КОМПЛЕКСЕН ИМИТАЦИОНЕН МОДЕЛ НА ОТВОРЕНИ МРЕЖИ ОТ СИСТЕ ЕМИ ЗАА МАСОВО ОБСЛУЖВАНЕ С ПРОИЗВОЛНА СТРУКТУРА Кирил Станев Карагьозов Ставри Димитри Димитр

Препис

1 КОМПЛЕКСЕН ИМИТАЦИОНЕН МОДЕЛ НА ОТВОРЕНИ МРЕЖИ ОТ СИСТЕ ЕМИ ЗАА МАСОВО ОБСЛУЖВАНЕ С ПРОИЗВОЛНА Кирил Станев Карагьозов Ставри Димитри Димитров София, Март 2014

2 Студията е насочена към представянето на функционалните възможности на създадения, чрез използване на системата за симулации GPSS Word(tm) модел на отворена мрежа от системи за масово обслужване (СМО). Разработеният имитационен модел е приложен за определяне на операционните характеристики на балансирана и небалансирана отворени мрежи от СМО с произволни функции на разпределение на входящия поток и на времената за обслужване, без ограничения в големината на опашките от заявки на входовете на отделните СМО. Комплексният характер на имитационния модел е с постигнатата независимост на основния моделиращ сегмент от структурата на мрежата от системи за масово обслужване: брой СМО; матрицата на вероятностите за преход, която обуславя входящите потоци във всяка отделна СМО в мрежата; общ рекурентен входящ поток и времена за обслужване разпределени с функция на разпределение от общ тип. Броят на системите, матрицата на преходните вероятности, параметрите на обслужване на отделните СМО ( средна стойност и коефициент на вариация на времената за обслужване) се реализират в сегмента за задаване на входните параметри на имитационния модел. Обособена процедура апроксимира общите функции на разпределение на вероятностите, при зададени средна стойност и коефициент на вариация, съответно с гама, експоненциални или хиперекспоненциално разпределение. Получените от симулацията резултати са показани, сравнени и анализирани. Направени са начални стъпки, за използване на резултатите от реализациите на имитационния модел, за получаване на обобщени зависимости на цялата мрежа от входните параметри, структурата и характера на натоварването на отделните СМО. КОМПЛЕКСЕН ИМИТАЦИОНЕН МОДЕЛ НА ОТВОРЕНИ МРЕЖИ ОТ СИСТЕМИ ЗА МАСОВО ОБСЛУЖВАНЕ С ПРОИЗВОЛНА Студия Автори: доц. д-р инж. Кирил Станев Карагьозов / Assoc. Prof. Kr Karagyozov, Ph.D., Катедра Технология, организация и управление на транспорта, ВТУ Тодор Каблешков, София, България, kkaragyozov@yahoo.com д-р инж. Ставри Димитри Димитров / Stavr Dmtrov, Ph.D., Department of Cv and Envronmenta Engneerng, The Unversty of Auckand, Auckand, New Zeaand, sdm492@auckandun.ac.nz Рецензенти: проф. д-р инж. Tошо Трифонов Качаунов / Prof. Tosho Кachaunov, Ph.D., Декан на факултет Транспортен мениджмънт, ВТУ Тодор Каблешков доц. д-р инж. Тодор Константинов Размов / Assoc. Prof. Todor Razmov, Ph.D., ВТУ Тодор Каблешков, София, България София, 2014

3 СЪДЪРЖАНИЕ 1. Увод Отворена мрежа от СМО с входящ поток от заявки и времена за обслужване, имащи произволно зададени вероятностни разпределения Отворена мрежа от СМО с L класa заявки, поасонов входящ поток от външната среда, без преход между класовете Имитационен модел на отворена мрежа от СМО с произволно разпределени интервали от време на входящите потоци от заявки и на времената за тяхното обслужване Блокова схема на GPSS моделa на открита мрежа от СМО Програмен код GPSS моделa на открита мрежа от СМО Сценарии за изследване на работата на открита мрежа от СМО Резултати и дискусия Резултати за балансирана открита мрежа Резултати за небалансирана открита мрежа Изследване на ефекта от балансиране на натоварването на отделните СМО в откритата мрежа Отношение на резултатите от моделирането балансирана към небалансирана мрежа Отношение на средното време за престой - балансирана към небалансирана открита мрежа от СМО Отношение на средно квадратичните отклонения на времената за престой - балансирана към небалансирана открита мрежа от СМО Отношение на средния брой заявки в мрежата - балансирана към небалансирана открита мрежа от СМО Отношение на средно квадратичните отклонения на броя на заявките в мрежата - балансирана към небалансирана открита мрежа от СМО Изследване на ефекта на изглаждане на вариабилността на обобщените показатели за работа на откритата мрежа от СМО Заключение Насоки за бъдещи изследвания ЛИТЕРАТУРА ПРИЛОЖЕНИЕ I. Отчет с резултатите от симулацията на GPSS модела... 40

4 1. Увод Протичащите в транспорта процеси са сложни и разнообразни. Независимо от съществуващите различия между тях, произтичащи от вида и специализацията на извършваните транспортни операции, както и от областта на приложение в товарния или в пътническия транспорт - общото между транспортните процеси са свързаните с обслужване дейности: извършваният от страна на техническия персонал технически преглед и диагностика на подемно-транспортни машини и съоръжения, натоварване и разтоварване на пристигналите в индустриалните клонове товарни автомобили от товарно-разтоварните машини, зареждане на автобусите в автотранспортните предприятия с гориво преди излизане на линия, обслужване на пътниците от билетните касиери при закупуване на билети за пътуване, извършване на пътнически превози от автобусния транспорт и др. Големият брой и сложността на извършваните транспортни операции пораждат необходимост процесите в транспорта да се представят в логически свързана последователност от действия по обслужване на чакащите заявки съоръжения, машини, транспортни средства, пътници и т.н. За моделиране на сложните транспортни системи е подходящо те да се разглеждат като мрежа от свързани и взаимодействащи помежду си технологични системи. Процесите в тези системи могат да се моделират с помощта на теорията за масовото обслужване (ТМО). За целта те се представят като системи за масово обслужване (СМО), при които се отчита въздействието на случайни фактори, както върху интервалите от време между пристигане на заявките на входа на СМО, така и върху времената за обслужване на заявките в отделните СМО. Използването на ТМО за моделиране на реалните процеси е свързано с познаване на законите на разпределение на входящия поток от заявки и на времената за тяхното обслужване. Разпределението на дадена случайна величина по определен вероятностен закон се установява посредством събиране и статистическа обработка на достатъчен брой данни с помощта на съществуващите статистически методи [2]. Понякога сложните процеси в транспорта не могат да се моделират задоволително с помощта на аналитичните модели на теорията на масовото обслужване. Когато няма изведени аналитични крайни формули за част или за всички операционни характеристики, се използва като подход имитационното моделиране [1], [2], известно още като метод Монте-Карло, състоящ се в многократното проиграване (реализация) на моделирания процес и отчитане на стойностите на интересуващите изследователя величини [1]. Много често са налице апроксимации за средните характеристики на дадена СМО, но за определяне на надеждната работа на реалната система представена с модел на СМО са необходими и вероятностите на състоянията на системата. Когато няма аналитични зависимости се прибягва до специализирани имитационни модели, които да отчитат тези вероятности. Идеите развити в [4] позволяват да се получат вероятностите на състоянията на СМО и този подход би могъл да намери реализация при бъдещо усъвършенстване на реализирания GPSS модел на открита мрежа от СМО. 1

