СТАНОВИЩЕ относно съдържанието на дисертационен труд на тема: Количествени мерки за разпределението на хибридни редици и мрежи и тяхното приложение в квази Монте Карло интегрирането с автор Силвия Георгиева Байчева за присъждане на образователна и научна степен Доктор в научно направление 4. Природни науки, математика и информатика, научна специалност 4.5 математика Като член на научното жури, на 18. 02. 2016 г. ми бе предадена за рецензиране а първата версия на горе споменатият дисертационен труд, а след това и корегираната му версия от 07. 04. 2016 г. 1. Основни сведения за научния труд Дисертацията е написана в обем от 221 страници и се състои от увод, четири глави, списък с формулирани проблеми за бъдещи научни изследвания и цитирана литература. 2. Предмет на изследванията В дисертационният труд са дефинирани диафонии и Хилбертови пространства от специален вид с цел да се покаже, че тези нови типове диафонии представляват числови мерки за неравномерността на редици в [0,1) s. Изследвана е връзката и са получени отлични резултати за грешката в най-лошия случай на интегрирането в дефинираните пространства и диафонията на мрежата, съставена от възлите на интегрирането. 3. Съдържание на научния труд Като начало, във въведението накратко е представено съдържанието на дисертационния труд. В първа глава на дисертацията са представени основните понятия и резултати, на които се основават по-нататъшните изследвания: теорията на равномерно разпределените редици и квази-монте Карло интегрирането. Най-напред са дадени дефинициите и основните свойства на някои класи ортонормирани функционални системи: системата на Уолш функциите, Уолш функциите над крайни групи, функционалната система на Виленкин и други. Дефинирано е понятието равномерно разпределена редица, представени са интегралния и експоненциалния критерии на Вайл. Дадена е дефиницията и графически са илюстрирани разпределенията на някои видове равномерно разпределени редици като: обобщената редица на Ван дер Корпут, (t,m,s)-мрежите и (t,s)-редиците. Дефинирани са някои числови мерки за неравномерността на разпределението на
редици, каквито са дискрепансът и диафонията. Дадено е кратко описание на квази- Монте Карло интегрирането в Хилбертови пространства. Във втора глава на дисертацията е дефиниран нов тип на b ична диафония, така наречената (W(b);α;β;γ)-диафония, която зависи от три параметъра. Специално внимание е отделено на мотивацията на тази зависимост, тъй като на тази основа се представят резултатите на трета глава на дисертацията. В тази глава са формулирана и доказани 6 теореми и няколко леми. Чрез тях се установява факта, че (W(b);α;β;γ)-диафонията е количествена мярка за неравномерността на разпределението на редици в [0,1) s, показана е нейната изчислителната сложност O(N 2 ). Представени са оценки отгоре и отдолу на (W(b);α;β;γ)- диафонията на обобщената редица на Ван дер Корпут. Чрез получените резултати е показано влиянието на параметрите α и β върху точните порядъци или асимптотиката на (W(b);α;β;γ)-диафонията на обобщената редица на Ван дер Корпут. В трета глава идеите и техниките, които са използвани във втора глава, са доразвити и усъвършенствани за да се получат нови резултати. Най-напред е въведено функционалното пространство HW(b);α;β;γ. Получена е точна формула за грешката в най лошия случай на интегрирането в това пространство чрез използване на произволна s- мерна мрежа. След това е показана връзката която съществува между грешката в най лошия случай на интегрирането в пространството HW(b);α;β;γ и (W(b);α;β;γ)-диафонията на мрежата, съставена от възлите на интегрирането. Теоремите 3.3 и 3.4 са помощни резултати за Теоремите 3.5 и 3.6, в които са получени порядъците на грешката в найлошия случай на интегрирането в пространството HW(b);α;β;γ.