Microsoft Word - Lekciya-8-9-Proizvodni-na-Elementarnite-Funkcii.doc
|
|
|
- Люба Пелева
- преди 4 години
- Прегледи:
Препис
1 Лекция 8. Производни на логаритмичната, показателната и степенната функции 8.. Производна на логаритмичната функция, у log (0 <. Heка точката х да е коe да е положително число и Δх да е достатъчно малко, така че Δх < х. Нарастването на логаритмичната функция, у log, може да се представи във вида: + log ( + log log log + ( > 0 (8. Като разделим ур. 8. на Δх 0, получаваме: log + log + / log + / (8. Въвеждаме променливата и х/δх и извършваме граничния преход Δх 0 (т.е. u : / lim lim log u log lim + log e u u (8.3 където е е неперовото число; вж. ур... Тка получаваме търсената формула за производната на логаритмичната функция: d(log (log log e (8.4 d l При последната стъпка използвахме факта, че l (log /(log e /(log e. Уравнение 8.4 се опростява в случай на натурален логаритъм, т.е. при а е: d(l (l ( loge e l e (8.5 d 8.. Производна на показателната функция, у (0 <. Обратната на показателната функция, у, е функцията х log. Като приложим правилото за диференциране на обратна функция, ур. 7.6, намираме: ( l (8.6 (log log e log e С други думи, диференцирането на показателната функция,, е еквивалентно на умножение на тази функция с числото l. Уравнение 8.6 се опростява когато основата на показателната функция е неперовото число е: e ( e e ( e (8.7 43
2 С други думи, функцията е х е равна на производната си, което е едно забележително свойство Производна на степенната функция, у х, при цяло положително число. В този случай, х е произволно реално число. За да преобразуваме израза за нарастването на степенната функция, у х, ще използваме формулата за развитието на нютоновия бином, вж. ур..6 и.7: ( + [ + k 0! ( k! k! ( + k ( ( k ( За да намерим производната, извършваме граничния преход: ( lim 0 ] ( цяло, > 0 (8.8 В следващия подраздел, ур. 8.8 е обобщено за произволен реален показател (не непременно цяло положително чиcло, Производна на степенната функция, у х, при произволен реален показтел а. В този случай, х > 0. Да разгледаме функцията l l( l (8.9 Като използуваме формулите за диференциране на сложна функция, ур. 7.9, и на логаритъм, ур. 8.5, за производната на лявата страна на ур. 8.9 намираме: d(l d(l d d (8.0 d d d d Като използуваме формулите за диференциране на произведение, ур. 7.9, и на логаритъм, ур. 8.5, за производната на дясната страна на ур. 8.9 получаваме: d( l d d(l l (8. d d d където сме отчели, че производната на константата а е равна на нула. Приравняваме десните страни на ур. 8.0 и 8.: d d С други думи, получаваме формула аналогична на ур. 8.8: (8. ( ( реално; > 0 (8.3 44
3 Лекция 9. Производни на тригонометричните и хиперболичните функции 9.. Производни на функциите si, cos и на обратните им функции. За функцията si вече намерихме: (si cos (9. вж. ур Аналогично, за функцията cos получаваме: + Δ cos( + cos si si (9. вж. формула 0 в Таблица 5.. Последното уравнение делим на Δх и извършваме граничен преход Δх 0: + lim lim si lim 0 0 т.е. получаваме: 0 si( / si / (9.3 (cos si (9.4 Да разгледаме функцията х rcsi у и обратната й функция, у si х. По правилото за диференциране на обратна функция, ур. 7.6, намираме: d rcsi d d si cos si (9.5 d Аналогично, ако разгледаме функцията х rccos у и обратната й функция, у cos х, получаваме: d rccos d d cos si cos (9.6 d Уравнения 9.5 и 9.6 могат да се представят в следния еквивалентен вид (формално заменяме у с х: (rcsi ; (rccos, ( Производни на функциите tg, ctg и на обратните им функции. За функцията tg прилагаме правилото за диференциране на частно, ур 7.3: si cos (si si (cos cos + si ( tg [ ] (9.8 cos cos cos cos Аналогично, за функцията сtg получаваме: cos si (cos cos (si si cos ( ctg [ ] (9.9 si si si si 45