5 2. Отворена мрежа от СМО с входящ поток от заявки и времена за обслужване, имащи произволно зададени вероятностни разпределения Настоящата студия има за основна цел създаване на имитационен модел, позволяващ определянето на операционните характеристики на отворена мрежа от СМО с функции на разпределение на входящия поток от заявки и времената за обслужване от общ вид, без ограничения в големината на опашките от заявки на входовете на отделните СМО. Престоят в отделна СМО и като цяло в мрежата, се намира в сложна зависимост от стохастичния характер на потока, изменящ се в зависимост от натоварването на дадена СМО, разпределението на времената за обслужване и броят на обслужващите устройства, както и от неговото разпределение по отделни СМО и др. Съществуващите аналитични методи за анализ на отворени мрежи от СМО позволяват показателите за работа на системите да се оценяват в ограничен клас мрежи при редица ограничителни условия и допускания, по-важните от които са: входящите от външната среда потоци в мрежата са поасонови; предположение за конкретни дисциплини на обслужване и разпределения на времената за обслужване; неограничени места за чакане в опашките и др. Най-съществено от изброените е предположението за поасонови входящи потоци и специфични дисциплини и разпределения на времената за обслужване. При тези допускания поведението на всяка СМО може да се представи като система от тип M/M/S, по обозначенията на Кендал А/В/С-А,В вид на разпределението на интервалите на входящия поток-а и на времената за обслужване-в, а С е броя на обслужващите устройства. Когато А и В са обозначени с М, това съответства на експоненциално разпределение на случайната величина. За определяне на стойностите на операционните характеристики, характеризиращи нейната работа, се използват изведените за СМО M/M/S аналитични зависимости. Преди да бъде разгледан имитационния моделна отворена мрежа от СМО при по-общи предпоставки на разпределението на входящите потоци и времената за обслужване, с цел въвеждане в основните понятия, които ще се използват в изложението, е необходимо да се изложат основните положения от теорията на мултипликативните мрежи от СМО. Една мрежа от СМО се състои от определен брой взаимно свързани СМО. В отворена мрежа от СМО, входящият поток влиза в мрежата от външната среда и последователно, в зависимост от маршрута, преминава под обслужване през различните СМО в мрежата, след което напуска мрежата. При затворени мрежи от СМО броя на заявките в мрежата е постоянен. Заявките циркулират вътре в мрежата и преминавайки последователно, съгласно маршрутите им на движение, през отделните СМО биват обслужени. Точни резултати има в специализираната литература за дефинираните като мултипликативни мрежи от СМО, за които вероятностите на състоянията на мрежата се определят като произведение от вероятностите на състоянията на отделните СМО. Основополагаща е публикацията на F. Baskett, K. Chandy, R. Muntz и F. Paacos - Open, 2

6 cosed and mxed networks of queues wth dfferent casses of customers [5], третираща модел на мрежи от СМО от отворен, затворен или смесен тип, няколко класа заявки в мрежата, матрици на вероятностите за преход от дадени СМО или клас към други СМО или клас и допускането на 4 типа СМО с различен процес на обслужване. Този вид мрежи от СМО се отбелязват в литературата като BCMP мрежа, озаглавена така с първите букви от фамилиите на авторите на публикацията. Допълнително този модел на BCMP мрежа е развит и за СМО с времена за обслужване, зависещи от броя на заявките в мрежата. Основните допускания и ограничения на BCMP мрежата са следните: входящите потоци от външната среда при отворена мрежа от СМО са поасонови; времената за обслужване са от допустимите 4 типа; местата за чакане в опашките пред отделните СМО са с неограничени капацитет. Възможностите за преодоляване на горните ограничения от една страна са в развитието на приближени аналитични модели за частни случаи на мрежи от СМО, като например отворена мрежа с произволни разпределения на интервалите от време между пристигане на заявките от входящия поток на входа на мрежата и на времената за обслужване в отделните СМО [13], [8], [9], [10] a от друга страна - имитационни модели на конкретни мрежи от СМО. Предимството на имитационното моделиране се състои във възможността, чрез разработени имитационни модели, максимално близко да се изследва поведението на сложни системи до действието им в реални условия. Недостатъците от използването на такива имитационни модели се изразяват в няколко посоки: - моделите на реалните системи са уникални, сложни и често с много управляеми и неуправляеми параметри и зависят от конкретната конфигурация на мрежата от СМО; - при значителен брой управляеми параметри се затруднява анализа на тяхното взаимодействие, което налага модела да се изследва за няколко предварително набелязани сценарии. В настоящата работа се разглежда подход за изграждане на имитационен модел на определен клас мрежи от СМО отворена мрежа от СМО с произволно разпределение на интервалите на входящия поток от заявки и на времената за тяхното обслужване, с неограничен брой места за чакане пред всяка СМО. Главната цел е да се разработи основния имитационен модул, които да не зависи от брой, конфигурация и взаимодействие на СМО. Предвижда се в имитационния модел конфигурацията на мрежата, взаимодействието между отделните СМО, параметрите на обслужването и изходните резултати да се задават чрез входната и настройките за изходната информация. Преди да се пристъпи към описанието на имитационния модел се привежда кратко описание на частния случай на BCMP мрежа от СМО. 3

7 3. Отворена мрежа от СМО с L класa заявки, поасонов входящ поток от външната среда, без преход между класовете. Нека мрежата се състои от N СМО. За всеки клас са зададени входящия поток от външната среда 0, матрицата на вероятностите за преход q j, за, j = {0,N}, т.е. вероятността заявка от клас след обслужване в СМО да постъпи за обслужване в СМО j. Състоянието 0 съответства на външната среда. За всяка СМО е дефиниран един от следните типове процеси на обслужване (табл.1): Таблица 1 тип Описание СМО с поасонов входящ поток, с едно обслужващо устройство (ОУ), с дисциплина на обслужване FIFO (първи пристигнал, първи обслужен), с едно и също по стойност експоненциално разпределено средно време за обслужване за всички класове, равно на 1/ т.е. СМО е от тип М/М/1. При повече от едно на брой ОУ- S броя ОУ, използваното съкратено буквено обозначение за СМО е M/M/S. СМО с едно ОУ. Различните класове имат различно средно време за обслужване 1 /, с произволна функция на разпределение, която има рационална трансформация на Лаплас. Всяка заявка получава фиксирана част от необходимото обслужване, т.нар. наречената дисциплина на обслужване разделяне на процесора (processor sharng), т.е. СМО е от тип М/G/1 PS. СМО с безкраен брой ОУ. Различните класове имат различно средно време за обслужване1 / с произволна функция на разпределение, имаща рационална трансформация на Лаплас, т.е. СМО от тип М/G/. СМО с едно ОУ. Различните класове имат различно средно време за обслужване 1 /, с произволна функция на разпределение, притежаваща рационална трансформация на Лаплас. Дисциплината на обслужване е с абсолютен приоритет, с дообслужване, т.е. обслужването на пристигналата заявка прекъсва, като тя се поставя в опашка, където чака за дообслужване, т.е. СМО е М/G/1 LIFO - PR. 4

8 За тази мрежа от СМО интензивността на входящия поток от клас в -та СМО -, както и средния брой постъпления e се получават от решението, по отделно за всеки 0 клас заявки на системите от N линейни уравнения, описващи съхранението на потока в мрежата: (1) q e q 0 0, 0, N j1 N j1 e j q q j j, j, 1... N 1.. N При извеждането на (1) се използва единствено закона за съхранение на потока, съгласно който сумата от входящите потоци в -та СМО трябва да е равна на сумата от изходящите от същата тази СМО потоци. Зависимост (1) е валидна и при неекспоненциални мрежи, когато няма възникване и погасяване на поток в мрежата. Общият входящ поток от външната среда за всички класове е: L (2) За този тип мрежи от СМО състоянието на мрежата в произволен момент от времето се определя от вектора k, k,... k }, където к - брой на заявките в СМО. Вероятностите на k { 1 2 N състоянията на мрежата се получават в мултипликативна форма: (3) P k,..., k P k 1 N ) N (, 1 където: P (k ) е вероятността в -та СМО да има k заявки: (4) P ( k ) e k 1 тип 1 S 1,2,4 P тип 1S 1, където: k k k! тип 3 S -е относителната заетост на -та СМО 5

