вероятността да извадим черна е 9 0 Да означим кутиите с K K и K A {избрана е кутия K } B{извадена е една бяла топка} P( B A ) P( B A ) бели бели бели черни черни черни Кутия Кутия Кутия P( BA ) вероятността да изберем първата кутия и да извадим една бяла топка от нея P( BA ) вероятността да изберем втората кутия и да извадим една бяла топка от нея P( BA ) вероятността да изберем третата кутия и да извадим една бяла топка от нея Избрана е първата или втората или третата кутия Следователно търсената вероятност е ( )

4 Модул IV Вероятности и анализ на данни РЕШЕНИЯ Да означим кутиите с K K и K A {избрана е кутия K } B{извадена е една бяла топка} P( B A ) P( B A ) P( BA ) вероятността да изберем първата кутия и да извадим една бяла топка от нея P( BA ) вероятността да изберем втората кутия и да извадим една бяла топка от нея P( BA ) вероятността да изберем третата кутия и да извадим една бяла топка от нея Избрана е първата или втората или третата кутия Следователно търсената вероятност е ( ) бели бели бели черни черни черни Кутия Кутия Кутия Да означим кутиите с K K и K A {избрана е кутия K } а) B{извадени са две бели топки} 9 P A P B A P( BA ) ( ) ( ) вероятността да изберем първата кутия и да извадим две бели топки от нея P( BA ) ( ) ( ) вероятността да изберем втората кутия и да извадим две бели топки от нея P A P B A 9 P( BA ) ( ) ( ) вероятността да изберем третата кутия и да P A P B A извадим две бели топки от нея Избрана е първата или втората или третата кутия Следователно търсената вероятност е 9 бели бели бели черни черни черни Кутия Кутия Кутия

5 Модул IV Вероятности и анализ на данни РЕШЕНИЯ б) B{извадени са две едноцветни топки} 9 P A P B A P( BA ) ( ) ( ) вероятността да изберем първата кутия и да извадим две едноцветни топки от нея P( BA ) ( ) ( ) вероятността да изберем втората кутия и да P A P B A 9 извадим две едноцветни топки от нея P( BA ) ( ) ( ) вероятността да изберем третата кутия и да P A P B A извадим две едноцветни топки от нея Избрана е първата или втората или третата кутия Следователно търсената вероятност е 9 в) B{извадени са две разноцветни топки} 9 P A P B A P( BA ) ( ) ( ) вероятността да изберем първата кутия и да извадим две разноцветни топки от нея P( BA ) ( ) ( ) вероятността да изберем втората кутия и да P A P B A 9 извадим две разноцветни топки от нея P( BA ) ( ) ( ) вероятността да изберем третата кутия и да P A P B A извадим две разноцветни топки от нея Избрана е първата или втората или третата кутия Следователно търсената вероятност е 9 В три кутии има бели и черни топки В първата има бели и черни във втората бели и черни в третата бели и черни От случайно избрана кутия са извадени топки без връщане Каква е вероятността: а) двете топки да са бели; б) двете да са едноцветни; в) двете да са разноцветни?

6 Модул IV Вероятности и анализ на данни РЕШЕНИЯ В три кутии има бели и черни топки В първата има бели и черни във втората бели и черни в третата бели и черни От случайно избрана кутия са извадени топки без връщане Каква е вероятността: а) двете топки да са бели; б) двете да са едноцветни; в) двете да са разноцветни? а) Първата извадена топка може да бъде бяла и не бяла те черна двете събития образуват пълна група събития б) При изваждането на две топки случаите бб чч бч изчерпват всички възможности и събитията са две по две несъвместими образуват пълна група събития A A а) Извадените две топки или са едноцветни или са разноцветни A и B образуват пълна група събития б) Имаме A P( ) P( A ) P( A) P( ) съдържа всички изходи при които са извадени две бели топки P( A) 9 съдържа всички изходи при които са извадени две бели или бяла и черна топка 9 P( A) P( A ) P( ) a) Изходите при които сборът от точките е точно принадлежат и на двете събития A B А и B не образуват пълна група б) Образуват пълна група събития А се състои от изходите отбелязани в първите три колони на таблицата B се състои от изходите отбелязани във вторите три колони и първите три реда се състои от изходите отбелязани във вторите три колони и във вторите три реда Събитията A {извадени са бели топки } 0 образуват пълна група събития 0