4 Да разгледаме функцията х rctg у и обратната й функция, у tg х. По правилото за диференциране на обратна функция, ур. 7.6, намираме: d rctg cos d tg d + tg + (9.0 d където използвахме формула 7 от Таблица 5.. Да разгледаме функцията х rcсtg у и обратната й функция, у сtg х. По правилото за диференциране на обратна функция, ур. 7.6, намираме: d rcctg d si d ctg + ctg + (9. d където използвахме формула 8 от Таблица 5.. Уравнения 9.0 и 9. могат да се представят в следния еквивалентен вид (формално заменяме у с х: (rctg ; (rcctg ( Производни на функциите sh, ch и на обратните им функции. За функциите sh и ch ще използуваме техните дефиниции, ур. 5., както и формулата за диференциране на показателна функция, ур. 8.7: [( e ( e ] ( e + e ch (sh [( e + ( e ] ( e e sh (9.3 (ch (9.4 За функцията Аrsh ще използваме нейното логаритмично представяне, ур. 5.8: d / d (Arsh l[ + ( + ] [ + ( + / ] (9.5 / d + ( + d По нататък, като използваме правилата за диференциране на функция от функция и на степенна функция, намираме: d / / ( + [ + ( + ] + ( + ( d ( + Заместването на ур. 9.6 в ур. 9.5 дава: / / + (9.6 (Arsh (9.7 / ( + + Аналогично, за функцията Аrсh ще използваме нейното логаритмично представяне, ур. 5.: 46
5 d d (Arch l[ ( / ± / ± + ] [ + ( ] (9.8 / d + ( d където знакът + се отнася за положителния клон на функцията Аrсh, докато знакът се отнася за нейния отрицателен клон; вж. Фигура 5.b. По нататък, като използваме правилата за диференциране на функция от функция и на степенна функция, намираме: / d / / ( + [ + ( ] + ( ( / d ( Заместването на ур. 9.9 в ур. 9.8 дава: (9.9 (Arch ± ±, (9.0 / ( Може да се провери, че същият резултат за производните на функциите Аrsh и Аrсh се получава като се използва правилото за производна на обратна функция. За целта, да разгледаме функцията х Аrsh у и обратната й функция, у sh х. По правилото за диференциране на обратна функция, ур. 7.6, намираме: d Arsh d d sh ch + sh + (9. d Аналогично, ако разгледаме функцията х Аrch у и обратната й функция, у ch х, получаваме: d Arch ±, d d ch sh ± ch d С формална замяна на у с х, ур. 9. и 9. се превръщат, съответно, в ур. 9.7 и 9.0. ( Производни на функциите th, cth и на обратните им функции. За функцията th прилагаме правилото за диференциране на частно, ур 7.3: sh ch (sh sh (ch ch sh ( th [ ] (9.3 ch ch ch ch където използвахме още ур. 5.3, 9.3 и 9.4. Аналогично, за функцията сth получаваме: ch sh (ch ch (sh sh ch ( cth [ ] (9.4 sh sh sh sh Да разгледаме функцията х Arth у и обратната й функция, у th х. По правилото за диференциране на обратна функция, ур. 7.6, намираме: d Arth ch, d d th th d (9.5 47
6 където използвахме формула 7 от Таблица 5.. Накрая, да разгледаме функцията х Arcth у и обратната й функция, у сth х. По правилото за диференциране на обратна функция, ур. 7.6, намираме: d Arcth d sh, d cth cth d където използвахме формула 8 от Таблица 5.. (9.6 Изведените формули за производните на елементарните функции са представени в Таблица 9.. Таблица 9.. Формули за производните на елементарните функции. Производни Производни (log log e (l 3 ( log e l 4 ( e e 5 ( ( цяло, > 0 6 ( ( реално; > 0 7 (si cos 8 (sh ch 9 (cos si 0 (ch sh ( tg cos ( th ch 3 ( ctg si 4 ( cth sh 5 (rcsi, 6 (Arsh + 7 (rccos, 8 (Arch ±, 9 (rctg + 0 d Arth d, (rcctg + d Arcth, d 48
Microsoft Word - Lecture 14-Laplace Transform-N.doc
Лекция 4: Интегрално преобразувание на Лаплас 4.. Дефиниция и образи на елементарните функции. Интегралното преобразувание на Лаплас Laplac ranorm се дефинира посредством израза: Λ[ ] преобразувание на
Квадратно уравнение ax 2 + bx + c = 0 = a(x x 1 )(x x 2 ) x 1,2 = b ± b2 4ac 2a Формули за съкратено умножение (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a b) 2 = a
