МАТТЕХ 2018, CONFERENCE PROCEEDING, v. 1, pp SECTION MATHEMATICS AND PHYSICS MATRIX GAME, EQUILIBRIUM AND COMPUTER REALIZATION OF WOLFRAM MAT
|
|
- Лора Дашням
- преди 4 години
- Прегледи:
Препис
1 МАТТЕХ 2018, CONFERENCE PROCEEDING, v. 1, pp SECTION MATHEMATICS AND PHYSICS MATRIX GAME, EQUILIBRIUM AND COMPUTER REALIZATION OF WOLFRAM MATHEMATICA YANITSA М. MANDZHUKOVA, RADOSLAVA S. TERZIEVA, SNEZHANA G. HRISTOVA ABSTRACT: The Game Theory is a relatively new branch in mathematics and can be used as an apparatus for modeling and solving real processes and phenomena. Мodels of real life situations that are adequately described by games are studied. The models are solved using the Wolfram Mathematica software package. KEYWORDS: Game theory, matrix games, equilibrium. МАТРИЧНИ ИГРИ, РАВНОВЕСИЕ И КОМПЮТЪРНА РЕАЛИЗАЦИЯ НА WOLFRAM MATHEMATICA * ЯНИЦА М. МАНДЖУКОВА, РАДОСЛАВА С. ТЕРЗИЕВА, СНЕЖАНА Г. ХРИСТОВА АБСТРАКТ: Теория на игрите е сравнително нов клон в математиката и се използва като апарат за моделиране и решаване на редица реални процеси и явления в икономиката, бизнеса, политиката, биологията и пр. В тази статия са предложени и изследвани някои модели на реални ситуации, описани адекватно чрез игри. Моделите са решени с помощта на софтуерния пакет Wolfram Mathematica. 1 Въведение Теория на игрите е дял от приложната математика. С помощта на методите от теорията на игрите стратегически се изучават математически модели, като се взимат решения в конфликтни ситуации. Конфликтни са ситуациите, при които има две взаимодействащи си страни с противоположни цели. При това, резултатът от всяко действие на едната страна зависи от начина на действие на противоположната страна. Всяка една ситуация, при която всеки участник е зависим от действията на останалите участници, може да се моделира като игра ([1], [3], [4]). Това обуславя популярността и приложимостта на теорията на игрите. Реално тази теория може да помогне за вземането на оптималното решение във всяка една житейска ситуация. Тя постепенно излиза от математиката и икономиката и навлиза, както в психологията и социологията- за да се опита да обясни етичното поведение, обществения и социалния избор, така и в политологията, където е полезна при изследване на ескалиращо напрежение и международни военни конфликти. В настоящата статия е показан начин за изследване на матрични игри, които са използване за модели на конкретни реални ситуации. Написани са кодове на Wolfram Mathematica и са намерени доминиращи стратегии, равновесие на съответните модели. * Настоящата работа е частично финансирана по проект МУ17ФМИ007 и СП17ФМИ005 при НПД при Пловдивски Университет П.Хилендарски
2 Манджукова Я., Терзиева Р., Христова Сн. 2 Основни теоретични сведения за матрични игри Една безкоалиционна игра G(И,Х,Р) с k играча се нарича игра с нулева сума, ако за всеки изход на играта x = (x 1, x 2,., x n ) X = X 1 X 2 X n, сумата от плащанията на всички играчи е нулева, т.