Microsoft Word _bg.docx

Препис

1 Механика Транспорт ISSN (prit ISSN (olie Комуникации том 4, брой, 06. Научно списание статия 7 ФОРМАЛНИ МОДЕЛИ И АЛГОРИТМИ ЗА ИЗСЛЕДВАНЕ НА ЕФЕКТА ОТ СТРУКТУРНИЯ ИЗЛИШЪК В МАЖОРИТАРНИ СИСТЕМИ Мария Христова mhristova@vtu.bg Висше транспортно училище Тодор Каблешков София 574, ул. Гео Милев 58 БЪЛГАРИЯ Ключови думи: мажоритарна система, отказоустойчиви системи, структурен излишък, надеждност, отовност, средно време между откази Резюме: Един от двата принципа, на които се израждат критичните по безопасност системи (Safety Critical Systems е отказоустойчивостта (Faulttolerace. В статията са моделирани и изследвани к системи, в частност мажоритарните 3 (Triple modular redudacy и 3 5, които са типичен представител на Fault-tolerace принципа. Целта на изследването е да се изведат математически модели, чрез които да се оцени количествено влиянието на съдържащия се в структурата излишък върху средното време между отказите на системата, както и да се предложи алоритъм и се извършат изчисления за установяване на ефективността на излишъка. Въведена е сравнителна величина ξ, която оценява как се изменя времевият показател в зависимост от праа на мажоритарност и надеждността на елементите, от които тя е израдена. Изведени са нови формули и са установени зависимости между търсените cредни времена и влияещите им величинипараметрите на структурния излишък k и и коефициента на отовност на радивните единици. Намерено е, че при отовност на структурния елемент, израждащ системата, по-малка от някакъв пра, ефектът от излишъка се уби. Направен е изводът, че разходите за структурен излишък са изодни, но само при достатъчно висока първоначална надеждност на радивните единици, от които са съставени системите.. Постановка на проблема Предмет на моделиране и изследване в тази статия е клас системи, известни като мажоритарни отказоустойчиви системи (структури []. Мажоритарни са структури, състоящи се от подсистеми (радивни единици, канали с еднакво предназначение, всяка от които има зададената на системата функционалност и работоспособността й зависи от т. нар. кворум-функция. Числото на кворума (критерият за вярност k показва броя на работоспособните подсистеми. Мажоритарната система е работоспособна, коато 0-

2 ( k, а ( r k е структурен излишък.уравнения ( и ( са валидни за просто мажоритиране. С мажоритарни структури на базата на изходната радивна единица (микрокомпютър, контролер, софтуерна прорама се постиа висока надеждност, но с няколкократно по-висок хардуерен и/ или софтуерен ресурс []. Доколко този ресурс е ефективен зависи от подобрението на надеждността и режима на работа на системата. Тук ефектът е обозначен с и е въведен като величина, която показва колко по-дълъ живот ще има системата в сравнение със средното време между отказите на радивната единица, която може да извърши същата функция. Входният вектор X i (x, x, x v (фи. в даден момент се подава за обработка на всички мажоритиращи канали (радивни единици, където е мярка за излишъка. Изходните резултати във вид на двоични вектори се сравняват в мажоритиращото устройство M и ако k от тях ( k, извеждат еднакви вектори Y i, системата валидира за верен изходящия вектор Y i. Тя се приема за работоспособна и остава работоспособна, коато след отказ отпаднат един, два или повече канала до достиане на k отказа. При повече откази се нарушава критерият за вярност и мажоритарната структура става неработоспособна. При възстановими системи олемият излишък (коато >5 уби смисъл, защото времето за наработка до отказ MTTF k (месеци, одини е стотици и хиляди пъти поолямо от времето на възстановяване на отказалата единицаt в (час-два. За това късо време е малко вероятно да настъпят откази, та да се стине до неработоспособност, която може да се предотврати с по-дълбокото резервиране. Ето защо практически не се прилаат структури с мноо олям излишък, който освен друото и повишава цената на надеждността. Най-често се свежда до пределния минимум на мажоритарните системи, т.нар. Triple modular redudacy - система 3, или при особено високи изисквания - система 3 5. Поради това настоящият анализ е ораничен в рамките на 3 и 3 5 системи. X i Y M Y i Y Y Фи. Мажоритарна структура Целта на настоящото изследване е да се изведат математически модели, чрез които да се оцени количествено влиянието на съдържащия се в структурата излишък върху средното време между отказите на системата, както и да се установят зависимости между показателя за надеждност и олемината на излишъка. 0-

