0. Линейни оптимизационни модели обща постановка
Пример Разполагате с 26 бр. самолети от тип А и 5 бр. самолети от тип В. Задачата е да се пренесе възможно по-голямо количество от разполагаем товар, при наличие на следните ограничения: В наличност са 4 000 единици гориво. Ограниченото време не позволява да бъдат обслужени повече от 30 полета. Няма възможност самолетите да правят по повече от един курс. Консумацията на гориво за достигане до целта: За самолети от тип А 00 единици. За самолети от тип В 200 единици. Полезен товар за един самолет: За самолети от тип А 2 тона. За самолети от тип В 3 тона. По колко самолета от тип А и тип В трябва да бъдат изпратени за изпълнение на задачата? 2
Означения: Решение: a брой самолети от тип А, които трябва да бъдат изпратени за изпълнение на задачата неизвестна. в брой самолети от тип В, които трябва да бъдат изпратени за изпълнение на задачата неизвестна. 3
F Решение: (продължение) Целева функция: 2 3 A B max Ограничителни условия: 00 A A B A A,, A B B B 26 5 200 30 0 B 4 000 4
Решение на модела с помощта на POM for Windows 5
Оптимално решение: A = 20, B = 0. При това Fmax = 70 тона. 6
Обща постановка на линейните оптимизационни модели j =, 2, N Тип процес j - Интензивност на процеса i =, 2, M Инградиенти на процеса 7
Материални ресурси Трудови ресурси П Р О Ц Е С Финансови ресурси Оборудване aij - Коефициент на пропорционалност между i-ти инградиент и j-ти процес bi - Количество на i-ти инградиент 8
a a... a b 2 2 N N a a... a b 2 22 2 2N N 2 am am22... amn N bm при j 0 (j =, 2, N) 9
Z - линейна функция на интензивността на процесите Z C C 2 2... C N N max(min) ограниченията могат да бъдат от типа:............... b b b b b i i i i i 0
. Линейни модели за съставяне на оптимална производствена програма
Означения r вида продукция, h - вид на продукцията, (h =, 2, r) a h и a h - минимално и максимално количество продукция от h-ти вид k вида ресурси z - вид ресурс (z =, 2, k) R z - разполагаемо количество ресурс z d zh - разход на ресурс z за единица продукция h h, h i - съотношение между обема на производство на продукт h спрямо обема на производство на продукт h+i P h - печалба на единица продукция h Да се определи какво количество продукция от всеки вид, което следва да се произведе, така че да се осигури максимална печалба. 2
Ограничителни условия:. Обемът продукция от всеки вид да е в зададените граници a h h a h ( h 2,,... r) 2. Разходът на ресурси да не надвишава наличните количества h r d zh h R z ( r 2,,... k) 3. Изисквания за пропорционалност, ( i, h i r) h h h i h i Целева функция: h r P h h max 3
Конкретизация на видовете ресурси s - вид на използуваните суровини и материали, (s =, 2, g) l - вид на производствените машини и съоръжения (l =, 2, L) v - група работници от определена специалност (v =, 2, V) C sh - разход на суровини и материали от вида S за единица продукция от вида h f lh - разходи на машинно време на машини от вида l за единица продукция от вида h t vh - разход на работно време на работници от група v за единица продукция от вида h M s - запас от суровини и материали от вида s H l - ефективен фонд работно време на машини от вида l Tv - фонд работно време на работници от група v 4
Конкретизация на условията. Ограничение на суровините и материалите h r C sh h M s (s =, 2, g) 2. Ограничение на машинното време h r f lh h H l (l =, 2, L) 3. Ограничение на работното време на работниците h r t vh h T v (v =, 2, V) 5
2. Линейни модели за оптимално разпределение на производството между взаимно заменяеми машини 6
Означения h, h =, 2, r - продукти l, l =, 2, L - групи машини d h - количество продукция от вида h, което трябва да се произведе f lh - разход на машинно време на машини от вида l за производство на единица продукция от вида h H l - ефективен фонд време на машини от вида l C lh - производствени разходи за единица продукция от вида h, произведена на машина от вида l lh - количество продукция от вида h, което следва да се произведе на машини от вида l - неизвестни 7
Модел r L Z C Целева функция: lh h l lh min Ограничителни условия:. Да се произведе необходимото количество продукция l L lh d h (h =, 2, r) 2. Разходът на машинно време да е в границите на разполагаемия фонд h r f lh lh H l (l =, 2, L) 8