чрез използване на някоя (t,m,s)-мрежа. В четвърта глава докторантката дефинира нов клас от хибридна функционална система. Показано е, че така дефинираната хибридна функционална система е пълна ортонормирана функционална система над пространството L2 ([0,1) s ). Показан е хибридния аналог на критерия на Вайл. Показано, че хибридната теглова диафония е количествена мярка за неравномерността на разпределението на хибридни редици в [0,1) s. В Теорема 4.4 е показана изчислителната сложност O(N 2 ) на хибридната теглова диафония. Дефинирано е хибридното Хилбертово пространство HF,b, α, γ и е получена формула за грешката в най лошия случай на интегрирането в това пространството чрез използвана на произволна мрежа. В Теорема 4.6 е показана връзката, която съществува между грешката в най лошия случай на интегрирането в пространството HF,b, α, γ и хибридната теглова диафония на мрежата, съставена от възлите на интегрирането. 4. Оригинални приноси в дисертацията Във втора глава: В теорема 2.1 е показано, че (W(b);α;β;γ)-диафонията е количествена мярка за неравномерността на разпределението на редици в [0,1) s. В Теорема 2.2 е показана изчислителната сложност O(N 2 ) на (W(b);α;β;γ)-диафонията. В Теорема 2.3, в случая когато параметърът β = 1, е дадена обща оценка отгоре на (W(b);α;β;γ)-
диафонията на обобщената редица на Ван дер Корпут, а чрез представената в Теорема оценка отдолу е показана точността на получените в Теорема 2.3 резултати. Аналогични резултати са представени в Теорема 2.4 и 2.6 и отнасящи се до случая когато параметърът β = 2. В трета глава: В Теорема 3.1 е получена точна формула за грешката в най лошия случай на интегрирането в пространство HW(b);α;β;γ чрез използване на произволна s- мерна мрежа. В Теорема 3.2 е показано, че грешката в най лошия случай на интегрирането в пространството HW(b);α;β;γ и (W(b);α;β;γ)-диафонията на мрежата съставена от възлите на интегрирането с точност до мултипликативна константа са равни помежду си. В Теоремите 3.5 и 3.6 са получени порядъците на грешката в най лошия случай на интегрирането в пространство HW(b);α;β;γ чрез използване на някоя (t,m,s)- мрежа. В четвърта глава: В Теорема 4.1 е показано, че дефинираната хибридна функционална система е пълна ортонормирана функционална система над пространството L2 ([0,1) s ). С помощта на Теорема 4.2 е представен хибридния аналог на критерия на Вайл. В Теорема 4.3 е показано, че хибридната теглова диафония е количествена мярка за неравномерността на разпределението на редици в [0,1) s. В Теорема 4.4. е показана изчислителната сложност O(N 2 ) на хибридната теглова диафония. В параграф 4.5 е дефинирано хибридното Хилбертово пространство HF,b, α, γ. В Теорема 4.5 е получена формула за грешката в най лошия случай на интегрирането в пространството. HF, α, γ, чрез използвана на произволна мрежа. В Теорема 4.6 е показана връзката между грешката в най лошия случай на интегрирането в пространството HF,b,α, γ. и хибридната теглова диафония на мрежата, съставена от възлите на интегрирането. Изводи: 1. Дисертацията е разработена изключително систематизирано, като се базира на добре известни дефиниции и твърдения, са въведени нови понятия и са доказани нови резултати във вид на теореми от теорията на равномерно разпределените редици и квази-монте Карло интегрирането. Така представеният труд със своята структура и обем отговаря на изискванията за разработване на дисертация. 2. Цялостната работа в дисертацията показва, че докторантката владее задълбочено и много добре си служи с техники от области, като теория на числата, функционален анализ, числени методи, комплексен анализ, математически анализ. В дисертацията са решени интересни задачи от двете научни области - количествената теория на равномерно разпределените редици и квази Монте Карло численото интегриране. 3. Съдържанието на автореферата съответства на съдържанието на дисертацията.
