Microsoft Word - VypBIOL-16-MKTeoria.doc

Препис

1 ВЪПРОС 16 МОЛЕКУЛНОКИНЕТИЧНА ТЕОРИЯ НА ИДЕАЛЕН ГАЗ. РАЗПРЕДЕЛЕНИЕ НА МАКСУЕЛ И НА БОЛЦМАН Във въпроса Молекулнокинетична теория на идеален газ. Разпределение на Максуел и на Болцман вие ще се запознаете със следните величини, понятия и закони, както и с основните единици за измерване: Модел на идеален газ Налягане на молекулите Константа на Болцман Средна кинетична енергия на молекулите Физичен смисъл на абсолютната температура Налягане на газа Степени на свобода Разпределение на енергията по степени на свобода Топлинни капацитети на идеален газ Вътрешна енергия на идеален газ Моларен топлинен капацитет при постоянен обем Моларен топлинен капацитет при постоянно налягане Квантова теория на топлинните капацитети Функция на разпределение Вероятност Най-вероятна скорост Средна аритметична скорост Средна квадратична скорост Зависимост на функцията от температурата Зависимост на атмосферното налягане от височината Барометрична формула Разпределение на Болцман - 1 -

2 1. Модел на идеален газ в молекулнокинетичната теория Молекулите на газовете взаимодействат с консервативни междумолекулни сили на привличане и отблъскване, които по своята природа са електрични сили. При по-големи разстояния между молекулите преобладават силите на привличане. На много малки разстояния бързо нарастват силите на отблъскване. Ефективен диаметър на молекулата Разстоянието между центровете на масите на две молекули, при което резултантната сила на взаимодействие от сила на привличане става сила на отблъскване, се нарича ефективен диаметър на молекулата. Ефективният диаметър се означава с буквата d. При нормални условия средното разстояние между молекулите на газа е много по-голямо от ефективния диаметър на молекулите. Ето защо собственият обем на всички молекули е много по-малък от обема, който газът заема. На такива разстояния междумолекулните сили могат да се пренебрегнат. Най-простият модел, който описва движението и взаимодействието на молекулите на газовете, е моделът на идеален газ. Модел на идеален газ Съгласно модела на идеален газ в молекулнокинетичната теория: 1.Пренебрегва се собственият обем на молекулите..пренебрегва се потенциалната енергия на взаимодействие на молекулите. При идеалния газ: - през по-голяма част от времето молекулите се движат равномерно праволинейно; - те не взаимодействат с междумолекулни сили; - на много малко разстояние една от друга молекулите взаимодействат чрез еластични удари; - продължителността на всеки удар е много по-малка от средното време между два последователни удара; - взаимодействията на молекулите на газа със стените на съда - -

3 също се приемат за еластични удари; - в резултат на всеки удар молекулите променят рязко големината и посоката на скоростта си.. Налягане на идеален газ върху стените на съда Ще пресметнем налягането на газа върху стените на съда. За целта правим следните предположения: -приемаме, че всички молекули на газа са еднакви; -приемаме, че движенията на молекулите по трите оси x,y и, z са равновероятни; -приемаме, че ударите на молекулите в стените на съда, които са причина за налягането на газа, са еластични. За налягането на газа върху стените на съда се получава 1 p = n mv 3 V В тази формула n = / V е концентрация на молекулите (тук е броят на молекулите, а Vе обемът на съда), V v е средната квадратична скорост на молекулите, а m е масата на молекулите. Допълнение Извод на формулата за налягане на идеален газ върху стените на съда Налягане на молекулите Налягането на газа върху стените на съда е право пропорционално на концентрацията на молекулите, на тяхната маса и на средната им квадратична скорост. 1 p = n mv. 3 V - 3 -

4 3. Средна квадратична скорост и средна кинетична енергия на молекулите. Температура Общият брой на молекулите на газа е = n A, където n е броят на моловете, а A е числото на Авогадро. 1 Заместваме в уравнението за налягането p = mv и получаваме 3 V Величината mv pv = na, или 3 pv = naε 3 mv ε = е средната кинетична енергия на постъпателно движение на една молекула на газа. От последното уравнение и от уравнението за състоянието на идеалния газ pv=nrt изразяваме средната кинетична енергия на една молекула mv 3 R 3 ε = = T = kt, 3 където k = R / A = 1,38.10 J/K се нарича константа на Болцман. Константа на Болцман Отношението на универсалната газова константа R и числото на Авогадро A се нарича константа на Болцман R 3 k = = 1,38.10 J/K Средна кинетична енергия на молекулите A Средната кинетична енергия на постъпателно движение на молекулите на идеалния газ е пропорционална на абсолютната температура на газа A ε = 3 kt. От последната формула изразяваме Т: T = 3k ε или T ε Оттук може да се направи извод за физичния смисъл на абсолютната температура: Физичен смисъл на абсолютната температура Абсолютната температура е мярка за средната кинетична енергия на молекулите, т.е. тя е мярка за интензивността на топлинното движение