Модел - продължение 3. При необходимост от ограничаване на обема от продукцията от даден вид, произведена на определена група машини въвеждаме a lh и a lh - съответно долна и горна граница на обема на продукцията от вида h, произведен на машини от вида l. a a lh lh lh 4. При необходимост от минимизация на общия разход на машинно време за всички видове машини, целевата функция е: Z' h r l L f lh lh min 9
Модел - продължение При търсене на времето, през което машини от вида l ще работят за производството на изделия h - Y lh. Въвеждаме λ lh - капацитет на машини от вида l, когато произвежда изделия от вида h. При това: моделът придобива вида: lh r L,. Y f lh Z C Y съответно Z при ограничителни условия: h l r ' h L. lh l r lh lh lh lh lh lh L Y lh l Y lh Y H 2. lh h l d h min, min, (h =, 2, r), (l =, 2, L), 20
3. Линейни модели за съставяне на оптимални смеси 2
Постановка на модела Съществуват известен брой изходни материали Всеки от изходните материали съдържа определени компоненти, в известни съотношения Целта е да се състави смес от материалите, която да отговаря на следните изисквания: Да съдържа всички необходими компоненти в определено количество Да бъде произведена с възможно най-малко разходи Единица от даден материал внася в сместа точно определено количество от даден компонент Известна е цената на единица от всеки материал 22
Означения i, i =, 2,, n - компоненти на сместа j, j =, 2,, m - видове материали b i - количество от i - ти компонент, което трябва да се съдържа в сместа r ij - количество от компонента i, което внася в сместа единица от материал j k j - количество от материал j, което може да бъде употребено за съставяне на сместа p j - цена на единица от j - ти материал j - количество от материал j, което ще бъде вложено в сместа - неизвестно 23
Модел Да се определят стойностите на j 0 (j =, 2, m), при които Z j m p j j min, при ограничителни условия:. В сместа да се съдържа необходимото количество от всеки компонент j m r ij j b i, (i =, 2, n), 2. Разходът на материали да е в границите на разполагаемото количество j k j (j =, 2, m), 24
Модел - продължение При изискване за минимално или максимално количество от даден компонент в сместа, ограничение (.) придобива вида: j m r ij j b i, (i =, 2, n ), m j r ij j b i, (i = n +, n +2, n 2 ), j m r ij j b i, (i = n 2 +, n 2 +2, n). 25
4. Линейни модели за оптимално разкрояване на материали 26
Постановка на модела На разположение са определени материали, които подлежат на разкрояване листове, тръби, пръти, дъски, рула, топове плат и др. Необходимо е да се произведат определен брой детайли с различни размери A, A2, A3 и A4. A A 2 A 3 A 4 27
Постановка на модела продължение Материалът може да бъде разкроен по различни варианти, при което ще се получат по определен брой от всеки детайл и ще остане опредено количество отпадък. A A A A A A A A A 3 A 3 A 3 A 3 A 3 A 3 A 2 A 2 A 2 A 2 A 4 A 4 A 4 A 4 A 4 A 4 Вариант A A A 4 A 4 A 4 A 4 A 4 A A A A A 3 A 3 A 3 A 3 A 4 A 3 A 3 A Вариант 2 A A 4 A 4 A 4 A 4 A 28
Модел Моделът се разглежда в два варианта при разкрояване на материали с еднакви и с различни размери. 29
Разкрояване на материали с еднакви размери 30
Означения: материал i, i =, 2, m вид на детайлите j, j =, 2, n възможни варианти за разкрояване на единица a i брой единици от i ти вид детайли, които трябва да се произведат R ij брой детайли от i ти вид, получавани при разкрояване на единица от материала по j ти вариант C j отпадък при разкрояване на единица от материала по j ти вариант j количество материал, което ще бъде разкроено по j ти вариант неизвестни величини 3
Модел Да се определят j 0, при които: Z j n C j j min При условие: j n R ij j a i, (i =, 2, m) Целевата функция може да е: Z j n j min 32
Разкрояване на материали с различни размери 33
Означения k, k =, 2, s вид на материала (материал с определен размер) n k брой на вариантите за разкрояване на материал k d k разполагаемо количество материал k R ijk брой детайли от i ти вид, получавани при разкрояване на единица от материала k, разкроен по j ти вариант C jk отпадък при разкрояване на единица от материала k по j ти вариант jk количество материал от вида k, което ще бъде разкроено по j ти вариант неизвестни величини 34
Модел Да се определят jk 0, при които: Z k s j n k k C jk jk min При условия:. Да се произведе необходимото количество детайли k s j n k k R ijk jk a i, (i =, 2,, m) 2. Разкроените материали да не надвишават разполагаемите количества j n k k jk d k, (k =, 2,, s) 35