3 . Обобщение на известното от литературните проучвания По проблема за моделирането на надеждността на мажоритарните системи има публикации, които позволяват да се обхванат и опишат техните характеристики [,, 3]. Тази статия се основава на известни научни резултати, но намира отовори на още неизследвани въпроси с практическа значимост. В литературата е намерен математическият модел на надеждността P k (t на изследваните системи в зависимост от вероятността за безотказна работа p, респ. от верятността за отказ q p, на структурните им единици (прието е да са равнонадеждни [5]: ( P v 3 ( t = p p q, ( P3 v 5 ( t = p 5 p q 0 p q, t където p( t e при интензивност на отказите cost и t нароботка на отказ (време. По тези формули са проведени изчисления за зависимостите P k (t. Установено е, че след определена точка t кр надеждността на системата става по-малка под тази на елементите, от които са израдени. В зависимост от средното време на живот MTBF на елементите са изведени формули за средното време за наработка на отказ MTTF на невъзстановими системи и s средното време между отказите MTBF на възстановими системи. В контекста на s настоящото изследване заслужават внимание резултатите за възстановимите системи. Установено е, че в общия случай средното време MTBFk между отказите на системата k от e: MTBF (3 MTBFk, H k s k k ( k където е коефициентът на отовност. За система 3 : MTBF (4 MTBF 3, H s 6 ( а за система 3 5 : MTBF MTBF ( ( 3. Моделиране на ефекта от излишъка върху времето на живот на мажоритарните системи 3. Формален модел Новите изследвания в тази статия по-нататък ползват вече установените научни резултати от предишни авторски публикации, както и на такива от друи автори. Както бе отбелязано, за да се установи ефектът от излишъка върху времето на живот на системата, се въвежда сравнителна величина. Тя е число, което се дефинира като отношение на средното време между отказите на мажоритарната система MTBF към средното време между отказите на елементите й MTBF : k 0-3

4 MTBF (6 k. MTBF В общия случай, като се замести от (3 в (7, за ефекта от излишъка върху времето на живот на мажоритарната система, т.е. за подобрението, което той внася, се намира: (7 (8 k k k ( k k Приложена за система 3, тази формула се редуцира на: 3. 6 ( За система 3 5 : 30 (9 35. ( Нека се изследват функциите ( 3 и 35 (. 3. Изследване на система Изследване на функцията 3 ( Ако аналитичният израз за подобрението на времето на живот (8 се изследва по методите на математическия анализ, ще се установи, че 3( намалява с коефициента на отовност на елементите, от които е създадена системата. Видно е, че функцията е екстремална: тя има минимум при някаква критична стойност на коефициента на отовност на структурния елемент kr и стойности 3, коато и 0. Освен това при друи две характерни стойности на отовността ( r и r подобрението се нулира ( 3, което означава, че времето на живот на системата се изравнява с това на елемента. 3.. Определяне на кр За да се намери критичната най-ниска стойност на отовността, уравнение (8 трябва да се изследва по минимаксния метод за определяне на екстремум. По-лесно, а равнозначно, е решението чрез анулиране на първата производна на функцията в знаменателя ( : d (0 kr3 6 6 ( 0 d = 0,5 ( 0., 3..3 Определяне на r и r Ефектът от излишъка е нулев, коато в уравнение (8 се положи 3 6 (. Това е условието, при което MTBF3 MTBF. Моат да се намерят стойностите на отовността, за които се изпълнява това условие. Изразът се редуцира до квадратното уравнение: 0-4

5 ( 6 6 0, корените на което са: r = 0,789 и r = 0,. При тези стойности се достиа до средно време между отказите на системата, равно на това на елементите: MTBF 3 MTBF. При стойности на отовността, обичайни за компютърно-базираните структурни елементи = 0,999 подобрението е 3 66, т.е. толкова пъти по-дълъ живот. Независимо от този мноо силен ефект на подобрение при висока надеждност, коато отовността намалява, рязко пада и подобрението. Най-ниско е то при критичната стойност кр. 3.3 Изследване на система 3 5 Изследването на 35 ( е направено по същия ред Определяне на кр Търсят се екстремалните точки на знаменателя на (9 30 (. d 30 ( 0 d 30. ( 30.( 0 ; ( 0, ( kr35 = 0,5 Т.е., критичната точка е при същата стойност на отовността. Замествайки в (9 намираме, че минималната точка, до която ще стине отношението е: 0, Определяне на критичните точки Стиа се до уравнението от 4-та степен: 30 ( 0 ; Заслужават интерес само корените на квадратното уравнение: Те са: r = 0, и r = 0,7889. Друите два са имаинерни. 4. Алоритъм за изчисление на относителното подобрение на средното време между отказите на мажоритарната система Въз основа на изведените в т.3 модели за оценяване на ефекта от излишъка върху средното време между отказите на мажоритарните системи може да се състави и алоритъм за изчисление на относителното подобрение k на мажоритарни структури от типа k. На фи.. е предложена блок-схема на алоритъма. Входните данни съдържат стойности на коефициента на отовност, представляващи практически интерес, напр. 0,9 0, Изчислителният процес е цикличен и алоритъмът има два вложени цикъла. Вътрешният от тях е по. При зададени начални стойности на k и по (7 се изчисляват значенията на k за всички стойности на 0,9 0,

6 Начало, x, =3 k= + =0,9 x= = +0 -x.0,9 k (! k!( k! k ( k x=x+ x<6 да не =+ <9 да не k Край Фи.3 Алоритъм за изчисления на относителното подобрение на времето MTBF 0-6

