РЕЦЕНЗИЯ от доцент д-р Ваня Христов Хаджийски, ФМИ на СУ Св.Кл.Охридски на дисертацията на ас. Александър Василев Александров Екстремални свойства на някои класически ортогонални полиноми в комплексната равнина за придобиване на образователна и научна степен доктор в областта на висшето образование, Професионално направление: 4.5 Математика, Научна специалност: Комплексен анализ Представеният дисертационен труд е с обем от 74 страници и бибилиография обхващаща 8 заглавия. Той се основава на три статии, една от които е публикувана в сборник на конференцията по конструктивна теория на функциите-созопол, 00 г., а другите две в авторитетни международни списания с импакт фактор: Results of mathematics, v.6(0), 45-48 и J.Math. Aal. Appl., v.48(05), 750-76 (общ импакт фактор.68). Част от резултатите в дисертацията са докладвани на две международни конференции. Две от статиите са в съавторство с проф. Г. Николов, а третата в съавторство с Г. Николов, Х. Дитерт и В. Пивейн. Приемам, че приноса на А. Александров за получените резултати е равностоен. Представената дисертация е в областта на Аналитичната теория на полиномите, по-точно тази част от нея, която се занимава с екстремалните свойства на полиномите. Основната ѐ цел е получаване на неравенства от типа на Марков в комплексна област. Неравенствата на братята А. А. Марков и В. А. Марков за оценка на к-тата производна на полином на една променлива интригува математиците повече от век. Получаването на неравенства от този тип, поради тяхната красота и дълбочина, продължават да са активна област и на съвременни изследвания. Те са ключови за решаването на редица обратни задачи в теорията на апроксимациите. Това е тематика, в която съществен принос има и българската математическа школа, създадена от акад Б. Боянов (вж обзора [3] от библиографията). Дисертацията е съставена от увод и четири глави. Подробната историческа справка в увода и обширната библиография показват, че авторът много добре познава областта в която работи. Ще премина към съдържанието на отделните глави и ще отбележа приносите на дисертанта. В глава са изложени необходими за понататъшното изложение сведения, формулирана е основната задача и са очертани методите за нейното решаване. Нека f е полином от степен, такъв че f ( x) в интервала [,]. Тогава съгласно класическото неравенство на братята Маркови, за всяко x [,] ( ) (),,, f x T =,
където T ( x) = cos( arccos x) е -тия полином на Чебишов от първи род. i Неравенството е точно и равенство се достига само ако f = e θ T, θ R. При = неравенството е доказано от А. А. Марков в 889 г., а общия случай е доказан от В. А. Марков в 89 г. През 94 г. американските математици Р. Дафин и А. Шефер доказват, че за да бъде в сила неравенството е достатъчно π f ( x) само в + точки x = cos, = 0,,,. Това са точно точките, в които T ( x ) = в интервала [,]. Доказателството им се базира на излизане в комплексната равнина и изпозва резултати от класическия комплексен анализ. В частност за полиноми с реални коефициенти те доказват по- силно неравенство () ( + ) ( + ), [,], =, f x iy T iy x y R. Равенство се достига само, ако f = ± T. В основата на доказателството им е следното забележително свойство на полиномите на Чебишов T ( x + iy) T ( + iy), ( x, y) [,] R и следния по-общ резултат Теорема (Дафин-Шефер) Нека g е алгебричен полином от степен с различни нули в интервала (, b) и нека в ивица от комплексната равнина той удовлетворява неравенството g( x + iy) g( b + iy), ( x, y) [ a, b] R. Нека още f е полином от степен с реални коефициенти и f ( x) g ( x) в нулите на g. Тогава за =,, ( ) ( ) f ( x iy) g ( b iy), ( x, y) [ a, b] + + R. В глава. авторът излага доказателства на резултатите на Дафин и Шефер и очертава посоките, в които неравенството () на Дафин и Шефер може да се обобщи. Тъй като при g T тяхната техника не върви е необходим нов подход. Такъв е разработен от проф. Г. Николов. Този подход използва класическата формула на Йенсен за целите функции f от класа на Лагер- Пойа, реалнозначни върху реалната ос, която в случая на полиноми f (от степен ) с реални нули се редуцира в крайна сума ( ) ( ; ),, = 0 f x + iy = L f x y x y R, където