е. е изпълнено P j (x) = 0. j=1 Безкоалиционните игри с двама играчи с нулева сума се наричат антагонистични. При антагонистичните игри за всеки изход на играта е изпълнено, че плащанията на двамата играчи са равни по абсолютна стойност, но с противоположни знаци. Това означава, че интересите на двамата играчи са антагонистични, противоположни. Антагонистичните игри могат да бъдат крайни или безкрайни. Крайните антагонистични игри се наричат матрични игри. Доминиращи стратегии Стратегията x i е доминираща, ако елементите на i-тия ред в матрицата М са поголеми или равни от съответните елементи във всички останали редове. Стратегията y j е доминираща, ако елементите на j-тия стълб в матрицата М са помалки или равни от съответните елементи във всички останали стълбове. Седлова точка и цена на играта Изходът на матрична игра, при който нейното плащане е по-малко или равно на всяко плащане в съответния й ред и е по-голямо или равно на всяко плащане в съответния й стълб се нарича седлова точка. Ако съществува число V, такова, че за И1 има стратегия, която му гарантира печалба ПОНЕ V, за И2 има стратегия, която му гарантира печалба НЕ ПОВЕЧЕ от V, тo V се нарича цена на играта. Ако една матрична игра има седлова точка, то нейното плащане е цена на играта. 3 Моделиране на някои конкретни реални ситуации чрез игри. Ще разгледаме примери, с които ще илюстрираме основните понятия и методи в теория на игрите. Пример 1. Две големи компютърни фирми предлагат определен вид лаптоп. Маркетингово проучване показва печалбата на двете фирми, при различните цени, измежду които те могат да изберат (Таблица 1). k Печалбата (в млн. лв) на двете фирми. Таблица 1. A B C X 5, 5 1,1 1, 1 Y 10, 10 4, 4 3, 2 Z 6, 6 3, 3 2,
3 Матрични игри, равновесие и компютърна реализация От таблица 1 се вижда, че играчите имат краен брой стратегии, като играч 1 (И1) има стратегии X, Y, Z, а И2 - A, B, C, както и че двамата играчи са с антагонистични интереси (всеки изход на играта има нулева сума). В този случай играта се нарича матрична и е напълно дефинирана само с матрицата от плащанията на първия играч. Следователно можем да представим матрицата на плащанията (М) за двамата играчи по следния начин: Таблица 2. Матрица на плащанията (М) A B C X Y Z Тъй като интересите на двамата играчи са антагонистични/противоположни, то платежната матрица на И2 е М. От Таблица 2 се вижда, че елементите във втория ред са по-големи от съответните елементи в останалите редове. Следователно, можем да твърдим, че стратегията Y е доминираща стратегия за И1. Докато елементите в нито един от стълбовете не са по-малки или равни от съответните елементи в останалите стълбове. Следователно, няма доминираща стратегия за И2. X И1 : Y ( ) Z A B C И2 : ( ) Фигура 1. Намиране на доминиращи стратегии. За намиране на седловата точка с кръгче отбелязваме min по ред, с квадратче max по стълб (Таблица 3). Намиране на седлова точка Таблица
4 Манджукова Я., Терзиева Р., Христова Сн. Разглежданата игра има седлова точка (Y, C) и цената на играта е 3. Реализираме решението чрез Wolfram Mathematica: o Изготвяне матрица на плащанията: o Изготвяне на код, намиращ доминиращите стратегии за двамата играчи: o Търсене на седлова точка: В изпълнение на този код, получаваме доминиращите стратегии за двата играчи (ако има такива), седлова точка и цена на играта. Резултати: Пример 2. Рибари, които работят на един риболовен кораб имат възможност да сложат мрежите за риба или в открито море или в залива, като таксата им за залива е 10 лв, а за открито море - 20 лв. В открито море има повече и по-хубава риба, но има възможност и от вълнения на водата, които биха унищожили мрежите им. Докато в залива, те ще спечелят от улова на риба 35 (х100) лв. Ако изберат да отидат в открито море и има вълнение, то те ще спечеля само 15 (х100) лв, а ако няма вълнение 75 (х100) лв. Кое място да изберат рибарите? Колко ще спечелят при този избор? Първоначално определяме кои са стратегиите в дадената игра Открито, Закрито, Вълнение, Без вълнение. Как да попълним таблицата? Открито ( - 20 лв.) С вълнение (+ 15 лв.) = - 5 Без вълнение (+ 75 лв.) = 5 140