7 Модул IV Вероятности и анализ на данни РЕШЕНИЯ 9 Събитията A {извадени са бели топки } 0 образуват пълна група събития 0 0 а) б) в) г) P( B ) 0 9 P( A B ) 0 P( B ) P( A ) P( )

8 Модул IV Вероятности и анализ на данни РЕШЕНИЯ ) Пълна вероятност Избираме пълна група от събития: {първата извадена топка е бяла} и {първата извадена топка е черна} P( ) 0 0 Нека A { вторататопкаечерна } : P( ) P( A ) 9 P( A ) 9 вероятността на събитието A при хипотезата е вероятността на събитието A при хипотезата е Прилагаме формулата за пълната вероятност и получаваме: P( A) P( ) P( A ) P( ) P( A ) Избираме пълна група от събития: {първата извадена топка е бяла} {първата извадена топка е черна} P( ) P( ) Нека A {втората и третата топки са едноцветни} вероятността на събитието A при хипотезата е вероятността на събитието A при хипотезата е Прилагаме формулата за пълната вероятност и получаваме: 9 P( A ) 0 P( A ) 9 0 Избираме пълна група от събития: {първата извадена топка е бяла} {първата извадена топка е зелена} {първата извадена топка е червена} P( ) P( ) P( ) Нека A {втората извадена топка е зелена} Вероятностите на събитието A при съответната хипотеза са: P( A ) P( A ) P( A )

9 Модул IV Вероятности и анализ на данни РЕШЕНИЯ В три кутии има бели и черни топки като в първата има бели и черни във втората бяла и черни в третата бели и черни Случайно е избрана кутия и от нея е извадена една топка Каква е вероятността топката да е бяла? В четири кутии има бели и черни топки като в първата има бели и черни във втората бяла и черни в третата бели и черни и в четвъртата бели и черни Случайно се избира кутия и от нея една топка Каква е вероятността тази топка да е черна? Избираме пълна група събития: {детайлът е произведен в завод } P( ) 0 0 P( 0 ) 0 P( 0 ) Нека A {детайлът е дефектен} По условие P( A ) 0 0 P( A ) 0 0 P( A ) Чрез изброяване на възможностите за първите две топки образуваме пълна група събития: {първите две топки са бели } {първите две топки са зелени } {първите две топки са червени} {от първите две топки едната е бяла другата е зелена } {от първите две топки едната е бяла другата е червена } {от първите две топки едната е зелена другата е червена } P( ) P( ) P( ) P( ) P( ) P( ) Нека A {третата извадена топка е бяла} P( A ) защото при хипотезата са останали топки от които бели P( A ) P( A ) P( A ) P( A ) P( A ) ( 9 )

10 Модул IV Вероятности и анализ на данни РЕШЕНИЯ Избираме пълна група от събития: {първото дете е взело шоколадов бонбон} {първото дете НЕ е взело шоколадов бонбон} P( ) m N и P ( ) m N m N N Нека A{второто дете е взело шоколадов бонбон} P( A ) m N P( A ) m N и По формулата за пълната вероятност получаваме: ( ) ( ) m m N m m N m P A m N N N N N( N ) N бонбон Получихме че P( ) P( A) те двете деца имат равни вероятности да вземат шоколадов Формула на Бейс За хипотези избираме пълната група събития: {избрана е кутия } {избрана е кутия } Нека A{извадени са две бели топки} Търсим P( A ) Последователно намираме P( ) P( ) P( A ) 9 P( A ) Прилагаме формулата на Бейс: P( A ) ( )

11 Модул IV Вероятности и анализ на данни РЕШЕНИЯ Избираме пълна група от събития: {първата извадена топка е бяла} {първата извадена топка е зелена} {първата извадена топка е червена} Нека А{втората и третата топки са червени} P( ) P( ) P( ) P( A ) P( A ) P( A ) Прилагаме формулата на Бейс P( A ) 0 P( A ) Нека {избрана е кутия } и А{извадените топки са разноцветни} P( ) P( ) P( ) Търсим P( A ) P( A ) 9 P( A ) 9 P( A ) 0 99 ( 90 ) бели бели бели черни 9 черни 9 черни Кутия Кутия Кутия P( A ) Нека {избрана е кутия } P( ) P( ) P( ) Нека А{извадените три топки са бели} P( ) P( ) P( ) Търсим P( A ) P( A ) 0 P( A ) P( A ) P( 9 A ) ( 99 ) бели бели бели черни черни черни Кутия Кутия Кутия