Квадратно уравнение + + c = = ( )( ), = ± 4c Формули за съкратено умножение ( + ) = + + ( ) = + ( )( + ) = ( + ) = + + + ( ) = + ( + )( + ) = + ( )( + + ) = Правила за степенуване m = +m : m = = m m (
mathematical interface_Biologija i Himija
Логаритъм log log P т.е. P P Основа на логаритъма. log 0 и log Логаритъмът е степента (), на която трябва да бъде повдигната основата (), за да се получи числото Р. Логаритми, използвани във физикохимията:
Microsoft Word - VM22 SEC55.doc
Лекция 5 5 Диференциални уравнения от първи ред Основни определения Диференциално уравнение се нарича уравнение в което участват известен брой производни на търсената функция В общия случай ( n) диференциалното
Microsoft Word - VM22 SEC66.doc
Лекция 6 6 Теорема за съществуване и единственост Метричното пространство C [ a b] Нека [ a b] е ограничен затворен интервал и да разгледаме съвкупността на непрекъснатите функции f ( определени в [ a
Комплексни числа Алгебричен вид: c a ib, където Тригонометричен вид: c r cos i sin Показателна форма: c i re i 1 е имагинерната единица. В полярни коо
Комплексни числа Алгебричен вид: c i, където Тригонометричен вид: c r cos i sin Показателна форма: c i re i е имагинерната единица. В полярни координати: r cos, r sin Модул на комплексно число: r c Аргумент
Microsoft Word - VM-2-7-integrirane-na-racionalni-funkcii-seminar.doc
7. Интегриране на рационални функции Съдържание. Пресмятане на неопределен интеграл от елементарни дроби. Интегриране на правилни рационални функции. Интегриране на неправилни рационални функции ТЕОРИЯ
Microsoft Word - IGM-SER1111.doc
Лекция Редове на Фурие поточкова сходимост Теорема на Дирихле Тук ще разглеждаме -периодична функция ( ) която ще искаме да бъде гладка по части Това означава че интервала ( ) може да се раздели на отделни
Microsoft Word - stokdovo saprotivlenie.doc
Движения при наличие на Стоксово съпротивление При един често срещан вид движения неподвижно тяло започва да се движи под действие на сила с постоянна посока Ако върху тялото действа и Стоксова съпротивителна
Microsoft Word - PMS sec1212.doc
Лекция Екстремуми Квадратични форми Функцията ϕ ( = ( K се нарича квадратична форма на променливите когато има вида ϕ( = aij i j i j= За коефициентите предполагаме че a ij = a ji i j При = имаме ϕ ( =
Microsoft Word - Lecture 9-Krivolineyni-Koordinati.doc
6 Лекция 9: Криволинейни координатни системи 9.. Локален базиз и метричен тензор. В много случаи е удобно точките в пространството да се параметризират с криволинейни координати и и и вместо с декартовите
ДИМЧО СТАНКОВ
ДИМЧО СТАНКОВ c, r E ( ) ln ( ) (ln ) (З) (П) r() F (, ) k (З) О v МАТЕМАТИЧЕСКИ АНАЛИЗ за студенти по икономика 7 П Р Е Д Г О В О Р Настоящият учебник е предназначен за студентите от специалност Икономика
vibr_of_triat_mol_alpha
Месечно списание за Култура, Образование, Стопанство, Наука, Общество, Семейство http://www.kosnos.co Симетрично валентно трептение на симетрични нелинейни триатомни молекули Този материал е продължение
110 (Глава 2. Тензорен анализ 12. Диференциални операции в криволинейни координати Градиент на скаларно поле. Дефиницията (11.5) на градиента чр
0 (Глава 2. Тензорен анализ 2. Диференциални операции в криволинейни координати 2.. Градиент на скаларно поле. Дефиницията (.5) на градиента чрез производната по направление позволява лесно да намерим
Глава 3 Едномерни стационарни задачи 3.1 Едномерна безкрайна правоъгълна потенциална яма В тази глава ще разгледаме най-простия едномерен потенциал: б
Глава 3 Едномерни стационарни задачи 3.1 Едномерна безкрайна правоъгълна потенциална яма В тази глава ще разгледаме най-простия едномерен потенциал: безкрайна правоъгълна потенциална яма. Преди това ще
Microsoft Word - PRMAT sec99.doc