9 6 (5) 2,3, СМО e S СМО e S S k k L L тип за тип за При СМО от тип 1 с повече от едно на брой ОУ, вероятностите на състоянията P k в СМО от тип М/М/S (многоканална СМО с S обслужващи устройства, поасонов входящ поток и експоненциално разпределение на времето за обслужване) и вероятността всички обслужващи устройства да са заети P d, могат да се определят по формулите: (6) S k P P S S S k P k P S k d S k k k k 1! 0! 0 0, като !! S k k S k k d S n S n P P P и S n P Крайният резултат се свежда до възможността всяка СМО да се разглежда в изолация като М/М/1 СМО за типове 1 (S=1), 2, 4, M/M/S за тип 1 (S>1) или М/М/ за тип 3. След определяне от зависимости (5), относителната заетост на СМО е. За средните характеристики брой заявки в опашката L q и брой заявки в СМО L s, като се пренебрегне индекса по известните формули от литературата се получава: (7) S Lq Lq Ls СМО тип при P при S СМО тип при S Pd Lq d ,2,4 1. Ако за всяка -та СМО са определени Lq и Ls, то за цялата мрежа средния брой на заявките в очакване на обслужване a Lq и общо в мрежата a Ls, както и средния престой на една заявка в мрежата Tsys ще са съответно: (8) a N a N a Ls Tsys Ls Ls Lq Lq

10 4. Имитационен модел на отворена мрежа от СМО с произволно разпределени интервали от време на входящите потоци от заявки и на времената за тяхното обслужване Разработеният имитационен модел е на отворена мрежа от СМО с произволно разпределени интервали от време на входящия поток от заявки, времена за обслужване, един клас заявки, и с неограничен брой места за чакане на заявките в опашките на входа на отделните СМО. Най-общо, в агрегиран вид, логическата връзка между входните данни, захранващи имитационния модел, представен като черна кутия, получаваните на изхода на модела резултати от симулацията и обратната връзка, даваща възможност след анализ на крайните резултати да се вземат мерки и предприемат действия за усъвършенстване и калибриране на модела, може да се представи с помощта на блокова схема (фиг. 1). ВХОДНИ ДАННИ ИМИТАЦИОНЕН МОДЕЛ РЕЗУЛТАТИ ОБРАТНА ВРЪЗКА Фиг. 1. Примерна блокова схема на имитационен модел в най-общ вид Основният акцент на настоящата работа е в разработването на основния модул на имитационния модел. Целта е постигане на функционална независимост на модела от структурата на мрежата: брой СМО, закони на разпределение на интервалите на входящия поток от заявки и времената за обслужване, матрицата на преходните вероятности. Задаването на структурата на мрежата от СМО се реализира в модула за инициализация на входните данни. Принципно, наборът от изходните данни също подлежи на управление в зависимост от необходимото ниво на детайлизация. Тестовете са извършени с примерни мрежи и данни, приведени в литературата [11],[13], което позволява да се направи оценка на адекватността на модела, чрез сравнение на получените чрез разработения модел резултати с тези, получени и представени в литературата. Реализацията на имитационния модел е приложена към примерна отворена мрежа от СМО показана на фиг. 2. Разбира се имитационният модел, чрез входните данни, позволява конфигуриране на произволна мрежа, но за анализ на функционалността на модела е избрана достатъчно комплексна отворена мрежа с наличие на множество обратни връзки. На фиг. 2 са представени отделните СМО и съставящите ги компоненти: опашка от заявки на входа на системата и обслужващо устройство и вероятностите за преход към следващата СМО след напускане на дадена СМО. 7

11 КОМПЛЕКСЕН ИМИТАЦИОНЕН МОДЕЛ НАА ОТВОРЕНИ МРЕЖИ ОТ СИСТЕМИ ЗА МАСОВО ОБСЛУЖВАНЕ С ПРОИЗВОЛНА Фиг. 2. Принципна схема с на модела на отворена мрежа от СМО За описание на алгоритъма на работа на моделираната система е построена блокова диаграма [5], [6], състояща се от последователно свързани стандартни блокове. Всеки блок притежава функционалност, която изпълнява конкретноо действие, в резултат от което настъпва определено събитие. Програмната реализация наа модела е извършена в работната среда на общо целевата симулационна система GPSS Word [7], предназначенаа за имитационно моделиране на дискретни системи. Съгласноо заложената в модела логика, през отделните блокове, в определена последователност преминават динамичните компоненти, наречени в GPSS транзакти, изпълняващи в случая ролятаа на заявките в СМО. GPSS Word предоставя възможност, чрез вградения в него програмен език е PLUS (Programmng Language Under Smuaton) [7], да се създаватт потребителски процедури, позволяващи при дадени входни параметри да се реализира изчислителен процес и върне резултата от извършените изчисления. Структурните блокови диаграми на моделиращите алгоритми на създадения имитационен модел на отворената мрежа от СМО са показани на фиг. 3, а създаденият на програмния език в GPSS програмен код на модела - на фиг. 4. В създадения имитационен модел на отворена мрежа от СМО са предвидени 2 на брой моделни сегменти (фиг. 3): - моделен сегмент I, моделиращ интервалите от време междуу постъпване на заявките на входа на отворената мрежа от СМО, в съответствие със зададения вероятностен закон на разпределение и процеса на избор на СМО за тяхното последващо обслужване. Този сегмент събира статистика за случайната величина престой на заявките в мрежата, като след завършване на симулацията, като резултат се извеждат числовите характеристики на 8

12 случайната величина: среден престой на една заявка в мрежата и средно квадратично отклонение, както и хистограмата на емпиричната функция на разпределение на престоя на заявките в мрежата от СМО; - моделен сегмент II, събиращ статистика за случайната величина брой на заявките в мрежата, като се извеждат като резултати, след завършване на симулацията, числовите характеристики на случайната величина: среден брой заявки в мрежата и средно квадратичното отклонение, като и хистограмата на емпиричната функция на разпределение на броя на заявките в мрежата от СМО. За калибриране на разработения имитационен модел са използвани входните данни и структура на описания в [13] модел на отворена мрежа от СМО. 9

13 4.1. Блокова схема на GPSS модел на открита мрежа от СМО Фиг.3 Блокова диаграма на GPSS имитационен модел на отворената мрежа от СМО продължение на фиг.3 10

14 Фиг.3. Блокова диаграма на GPSS имитационен модел на отворената мрежа от СМО (продължение) 11

15 4.2. Програмен код на GPSS модел на открита мрежа от СМО Фиг.4. GPSS програмен код на модела Продължение 1 на фиг.4 12

16 Фиг.4. GPSS програмен код на модела (Продължение 1) Продължение 2 на фиг.4 13

17 Фиг.4. GPSS програмен код на модела (Продължение 2) 14

18 Продължение 3 на фиг.4 Фиг.4. GPSS програмен код на модела (Продължение 3) 15

19 Продължение 4 на фиг. 4 Фиг.4. GPSS програмен код на модела (Продължение 4) 16