12 Модул IV Вероятности и анализ на данни РЕШЕНИЯ Да разгледаме пълната група събития: {прехвърлената топка е черна} {прехвърлената топка е бяла} P( ) P( ) Нека А{извадената топка от втората кутия е черна} бели бели черни черни Кутия Кутия P( A ) Кутиите при хипотезата : бели бели черни черни Кутия Кутия P( A ) Кутиите при хипотезата P( A ) : бели 9 бели черни черни Кутия Кутия Нека: {избран е щанд } P( ) P( ) P( ) А{купен е g портокали} На всеки щанд портокалите и мандарините са по равни количества P( A ) P( A ) P( A ) P( A ) ( )

13 Модул IV Вероятности и анализ на данни РЕШЕНИЯ Нека: {частта е произведена в завод } А{избраната част е дефектна} P( 0 ) P( 0 ) ; P( ) P( A ) P( A ) P( A ) Следователно: P( 000 A ) 0 00 P( 000 A ) 0 00 P( 000 A ) 0 00 Нека: {избран е левия джоб } {избран е десния джоб } А{извадени са два различни бонбона} P( ) P( ) P( A ) P( A ) P( A ) розови розови ментов ментови ляв джоб десен джоб 9 Нека: {ученикът се е записал за театър} {ученикът се е записал за концерт} и образуват пълна група събития P( ) 0 P( ) 0 А{ученикът е посетил мероприятието за което се е записал} P( A ) 0 9 P( A ) P( A ) а) 0 0 P( A ) б)

14 Модул IV Вероятности и анализ на данни РЕШЕНИЯ 0 Нека: Нека {избраното дете е от група } 0 00 P( ) P( ) P( ) А{избраното дете отсъства днес} P( A ) 0 P( A ) 0 0 P( A ) ( ) Нека: {прехвърлена топка е бяла} {прехвърлeната топка е черна} P( ) P( ) А{от втората кутия са извадени две едноцветни топки} P( A ) 9 P( A ) е вероятността двете извадени топки от втората кутия да са едноцветни P( A) P( A) 9 9 е вероятността прехвърлената топка да е бяла при предположение че от втората са извадени две едноцветни топки

15 Модул IV Вероятности и анализ на данни РЕШЕНИЯ бяла бели бели бели черни черни 0 черни 0 черни Y Y Y Y Събитията {избрана е кутия Y } образуват пълна група Вероятността да бъде избрана една кутия е пропорционална на броя на съдържащите се в нея бели топки: P( ) α те P( ) α P( ) α P( ) α P( ) α P( ) α Тъй като събитията образуват пълна група то сумата от вероятностите име е поради което може да запишем уравнението: α α α α α или P( ) 9 Нека събитието A е {извадени са две топки с различен цвят} Търси се за кое вероятността P( A ) е най-голяма За намиране на апостериорната вероятност P( A ) ще използваме формулата на Бейс За удобство подреждаме в колони резултатите от пресмятането: P( ) P( A ) P( ) P( A ) P( ) P( ) P( ) P( ) P( ) P( A ) P( A ) ( ) P( A ) P( A ) 0 P( A ) 0 0 ( ) ( ) За да намерим прилагаме формулата за пълната вероятност като сумираме изразите от последната колона: 0 0 ( 0 )

16 Модул IV Вероятности и анализ на данни РЕШЕНИЯ За апостериорните вероятности получаваме: P( A ) P( A ) 0 0 P( A ) или ( ) P( A) Трябва да намерим за кое се получава най-голямата стойност на P( A ) Разглеждаме функцията f ( x) x x f ( x) x x x( x) 0 f ( x) x ( x) x [] При x f ( x ) има локален максимум и в интервала [] производната има единствен корен най-голямата стойност на f ( x ) в интервала [] се достига при x двете топки с най-голяма вероятност са принадлежали на кутия Y 9 числа: Коментар Сумата 0 може да пресметнем и така: 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Сега използваме формулите за сбор от квадратите и сбор от кубовете на първите n естествени n( n )(n ) n n ( n ) n 0 ( ) ( ) ( ) 9

Основен вариант за клас Задача 1. (4 точки) На графиката на полином a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, чиито коефициенти a n, a n 1,..., a 1