7 След това се преминава към външния цикъл, коато се сменя k. За да е мажоритарна, структурата трябва да има число на кворум функцията: (3 k et. k. За се задават стойности, представляващи интерес, най-вече в диапазона 39 (с нарастване. Теоретически интерес може да представляват и по-олеми стойности, но алоритъмът не се променя. 5. Резултати от проведените изчисления и рафични интерпретации Функцията ( 3 е рафично интерпретирана на фи. 3 и фи. 4. За фи. 3 изчисленията са направени като в алоритъма стъпката на нарастване на К е 0,, а на фи. 4 е 0 -x.0,9. При оляма надеждност на структурната единица p тя има мноо висока стойност 3. При = 0,5 отношението достиа до минималната си стойност 3 0,666 и отново нараства симетрично спрямо тази минимална точка. Поради малките стойности на отовността 0, 5, каквито не се срещат в практиката, кривата не представлява практически интерес при по-нататъшния си ход. От направените изследвания се вижда, че и двете мажоритарни системи имат едни и същи качества и принципно не се различават. С увеличаване на излишъка от 3 на 3 5 се подсилват характерните особености: нараства ефектът на подобрение, но само при високите стойности на надеждността на радивния компонент, а при ниски стойности надеждността се влошава под тази на 3. ξ v3 3V Фи. 3 Увеличаване на времето на живот на мажоритарната система в зависимост от отовността на структурно израждащия елемент Най-силен ефект от излишъка, стотици хиляди пъти по-дълъ живот, се получава при стойности, близки до, т.е. при мноо висока отовност на радивния 0-7

8 елемент. Тъй като при линеен мащаб на фи. 3 това не може да се отчете, тази част от кривите е показана на фи. 4 в десетичен лоаритмичен мащаб, в който 3 ( става почти линейна зависимост с наклон, нарастващ пропорционално на праа на мажоритарност k. ξ E Серия Серия К Фи.4 3( в лоаритмичен мащаб Изводи. Колкото отовността на елемента е по-малка, толкова по-слаб елемент надеждността на е ефектът от излишъка. При малки стойности на отовността на радивния системата намалява и става по ниска от нея. При 0, 5 се стиа до там, че системата 3 става по-ефективна от система При висок коефициент на отовност 0, 9999 времето на живот на мажоритарната система в сравнение с този на радивните й компоненти се увеличава на няколкоо порядъка: за 3 666,8, Заключение В резултатт от проведените изследвания на ефекта от структурния излишък в мажоритарни системи са установени нови зависимости, позволяващи да се изчисли повишението на времето между отказите на мажоритарн ната система в сравнение с времето между отказите на израждащия я елемент със същите функции. Предложен е алоритъм за провеждане на изчислителния процес. Получени са рафични резултати, които позволяват да се направи заключението, че мажоритарните системи имат олям ефект в повишаването на надеждността и разходите за структурен излишък са изодни само при достатъчно висока първоначална надеждност на радивните единици, от които са съставени. Литература [] P. A. Lee, T. Aderso, Fault Tolerace: Priciples ad Practice, Spriger Sciecee & Busiess Media, pp. 5-6, 0 [] Redudat System Basic Cocepts, 008, Natioal Istrumets, [3] Черкасов Г.Н. Надежность аппаратно-прораммнных комплексов, Издательство Питер, ISBN ,

9 [4] Hristov H., G.Popov, M. Hristova, Comparative Reliability Aalysis for Fault-Tolerat Microprocessor Structures, Proceedigs of the Secod Iteratioal Scietific Coferece Computer Sciece, Greece, pp , 005 [5] Христов Хр., М. Христова, Моделиране на надеждността на отказоустойчиви системи с хомоенно резервиране, Научно списание Механика, Транспорт и Комуникации, ISSN 3-383, том, бр. 3, статия 086, 03 FORMAL MODELS AND ALGORITHMS FOR EXAMINING THE EFFECT OF STRUCTURAL REDUNDANCY OF MAJORITY SYSTEMS Mariya Hristova Todor ableshkov Uiversity of Trasport 574 Sofia, Geo Milev str. 58 BULGARIA ey words: majoritary system, Fault-tolerat Systems, Safety Critical Systems (SCS, fail-safe systems, structural redudacy, reliability, availability, mea time betwee failures Abstract: Oe of two priciples which build critical safety systems (Safety Critical Systems is fault tolerace (Fault-tolerace. I the article are modeled ad tested k systems, i particular the majority 3 (Triple modular redudacy ad 3 5, which are typical of the Fault-tolerace priciple. The aim of the study is to derive mathematical models by which to quatify the impact of the structure cotaied i the surplus o the mea time betwee failures of the system ad to propose a algorithm ad perform calculatios to verify the effectiveess of the redudacy. A comparative value ξ is itroduced, which assesses the chage i the time idicator, depedig o the verge of majority ad reliability of the elemets of which it is built. New formulas are derived ad relatioships are determied betwee the times sought ad their ifluecig values - the parameters of the structural rdudacy k ad ad the coefficiet of availability of the buildig elemets. It is foud that whe the level of readiess of the structural elemet that builds the system is lower tha a established threshold, the excess effect is lost. It is cocluded that the costs of structural redudacy are beeficial, but oly at sufficietly high iitial reliability of the buildig uits that make up the system. 0-9