20 5. Сценарии за изследване на работата на открита мрежа от СМО Възможностите за изследване на поведението на различни конфигурации на открити мрежи, с различни вероятностни разпределения на интервалите входящия поток от външната среда и времената за обслужване в отделните СМО в мрежата, практически са неограничени. Поради това в настоящата работа се прави опит да се започне едно изследване на поведението на конкретна мрежа от СМО, измерено с регистрацията на случайните величини среден брой заявки и престой на заявката, в зависимост от въздействието на входните параметри. На този етап се прави опит да се изследват няколко по-общи закономерности: Какъв е ефекта от балансираното спрямо небалансираното натоварване отделните СМО? Какво е въздействието на неравномерността на интервалите на входящия поток и времената на обслужване, определени чрез техните коефициенти на вариация, върху поведението на цялата мрежа? Съществува ли изглаждащ ефект на мрежата от СМО, спрямо неравномерността на интервалите на входящия поток и времената на обслужване, резултиращ в коефициентите на вариация на престоя и броя на заявките в мрежата? Моделира се приведената в [13] и изследвана в [11] мрежа от 9 едноканални системи за масово обслужване при различни сценарии за параметрите на входящия поток и времената за обслужване. Разгледани са 2 групи сценарии: () небалансирана и () балансирана мрежа от СМО. В балансираната мрежа, времената за обслужване в отделните СМО са подбрани така, че натоварването на всяка СМО да е еднакво, като сумата от интензивностите на обслужване на 9 -те СМО е еднаква за балансираната и небалансираната мрежа и има стойност равна на 9 заявки/ед.време. В небалансираната мрежа интензивността за обслужване за всяка СМО е еднаква, но натоварванията на отделните СМО в мрежата са различни. Матрица на вероятностите за преход от и за външната среда и между отделните СМО е дадена в табл. 2, като с 0 е обозначена външната среда, а с цифри от 1 до 9 - номерата на СМО в мрежата. Таблица 2. Матрица на вероятностите за преход q j ; 1,... N. j 1.. N на СМО\СМО ,333 0,333 0, ,3 0,6 0, , ,5 6 0, ,2 0, , , , ,8 9 0, ,

21 Входящият поток от външната среда е 0 =1,5 заявки/ед. време за всички сценарии. Входящите потоци в отделните СМО се получават от решението на системата линейни уравнения (1), като зависят само от вероятностите за преход и са дадени в табл. 3. В същата таблица са приведени, приетите в имитационния модел, времена и интензивности за обслужване и натоварване на отделните СМО при основните сценарии за небалансирана и балансирана мрежи от СМО. За решаване на системата линейни уравнения може да се използва, освен стандартните методи, дефинирането на системата линейни уравнения като задача на линейното програмиране и численото й решение в MS Exce с вградения Sover Add-n. Таблица 3 СМО j -> Входящ поток λ j 1,50 0,50 0,50 0,50 0,76 0,46 0,57 0,69 0,56 0,88 Време за обслужване t s j балансирана мрежа 1,205 1,205 1,205 0,788 1,313 1,057 0,873 1,082 0,683 небалансирана мрежа Интензивност на обслужване μ j балансирана мрежа 0,83 0,83 0,83 1,27 0,76 0,95 1,15 0,92 1,46 небалансирана мрежа Натоварване на СМО ρ j балансирана мрежа 0,603 0,603 0,603 0,603 0,603 0,603 0,603 0,603 0,603 небалансирана мрежа 0,50 0,50 0,50 0,76 0,46 0,57 0,69 0,56 0,88 За двата основни сценария на балансирана и небалансирана мрежи от СМО са разгледани различни комбинации на законите на разпределение на входящия поток и на времената за обслужване. За интервалите от време на входящия поток от заявки, пристигащи от външната среда са разгледани варианти със стойности за коефициента на вариация на тези интервали Ca 0 {0.0, 0.5, 1.0, 1.5, 2.0} и съответно стойности относно коефициента на вариация на времето за обслужване на заявките Cs {0.0, 0.5, 1.0, 1.5, 2.0}. Така за всяка една от двете групи сценарии се получават 16 варианта на комбинации на коефициентите на вариация на входящия поток и на времената за обслужване. При коефициенти на вариация по-малки от 1 функциите на разпределение на вероятностите се моделират от гама-разпределения, при стойност 1-от експоненциални разпределения, а при стойност по-голяма от 1 - от двуфазни хиперекспоненциални закони с равни средни стойности на двете фази. Трябва да се отбележи, че акцента на изследването е поставен върху възможността да се реализира универсален в основната си част имитационен модел на отворена мрежа от СМО, позволяващ да се провеждат детайлни изследвания на поведението на системата. Разглежданите сценарии имат за цел най-вече да илюстрират функционалните възможности на модела, а не толкова да се изследва поведението на реална система, представена като отворена мрежа от СМО. Ето защо не са изследвани доверителните интервали на резултативните параметри, а устойчивостта и достоверността на резултатите се осигурява от продължителното моделно време, позволяващо преминаването (обслужването) на транзакти. 18

22 6. Резултати и дискусия Резултатите от модела се основават на двата основни сценарии: балансирана и небалансирана отворена мрежи от СМО, всеки от които е реализиран за всички възможни комбинации на стойностите на коефициентите на вариация на входящия поток C a и на времето за обслужване C s, които се изменят в диапазона от 0,0 до 2,0 включително със стъпка 0,5, т.е. общо 50 варианти на реализация. Всяка една реализация дава подробни резултати за размера и престоя на заявките във всяка СМО, във всяка опашка, общото време за престой в системата, натоварването на отделните СМО, както и средно квадратичните отклонения на тези характеристики. За един от реализираните варианти, които е даден на фиг. 4, с входни параметри балансирана мрежа, коефициент на вариация на интервалите на входящия поток C a = 2 и коефициент на вариация на времето за обслужване C s = 1 са приведени изходните резултати от симулацията на модела (приложение I) Този пример с конкретни входни параметри съответства на вариант с твърде висока вариабилност на интервалите на входящия поток, т.е. коефициента на вариация на входящия поток в мрежата е C a = 2, а времената за обслужване са с експоненциално разпределение с коефициент на вариация C s = 1. Резултатите от разглеждания пример показват, че съществува един значителен ефект на изглаждане на вариабилността на обобщените изходни резултати от въздействието на работата на цялата мрежа като комплексна система. Този ефект се илюстрира от резултативните изходни показатели на работата на мрежата от СМО - престой в мрежата и брой заявки в мрежата. Емпиричните честоти на получените случайни величини престой и брой заявки в мрежата, в резултат на симулацията и сравнението им с честоти на Гама-разпределение, показват твърде голямо сходство фиг. 5 и фиг. 6. Освен това налице е в значителната степен на намаление на вариабилността средна стойност на престоя в мрежата TIMEINSYS 11.19, средно квадратично отклонение и следователно и коефициент на вариация Намалението на вариабилността е още по-значително за другия резултативен показател брой на заявките в мрежата CURRLGSYS - средна стойност , средно квадратично отклонение и коефициент на вариация

23 Фиг.5. Честоти на случайна величина престой в мрежата TIMEINSYS 0,05 0,045 0,04 0,035 0,03 0,025 0,02 0,015 0,01 0,005 0 Емпирични и теоретични честоти на броя на заявките в мрежата CURRLGSYS 0,5 2,5 4,5 6,5 8,5 10,5 12,5 14,5 16,5 18,5 20,5 22,5 24,5 26,5 28,5 30,5 32,5 34,5 36,5 38,5 40,5 42,5 44,5 f(t) Гама разпределение (а 2,76;b 6,04) Среден бой в мрежата CURRLGSYS Mode Mean 16.80; stdv 10.07) Фиг.6. Честоти на случайна величина брой заявки в мрежата - CURRLGSYS Едно по-детайлно изследване за вида на закона за разпределение, който описва полученото от симулацията вероятностно разпределение на случайните величини брой 20