5 Матрични игри, равновесие и компютърна реализация Закрито ( - 10 лв.) С вълнение (+ 35 лв.) = 25 Без вълнение (+ 35 лв.) = 25 Сега изготвяме матрицата на плащанията и попълваме плащанията в нея. Матрица на плащанията за Пример 2 Таблица 4 Вълнение Без вълнение Открито 5 55 Закрито Използваме написания по-горе алгоритъм за решаване на такъв тип задачи чрез Wolfram Mathematica. Решение: Извод : Има седлова точка, която е (Закрито, Вълнение), а цената на играта е 25, което означава, че рибарите трябва да отидат в залива без значение дали има или няма вълнение. Те не са заинтересовани да се отклоняват от този избор. При този избор ще спечелят 25(х100) лв. Заключение В настоящата работа, благодарение на теория на игрите са моделирани и изследвани две коренно различни реални ситуации. Разгледани са матрични игри, които са решени с помощта на математическия софтуер Wolfram Mathematica. Благодарности Изследванията са частично извършени по проект МУ17ФМИ007 и СП17ФМИ 005 към НПД при ПУ П. Хилендарски. 141
6 Манджукова Я., Терзиева Р., Христова Сн. ЛИТЕРАТУРА: [1] Иванов, И., Теория на игрите с икономически приложения, Унив. изд-во Кл. Охридски, [2] Гочева Илиева, С., Въведение в системата Mathematica, Екс-Прес, [3] Diaz, J., Jurado, I., Janiero, M., An Introductory Course on Mathematical Game Theory, AMS, [4] Julmi, C., Introduction to Game Theory, BookBoon, Яница Маринова Манджукова, докторант Радослава Сашкова Терзиева, Снежана Христова Пловдивски университет Паисий Хилендарски, катедра: Приложна математика и моделиране (автор за кореспонденция) 142
Линейна алгебра 7. Умножение на матрици. Обратими матрици. Матрични уравнения специалности: Математика, Бизнес математика, Приложна математика, I курс
. Обратими матрици. Матрични уравнения специалности: Математика, Бизнес математика, Приложна математика, I курс лектор: Марта Теофилова Кратка история Матричното умножение е въведено от немския математик
ПодробноУправление на иновациите и инвестициите
Въпрос 13 Оценяване на инвестиционни проекти по метода на нетната настояща стойност Оценяването на инвестиционните проекти е сърцевината на инвестиционния процес Оценките на проекта са основа за: а) избор
ПодробноVocational Education Volume 19, Number 4, 2017 Професионално образование School for Teachers Училище за учители ГРАФИЧЕН МЕТОД ЗА РЕШАВАНЕ НА УРАВНЕНИ
Vocational Education Volume 19, Number 4, 2017 Професионално образование School for Teachers Училище за учители ГРАФИЧЕН МЕТОД ЗА РЕШАВАНЕ НА УРАВНЕНИЯ Информационните технологии инструментариум за решаване
ПодробноЛинейна алгебра 11. Собствени стойности и собствени вектори на матрица и линейно преобразувание. Диагонализиране на матрица специалности: Математика,
на матрица и линейно преобразувание. Диагонализиране на матрица специалности: Математика, Бизнес математика, Приложна математика, I курс лектор: Марта Теофилова Собствени стойности и собствени вектори
ПодробноИзисквания към оформлението на докладите:
ЕВРОПЕЙСКА ВИРТУАЛНА ЛАБОРАТОРИЯ ПО МАТЕМАТИКА НОВИ ВЪЗМОЖНОСТИ В ОБУЧЕНИЕТО СНЕЖАНА Г. ГОЧЕВА-ИЛИЕВА EUROPEAN VIRTUAL LABORATORY OF MATHEMATICS NEW CHALANGES IN EDUCATION SNEZHANA G. GOCHEVA-ILIEVA ABSTRACT:
ПодробноМАТТЕХ 2018, CONFERENCE PROCEEDING, v. 1, pp SECTION MATHEMATICS AND INFORMATICS EDUCATION TASK-SOLVING COMPETENCE AND APPLICATION OF TASK- S
МАТТЕХ 2018, CONFERENCE PROCEEDING, v. 1, pp. 285-289 SECTION MATHEMATICS AND INFORMATICS EDUCATION TASK-SOLVING COMPETENCE AND APPLICATION OF TASK- SOLVING METHODS TODOR L. TRAYCHEV ABSTRACT: The article
ПодробноСеминар № 2: Граници на редици, признаци на Даламбер и Коши за сходимост на редове
Семинар / 7 Семинар : Парциална сума на числов ред. Метод на пълната математическа индукция. Критерии за сходимост на редове.! Редица (последователност): x, x,, x, x! Ред: x x x...... Числов ред (безкрайна
ПодробноSlide 1
11. Количествено ориентирани методи за вземане на решения в обкръжение на неопределеност и риск 1 Структура Матрица на полезността Дърво на решенията 2 11.1. Матрица на полезността 3 Същност на метода
ПодробноЛинейна алгебра 12. Квадратични форми специалности: Математика, Бизнес математика, Приложна математика, I курс лектор: Марта Теофилова Линейна алгебра
специалности: Математика, Бизнес математика, Приложна математика, I курс лектор: Марта Теофилова Реални квадратични форми Израз от вида f(x 1, x 2,..., x n ) = n i=1 j=1 n a ij x i x j, (1) където x i
ПодробноMicrosoft Word - PMS sec1212.doc
Лекция Екстремуми Квадратични форми Функцията ϕ ( = ( K се нарича квадратична форма на променливите когато има вида ϕ( = aij i j i j= За коефициентите предполагаме че a ij = a ji i j При = имаме ϕ ( =
ПодробноI
. Числено решаване на уравнения - метод на Нютон. СЛАУ - метод на проста итерация. Приближено решаване на нелинейни уравнения Метод на допирателните (Метод на Нютон) Това е метод за приближено решаване
ПодробноГ Р А Ф И К ЗА П О П Р А В И Т Е Л Н А С Е С И Я
Г Р А Ф И К З А З И М Н А У С Л О В Н А С Е С И Я - Б А К А Л А В Р И З А У Ч Е Б Н А Т А 0 / 0 г. КАТЕДРИ ДИСЦИПЛИНИ БРОЙ ДАТА ЧАС ЗАЛА. Икономикс. Основи на икономическата теория. Основи на икономическата
ПодробноС Т А Н О В И Щ Е относно дисертационен труд за получаване на образователната и научна степен Доктор професионално направление 4.1. Физически науки Ав
С Т А Н О В И Щ Е относно дисертационен труд за получаване на образователната и научна степен Доктор професионално направление 4.1. Физически науки Автор на дисертационния труд: Александър Алексиев Стефанов
ПодробноIATI Day 1 / Senior Задача Activity (Bulgarian) X INTERNATIONAL AUTUMN TOURNAMENT IN INFORMATICS SHUMEN 2018 При лошо време навън Лора и Боби обичат д
Задача Activity (Bulgarian) При лошо време навън Лора и Боби обичат да се събират и да играят настолни игри. Една от любимите им игри е Activity. В тази задача ще разгледаме обобщение на играта. Играта
ПодробноСОФИЙСКА МАТЕМАТИЧЕСКА ГИМНАЗИЯ ТУРНИР ПО МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА "ЗА ТОРТАТА НА ДИРЕКТОРА" ТЕМА ПО ИНФОРМАТИКА Група X (10-12 клас) Задача Рязане на
Задача Рязане на квадрат Цури има квадрат с лице 1 и иска да го разреже на N равнолицеви правоъгълника (всеки с лице 1 ). За съжаление инстумента за рязане с който разполага Цури не е N съвършен. Чрез
ПодробноСОФИЙСКИ УНИВЕРСИТЕТ "СВ. КЛИМЕНТ ОХРИДСКИ" Философски факултет Утвърдил: Ректор: УЧЕБЕН ПЛАН Политология Начална година: Обучение: Образователно квал
СОФИЙСКИ УНИВЕРСИТЕТ "СВ. КЛИМЕНТ ОХРИДСКИ" Философски факултет Утвърдил: Ректор: УЧЕБЕН ПЛАН Политология Начална година: Обучение: Образователно квалификационна степен: Квалификационно наименование на