Забелязани неточности: На страница 24, пред Дефиниция 1.10, на дясната страна във формулата за AN(ξ,J) не достига символът # за брой на елементите на множество. Разбира се, това е техническа грешка, която не влияя на тежестта и оригиналността на тази дисертация. Заключение: 1. Получените в дисертацията резултати са оригинални и представляват принос на докторантката в областите на равномерно разпределените редици и квази Монте Карло интегрирането. 2. Получените в дисертацията резултати са представени систематизирано, те са задълбочени и с достатъчен обем и според мен напълно отговарят на изискванията за придобиването на образователната и научна степен Доктор. 3. Изразявайки моето голямо задоволство от представения труд и получените резултати от Силвия Георгиева Байчева, смятам, че с това тя показва, че отлично владее областите от написаната дисертация и заслужава да и се присвои образователната и научна степен Доктор по математика. 02. 05. 2016 г. член на научното жури: Скопие /Доц. д-р Весна Димитриевска Ристовска/
СТАНОВИШТЕ Кое се однесува на содржината на дисертацијата на тема: Количествени мерки за распределбата на хибридни низи и мрежи и тјахното приложение в квази Монте Карло интегрирањето од автор Силвија Георгиева Бајчева за стекнување на наставна и научна степен Доктор во областа на високото образование 4. Природни науки, математика и информатика, професионално направление 4.5. Математика Како на член на научното жири предадена ми е за рецензирање прва верзија од горе наведената дисертација нa 18.02.2016 г., а потоа корегирана верзија на 7.04.2016 г. 1. Основни податоци за трудот Дисертацијата е напишана на 221 страна, и се состои од вовед, четири глави, заклучок, листа на формулирани проблеми за понатамошни научни истражувања и цитирана литература. 2. Предмет на истражувањето Во докторската теза се дефинирани дијафонии и Хилбертови пространства од специјален вид со цел да се покаже дека овој нов тип на дијафонии претставуваат нумеричка мерка за неравномерност на низи во ([0,1) s. Истражувана е врската и добиени се одлични резултати за грешката во најлошиот случај на интегрирањето во дефинираните пространства и дијафонијата на мрежата, составена од јазлите на интегрирањето. 3. Содржина на трудот На почетокот во Воведот накратко е изложена содржината на дисертациониот труд. Во Првата глава од дисертацијата се наведени основните поими, дефиниции и теореми од областите врз кои се темели ова истражување: теоријата на равномерно разпределените низи и квази Монте Карло интегрирањето. На почетокот се дадени дефинициите и основните својства на некои класи ортонормирани функционални системи: Волш функциите, Волш функциите над конечни групи, функционалната система на Виленкин, и други. Дефиниран е поимот равномерно разпределена низа, воведени се интегралниот и експоненциалниот критериум на Вајл. Дефинирани се и графички се прикажани неколку видови на равномерно разпределени низи, како: обобштената низа на Ван дер Корпут, (t,m,s)- мрежите и (t,s)-низите. Дефинирани се нумерички мерки за неравномерност на распределбата на низи: дискрепанса и дијафонија. Даден е краток осврт на квази Монте Карло интегрирањето во Хилбертови пространства.
Во втората глава е дефинирана нов тип на b ична дијафонија, така наречената (W(b);α;β;γ)-дијафонија., која зависи од три параметра. Посебен акцент е ставен на мотивот за таа зависност на дијафонијата, бидејќи од тој мотив произлегува работата во третата глава на тезата. Во оваа глава се формулирани докажани 6 теореми и неколку леми, со кои е покажано дека (W(b);α;β;γ)-дијафонијата е нумеричка мерка за неравномерност на распределбата на низи во [0,1) s, пресметана е нејзината пресметувачка сложеност O(N 2 ) и изложени се оценки од горе и од долу на (W(b);α;β;γ)-дијафонијата на обобштената низа на Ван дер Корпут. Со добиените резултати е покажано влијанието на параметарот α и параметарот β на точните редови на (W(b);α;β;γ)-дијафонијата на обобштената низа на Ван дер Корпут. Во Третата глава се разработени и продлабочени идеите и механизмите, кои се користат во претходната глава, со тоа што на почетокот е воведена функционалната класа H W(b) ; α; β;γ. Добиена е точна формула за грешката во најлошиот случај на интегрирањето во тоа пространство, со користење на произволна s-мерна мрежа, а потоа е покажана врската меѓу грешката во најлошиот случај на интегрирањето во пространството H W(b) ; α; β;γ и (W(b);α;β;γ)-дијафонијата на мрежата, составена од јазлите на интегрирањето. Теоремите 3.3 и 3.4 се помошни резултати за Теоремите 3.5 и 3.6, во кои се пресметани редовите на големина на интегрирањето во пространството H W(b) ; α; β;γ преку користење на (t,m,s)-мрежа. Во Четвртата глава кандидатката дефинира нова класа на хибридна функционална система. Покажано е дека хибридната функционална система е полна ортонормирана функционална система над пространството L 2 ([0,1) s ) и е даден хибриден аналог на Критериумот на Вајл. Потоа е покажано дека хибридната тежинска дијафонија е нумеричка мерка за неравномерност на низи во ([0,1) s. Во Теорема 4.4 е покажана пресметувачката сложеност O(N 2 ) на хибридната тежинска дијафонија. Дефинирано е хибридно Хилбертово пространство H F, α, γ и е изнесена формула за грешката во најлошиот случај на интегрирањето во пространството H F, α, γ со користење на произволна мрежа. Во Теорема 4.6 дадена е врската меѓу грешката во најлошиот случај на интегрирањето во пространството H F, α, γ и хибридната тежинска дијафонија на мрежата, составена од јазлите на интегрирањето.