24 заявки в мрежата - CURRLGSYS и престой в мрежата - TIMEINSYS, трябва да отчете отместването, което съществува от начална стойност 0. То винаги е положителна величина, защото какъвто и да е маршрута на дадена заявка от вход до изход в мрежата, нейното минимално време за престой е сумата от времената за обслужване в отделните СМО по маршрута. Потенциално възможните теоретични разпределения на вероятностите, които да описват получените от модела разпределения са отместено Гама-разпределение или отместено разпределение на Вейбул. Обозначенията в графиките и таблиците с получените от имитационния модел на открита мрежа от СМО резултати са следните: C a - коефициент на вариация на интервалите на входящия поток - зададен; C asm - коефициент на вариация на интервалите на входящия поток -реализиран в модела; T sys, σ Tsys, Cv Tsys - средна стойност, средно квадратично отклонение и коефициент на вариация на престоя на заявките в мрежата; L sys, σ Lsys, Cv Lsys - средна стойност, средно квадратично отклонение и коефициент на вариация на броя на заявките в мрежата Резултати за балансирана открита мрежа В таблица 4 са приведени резултатите за сценарий 1 - балансирана мрежа, а на фигури 7, 8, 9, 10, 11, 12 - зависимостите на параметрите на цялата мрежа от коефициентите на вариация на интервалите на входящия поток в мрежата и на времената на обслужване: - средна стойност на престоя на заявките в мрежата фиг. 7; - средно квадратично отклонение на престоя на заявките в мрежата - фиг. 8; - средна стойност на броя на заявките в мрежата - фиг. 9; - средно квадратично отклонение на броя на заявките в мрежата - фиг. 10; - коефициент на вариация на престоя на заявките в мрежата - фиг. 11; - коефициент на вариация на броя на заявките в мрежата - фиг. 12. В този сценарий коефициентите на вариация на времената за обслужване за даден вариант на симулация са приети еднакви за всички СМО. 21

25 КОМПЛЕКСЕН ИМИТАЦИОНЕН МОДЕЛ НАА ОТВОРЕНИ МРЕЖИ ОТ СИСТЕМИ ЗА МАСОВО ОБСЛУЖВАНЕ С ПРОИЗВОЛНА Резултати от моделирането на балансирана открита мрежа (сценарии 1) табл. 4 Ca Casm 0,0 0,00 Tsys σ Tsys 5,01 3,90 Cs = 0,0 Cs = 0,5 CvTsys Lsyss σ Lsys CvLs sys Casm Tsys σ Tsys Cv vtsys Lsys σ σ Lsys CvLsys 0,78 7,52 1,96 0,26 0,00 5,88 4,58 0,78 8,83 2,41 0,27 0,5 0,50 5,21 4,16 0,80 7,81 2,50 0,32 0,50 6,06 4,69 0,77 9,09 2,90 0,32 1,0 1,00 5,69 4,46 0,78 8,53 3,68 0,43 1,00 6,61 5,03 0,76 9,91 4,24 0,43 1,5 1,51 6,29 4,77 0,76 9,42 5,01 0,53 1,49 7,32 5,60 0,76 10,99 5,75 0,52 2,0 2,00 7,04 5,48 0,78 10,49 6,66 0,63 2,00 8,25 6,39 0,77 12,38 7,64 0,62 Ca Casm 0,0 0,00 Tsys σ Tsys 8,26 6,62 Cs = 1,0 Cs = 1,5 CvTsys Lsyss σ Lsys CvLsys Casm Tsys σ Tsys CvTsys Lsys σ σ Lsys CvLsys 0,80 12,43 3,81 0,31 0,00 12,07 10,27 0,85 18,11 6,45 0,36 0,5 0,50 8,49 6,78 0,80 12,74 4,36 0,34 0,50 12,45 10,92 0,88 18,69 7,26 0,39 1,0 1,00 9,10 7,16 0,79 13,64 5,75 0,42 1,00 12,89 11,01 0,85 19,32 8,58 0,44 1,5 1,49 2,0 1,99 Ca Casm 0,0 0,00 0,5 0,50 1,0 1,00 1,5 1,50 2,0 2,00 10,11 8,10 11,19 9,02 Tsys σ Tsys 17,72 16,09 18,00 16,20 18,68 17,10 19,28 17,69 21,01 18,93 0,80 15,18 7,81 0,51 1,50 14,26 12,45 0,87 21,39 11,02 0,52 0,81 16,80 10,07 0,60 2,00 15,40 13,65 0,89 23,02 13,54 0,59 Cs = 2,0 CvTsys Lsyss σ Lsys CvLsys 0,91 26,58 10,77 0,41 0,90 27,02 11,19 0,41 0,92 28,00 12,97 0,46 0,92 28,83 14,92 0,52 0,90 31,41 17,96 0,57 Фиг. 7. Средно време за престой в отворена балансирана мрежа м от СМОО 22

26 σtsys Средно квадратично отклонение на времето за престой в отворена балансирана мрежа от СМО в зависимост от коефициентите на вариация на входящия поток и на времето за обслужване 16,09 10,27 16,20 6,62 6,78 4,58 4,69 3,90 4,16 17,10 10,92 11,01 7,16 5,03 4,46 17,69 12,45 8,10 5,60 4,77 13,65 9,02 6,39 5,48 18,93 0 0,00 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50 1,75 2,00 2,25 Casm σtsys = f(casm) при Cs = 0.00 σtsys = f(casm) при Cs = 0.50 σtsys = f(casm) при Cs = 1.00 σtsys = f(casm) при Cs = 1.50 σtsys = f(casm) при Cs = 2.00 Фиг. 8. Средно квадратично отклонение на времето за престой в отворена балансирана мрежа от СМО Среден брой заявки в отворена балансирана мрежа от СМО в зависимост от коефициентите на вариация на входящия поток и на времето за обслужване Lsys 34 31, ,00 28, ,58 27, , , ,11 18,69 19, , ,18 13, ,43 12,74 12,38 10, ,91 8,83 9, ,42 10,49 6 7,52 7,81 8, ,00 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50 1,75 2,00 2,25 Lsys = f(casm) при Cs = 0.00 Lsys = f(casm) при Cs = 0.50 Lsys = f(casm) при Cs = 1.00 Casm Lsys = f(casm) при Cs = 1.50 Lsys = f(casm) при Cs = 2.00 Фиг. 9. Среден брой заявки в отворена балансирана мрежа от СМО 23

27 Средно квадратично отклонение на броя на заявките в отворена балансирана мрежа от СМО в зависимост от коефициентите на вариация на входящия поток и на времето за обслужване , , ,97 13,54 σlsys 12 10,77 11,19 11,02 10, ,58 8 7,81 7,64 7,26 6,45 5,75 5,75 6 4,36 3,81 4,24 6,66 4 5,01 2,90 2,41 3,68 2 2,50 1,96 0 0,00 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50 1,75 2,00 2,25 σlsys = f(casm) при Cs = 0.00 σlsys = f(casm) при Cs = 0.50 Casm σlsys = f(casm) при Cs = 1.00 σlsys = f(casm) при Cs = 1.50 σlsys= f(casm) при Cs = 2.00 Фиг. 10. Средно квадратично отклонение на броя на заявките в отворена балансирана мрежа от СМО Коефициент на вариация на времето за престой в отворена балансирана мрежа от СМО в зависимост от коефициентите на вариация на входящия поток и на времето за обслужване 1,00 0,95 0,90 CvTsys 0,85 0,80 0,75 0,70 0,00 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50 1,75 2,00 2,25 Casm CvTsys = f(casm) при Cs = 0.00 CvTsys = f(casm) при Cs = 0.50 CvTsys = f(casm) при Cs = 1.00 CvTsys = f(casm) при Cs = 1.50 CvTsys = f(casm) при Cs = 2.00 Фиг. 11. Коефициент на вариация на времето за престой в отворена балансирана мрежа от СМО 24