Подробно54. НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА НАЦИОНАЛЕН КРЪГ Задача 1. Да се намерят всички тройки от естествени числа (x, y, z) такива, че 2005 x + y + 200
54. НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА НАЦИОНАЛЕН КРЪГ Задача 1. Да се намерят всички тройки от естествени числа (x, y, z) такива, че x + y + 005 x + z + y + z е естествено число. Решение. Първо ще докажем,
Подробно(не)разложимост на полиноми с рационални коефициенти Велико Дончев Допълнителен материал за студентите по Висша алгебра и Алгебра 2 на ФМИ 1 Предварит
(не)разложимост на полиноми с рационални коефициенти Велико Дончев Допълнителен материал за студентите по Висша алгебра и Алгебра 2 на ФМИ 1 Предварителни сведения и твърдения Както е ясно от основната
ПодробноИКОНОМИЧЕСКИ УНИВЕРСИТЕТ - В А Р Н А С Т О П А Н С К И Ф А К У Л Т Е Т КАТЕДРА ИКОНОМИКА И УПРАВЛЕНИЕ НА ТЪРГОВИЯТА УТВЪРЖДАВАМ:. (Проф. д-р Пламен Ил
ИКОНОМИЧЕСКИ УНИВЕРСИТЕТ - В А Р Н А С Т О П А Н С К И Ф А К У Л Т Е Т КАТЕДРА ИКОНОМИКА И УПРАВЛЕНИЕ НА ТЪРГОВИЯТА УТВЪРЖДАВАМ:. (Проф. д-р Пламен Илиев) У Ч Е Б Н А П Р О Г Р А М А ПО ДИСЦИПЛИНАТА: ИНВЕСТИЦИОННА
ПодробноMicrosoft Word - PRMAT sec99.doc
Лекция 9 9 Изследване на функция Растене, намаляване и екстремуми В тази лекция ще изследваме особеностите на релефа на графиката на дадена функция в зависимост от поведението на нейната производна Основните
ПодробноРЕЦЕНЗИЯ
РЕЦЕНЗИЯ от проф. дмн Стефка Христова Буюклиева ФМИ при ВТУ Св.св. Кирил и Методий на дисертационен труд за придобиване на образователната и научна степен "Доктор" Област на висше образование: 4. Природни
ПодробноHomework 3
Домашно 3 по дисциплината Дискретни структури за специалност Информатика I курс летен семестър на 2015/2016 уч г в СУ ФМИ Домашната работа се дава на асистента в началото на упражнението на 25 26 май 2016
ПодробноMicrosoft Word - VM22 SEC55.doc
Лекция 5 5 Диференциални уравнения от първи ред Основни определения Диференциално уравнение се нарича уравнение в което участват известен брой производни на търсената функция В общия случай ( n) диференциалното
ПодробноICrAData Софтуер за Интеркритериален анализ Николай Икономов 1, Петър Василев 2, Олимпия Роева 2 1 Институт по математика и информатика, БАН nikonomov
ICrAData Софтуер за Интеркритериален анализ Николай Икономов 1, Петър Василев 2, Олимпия Роева 2 1 Институт по математика и информатика, БАН nikonomov@math.bas.bg 2 Институт по биофизика и биомедицинско
Подробно036v-b.dvi
МАТЕМАТИКА И МАТЕМАТИЧЕСКО ОБРАЗОВАНИЕ, 2010 MATHEMATICS AND EDUCATION IN MATHEMATICS, 2010 Proceedings of the Thirty Ninth Spring Conference of the Union of Bulgarian Mathematicians Albena, April 6 10,
ПодробноСъдържание на квалификационния модул Социална интеграция ключови компетенции и умения, по проект QualiProAIR, Програма Еразъм + Разработено от: Таня Н
Съдържание на квалификационния модул Социална интеграция ключови компетенции и умения, по проект QualiProAIR, Програма Еразъм + Разработено от: Таня Николова и Елена Шишманова (контакти: office@bco.bg,
ПодробноЛогаритмична регресия
Логаритмична регресия Доц. д-р Ивайло Пенев Кат. Компютърни науки и технологии Функция на хипотезата h θ x = g θ T x = 1 1 + e θt x Функция на цената J θ = 1 σ m i=1 m Cost(h θ x i, y i ), където Cost(h
ПодробноПроектиране на непрекъснат ПИД - регулатор. Динамичните свойства на системите за автоматично регулиране, при реализация на първия етап от проектиранет