Лекция 9 9 Изследване на функция Растене, намаляване и екстремуми В тази лекция ще изследваме особеностите на релефа на графиката на дадена функция в зависимост от поведението на нейната производна Основните
munss2.dvi
ОТГОВОРИ И РЕШЕНИЯ 3(x + y)(x xy + y )y(x y) 1. (Б) Преобразуваме: (x y)(x + y)(x + y ) x(x xy + y ) = 3y (x + y)(x y) x = (x + y ) 3 y x y x x + y = 3 y x (x y ) 1 ( x y ) + 1 = 3 ( 3 ) 1 9 3 ( 3 ) +
Microsoft Word - IGM-SER1010.doc
Лекция Редове на Фурие -теория Сведения за пространства със скаларно произведение В този раздел ще се занимаваме с периодични функции с период T > Една функция определена за всяко x R се нарича T -периодична
Линейна алгебра 7. Умножение на матрици. Обратими матрици. Матрични уравнения специалности: Математика, Бизнес математика, Приложна математика, I курс
. Обратими матрици. Матрични уравнения специалности: Математика, Бизнес математика, Приложна математика, I курс лектор: Марта Теофилова Кратка история Матричното умножение е въведено от немския математик
Microsoft Word - Sem02_KH_VM2-19.doc
Семинар Действия с матрици. Собствени стойности и собствени вектори на матрици. Привеждане на квадратична форма в каноничен вид. Матрица k всяка правоъгълна таблица от k-реда и -стълба. Квадратна матрица
DIC_all_2015_color.dvi
РУМЕН НИКОЛОВ ДАСКАЛОВ ЕЛЕНА МЕТОДИЕВА ДАСКАЛОВА В И С Ш А М А Т Е М А Т И К А ЧАСТ II y y = e O y = ln Диференциално и интегрално смятане Габрово, 05 Автори: Авторите са преподаватели в катедра Математика
16. Основни методи за интегриране. Интегриране на някои класове функции Интегриране по части. Теорема 1 (Формула за интегриране по части). Ако
6. Основни методи за интегриране. Интегриране на някои класове функции. 6.. Интегриране по части. Теорема (Формула за интегриране по части). Ако функциите f(x) и g(x) садиференцируеми в интервала (a, b)
DIC_all_2014.dvi
РУМЕН НИКОЛОВ ДАСКАЛОВ ЕЛЕНА МЕТОДИЕВА ДАСКАЛОВА В И С Ш А М А Т Е М А Т И К А ЧАСТ II y y = e O y = ln Диференциално и интегрално смятане Габрово, 04 Автори: Авторите са преподаватели в катедра Математика
Microsoft Word - Sem8-Pharm-2017.doc
Семинар 9 / 6 Семинар 9: Обикновени диференциални уравнения Обикновени диференциални уравнения с разделящи се променливи: = X ( ) Y ( ) = X + C Y d Ако е зададено гранично условие, у(х0) = у0 = Y ( ) 0
Microsoft Word - IGM-CA2222ааа.doc
Лекция α Функциите e ln и Функциите e и ln Тук ще дадем още едно определение за експоненциалната функция което разбира се води до същия резултат както определението със степенен ред без да доказваме еквивалентността
А Л Г Е Б Р А I.Решете уравненията и системите уравнения: x + 2 = 3 x+1 x 2 x 2 x 2 x + 8 = 5 x 2 4 x x 5 + x 1 = x 2 +6x+9 x
А Л Г Е Б Р А I.Решете уравненията и системите уравнения: 1.. + = 3 +1 + 8 = 5 4 3 3. 4. 4 5 + 1 = +6+9 +3 1 + 4 = 1 4 + 5. +1 + = 9 +1 10 6. ( -5) +10( -5)+4=0 7. 11 3-3 = 3 5+6 8. 1 +30 1 16 = 3 7 9
Microsoft Word - nbb2.docx
Коректност на метода на характеристичното уравнение за решаване на линейно-рекурентни уравнения Стефан Фотев Пиша този файл, тъй като не успях да намеря в интернет кратко и ясно обяснение на коректността
\376\377\000T\000E\000M\000A\000_\0001\000_\0002\0007\000.\0000\0005\000.\0002\0000\0001\0003
МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО, МЛАДЕЖТА И НАУКАТА ДЪРЖАВЕН ЗРЕЛОСТЕН ИЗПИТ ПО МАТЕМАТИКА 7.0.0 Г. ВАРИАНТ Отговорите на задачите от. до 0. включително отбелязвайте в листа за отговори!. Колко на брой от
ПРОЧЕТЕТЕ ВНИМАТЕЛНО СЛЕДНИТЕ УКАЗАНИЯ:
М И Н И С Т Е Р С Т В О Н А О Б Р А З О В А Н И Е Т О И Н А У К А Т А ДЪРЖАВЕН ЗРЕЛОСТЕН ИЗПИТ ПО МАТЕМАТИКА 6 май 9 г. Вариант УВАЖАЕМИ ЗРЕЛОСТНИЦИ, Тестът съдържа 8 задачи по математика от два вида:
Семинар 6: Обикновени диференциални уравнения от 2 ред.