5. Модел на класическата транспортна задача 36
Постановка на задачата Съществуват определен брой доставчици и определен брой потребители на еднороден продукт. Предварително е известно какви количества от продукта може да осигури всеки от доставчиците и какви са потребностите на всеки от потребителите. Известни са също така и транспортните разходи, за превоз на единица от продукта от всеки доставчик до всеки потребител. Приема се, че общите транспортни разходи са в линейна зависимост от обема транспортиран продукт. Целта е да се определи какви количества от продукта да се транспортират от всеки доставчик до всеки потребител, така че потребностите да се задоволят в максимална степен, а транспортните разходи да се минимизират. 37
Постановка на задачата - продължение Когато обемът на доставяния продукт от всички доставчици е равен на потребностите на всички потребители се говори за затворен тип транспортна задача. При нея всички доставчици реализират цялата си продукция и всички потребности на потребителите се задоволяват напълно. Когато обемът на доставяния продукт от всички доставчици не е равен на потребностите на всички потребители се говори за отворен тип транспортна задача. При нея или обемът на доставките е по-голям от обема на потребностите или обратното. За да се реши отворен тип транспортна задача се въвеждат фиктивни доставчици или потребители. 38
Затворен тип транспортна задача 39
Означения i, i =, 2, m фирми доставчици j, j =, 2, n фирми потребители a i количество от продукта, доставяно от i -ти доставчик b j количество от продукта, получавано от j -ти потребител c ij транспортни разходи за единица продукция от i ти доставчик до j - ти потребител ij обем продукция, която ще се транспортира от i ти доставчик до j - ти потребител неизвестни величини 40
Модел Да се намерят стойностите на ij, за които: Z i m j n C ij ij min при ограничения:. Доставяния до всички потребители продукт да бъде равен на произведения n j ij a i i =, 2, m 4
Модел продължение 2. Получавания от всички доставчици продукт да бъде равен на необходимия m i ij b j j =, 2, n 3. Равенство на произведения и доставения продукт m n a i b j i j 4. Условие за неотрицателност на неизвестните величини ij 0 при i =, 2, m, j =, 2, n 42
Модел продължение C Матрица на доставките: 2 m...... 2 22 m2............ n 2n... mn Матрица на транспортните разходи C C C 2 m C C C 2 22...... m2............ C C C n 2n... mn 43
Други възможни критерии за оптимизация: Минимално разстояние Минимални производственотранспортни разходи и др. 44
Отворен тип транспортна задача 45
Отворен тип транспортна задача (при производство по-голямо от потребностите) m n i a i b j j n j ij a i въвежда се фиктивен потребител, с потребност: b n m a i j, i j n b c i,n+ = 0, i =, 2, m 46
m Отворен тип транспортна задача (при производство по-малко от потребностите) n j i n a i b j j ij b j въвежда се фиктивен доставчик, с възможни доставки: a m между i и j j n b j i m a c m+,j = 0, j =, 2, n i Отразяване на пропускателната способност d ij максимална пропускателна способност на транспортната артерия ij d ij 47
6. Възможности за следоптимален анализ на линейни модели 48
Постановка В практиката, достигането до оптималното решение не води автоматично до избор на решение от ръководителите. Преди да вземат решение въз основа на модела, ръководителите ще се интересуват от поредица допълнителни въпроси, като: Как ще се отрази върху оптималното решение (например размера на получаваната печалба): увеличението или намалението на всеки от разполагаемите ресурси усъвършенстването на технологичните процеси промените в цените на използваните ресурси използването на нови видове ресурси и др. В какъв интервал могат да се променят входните величини, без съществено отклонение от намерения оптимум 49
Направления на анализа По тази логика, следоптималният анализ се провежда в две направления: Анализ на чувствителността на модела Анализ на ограниченията (минимално или максимално значение на стойността на входящите променливи, под, или над които оптималната стойност няма да променя значението си) 50
Направления на анализа продължение Анализът във всяко от направленията може да се извършва по отношение на: Целевите коефициенти Коефициентите в дясната страна на матрицата на ограниченията Коефициентите от матрицата на ограниченията Въвеждане на допълнителни ограничения 5