3 ( j) ( j) j f ( x) f ( x) 0 = ( ), = ( ), =,, j= 0 j!( j)! L f x f x L f x и метода на мажоризация на Сонин-Пойа за изследване на редицата от локалните екстремуми на функции, които са решение на хомогенно обикновено диференциално уравнение.. Накратко този подход се състои в следното: от формулата на Йенсен следва, че полиномът f удовлетворява неравенството f ( x + iy) f ( + iy), ( x, y) [,] R, ако са в сила неравенствата L ( f ; x) L ( f ;), x [,], = 0,,, а методът на Сонин-Пойа се използва за доказване на тези неравенства. Следвайки подхода разработен от Г. Николов, авторът си поставя за цел получаването на аналози на неравенството на Дафин и Шефер в комплексната равнина за различни класове от ортогонални полиноми. Специално искам да отбележа математически прецизното и същевременно ясно и достъпно за начинаещия читател, изложение в тази глава. Това я прави подходяща за навлизане в проблематиката на студенти, от бакалаварската степен във ФМИ. В глава. се разглеждат полиномите на Ермит Основният резултат е H ( x) ( ) e ( e ) x x ( ) =. Теорема. (Г. Николов, А. Александров) Ако f е полином от степен с реални коефициенти и f H в нулите на H +, тогава при =, имаме f ( x + iy) H ( a + iy), ( x, y) [ a, a ] R, + + + където a + е най-голямата нула H +. Равенство се достига, само ако f = ± H. Ключово в доказателството е следното свойство на коефициентите L ( H ; x), =, Теорема.. (Г. Николов, А. Александров) За =, функцията L ( H ; x ) е строго монотонно намаляваща в (, 0] и строго монотонно растяща в [0, + ). Останалите две глави са свързани с една хипотеза на американския математик М. Патрик за полиномите на Якоби. Хипотеза на Патрик (97г.) Нека че α β >. Тогава за =,, P = е -тия полином на Якоби и имаме, P α β max L ( P; x) = L ( P;). [0,]
4 Патрик е доказал хипотезата си само за =,,3. Г. Николов доказва, че ( ) хипотезата е вярна за полиномите на Гегенбауер P λ (наричани още ултрасферични), които са частен случай на полиномите на Якоби ( α = β = λ ). В същата статия той прави предположение, че за тези полиноми е в сила по- силно твърдение: Усилена хипотеза на Патрик за ултрасферичните полиноми За =, ( λ) функцията L ( P ; x) е строго монотонно намаляваща в (,0] и строго монотонно растяща в [0, + ). В Глава 3. е доказана усилената хипотеза на Патрик за ултрасферичните полиноми (Теорема 3.). В глава 4. са доказани хипотезата на Патрик и неин усилен вариант, в общия случай, за полиномите на Якоби. Основните резултати са Теорема 4. (А. Александров, В. Пивейн, Г. Николов, Х. Дитерт) Ако P = P α β е -тия полином на Якоби, където α β >, то за =, имаме max L ( P; x) = L ( P;). [0,] Теорема 4. (А. Александров, В. Пивейн, Г. Николов, Х. Дитерт) Ако P = P α β е -тия полином на Якоби, и α β >, то за =,, L ( P; x ) е строго монотонно растяща функция в интервала [0, + ). Очевидно Т.4. следва от Т.4., но считам излагането на независимо доказателство за оправдано. То включва конструирането на подходяща мажоранта F ( P, x ) на L ( P, x ), интерполираща L ( P, x ) в ±, = 0,,, която при = 0 съвпада с класическата мажоранта на Сонин-Пойа. Това е обобщение на метода на Сонин-Пойа за случая на полиномите на Якоби. Това са най-силните резултати в тази дисертация, при това постигнати с класически средства. Доказателствата се отличават с оригиналност, изобретателност и находчивост. Като следствие е получен и следния резултат Следствие 4.. Нека P =, където N и α max{, β}. Тогава P α β P( x + iy) P( + iy) за всяко ( x, y) [0,] R, и неравенството е строго, освен ако y = 0. Това е важна стъпка към получаване на неравенство от типа на Дафин и Шефер за полиномите на Якоби, но за целта е необходимо горното неравенство да се докаже и за x [,].
5 Авторефератът е написан според изискванията и пълно и точно отразява приносите на дисертанта. Заключение. Представеният дисертационен труд е в една класическа, но актуална и днес област. Получени са дълбоки и оригинални резултати. За полиномите на Ермит е получен хубав аналог на красивото неравенство на Дафин и Шефер. Решена е хипотеза на М. Патрик за полиномите на Якоби от 97 г. Резултатите са публикувани в три статии, две от които са в престижни международни списания с импакт фактор. Считам, че едно от достойнствата на този труд е умението на дисертанта да изложи ясно, плавно, и бих казал увлекателно, проблематиката и получените резултати. Ето защо считам, че представеният дисертационен труд напълно удовлетворява изискванията на ЗРАСРБ, Правилника за неговото прилагане, Правилника на СУ Св.Кл. Охридски и съответният правилник на ФМИ за придобиване на образователна и научна степен доктор. Убедено препоръчвам на Уважаемите членове на Научното жури да предложат на Факултетния съвет на Факултета по Математика и Информатика на СУ Св.Кл. Охридски да присъди на ас. Александър Василев Александров образователната и научна степен доктор в областта на висшето образование, Професионално направление: 4.5 Математика, Научна специалност: Комплексен анализ. 03.04.06 г. Рецензент:... гр. София /доц. д-р В.Хаджийски/