28 Коефициент на вариация на на броя на заявките в отворена балансирана мрежа от СМО в зависимост от коефициентите на вариация на входящия поток и на времето за обслужване 0,70 0,60 0,50 CvLsys 0,40 0,30 0,20 0,10 0,00 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50 1,75 2,00 2,25 Casm CvLsys = f(casm) при Cs = 0.00 CvLsys = f(casm) при Cs = 0.50 CvLsys = f(casm) при Cs = 1.00 CvLsys = f(casm) при Cs = 1.50 CvLsys = f(casm) при Cs = 2.00 Фиг. 12. Коефициент на вариация на броя на заявките в отворена балансирана мрежа от СМО 6.2. Резултати за небалансирана открита мрежа Аналогично на резултатите за сценарий 1 балансирана мрежа, са приведени резултатите за сценарий 2 - небалансирана мрежа. В таблица 5 са приведени резултатите за сценарий 2, а на фигури 13, 14, 15, 16, 17 и 18 - зависимостите на параметрите на цялата мрежа от коефициентите на вариация на интервалите на входящия поток в мрежата и на времената на обслужване: - средна стойност на престоя на заявките в мрежата фиг. 13; - средно квадратично отклонение на престоя на заявките в мрежата - фиг. 14; - средна стойност на броя на заявките в мрежата - фиг. 15; - средно квадратично отклонение на броя на заявките в мрежата - фиг. 16; - коефициент на вариация на престоя на заявките в мрежата - фиг. 17; - коефициент на вариация на броя на заявките в мрежата - фиг

29 Резултати от моделирането на не балансирана открита мрежа (сценарии 2) табл. 5 Ca Cs = 0,00 Cs = 0,50 Casm Tsys σtsys CvTsys Lsys σlsys CvLsys Casm Tsys σtsys CvTsys Lsys σlsys CvLsys 0,00 0,00 6,00 4,52 0,75 9,00 2,92 0,32 0,00 7,49 6,07 0,81 11,24 4,05 0,36 0,50 0,50 6,35 5,01 0,79 9,51 3,71 0,39 0,50 7,85 6,47 0,82 11,78 4,73 0,40 1,00 1,00 7,52 6,68 0,89 11,27 6,09 0,54 1,00 8,89 7,70 0,87 13,33 6,62 0,50 1,50 1,50 9,10 8,60 0,95 13,65 8,48 0,62 1,49 11,13 11,24 1,01 16,72 10,71 0,64 2,00 2,02 11,41 11,46 1,00 17,05 11,78 0,69 1,99 13,20 13,48 1,02 19,82 13,49 0,68 Ca Cs = 1,00 Cs = 1,50 Casm Tsys σtsys CvTsys Lsys σlsys CvLsys Casm Tsys σtsys CvTsys Lsys σlsys CvLsys 0,00 0,00 11,31 9,96 0,88 16,97 6,72 0,40 0,00 18,12 18,21 1,01 27,19 13,20 0,49 0,50 0,50 11,70 10,28 0,88 17,57 7,28 0,41 0,50 17,28 16,13 0,93 25,93 11,43 0,44 1,00 1,00 13,22 13,10 0,99 19,82 11,04 0,56 1,00 19,55 20,35 1,04 29,30 16,55 0,56 1,50 1,49 15,37 15,71 1,02 23,07 14,39 0,62 1,50 23,33 25,84 1,11 34,90 22,83 0,65 2,00 1,99 17,76 19,22 1,08 26,66 18,41 0,69 2,02 23,97 25,48 1,06 35,95 23,16 0,64 Ca Cs = 2,00 Casm Tsys σtsys CvTsys Lsys σlsys CvLsys 0,00 0,00 26,14 25,19 0,96 39,21 17,31 0,44 0,50 0,50 26,21 25,66 0,98 39,34 18,26 0,46 1,00 1,00 28,18 27,90 0,99 42,23 21,04 0,50 1,50 1,51 30,77 31,94 1,04 46,20 26,00 0,56 2,00 2,00 34,20 37,06 1,08 51,26 32,37 0,63 Време за престой в отворена небалансирана мрежа от СМО в зависимост от коефициентите на вариация на входящия поток и на времето за обслужване Tsys , , , ,14 26, ,33 23, , ,12 17, , ,76 13,22 13, ,31 11,70 11, ,89 11,41 7,49 7,85 8 9,10 6 7,52 4 6,00 6, ,00 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50 1,75 2,00 2,25 Tsys = f(casm) при Cs = 0.00 Tsys = f(casm) при Cs = 0.50 Tsys = f(casm) при Cs = 1.00 Casm Tsys = f(casm) при Cs = 1.50 Tsys = f(casm) при Cs = 2.00 Фиг. 13. Средно време за престой в отворена небалансирана мрежа от СМО 26

30 σtsys ,19 18,21 9,96 6,07 Средноквадратично отклонение на времето за престой в отворена небалансирана мрежа от СМО в зависимост от коефициентите на вариация на входящия поток и на времето за обслужване 25,66 16,13 10,28 6,47 4,52 5,01 27,90 20,35 13,10 7,70 6,68 31,94 25,84 25,48 0 0,00 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50 1,75 2,00 2,25 15,71 11,24 8,60 19,22 13,48 11,46 37,06 σtsys = f(casm) при Cs = 0.00 σtsys = f(casm) при Cs = 0.50 σtsys = f(casm) при Cs = 1.00 Casm σtsys = f(casm) при Cs = 1.50 σtsys = f(casm) при Cs = 2.00 Фиг.14.Средно квадратично отклонение на времето за престой в отворена небалансирана мрежа от СМО 55 Среден брой заявки в отворена небалансирана мрежа от СМО в зависимост от коефициентите на вариация на входящия поток и на времето за обслужване 50 46,20 51, ,21 39,34 42,23 34,90 35,95 Lsys ,19 25,93 16,97 17,57 29,30 19,82 23,07 16,72 26,66 19, ,24 11,78 9,00 9,51 13,33 11,27 13,65 17,05 0 0,00 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50 1,75 2,00 2,25 Lsys = f(casm) при Cs = 0.00 Lsys = f(casm) при Cs = 0.50 Lsys = f(casm) при Cs = 1.00 Casm Lsys = f(casm) при Cs = 1.50 Lsys = f(casm) при Cs = 2.00 Фиг. 15. Среден брой заявки в отворена небалансирана мрежа от СМО 27

31 Средноквадратично отклонение на броя на заявките в отворена небалансирана мрежа от СМО в зависимост от коефициентите на вариация на входящия поток и на времето за обслужване 32, ,04 26,00 22,83 23,16 σlsys 20 18,26 18,41 17,31 16,55 14, ,20 13,49 11,43 11,04 10, ,78 6,72 7,28 6,62 5 4,05 8,48 4,73 6,09 2,92 3,71 0 0,00 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50 1,75 2,00 2,25 Casm σlsys = f(casm) при Cs = 0.00 σlsys = f(casm) при Cs = 0.50 σlsys = f(casm) при Cs = 1.00 σlsys = f(casm) при Cs = 1.50 σlsys = f(casm) при Cs = 2.00 Фиг.16. Средно квадратично отклонение на броя на заявките в отворена небалансирана мрежа от СМО коефициент на вариация на времето за престой в отворена небалансирана мрежа от СМО в зависимост от коефициентите на вариация на входящия поток и на времето за обслужване 1,3 1,1 0,9 CvTsys 0,7 0,5 0,3 0,00 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50 1,75 2,00 2,25 CvTsys = f(casm) при Cs = 0.00 CvTsys = f(casm) при Cs = 0.50 CvTsys = f(casm) при Cs = 1.00 Casm CvTsys = f(casm) при Cs = 1.50 CvTsys = f(casm) при Cs = 2.00 Фиг. 17. Коефициент на вариация на времето за престой в отворена небалансирана мрежа от СМО 28