Основен вариант за клас Задача 1. (4 точки) На графиката на полином a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, чиито коефициенти a n, a n 1,..., a 1 Основен вариант за 10 12 клас Задача 1. (4 точки) На графиката на полином a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0, чиито коефициенти a n, a n 1,..., a 1, a 0 са цели числа, са отбелязани две точки с целочислени

Подробно

Slide 1

Slide 1 илиb B и B или B B и B - Христова.........,,, n n i j k i j к n i j k n k j j к j k n к к n А Р < < < Разглеждаме събитията А, В ис или B или С???? BC C BC B C B C B Известно е, че 5% от жителите на един

Подробно

Microsoft Word - Tema-8-klas-PLOVDIV.doc

Microsoft Word - Tema-8-klas-PLOVDIV.doc МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА СЪЮЗ НА МАТЕМАТИЦИТЕ В БЪЛГАРИЯ Пролетен математически турнир 7 9 март 9 г., ПЛОВДИВ Тема за 8 клас Задача. Дадено е уравнението ax + 9 = x + 9ax 8x, където a е

Подробно

Microsoft Word - VM22 SEC55.doc

Microsoft Word - VM22 SEC55.doc Лекция 5 5 Диференциални уравнения от първи ред Основни определения Диференциално уравнение се нарича уравнение в което участват известен брой производни на търсената функция В общия случай ( n) диференциалното

Подробно

Exam, SU, FMI,

Exam, SU, FMI, Поправителен изпит по Дискретни структури задачи СУ ФМИ 29. 08. 2016 г. Име: ФН: Спец.: Курс: Задача 1 2 3 4 5 Общо получени точки максимум точки 20 20 35 30 30 135 Забележка: За отлична оценка са достатъчни

Подробно

1 Основен вариант за клас Задача 1. Хартиен триъгълник, един от ъглите на който е равен на α, разрязали на няколко триъгълника. Възможно ли е

1 Основен вариант за клас Задача 1. Хартиен триъгълник, един от ъглите на който е равен на α, разрязали на няколко триъгълника. Възможно ли е 1 Основен вариант за 10 12 клас Задача 1 Хартиен триъгълник, един от ъглите на който е равен на α, разрязали на няколко триъгълника Възможно ли е всички ъгли на всички получени тръгълници да са по-малки

Подробно

Slide 1

Slide 1 Нека и са събития, свързани с един и същ опит. и са независими, ако Знаем, че и Нека и са събития, свързани с един и същ опит. и са независими, ако и РВ Три събития са независими в съвкупност, ако и В

Подробно

Microsoft Word - PMS sec11.doc

Microsoft Word - PMS sec11.doc Лекция Матрици и детерминанти Определения Матрицата е правоъгълна таблица от числа Ако е матрица с m реда и стълба то означаваме () O m m m m ( ) За елементите на матрицата се използва двойно индексиране

Подробно

СОФИЙСКА МАТЕМАТИЧЕСКА ГИМНАЗИЯ ТУРНИР ПО МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА "ЗА ТОРТАТА НА ДИРЕКТОРА" ТЕМА ПО МАТЕМАТИКА 8 КЛАС Задача 1. Да се реши в цели чис

СОФИЙСКА МАТЕМАТИЧЕСКА ГИМНАЗИЯ ТУРНИР ПО МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА ЗА ТОРТАТА НА ДИРЕКТОРА ТЕМА ПО МАТЕМАТИКА 8 КЛАС Задача 1. Да се реши в цели чис СОФИЙСКА МАТЕМАТИЧЕСКА ГИМНАЗИЯ ТУРНИР ПО МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА "ЗА ТОРТАТА НА ДИРЕКТОРА" ТЕМА ПО МАТЕМАТИКА 8 КЛАС Задача 1. Да се реши в цели числа уравнението p( + b) = (5 + b) 2, където p е просто.