5 mv 3 От формулата = kt и от формулата за налягането на газа 1 p = mv получаваме 3 V p = kt = nv kt. V Следователно: Налягане на газа Налягането на газа е право пропорционално на концентрацията на газовите молекули и на абсолютната температура на газа p = n kt. V Джеймс Кларк Максуел ( ) Людвиг Едуард Болцман ( ) Симеон Дени Поасон ( ) - 5 -

6 4. Степени на свобода. Кинетична теория на топлинните капацитети 4.1.Степени на свобода В класическата молекулнокинетична теория: - атомите се разглеждат като материални точки; - макроскопичните тела се разглеждат като системи от материални точки; - движението и взаимодействието на атомите се описва със законите на класическата механика. Степени на свобода Броят на независимите координати, чрез които може да се определи положението на всички материални точки от една механична система, се нарича брой на степените на свобода на системата. Примери: 1.Положението на материална точка в пространството се определя с трите координати x,y,z, т.е. тя има три степени на свобода..система от материални точки в пространството има 3 степени на свобода (по 3 степени за всяка материална точка). 3. Едноатомна молекула, която се разглежда като материална точка, има три степени на свобода. 4. Двуатомна молекула, която се разглежда като система от две материални точки с твърда връзка между тях (атомите не извършват трептения), има 5 степени на свобода (три степени на свобода за постъпателно движение и две степени на свобода за въртеливо движение). 5. Двуатомна молекула, която се разглежда като система от две материални точки с еластична връзка между тях, има 7 степени на свобода (три степени на свобода за постъпателно движение, две степени на свобода за въртеливо движение и две степени на свобода за трептеливо движение)

7 4..Равномерно разпределение на енергията по степени на свобода В статистическата физика се доказва следната теорема за равномерно разпределение на кинетичната енергия между частиците на равновесна термодинамична система: Разпределение на енергията по степени на свобода На всяка степен на свобода на една частица съответства еднаква стойност на кинетичната енергия, равна на 1 kt. Ако една частица има i - степени на свобода, нейната средна енергия на топлинно движение е i ε = kt, където Т е абсолютната температура, а k -константата на Болцман. Частиците на едноатомните газове (He, e, Ar) се разглеждат като материални точки с 3 степени на свобода (i = 3).За тях ε = 3 kt. Молекулите на двуатомните газове ( H,, O ), когато не извършват трептения, имат 5 степени на свобода (i = 5) и при тях ε = 5 kt. Важно: Трептенията се характеризират както с кинетична, така и с потенциална енергия. Затова на тази степен на свобода съответства енергия kt (кинетична енергия ε = и потенциална енергия kt kt ε = ). Молекулите на двуатомните газове, които извършват трептене, имат 7 степени на свобода (i=3++, т.е. 3 степени на свобода за постъпателно движение, степени на свобода за въртеливо движение и удвоената степен на свобода за трептене). За тях ε = 7 kt

8 5. Топлинни капацитети на идеален газ 5.1. Класическа теория на топлинните капацитети Броят на молекулите в n-мола идеален газ е = n A. Всяка молекула има средна енергия i ε = kt. Вътрешната енергия на идеалния газ е сума от средната кинетична енергия на всичките негови молекули: i U = ε = na kt. Заместваме Ak = R за вътрешната енергия на n - мола газ получаваме Вътрешна енергия на идеален газ Вътрешната енергия на n - мола идеален газ е i U = nrt. От последното уравнение определяме моларния топлинен капацитет на газа при постоянен обем, който е: du i CV = = R. ndt Моларен топлинен капацитет при постоянен обем Моларният топлинен капацитет на газа при постоянен обем е равен на du i CV = = R. ndt Изобарният моларен топлинен капацитет C p се определя от уравне- = +. От това уравнение и от формулата за C V нието на Майер Cp CV R следва: i + Cp = R. Моларен топлинен капацитет при постоянно налягане Моларният топлинен капацитет на газа при постоянно налягане е равен на C p i + = R. Тогава за коефициента на Поасон се получава Cp i + γ = =. C i За едноатомен газ: V - 8 -