Проектиране на непрекъснат П - регулатор инамичните свойства на системите за автоматично регулиране, при реализация на първия етап от проектирането им, могат да се окажат незадоволителни по отношение на
ПодробноСТАНОВИЩЕ
РЕЦЕНЗИЯ от доц. д-р Виолета Мутафчиева Бакалова катедра Икономика на транспорта Университет за национално и световно стопанство Относно: дисертационен труд за присъждане на образователна и научна степен
ПодробноMicrosoft Word - module 3.doc
МАТЕМАТИЧЕСКИ КОМПЕТЕНЦИИ И ОСНОВНИ КОМПЕТЕНЦИИ ПО НАУКА И ТЕХНИКА ИНСТРУМЕНТ 8 КЛЮЧОВИ КОМПЕТЕНЦИИ Юли 2009 Учебна програма: Инструмент 8 ключови компетенции за учене през целия живот Партньор: Университет
ПодробноÒÅÑÒÎÂÅÒÅ: ÇÀ ÈËÈ ÏÐÎÒÈÂ
ТЕСТОВЕТЕ ОТ ТИПА "МНОЖЕСТВЕН ИЗБОР": ЗАЩО И КАК Гл. ас. Атанас Аврамов Гл. ас. Стефан Грозев Катедра "Математика и статистика" СА Д. А. Ценов Резюме: В този материал авторите продължават дискусията върху
ПодробноРЕЦЕНЗИЯ от проф. дмн Тодор Желязков Моллов професор във ФМИ при ПУ "Паисий Хилендарски" на дисертационен труд за получаване на образователната и науч
РЕЦЕНЗИЯ от проф. дмн Тодор Желязков Моллов професор във ФМИ при ПУ "Паисий Хилендарски" на дисертационен труд за получаване на образователната и научна степен доктор по професионално направление 4.5 Математика
ПодробноКОНСПЕКТ на държавен изпит на специалност Корпоративен мениджмънт I. Обща част 1. Стратегически мениджмънт: същност, развитие и характеристики. Опреде
КОНСПЕКТ на държавен изпит на специалност Корпоративен мениджмънт I. Обща част 1. Стратегически мениджмънт: същност, развитие и характеристики. Определения за стратегически мениджмънт. Разлики между стратегия
ПодробноМоделиране с програмния продукт West на биохимичните процеси в биологичното стъпало на спсов – Кубратово. Симулации на експлоатационни режими и страте
МОДЕЛИРАНЕ С ПРОГРАМНИЯ ПРОДУКТ WEST НА БИОХИМИЧНИТЕ ПРОЦЕСИ В БИОЛОГИЧНОТО СТЪПАЛО НА СПСОВ КУБРАТОВО. СИМУЛАЦИИ НА ЕКСПЛОАТАЦИОННИ РЕЖИМИ И СТРАТЕГИЯ ЗА ОПТИМИЗАЦИЯ инж. И. Давидов, доц. д-р инж. И.
ПодробноХТМУ Светослав Ненов Навигация Диференчни схеми Начална страница Курсове Математика Диференчни схеми Уравнение на топлопроводимост FTCS схема Настройк
ХТМУ Светослав Ненов Навигация Диференчни схеми Начална страница Курсове Математика Диференчни схеми Уравнение на топлопроводимост FTCS схема Настройки FTCS схема Календар Разглеждаме едномерната задача
ПодробноMicrosoft Word - recenzia P. Petrov
Р Е Ц Е Н З И Я на дисертационен труд за придобиване на образователна и научна степен доктор Тема: Управление на промяната при внедряване на съвременни образователни технологии Автор: Петър Веселинов Петров
ПодробноПУ ПАИСИЙ ХИЛЕНДАРСКИ, ФИЛОСОФСКО-ИСТОРИЧЕСКИ ФАКУЛТЕТ Сравнителни резултати от изследванията на студентското мнение за учебния процес, които се прове
ПУ ПАИСИЙ ХИЛЕНДАРСКИ, ФИЛОСОФСКО-ИСТОРИЧЕСКИ ФАКУЛТЕТ Сравнителни резултати от изследванията на студентското мнение за учебния процес, които се провеждат в края на всяка учебна година Запознати ли сте
ПодробноМАТЕМАТИКА И МАТЕМАТИЧЕСКО ОБРАЗОВАНИЕ, 2006 MATHEMATICS AND EDUCATION IN MATHEMATICS, 2006 Proceedings of the Thirty Fifth Spring Conference of the U
МАТЕМАТИКА И МАТЕМАТИЧЕСКО ОБРАЗОВАНИЕ, 2006 MATHEMATICS AND EDUCATION IN MATHEMATICS, 2006 Proceeings of the Thirty Fifth Spring Conference of the Union of Bulgarian Mathematicians Borovets, April 5 8,
Подробно