Подробно

Microsoft Word - IGM-SER1111.doc

Microsoft Word - IGM-SER1111.doc Лекция Редове на Фурие поточкова сходимост Теорема на Дирихле Тук ще разглеждаме -периодична функция ( ) която ще искаме да бъде гладка по части Това означава че интервала ( ) може да се раздели на отделни

Подробно

МАТЕМАТИКА И МАТЕМАТИЧЕСКО ОБРАЗОВАНИЕ, 2006 MATHEMATICS AND EDUCATION IN MATHEMATICS, 2006 Proceedings of the Thirty Fifth Spring Conference of the U

МАТЕМАТИКА И МАТЕМАТИЧЕСКО ОБРАЗОВАНИЕ, 2006 MATHEMATICS AND EDUCATION IN MATHEMATICS, 2006 Proceedings of the Thirty Fifth Spring Conference of the U МАТЕМАТИКА И МАТЕМАТИЧЕСКО ОБРАЗОВАНИЕ, 2006 MATHEMATICS AND EDUCATION IN MATHEMATICS, 2006 Proceeings of the Thirty Fifth Spring Conference of the Union of Bulgarian Mathematicians Borovets, April 5 8,

Подробно

XXX МЕЖДУНАРОДЕН ТУРНИР НА ГРАДОВЕТЕ Пролетен тур, ОСНОВЕН ВАРИАНТ за клас РЕШЕНИЯ Задача 1. Правоъгълник е разделен на няколко по-малки право

XXX МЕЖДУНАРОДЕН ТУРНИР НА ГРАДОВЕТЕ Пролетен тур, ОСНОВЕН ВАРИАНТ за клас РЕШЕНИЯ Задача 1. Правоъгълник е разделен на няколко по-малки право XXX МЕЖДУНАРОДЕН ТУРНИР НА ГРАДОВЕТЕ Пролетен тур, ОСНОВЕН ВАРИАНТ за 10 1 клас РЕШЕНИЯ Задача 1 Правоъгълник е разделен на няколко по-малки правоъгълника Възможно ли е всяка отсечка, която свързва центровете

Подробно

26. ТУРНИР НА ГРАДОВЕТЕ ЕСЕНЕН ТУР Основен вариант, клас Задача 1. (5 точки) Функциите f и g са такива, че g(f(x)) = x и f(g(x)) = x за всяк

26. ТУРНИР НА ГРАДОВЕТЕ ЕСЕНЕН ТУР Основен вариант, клас Задача 1. (5 точки) Функциите f и g са такива, че g(f(x)) = x и f(g(x)) = x за всяк 26. ТУРНИР НА ГРАДОВЕТЕ ЕСЕНЕН ТУР Основен вариант, 10. - 12. клас Задача 1. (5 точки) Функциите f и g са такива, че g(f(x)) = x и f(g(x)) = x за всяко реално число x. Ако за всяко реално число x е в сила

Подробно

Основен вариант, клас Задача 1. (3 точки) За кои n съществуват различни естествени числа a 1, a 2,..., a n, за които сборът е естествено число

Основен вариант, клас Задача 1. (3 точки) За кои n съществуват различни естествени числа a 1, a 2,..., a n, за които сборът е естествено число Основен вариант, 0. 2. клас Задача. (3 точки) За кои n съществуват различни естествени числа, a 2,..., a n, за които сборът е естествено число? a 2 a 3 + + a n Решение: Ще докажем, че n =, n > 2. При n

Подробно

Homework 3

Homework 3 Домашно 3 по дисциплината Дискретни структури за специалност Информатика I курс летен семестър на 2015/2016 уч г в СУ ФМИ Домашната работа се дава на асистента в началото на упражнението на 25 26 май 2016

Подробно

Microsoft Word - VM-LECTURE06.doc

Microsoft Word - VM-LECTURE06.doc Лекция 6 6 Уравнения на права и равнина Уравнение на права в равнината Тук ще разглеждаме равнина в която е зададена положително ориентирана декартова координатна система O с ортонормиран базис i и j по

Подробно

Microsoft Word - stokdovo saprotivlenie.doc

Microsoft Word - stokdovo saprotivlenie.doc Движения при наличие на Стоксово съпротивление При един често срещан вид движения неподвижно тяло започва да се движи под действие на сила с постоянна посока Ако върху тялото действа и Стоксова съпротивителна

Подробно

I

I . Числено решаване на уравнения - метод на Нютон. СЛАУ - метод на проста итерация. Приближено решаване на нелинейни уравнения Метод на допирателните (Метод на Нютон) Това е метод за приближено решаване

Подробно

Министерство на образованието, младежта и науката 60. Национална олимпиада по математика Областен кръг, г. Условия, кратки решения и кри