9 i = 3 и γ = 5 / 3 = 1,667. За двуатомен газ с твърда връзка между атомите: i = 5 и 7 / 5 1,4 γ = =. 5..Елементи от квантовата теория на топлинните капацитети Съгласно класическата теория на топлинните капацитети величините C V и C p са правопропорционални на R и не зависят от абсолютната температура T. Тяхната стойност зависи от броя на степените на свобода i. фиг.1 Тези изводи обаче противоречат на експерименталните данни. Например зависимостта Cp( T ) за водород (H ) е представена на p Фиг.1 Вижда се, че стойността на C нараства стъпаловидно с повишаване на температурата. При ниски температури молекулите могат да извършват само постъпателно движение (i = 3) и C = 5 / R. При повишаване на температурата отначало се включват и степените на свобода на въртеливото движение (i = 5), в резултат на което C нараства на Cp = 7 / R. При много високи температури започват да влияят също степените на свобода на трептеливото движение (i = 7), поради което стойността на C става C = 9 / R. p p Обяснението на графиката от фиг.1 се дава в квантовата механика. p p - 9 -

10 6. Функция на разпределение на Максуел. Зависимост на функцията от температурата Обект на изследване от статистическата физика са същите топлинни явления, които се изследват и в термодинамиката. За разлика от термодинамиката обаче тук се търси причината за тези явления, като се изхожда от строежа на телата и се използват основните положения на молекулнокинетичната теория. От гледна точка на молекулнокинетичната теория всяка термодинамична система съдържа огромен брой частици. За да се получи израз за макроскопичните величини, описващи системата, трябва да се използват микроскопични величини, характеризиращи механичното състояние на отделните частици. Записването на уравненията на Нютон обаче за всяка една частица и тяхното съвместно решаване е свързано не само с математически, но и с принципни трудности. Това налага да се работи с величини, които са средни за цялата система. За получаването на тези средни величини се използват вероятностни (статистически) методи. Вероятност Най-общо под вероятност в статистическата физика се разбира отношението между броя на благоприятните случаи и броя на всички възможни случаи, чрез които може да се реализира дадено явление. Както е известно, най-простата термодинамична система е идеалният газ. За всеки такъв газ, който се намира в термодинамично равновесие, средната скорост на молекулите е еднаква. В резултат на ударите между молекулите обаче те се разпределят по скорости. Това означава, че в даден момент всяка молекула може да има различна скорост в интервала от нула до безкрайност. В такъв случай интерес представлява въпросът, колко от молекулите имат определена стойност на скоростта. Отговор на този въпрос дава законът, изведен през г. от английския физик Джеймс Кларк Максуел ( ). При състояние на термодинамично равновесие са валидни следните характеристики: 1) Състоянието не се изменя с времето. ) Концентрацията на молекулите във всяка точка е еднаква. 3) Във всички макроскопични обеми от газа разпределението на молекулите по скорости е еднакво. 4) Всички посоки на движение са равновероятни. Нека идеален газ се намира в термодинамично (топлинно) равнове

11 сие, като неговата температура е T = const. Общият брой на частиците (молекулите) на газа е и върху него няма приложени външни полета. Броят на молекулите, които имат скорости в интервала (v,v+dv) с големина dv, се означава с d(v) (брой на благоприятните случаи). Тогава съгласно даденото по-горе определение вероятността скоростта на дадена молекула да принадлежи на посочения интервал dv се дава с отношението d(v)/ Функция на разпределение Вероятността дадена молекула на идеалния газ да има скорост в интервала (v,v+dv), отнесена към единица големина на този интервал, се нарича функция на разпределение на молекулите по скорости d F( v) = dv За функцията на разпределение на молекулите по скорости F(v) Максуел получава следния израз 3 m mv F( v) = 4π v exp π kt kt където k е Болцманова константа, m масата на една молекула, Т абсолютна температура Графиката на функцията на разпределение е представена на фиг.. Фиг. От графиката се вижда, че: 1) при v=0, F(0)=0 ) Графиката има максимум

12 Най-вероятна скорост Най-вероятна скорост се нарича скоростта v m, при която функцията F(v) на разпределение на молекулите по големина на скоростта има максимум. Максималната скорост се изразява с формулата RT vm =. µ Това е скоростта, която се среща по-често от всички останали скорости на молекулите. 3) Само незначителна част от молекулите имат скорости, които са много по-малки или много по-големи от най-вероятната скорост v m. 4) Голяма част от молекулите имат скорости, които са близки до най-вероятната. 6..Средни скорости Средната аритметична скорост се дава като v 1 vf( v) dv 0 =. След заместване на функцията на разпределение F(v) се получава: Средна аритметична скорост 8RT 4 v = = vm = 1,13 vm πµ π Средна квадратична скорост 3 3 vкв = RT = vm = 1, vm µ - 1 -

13 6.3.Зависимост на функцията на разпределение на Максуел от температурата Зависимостта от температурата на функцията на разпределение на Максуел F(v) е представена на фиг.3 Фиг.3 От графиката се вижда, че при повишаване на температурата: 1) максимумът на кривите се отмества към по-големите скорости нараства най-вероятната скорост. ) височината на максимума намалява и кривите стават пошироки, т.е. разпределението на молекулите по скорости става поравномерно Експериментална проверка на закона на Максуел

