Отговорите на задачите от 1. до 20. включително отбелязвайте в листа за отговори! 3 Г) 2. Множеството от решенията на неравенството 2 x 4 е:

Препис

1 МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА ДЪРЖАВЕН ЗРЕЛОСТЕН ИЗПИТ ПО МАТЕМАТИКА 9 август г. ОБЩООБРАЗОВАТЕЛНА ПОДГОТОВКА ВАРИАНТ ЧАСТ (Време за работа: 9 минути) Отговорите на задачите от. до. включително отбелязвайте в листа за отговори!. Ако log =, то х е: А) Б) В) Г). Множеството от решенията на неравенството е: А) Б) ( ; ) В) ; Г) ; +. Даден е успоредник ABCD. Ако AB = и AD =, то равно на: BD AC + е А) + Б) + В) Г). Точка А е от графиката на функцията y = 5 + lg. Ако абсцисата на тази точка е равна на, то ординатата ѝ е: А) Б) 5 В) 7 Г) невъзможно да се определи 5. Дефиниционното множество на функцията y = е: А) (; + ) Б) (; + ) В) ( ; + ) Г) ( ;) (; + )

2 6. Модата и медианата на извадката 5,,, 8,, 7,,, 9,, 6 са съответно: А) и 7 Б) и 5 В) и 7 Г) и 5 7. Числената стойност на израза е: 5 () А) Б) 7 В) Г) 8. Броят на корените на уравнението + = е: А) Б) В) Г) 9. Числената стойност на израза log log е: А) Б) 9 В) 8 Г) 7. Броят на решенията на системата + y = 5 + y = е: А) Б) В) Г). Множеството от стойностите на функцията y = за [ ;] е: А) ; Б) ; В) ;5 Г) ;5. Дадени са функциите f ( ) = + и g( ) = +. Ако g ( ) минава през точка A (;7) и графиките на двете функции са успоредни прави, то: А) = ; = 7 Б) = ; = В) = ; = 7 Г) = ; =. Редицата,,,... е геометрична прогресия, за която = и = 6 7. Стойността на + е: А) Б) В) Г) или

3 . ABCDABCD е правилна четириъгълна призма. D C Диагоналът BD сключва с долната основа ъгъл 5. Ако DD = 6 cm, то обемът на призмата е равен на: A B А) 6 cm Б) 7 cm В) 8 cm А D B C Г) 6 cm 5. С цифрите,, и са записани всички възможни трицифрени числа с А) различни цифри. Каква е вероятността при избор на едно от тези числа, това число да е нечетно или по-малко от? 9 Б) 9 В) Г) Числената стойност на израза А) Б) tg + cotg. e: si + cos ( ) + В) ( ) Г) ( + ) 7. На чертежа окръжност k с център С се допира до раменете на poq = 9 в точки A и B. През точка Р от дъгата AB е построена допирателна към k, която пресича раменете на ъгъла Оp и Оq съответно в точки M и N. Отношението на периметрите А) : Б) : В) : Г) : P P OACB OMN е равно на: 8. В правоъгълен ABC ( C = 9 ) ъглополовящата на BAC пресича височината CD в точка F и е равно на: А) 7 cm Б) CF = cm, DF = cm. Лицето на ABC 6 cm В) 8 cm Г) 8 cm

4 9. Върху единичната окръжност k(o; r = ) е взета точка M(;). Построена е точка N k, така, че ориентираният на N са: MON = rd. Координатите А) ( ;) Б) ; В) (; ) Г) ;. Равнините и се пресичат в правата l. Точката M и разстоянието от М до l е cm, а разстоянието от М до е 5 cm. Ъгълът между равнините и е: А) Б) 5 В) 6 Г) 9

5 МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА ДЪРЖАВЕН ЗРЕЛОСТЕН ИЗПИТ ПО МАТЕМАТИКА 9 август г. ОБЩООБРАЗОВАТЕЛНА ПОДГОТОВКА ВАРИАНТ ЧАСТ (Време за работа: 5 минути) Пълните решения с необходимите обосновки на задачите от. до. включително запишете в листа за отговори!. Дадени са уравненията: () + 7+ = () = () = 9 а) Решете уравненията (), () и (). б) Намерете средноаритметичното на корените на трите уравнения.. За -членна аритметична прогресия е известно, че за сумите A = (сборът на членовете с нечетни номера) и 7 9 B = (сборът на членовете с четни номера) са в сила 8 равенствата B A= и B A =. Да се намерят: а) А и В; б) първият член и разликата d на прогресията.. Дадена е отсечка MN с дължина cm и точка K, лежаща на нея. Нека S е лицето на равнобедрен правоъгълен триъгълник с хипотенуза MK, а S е лицето на квадрат с дължина на страната KN. а) Ако MK = х, да се изрази сбора S+ S като функция на. б) Намерете дължината на катета на правоъгълния триъгълник, когато сборът S+ Sе най-малък.