Министерство на образованието, младежта и науката 60. Национална олимпиада по математика Областен кръг, г. Условия, кратки решения и кри Министерство на образованието, младежта и науката 60. Национална олимпиада по математика Областен кръг, 1-1.0.011 г. Условия, кратки решения и критерии за оценяване Задача 11.1. Да се намерят всички стойности

Подробно

Линейна алгебра 7. Умножение на матрици. Обратими матрици. Матрични уравнения специалности: Математика, Бизнес математика, Приложна математика, I курс

Линейна алгебра 7. Умножение на матрици. Обратими матрици. Матрични уравнения специалности: Математика, Бизнес математика, Приложна математика, I курс . Обратими матрици. Матрични уравнения специалности: Математика, Бизнес математика, Приложна математика, I курс лектор: Марта Теофилова Кратка история Матричното умножение е въведено от немския математик

Подробно

munss2.dvi

munss2.dvi ОТГОВОРИ И РЕШЕНИЯ 3(x + y)(x xy + y )y(x y) 1. (Б) Преобразуваме: (x y)(x + y)(x + y ) x(x xy + y ) = 3y (x + y)(x y) x = (x + y ) 3 y x y x x + y = 3 y x (x y ) 1 ( x y ) + 1 = 3 ( 3 ) 1 9 3 ( 3 ) +

Подробно

54. НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА НАЦИОНАЛЕН КРЪГ Задача 1. Да се намерят всички тройки от естествени числа (x, y, z) такива, че 2005 x + y + 200

54. НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА НАЦИОНАЛЕН КРЪГ Задача 1. Да се намерят всички тройки от естествени числа (x, y, z) такива, че 2005 x + y + 200 54. НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА НАЦИОНАЛЕН КРЪГ Задача 1. Да се намерят всички тройки от естествени числа (x, y, z) такива, че x + y + 005 x + z + y + z е естествено число. Решение. Първо ще докажем,

Подробно

Тест за кандидатстване след 7. клас Невена Събева 1. Колко е стойността на израза : 8? (А) 201; (Б) 226; (В) 1973; (Г) На колко е ра

Тест за кандидатстване след 7. клас Невена Събева 1. Колко е стойността на израза : 8? (А) 201; (Б) 226; (В) 1973; (Г) На колко е ра Тест за кандидатстване след 7 клас Невена Събева 1 Колко е стойността на израза 008 00 : 8? (А) 01; (Б) 6; (В) 197; (Г) 198 На колко е равно средното аритметично на 1, 1, и 1,? (А) 4, 15(6); (Б) 49, ;

Подробно

Slide 1

Slide 1 Теория на вероятностите ( спец. Приложна математика) Ръководство на клуб председател, касиер и секретар се избират по случаен начин измежду 4 човека: Aна, Борис, Васил и Георги. По колко различни начини

Подробно

munss2.dvi

munss2.dvi ОТГОВОРИ И РЕШЕНИЯ 1. (В) Даденото неравенство няма смисъл, в случай че някой от знаменателите на двата дробни израза е равен на нула. Тъй като x 4 = (x+)(x ), то x 4 = 0 за x = и за x =. Понеже x +3 >

Подробно

Microsoft Word - Lecture 14-Laplace Transform-N.doc

Microsoft Word - Lecture 14-Laplace Transform-N.doc Лекция 4: Интегрално преобразувание на Лаплас 4.. Дефиниция и образи на елементарните функции. Интегралното преобразувание на Лаплас Laplac ranorm се дефинира посредством израза: Λ[ ] преобразувание на

Подробно

Р Е П У Б Л И К А Б Ъ Л Г А Р И Я М И Н И С Т Е Р С Т В О Н А О Б Р А З О В А Н И Е Т О, М Л А Д Е Ж Т А И Н А У К А Т А НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМ

Р Е П У Б Л И К А Б Ъ Л Г А Р И Я М И Н И С Т Е Р С Т В О Н А О Б Р А З О В А Н И Е Т О, М Л А Д Е Ж Т А И Н А У К А Т А НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМ Т Е М А ЗА 4 К Л А С Задача. Дуорите са същества, които имат два рога, а хепторите имат 7 рога. В едно стадо имало и от двата вида същества, а общият брой на рогата им бил 6. Колко дуори и хептори е имало