14 7. Барометрична формула. Разпределение на Болцман 7.1. Зависимост на атмосферното налягане от височината Атмосферното налягане на дадено място се дължи на теглото на въздушните слоеве над произволна повърхност, поставена на това място. Поради това с увеличаване на височината над земната повърхност това налягане се понижава. Нека p е атмосферното налягане на височина h над Земята. За да пресметнем зависимостта p(h), разглеждаме заемната атмосфера като идеален газ, намиращ се в състояние на термодинамично равновесие при определена температура. Тогава налягането на височина (h+dh) е (p-dp). По аналогия с формулата за хидростатичното налягане може да се напише dp = ρgdh, където ρ е плътността на въздуха, а g земното ускорение. Като изразим плътността на въздуха от уравнението за състояние на идеалния газ ρ = = и след интегриране получаваме m µ p V RT Барометрична формула gµ h p = p0 exp RT Барометричната формула показва, че в рамките на модела на изотермната атмосфера налягането намалява експоненциално с височината. 7.. Разпределение на Болцман Разпределение на Болцман се нарича разпределението на концентрацията на молекулите на идеален газ, намиращ се в потенциално външно поле (в полето на силата на тежестта) Разпределение на Болцман се дава в формулата εp nv = nvo exp kt където n v е концентрацията на молекулите на височина h, n vo - концентрацията на молекулите на земната повърхност (при h=0), а ε p = mgh - потенциалната енергия на една молекула в полето на силата на тежестта. Болцман доказва, че външните полета не влияят на разпределението на молекулите по скорости. В състояние на термодинамично равновесие това разпределение се подчинява на закона на Максуел

15 Допълнение Извод на формулата за налягане на идеален газ върху стените на съда Разглеждаме идеален газ, затворен в съд с формата на правоъгълен паралелепипед (фиг..а): а Фиг. Разглеждаме движението на молекулите по направление на оста x. В даден момент от време скоростта им е различна по големина и по посока. В зависимост от големината на x-тата компонента на скоростта разделяме молекулите на групи. Нека означим с броя на молекулите, за които x -тата компонента на скоростта е v ix. i Поради хаотичния характер на движението половината от тези молекули се движат по посока на оста x, а другата половина се движат в противоположна посока на оста x. Нека една молекула, принадлежаща на разглежданата група, се удря в дясната стена на съда (фиг..б). Ударът е абсолютно еластичен, поради което кинетичната енергия на частицата не се променя. Тази частица просто се отразява от стената на съда със същата по големина скорост. Компонентата на скоростта на разглежданата частица, която е перпендикулярна на стената на съда (в случая това е x - компонентата), само сменя посоката си на противоположната. Успоредните на стената компоненти на скоростта (в случая това са y - и z -компонентите) не се променят. Не се променят и y - и z -компонентите на импулса на молекулата. Променя се обаче x-компонентата на импулса: преди удара на молекулата в стената на съда тази компонента е mv. След удара x- компонетата на импулса става mvix б, където m е масата на молекулата. Следователно, в резултат на удара на молекулата стената получава от нея импулс, равен на изменението p на импулса на самата молеку- ix

16 ла: е mv ( mv ) = mv. ix ix ix За време dt в дясната стена на съда се удрят молекули, чийто брой i Svixdt di =, V където V е обемът на газа (на съда). Това са всъщност молекулите, които се движат надясно по оста x и в началния момент от време се намират от стената на разстояние, не по-голямо от vixdt, т.е. в паралелепипед с обем Svixdt, където S е площта на стената. В резултат на ударите стената получава импулс m ( ) ivixsdt dpi = mvix di =. V Съгласно с втория принцип на динамиката молекулите от i-тата група действат на стената на съда със сила i ix dpi m v S Fi = dt = V. Резултантната сила, с която действат върху стената всички молекули, е перпендикулярна на стената на съда и има големина ms F = Fi = ivix, V където сумирането се извършва по всички групи, на които са разделени молекулите. Налягането на газа върху стената на съда е F m p = ivix S = V. По определение величината v ivix x = се нарича средна стойност на квадрата на x-компонентата на скоростта. От последните две уравнения за налягането на газа се получава p = mvx. V Чрез аналогични равенства на последното се дефинират средните стойности на квадратите на y и z компонентите на скоростта: Величината v y = j = 1 v j jy и v k = 1 z = k kz v

17 = x + y + z v v v v се нарича средна стойност на квадрата на скоростта, а величината се нарича средна квадратична скорост на молекулите. vкв = Тъй като движението на молекулите е хаотично и всички направления са равноправни, то Тогава за налягането на газа върху стените на съда се получава v v vx = vy = vz =. 3 Величината nv Тогава 1 p = mv. 3 V = се нарича концентрация на молекулите. V 1 p = n mv. 3 V