6 ФОРМУЛИ Квадратно уравнение c, D c, D при D c Формули на Виет: ( )( ) Квадратна функция c Графиката на D y = + + c е парабола с връх точката ; Корен. Степен и логаритъм k k при k ε N k k = m m, = log = m m k log k k mk m при, k, и m,, k ε N log при, и Комбинаторика Брой на пермутациите на елемента: P.( )...! Брой на вариациите на елемента k -ти клас: k V.( )...( k ) Брой на комбинациите на елемента k -ти клас: Прогресии C k k V.( )...( k ) P k.( k ) ( ) d Аритметична прогресия: ( ) d S = = Геометрична прогресия:. q q S =, q q p Формула за сложна лихва: K = Kq = K + k Вероятности Вероятност за настъпване на събитието A: брой на благоприятните случаи брой на възможните случаи ( ), p A = p( A)

7 Вероятност на сбор от събития: P(A B) = P(A) + P(B), ако А и В са несъвместими P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) Вероятност на противоположно събитие: P(А ) = P(A), където А е противоположното на събитието А Условна вероятност: P(AǀB) = P(A B) P(B), P(B) > Теорема за умножение на вероятности: P(A B) = P(A)P(BǀA)= P(B) P(AǀB), P(A) >, P(B) > Формула на Бернули: P (k) = C k. p k. q k, k =,,,, Теорема за умножение на вероятности на независими събития P( A B) = P( A) P( B) Събитията А и В са независими ако P( A / B) = P( A) Статистика Средна аритметична стойност: ср. ар. = ( N) Средна геометрична стойност: ср. геом. =.. ( N) (i >, i) Средна хармонична стойност: ср. харм. = а + а + + а ( N) (i, i) Претеглена средна стойност = i k ii i= относителна честота обем на извадката Зависимости в триъгълник и успоредник Правоъгълен триъгълник: c S ch c c hc r si cos tg c c Произволен триъгълник: c c cos c c cos c cos c R si si si c cotg c

8 Формула за медиана: m ( c ) m ( c ) mc ( c ) Формула за ъглополовяща: = m Формула за диагоналите на успоредник: d + d = + lc = m Триъгълник: Успоредник: S S ch pr S = h Четириъгълник: S = ddsi Описан многоъгълник: S pr rd si cos tg c Формули за лице S = si S p( p )( p )( p c ) S c R S = si Трапец: Тригонометрични функции π 6 cotg 5 π S 6 π h 9 π si si cos cos si cos cos si si cos tg tg cotg cotg tg cotg cotg tg tg cotg si( ) = si cos cos si cos( ) = cos.cos si.si tg tg tg( ) = tgtg si = si cos cotg.cotg cotg( ) = cotg cotg cos = cos si = cos = si

9 tg cotg tg = cotg = tg cotg si ( cos ) + si si si cos cos ( cos ) + = + = si si si cos + + cos + cos = cos cos cos cos = si si cos si = cos cos + = si si = (cos( ) cos( + )) cos cos = (cos( ) + cos( + )) si cos = (si( + ) + si( )) Ръбести и валчести тела: Призма: S = Ph S = S + B V = Bh Пирамида: P S = S = S + B V = Bh Прав кръгов цилиндър: S = rh S = rh + r V = r h Прав кръгов конус: S = rl S rl r = + V = πr h Сфера и кълбо: S = πr V = πr

10 МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА ДЪРЖАВЕН ЗРЕЛОСТЕН ИЗПИТ ПО МАТЕМАТИКА 9 август г. ОБЩООБРАЗОВАТЕЛНА ПОДГОТОВКА ВАРИАНТ Ключ с верните отговори Отговор Брой точки. А. А. Б. Б 5. Г 6. Б 7. В 8. В 9. А. Г. В. А. Г. В 5. Г 6. А 7. Г 8. Б 9. А. В а) () = ; ; () = () ={ ;} б) 5 7. а) А = 5, В = 6 б) = 7, d =. 5 а) f ( ) = + б) 5 cm 5 5

11 Задача. Решение: а) () = = = = = 7 7 ; 7 7 = = = ; ; () Полагане y = 5 y + y = = y y = ; y y = 5 = = = 9 9 = () ( ) ( ;) ( ;) = = = ; 9 = = б) = 7 7 Примерни критерии за оценяване и точки по критериите, съпътстващи решението: а) () 7 7 = ; ; точки () Полагане y = 5 и получаване = точки () = { ;} точки б) 5 7 точки

12 Задача. Решение: а) Намиране на стойностите на А и В от равенствата B A= и В А = I начин. От B A ( B A)( B A) = + = се намира B + A = =. Чрез събиране и изваждане на равенствата В = 6, А = 5, от които се намира В = 6 и В А = B+ A = А = 5. се получава II начин. Заместване на B= A+ в равенството В А = и решаване на ирационалното уравнение А+ = А + А+ = А+ А + + А = 5 А = 5 А = 5. Тогава B= A+ = d = = = +, 9 б) Сумите А и В са с по члена и A.. ( 9d ) + + d + + 9d = = = ( + ). В.. d За и d се получава системата ( + d) = 6 ( + 9 d) = 5 + d = 6 + 9d = 5 d =, = 7 Следователно = 7, d =. Примерни критерии за оценяване и точки по критериите, съпътстващи решението: а) Намиране на А = 5 5 точки Намиране на В = 6 5 точки б) Получаване на системата ( d) ( d) + = = 5 точки Намиране на решенията = 7, d = точки

13 Задача. Решение: а) Ако MK NK, = = и ( ) Нека катетът на триъгълника е а = = и ( ) 5 S = S + S = +. S = б) Търси се най-малката стойност на функцията f ( ) = + при ( ) Квадратната функция достига своя минимум при 8 = 5 5 8, 5 и ( ), 8 = = 5 5 Примерни критерии за оценяване и точки по критериите, съпътстващи решението: а) S = 6 точки ( ) 5 S = S + S = + б) Търсене на най-малката стойност на ( ) (,) 8 8 = и (, ) = = = + при f точки точки точки