4. Оригинални придонеси на докторската работа Во втора глава: во Теорема 2.1 е покажано дека (W(b);α;β;γ)-дијафонијата е нумеричка мерка за неравномерност на распределбата на низи во [0,1) s. Во Теорема 2.2 дадена е пресметувачка сложеност O(N 2 ) на (W(b);α;β;γ)- дијафонијата. Во Теорема 2.3, при услов параметарот β=1, е дадена општа оценка од горе на (W(b);α;β;γ)-дијафонијата на обобштената низа на Ван дер Корпут, а во Теорема 2.5 е дадена оценка од долу и е покажана точноста на добиените резултати во Теорема 2.3. Соодветни резултати се претставени во Теорема 2.4 и 2.6, но во случај, кога параметарот β=2. Во трета глава: Вo Теорема 3.1 е добиена точна формула за грешката во најлошиот случај на интегрирањето во тоа пространство, а при тоа е користена произволна s-мерна мрежа. Во Теорема 3.2 е покажано дека грешката во најлошиот случај на интегрирањето во пространството H W(b) ; α; β;γ и (W(b);α;β;γ)-дијафонијата на мрежата, составена од јазлите на интегрирањето, се еднакви меѓусебе со точност до мултипликативна константа. Во Теоремите 3.5 и 3.6 се пресметани редовите на големина на интегрирањето во пространството H W(b) ; α; β;γ преку користење на (t,m,s)-мрежа, со помош на резултатите изложени во Теоремите 3.3 и 3.4. Во четврта глава: Во Теорема 4.1 е покажано дека хибридната функционална система е полна ортонормирана функционална система над пространството L 2 ([0,1) s ). Со Теорема 4.2 е даден хибриден аналог на Критериумот на Вајл. Во Теорема 4.3 е покажано, дека хибридната тежинска дијафонија е нумеричка мерка за неравномерност на низи во ([0,1) s. Во Теорема 4.4 е покажана пресметувачката сложеност O(N 2 ) на хибридната тежинска дијафонија. Во параграф 4.7 е дефинирано хибридно Хилбертово пространство H F, α, γ. Во Теорема 4.5 е изнесена формула за грешката во најлошиот случај на интегрирањето во пространството H F, α, γ со користење на произволна мрежа. Во Теорема 4.6 дадена е врската меѓу грешката во најлошиот случај на интегрирањето во пространството H F, α, γ и хибридната тежинска дијафонија на мрежата, составена од јазлите на интегрирањето. 5. Изводи: 1. Дисертацијата е изработена исклучително систематски, базирајќи се на веќе постоечки дефиниции и тврдења, воведени се нови поими и докажани се нови резултати во облик на теореми во теоријата на равномерно разпределените низи и квази Монте Карло интегрирањето. Овој презентиран труд по структурата и обемот одговара на концептот за дисертационен труд. 2. Целокупната работа во тезата покажува дека докторантката солидно владее и многу добро се служи со разни техники од областите: теорија на броеви, функционална анализа, нумерички методи, комплексна анализа, математичка анализа.
3. Содржината на авторефератот наполно одговара на содржината на дисертацијата. 6. Забележани неточности: На страна 24, пред Дефиниција 1.10, на десната страна во формулата за А N (ξ,j) недостига симбол # за број на елементи на множество, што секако е техничка грешка и сосема не влијае на тежината и оригиналноста на оваа докторска теза. Заклучок: 1. Добиените резултати во дисертацијата се оригинални и претставуваат придонес на докторантката во теоријата на равномерно разпределените низи и квази Монте Карло интегрирањето. 2. Добиените резултати во дисертацијата се изработени темелно, систематски, доволно се големи и обемни и според мене наполно одговараат на барањата за придобивањето на наставната и научна степен Доктор. 3. Го изразувам моето големо задоволство од изложениот труд и добиените резултати на кандидатката Силвија Георгиева Бајчева, и сметам дека со тоа таа покажа дека одлично ги владее областите од напишаната докторска теза и заслужува да ѝ се додели наставна и научна степен Доктор по математика. 02. 05. 2016 г. член на научното жури: Скопје /Доц. д-р Весна Димитриевска Ристовска /