32 0,8 Коефициент на вариация на броя на заявките в отворена небалансирана мрежа от СМО в зависимост от коефициентите на вариация на входящия поток и на времето за обслужване 0,7 0,6 0,5 σlsys 0,4 0,3 0,2 0,1 0,0 0,00 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50 1,75 2,00 2,25 Casm CvLsys = f(casm) при Cs = 0.00 CvLsys = f(casm) при Cs = 0.50 CvLsys = f(casm) при Cs = 1.00 CvLsys = f(casm) при Cs = 1.50 CvLsys = f(casm) при Cs = 2.00 Фиг. 18. Коефициент на вариация на броя на заявките в отворена небалансирана мрежа от СМО 6.3. Изследване на ефекта от балансиране на натоварването на отделните СМО в откритата мрежа Какъв е ефекта от балансиране на натоварването на отделните СМО? За да се отговори на този въпрос е необходимо да се съпоставят получените резултати за двата сценария - балансирана и небалансирана открита мрежа от СМО. В табл. 6 са приведени съотношенията на резултатите от двата сценария - балансирана и небалансирана открита мрежа от СМО, които са илюстрирани на фигури от 19 до

33 Отношение на резултатите от моделирането балансирана към небалансирана мрежа Отношение на резултатите на балансирана към небалансирана мрежа от СМО табл.6 Ca Cs = 0,00 Cs = 0,50 Tsys σtsys CvTsys Lsys σlsys CvLsys Tsys σtsys CvTsys Lsys σlsys CvLsys 0,0 0,84 0,86 1,03 0,84 0,67 0,80 0,79 0,75 0,96 0,79 0,60 0,76 0,5 0,82 0,83 1,01 0,82 0,67 0,82 0,77 0,72 0,94 0,77 0,61 0,79 1,0 0,76 0,67 0,88 0,76 0,60 0,80 0,74 0,65 0,88 0,74 0,64 0,86 1,5 0,69 0,56 0,80 0,69 0,59 0,86 0,66 0,50 0,76 0,66 0,54 0,82 2,0 0,62 0,48 0,78 0,61 0,57 0,92 0,62 0,47 0,76 0,62 0,57 0,91 Ca Cs = 1,00 Cs = 1,50 Tsys σtsys CvTsys Lsys σlsys CvLsys Tsys σtsys CvTsys Lsys σlsys CvLsys 0,0 0,73 0,66 0,91 0,73 0,57 0,77 0,67 0,56 0,85 0,67 0,49 0,73 0,5 0,73 0,66 0,91 0,73 0,60 0,83 0,72 0,68 0,94 0,72 0,63 0,88 1,0 0,69 0,55 0,79 0,69 0,52 0,76 0,66 0,54 0,82 0,66 0,52 0,79 1,5 0,66 0,52 0,78 0,66 0,54 0,82 0,61 0,48 0,79 0,61 0,48 0,79 2,0 0,63 0,47 0,74 0,63 0,55 0,87 0,64 0,54 0,83 0,64 0,58 0,91 Ca Cs = 2,00 Tsys σtsys CvTsys Lsys σlsys CvLsys 0,0 0,68 0,64 0,94 0,68 0,62 0,92 0,5 0,69 0,63 0,92 0,69 0,61 0,89 1,0 0,66 0,61 0,92 0,66 0,62 0,93 1,5 0,63 0,55 0,88 0,62 0,57 0,92 2,0 0,61 0,51 0,83 0,61 0,55 0, Отношение на средното време за престой - балансирана към небалансирана открита мрежа от СМО Tsys rato 0,85 0,83 0,84 Съотношение между времената за престой в отворена балансирана и небалансирана мрежи от СМО в зависимост от коефициентите на вариация на входящия поток и на времето за обслужване 0,82 0,80 0,78 0,75 0,73 0,70 0,68 0,65 0,63 0,79 0,77 0,76 0,74 0,73 0,73 0,72 0,69 0,69 0,68 0,69 0,66 0,66 0,67 0,66 0,66 0,64 0,63 0,63 0,62 0,62 0,61 0,61 0,60 0,00 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50 1,75 2,00 2,25 Tsys = f(casm) при Cs = 0.00 Tsys = f(casm) при Cs = 0.50 Tsys = f(casm) при Cs = 1.00 Casm Tsys = f(casm) при Cs = 1.50 Tsys = f(casm) при Cs = 2.00 Фиг. 19. Отношение на средните времена за престой в мрежата от СМО-балансирана/небалансирана 30

34 Отношение на средно квадратичните отклонения на времената за престой - балансирана към небалансирана открита мрежа от СМО σtsys rato 0,90 0,85 0,86 Съотношение между средноквадратичните отклонения на времената за престой в отворена балансирана и небалансирана мрежи от СМО в зависимост от коефициентите на вариация на входящия поток и на времето за обслужване 0,83 0,80 0,75 0,75 0,72 0,70 0,66 0,68 0,67 0,65 0,64 0,66 0,65 0,60 0,63 0,61 0,56 0,55 0,56 0,54 0,55 0,52 0,54 0,55 0,51 0,50 0,50 0,48 0,45 0,48 0,47 0,47 0,00 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50 1,75 2,00 2,25 Casm σtsys = f(casm) при Cs = 0.00 σtsys = f(casm) при Cs = 0.50 σtsys = f(casm) при Cs = 1.00 σtsys = f(casm) при Cs = 1.50 σtsys = f(casm) при Cs = 2.00 Фиг. 20. Отношение на средно квадратичните отклонения на времената за престой в мрежата от СМО балансирана към небалансирана мрежа от СМО Отношение на средния брой заявки в мрежата - балансирана към небалансирана открита мрежа от СМО Lsys rato 0,85 0,83 0,84 Съотношение между средния брой заявки в отворена балансирана и небалансирана мрежи от СМО в зависимост от коефициентите на вариация на входящия поток и на времето за обслужване 0,82 0,80 0,79 0,77 0,78 0,76 0,75 0,74 0,73 0,73 0,73 0,72 0,70 0,69 0,69 0,69 0,68 0,68 0,66 0,66 0,67 0,65 0,64 0,66 0,63 0,62 0,63 0,62 0,61 0,60 0,61 0,61 0,00 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50 1,75 2,00 2,25 Lsys = f(casm) при Cs = 0.00 Lsys = f(casm) при Cs = 0.50 Lsys = f(casm) при Cs = 1.00 Casm Lsys = f(casm) при Cs = 1.50 Lsys = f(casm) при Cs = 2.00 Фиг. 21. Отношение на средния брой заявки в мрежата - балансирана към небалансирана открита мрежа от СМО 31