Подробно

ОУ,ПРОФЕСОР ИВАН БАТАКЛИЕВ ГР. ПАЗАРДЖИК ПРОБЕН ИЗПИТ ПО МАТЕМАТИКА ЗАДАЧИ С ИЗБИРАЕМ ОТГОВОР г. ПЪРВИ МОДУЛ 1. Ако х 5у = 5, колко е сто

ОУ,ПРОФЕСОР ИВАН БАТАКЛИЕВ ГР. ПАЗАРДЖИК ПРОБЕН ИЗПИТ ПО МАТЕМАТИКА ЗАДАЧИ С ИЗБИРАЕМ ОТГОВОР г. ПЪРВИ МОДУЛ 1. Ако х 5у = 5, колко е сто ОУ,ПРОФЕСОР ИВАН БАТАКЛИЕВ ГР. ПАЗАРДЖИК ПРОБЕН ИЗПИТ ПО МАТЕМАТИКА ЗАДАЧИ С ИЗБИРАЕМ ОТГОВОР 28. 04. 2018 г. ПЪРВИ МОДУЛ 1. Ако х 5у = 5, колко е стойността на израза 5 5.(х 5у)? А) 0 Б) 30 В) 20 Г) 15

Подробно

IATI Day 1/Junior Task 1. Trap (Bulgaria) X INTERNATIONAL AUTUMN TOURNAMENT IN INFORMATICS SHUMEN 2018 Задача 1. Капан Образуваме редица от точки, кои

IATI Day 1/Junior Task 1. Trap (Bulgaria) X INTERNATIONAL AUTUMN TOURNAMENT IN INFORMATICS SHUMEN 2018 Задача 1. Капан Образуваме редица от точки, кои Task 1. Trap (Bulgaria) Задача 1. Капан Образуваме редица от точки, които са върхове с целочислени координати в квадратна решетка. Всеки две последователни точки от редицата определят единична хоризонтална

Подробно

16. Основни методи за интегриране. Интегриране на някои класове функции Интегриране по части. Теорема 1 (Формула за интегриране по части). Ако

16. Основни методи за интегриране. Интегриране на някои класове функции Интегриране по части. Теорема 1 (Формула за интегриране по части). Ако 6. Основни методи за интегриране. Интегриране на някои класове функции. 6.. Интегриране по части. Теорема (Формула за интегриране по части). Ако функциите f(x) и g(x) садиференцируеми в интервала (a, b)

Подробно

Министерство на образованието, младежта и науката 61. Национална олимпиада по математика Областен кръг, 8-9 април 2012 г. Условия, кратки решения и кр

Министерство на образованието, младежта и науката 61. Национална олимпиада по математика Областен кръг, 8-9 април 2012 г. Условия, кратки решения и кр Министерство на образованието, младежта и науката 61. Национална олимпиада по математика Областен кръг, 8-9 април 2012 г. Условия, кратки решения и критерии за оценяване Задача 9.1. Да се намерят стойностите

Подробно

Пръстени. Разглеждаме непразното множество R, което е затворено относно две бинарни операции събиране и умножение + : R R R : R R R. Казваме, че R е п

Пръстени. Разглеждаме непразното множество R, което е затворено относно две бинарни операции събиране и умножение + : R R R : R R R. Казваме, че R е п Пръстени. Разглеждаме непразното множество R, което е затворено относно две бинарни операции събиране и умножение + : R R R : R R R. Казваме, че R е пръстен, ако са изпълнени аксиомите 1.-4. за абелева

Подробно

Microsoft Word - Lekciya-8-9-Proizvodni-na-Elementarnite-Funkcii.doc

Microsoft Word - Lekciya-8-9-Proizvodni-na-Elementarnite-Funkcii.doc Лекция 8. Производни на логаритмичната, показателната и степенната функции 8.. Производна на логаритмичната функция, у log (0

Подробно

Microsoft Word - PRMAT sec99.doc

Microsoft Word - PRMAT sec99.doc Лекция 9 9 Изследване на функция Растене, намаляване и екстремуми В тази лекция ще изследваме особеностите на релефа на графиката на дадена функция в зависимост от поведението на нейната производна Основните

Подробно

Microsoft Word - VM22 SEC66.doc

Microsoft Word - VM22 SEC66.doc Лекция 6 6 Теорема за съществуване и единственост Метричното пространство C [ a b] Нека [ a b] е ограничен затворен интервал и да разгледаме съвкупността на непрекъснатите функции f ( определени в [ a

Подробно