Семинар 6 Обикновени диференциални уравнения от ред. Хомогенни линейни ОДУ-я с постоянни коефициенти (ХЛОДУПК): y ( ) +a y ( ) + +a y=0 Характеристично уравнение (ХУ): k +a k + +a =0 1) Всеки реален корен
munss2.dvi
ОТГОВОРИ И РЕШЕНИЯ 1. (В) Даденото неравенство няма смисъл, в случай че някой от знаменателите на двата дробни израза е равен на нула. Тъй като x 4 = (x+)(x ), то x 4 = 0 за x = и за x =. Понеже x +3 >
DZI Tema 2
МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА ДЪРЖАВЕН ЗРЕЛОСТЕН ИЗПИТ ПО МАТЕМАТИКА 6.05.05 г. ВАРИАНТ Отговорите на задачите от. до 0. включително отбелязвайте в листа за отговори!. Кое от числата е различно
I
. Числено решаване на уравнения - метод на Нютон. СЛАУ - метод на проста итерация. Приближено решаване на нелинейни уравнения Метод на допирателните (Метод на Нютон) Това е метод за приближено решаване
Microsoft Word - VypBIOL-06-rabota.doc
ВЪПРОС 6 МЕХАНИЧНА РАБОТА И МОЩНОСТ КИНЕТИЧНА И ПОТЕНЦИАЛНА ЕНЕРГИЯ Във въпроса Механична работа и мощност Кинетична и потенциална енергия вие ще се запознаете със следните величини, понятия и закони,
ПРОГРАМА ПО МАТЕМАТИКА I. Алгебра 1. Цели и дробни рационални изрази и действия с тях. Формули за съкратено умножение. 2. Квадратен корен. Корен n-ти.
ПРОГРАМА ПО МАТЕМАТИКА I. Алгебра 1. Цели и дробни рационални изрази и действия с тях. Формули за съкратено умножение. 2. Квадратен корен. Корен n-ти. Коренуване на произведение, частно, степен и корен.
Microsoft Word - VM-LECTURE06.doc
Лекция 6 6 Уравнения на права и равнина Уравнение на права в равнината Тук ще разглеждаме равнина в която е зададена положително ориентирана декартова координатна система O с ортонормиран базис i и j по
Homework 3
Домашно 3 по дисциплината Дискретни структури за специалност Информатика I курс летен семестър на 2015/2016 уч г в СУ ФМИ Домашната работа се дава на асистента в началото на упражнението на 25 26 май 2016
Slide 1
Списъци. Структура и синтаксис. Създаване и показване. Основни операции(добавяне, изваждане на елемент или цял подсписък; подреждане). Трансформации. проф. дмн С. Христова Списъци Списъците / list са основна
Глава 17 ζ-функция на Hasse-Weil. Преди да разгледаме ζ-функцията на Hasse-Weil трябва да въведем някои числови инварианти на крива, определена над кр
Глава 7 ζ-функция на Hasse-Weil. Преди да разгледаме ζ-функцията на Hasse-Weil трябва да въведем някои числови инварианти на крива, определена над крайно поле. Лема 7.. Ако F е функционално поле на една