35 Отношение на средно квадратичните отклонения на броя на заявките в мрежата - балансирана към небалансирана открита мрежа от СМО SgmaLsys rato 0,70 0,68 Съотношение между средноквадратичните отклонения на броя на заявките в отворена балансирана и небалансирана мрежи от СМО в зависимост от коефициентите на вариация на входящия поток и на времето за обслужване 0,67 0,67 0,65 0,63 0,64 0,63 0,62 0,61 0,62 0,60 0,60 0,60 0,60 0,59 0,58 0,57 0,58 0,57 0,57 0,55 0,57 0,54 0,55 0,55 0,53 0,52 0,54 0,52 0,50 0,49 0,48 0,48 0,00 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50 1,75 2,00 2,25 σlsys = f(casm) при Cs = 0.00 σlsys = f(casm) при Cs = 0.50 σlsys = f(casm) при Cs = 1.00 Casm σlsys = f(casm) при Cs = 1.50 σlsys = f(casm) при Cs = 2.00 Фиг. 22. Отношение на средно квадратичните отклонения на брой заявки в мрежата - балансирана към небалансирана открита мрежа от СМО Най-общо ефекта от балансиране на мрежата за различните обобщени резултати е в границите на 15% - 40% за средните характеристики - престой и брой заявки в откритата мрежа от СМО и 15% - 60% за средно квадратичните отклонения на средните обобщени характеристики. Най-малък е ефекта при детерминиран входящ поток и максимален коефициент на вариация на времето за обслужване C s = 2. Ако се ограничи диапазона изменение на коефициентите на вариация на входящия поток и времената за обслужване в интервала от 0 до 1, което в повечето случаи отговаря на неравномерността на реалните процеси, тогава ефекта от балансирането е в границите 15% - 30% за средните характеристики, 15% - 40% за средно квадратичното отклонение на престоя в мрежата и 20% - 40% за средно квадратичното отклонение на броя на заявките в мрежата. Най-значителен е ефекта при максималните стойности на коефициентите на вариация на входящия поток и времената за обслужване. Това показва, че откритата мрежа, като система, има съществен изглаждащ неравномерността ефект Изследване на ефекта на изглаждане на вариабилността на обобщените показатели за работа на откритата мрежа от СМО Тази част от изследването е начална фаза за по-детайлни проучвания на зависимостта на обобщените показатели на мрежата престой в мрежата и среден брой заявки в нея от коефициента на вариация на входа в мрежата C a и коефициентите на вариация (приет за еднакъв ) за всички СМО в мрежата C s. За изходна база са използвани резултатите от сценарий - балансирана открита мрежа от СМО, за която са приведени получените резултати в табл

36 КОМПЛЕКСЕН ИМИТАЦИОНЕН МОДЕЛ НАА ОТВОРЕНИ МРЕЖИ ОТ СИСТЕМИ ЗА МАСОВО ОБСЛУЖВАНЕ С ПРОИЗВОЛНА От получените резултати с използването на регресионния анализ, за обобщените показатели за работата на мрежата T sys и L sy ys са получени зависимости от обобщения коефициент на вариация на мрежата K формули (10) и (11) и фиг. 233 и фиг. 24. За обобщения коефициент на вариация K предварително е изведена зависимостз от входящия поток в мрежатаа C a и коефициента на вариация на времето за обслужване на отделните СМО в мрежата C s - формула (9). Ca Cs k (9) 2 1, ; 2, (10) Tsys5,5977,392 k (11) Lsys8,38911,0 09k R 2 0,, 976 R 2 0,975 Tsys Зависимост на средния престои в мрежата-timeinsys от обобщения коефициент на вариация K Tsys=f(K) TIMEINSYS= 5, ,392K R² = 0, ,5 1 1,5 2 2,5 Обобщен коефициент на вариация К 3 3,5 4 Tsys Tsys евр. Модел Lnear (Tsys) Фиг.23. Зависимост на средния престой в мрежатаа T sys от обобщения коефициент на вариация k Фиг. 24. Зависимост на средния брой заявки в мрежата L sys от обобщения коефициент на вариация в k 33

37 Влиянието на коефициента на вариация на времето за обслужване е значително поголямо от това на входящия поток в мрежата и както е видно от фиг. 25 зависимостта на коефициента К от C s e нелинейна, а от C a - линейна. Зависимост на обобщения коефициент на вариация k f(ca,cs) 4,0 3,5 K=f(ca,Cs) 3,0 2,5 2,0 1,5 1,0 0,5 0,0 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 кофициент на вариация на времената на обслужване Cs ca=0,5 ca=0 ca=1 ca=1,5 ca=2 Фиг. 25. Зависимост на обобщения коефициент на вариация К = f(ca, Cs) След анализ на получените регресионни зависимости на T sys и L sys се установи, че те практически могат да се изразят в евристичен модел като функция на обобщените характеристики на мрежата T sys и L sys в детерминирана мрежа (C a = 0, C s = 0) - Lsysdet и в експоненциална мрежа (C a = 0, C s = 0) - Lsys exp, с тегла зависещи само от обобщения коефициент на вариация К формули (12), (13), (14) и (15) и фиг. 23 и 24. (12) Lsys k. Lsys( Ca 1, Cs 1) (1 k) Lsys( Ca 0, Cs 0) (13) Lsys k. Lsysexp (1 k) Lsysdet (14) Tsys k. Tsys( Ca 1, Cs 1) (1 k) Tsys( Ca 0, Cs 0) (15) Tsys k. Tsysexp (1 k) Tsysdet Необходимо е да се отбележи, че и при детерминирания вариант на мрежата, когато интервалите на входящия поток от външната среда и времената за обслужване в отделните СМО са постоянни, възниква стохастичен ефект за отделните СМО. Този ефект се дължи на 34

38 случайния характер на разпределение на външния входящ поток към дадена СМО в мрежата (в разглеждания пример това са СМО 1, 2 и 3 на фиг. 2), който се обуславя от матрицата на преходите с елементи q j - вероятността изходящата от СМО заявка да постъпи в СМО j. Този стохастичен ефект се увеличава с нарастване на сложността на мрежата. Сложността на мрежата се обуславя от няколко параметъра: значителен брой СМО с възможности за преход, т.е. последващо обслужване в няколко други СМО; наличието на обратни връзки, които осъществят преход в СМО, в които вече е било реализирано обслужване на тази заявка (транзакт). Най-общо, колкото по-плътна и с по-голяма размерност е матрицата на преходите, толкова по-сложна е мрежата. За разглежданата мрежа коефициент на стохастичност на мрежата - K net може да се определи като отношение на средния брой в мрежата Lsys det (C a = 0, C s=0 ), към сумата от 9 натоварванията на отделните СМО - 5, 42 (хипотеза да няма чакане в отделните СМО, а само обслужване), т.е.: 1 Lsysdet 2 (16) Knet 1, 1, Подходът за установяване на регресионни зависимости на средно квадратичните отклонения на престоя (R 2 =0,9585-коефициент на корелация R = 0,979 за σ Тsys =f(k) ) и на броя на заявките в мрежата (R 2 =0,8822 т.е. R = 0,939 за σ Lsys =f(k) ) - фиг. 26, е подобен на този за средните стойности. Корелационните зависимости (формули (17) и (18)) са: (17) Tsys f ( K) 4,47498,129k R 2 0, 9585 (18) Lsys f ( K) 3,9402 6,5432k R 2 0,

39 КОМПЛЕКСЕН ИМИТАЦИОНЕН МОДЕЛ НАА ОТВОРЕНИ МРЕЖИ ОТ СИСТЕМИ ЗА МАСОВО ОБСЛУЖВАНЕ С ПРОИЗВОЛНА Фиг. 26. Зависимост на средно квадратичното отклонение на σlsys=f(k) L и σ Т Тsys=f(K) от обобщения коефициент на вариация К Видно от фиг. 26, за зависимостта на средно квадратичното отклонениее на престоя в мрежата от обобщения коефициент наа вариация може да сее приложи аналогичен модел, като за средната стойност на престоя, при К определен по формула ф (9) и получените σ Тsy детерминирана и експоненциална мрежа: (19) Tsys k. Tsys exp p ( 1 k) Tsys det Този начален анализ на възможността за установяване на аналитични зависимостии на резултативните показатели за з цялата мрежа, в зависимост от о ключовии входни параметри, има за цел да установи, че разработениятт модел има значителен потенциал за по-задълбочено изследване и установяване на аналитични зависимости, с разширяване на обхватаа на сценариите в няколко направления: ys за различни натоварвания на СМО в мрежата; различни коефициенти на вариация на входящите потоци; различни по структура откритии мрежи от СМО; извеждане на показатели за сложност на мрежата. 36