Семинар 1: Комплексни числа. Функции на комплексна променлива.
|
|
- Венцислав Стоилов
- преди 4 години
- Прегледи:
Препис
1 Семинар 1: Комплексни числа. Функции на комплексна променлива. Комплексно число, с: c z (, ) + + j а Re[c] реална част; Im[c] имагинерна част; j 1 r c + - модул на комплексното число (к. ч.). tg ϕ, ϕ rg c - аргумент на комплексното число (к. ч.). c r cos ϕ+ sn ϕ ( ) c r( cos ϕ+ sn ϕ ); r c + ; cos ϕ ; sn ϕ + + Уравнение на Oйлер: е ϕ cos ϕ+ sn ϕ c re ϕ Намиране на аргумента на едно к.ч.: 1. Чрез пресмятане на cos(ϕ) и sn(ϕ) и използване на единична окръжност. 1
2 . Чрез пресмятане на ϕ rctn(, ), дефиниран в границите (-π, π]. rctn rctn(, ) rctn + + rctn > rctn + π <, rctn π <, < rg( c) ϕ rctn rctn(, ) π, > π, < неопределен, Действия между комплексни числа: c1 ( 1, 1) 1+ 1 ; c (, ) + ± ( + ) ± ( + ) ; c cc ( ) + ( + ) c c c c c c 1 ( r ϕ 1 ϕ ( ϕ1+ ϕ ) 1e )( re ) r1 re
3 c + c + c c c c ϕ1 1 r1 e r1 ( ϕ1 ϕ ) e ϕ r r e Комплексно спрегнати числа: c + и c са комплексно спрегнати Имат един и същ модул: c c ( + )( ) ( ) + r e ϕ cos ϕ snϕ cos( ϕ ) + sn( ϕ ) e c + ( ) + c r ϕ cosϕ + snϕ e cosϕ snϕ e ϕ ϕ c ( + ) ( + )( + ) + + c ( ) ( )( + ) ϕ c re ϕ tgϕ e cos ϕ + sn ϕ ; tgϕ c ϕ re 1 tg ϕ Формула на Моавър ϕ n ( ) ( cos sn ) n n c re r n n ϕ+ ϕ Намиране на корен n-ти n n ϕ+ kπ ϕ+ kπ c rcos + sn ; k,1,..., n 1 n n Задача 1. Определете реалната и имагинерната част на комплексните числа: (а) ; (б) ; (в) + ; (г) 1 ; Задача. Определете модула и аргумента на на комплексните числа: (а) ; (б) ; (в) + ; (г) 1 ; Задача. Определете модула и аргумента на на комплексните числа: (а) + ; (б) - ; (а) c + ; а Re[c], Im[c], r c + + tg ϕ ϕ rctn(/) 6.9. (б) c - ; а Re[c], Im[c] -, r c ( ) + +
4 tgϕ ϕ rctn(-/) Задача. Пресметнете изразите: 1 1 (а) ; (б) 1+ ; (в) ( 1 )( + ) ( 1+ )( ) 1 1 ( 1 )( ) ( 1 )( ) + 1 (а) 1 + ( + )( ) ( ) ( 1) 1 ( 1 )( 1 ) (б) ( )( ) ( ) (в) ( 1 )( + ) ( 1 )( 1 )( + )( + ) ( 1+ )( ) ( 1+ )( 1 )( )( + ) ( 1 + )( + + ) ( 1 )( ) Задача. Намерете всички корени на уравнението ω + ϕ ω c re [ ] [ ] Re c ; Im c ( ) r + + ϕ ϕ π ; tg π π ω e cos + sn π π + kπ k cos + π sn n n 1 π + πk n ω e + π π π 11π π ( + ) π π π π k ω e cos + sn ; k 1ω e cos + sn π 7π 11π 11π k ω e cos + sn ; k ω e cos + sn π π π k ω e cos + sn. Задача 6. Като използвате формулата на Моавър намерете стойността на израза: 1 +
5 π z + r 1; tg + ϕ ϕ π 1 1π 6 6 π cos sn 1e e e cos sn 1 + π π + ( π+ π ) 6 6 Задачи за домашно Намерете стойностите на изразите: ) ( + ) ; б) ( 1 )( ) ( )( ) ( 1+ ) ( + ) в) ( 1 )( + ) Намерете всички корени на уравненията: ) ω 8 + ; б) ω в) ω ; г) ω ( 1+ ) Диференциране на функция на комплексна променлива. Теорема на Коши-Риман. Теорема 1. Ако функцията w f ( z) u( x, y) v( x, y) + e диференцируема в точката z x +y, то съществуват първите частни производни на функциите u(x,y) и v(x,y), при което в тази точка са в сила равенствата: (условия на Коши-Риман) Теорема. Ако в точката (x,y) съществуват първите частни производни на функциите u(x,y) и v(x,y), и са изпълнени условията на Коши-Риман, то функцията w f z u x, y + v x, y e диференцируема в тази точка. ( ) ( ) ( ) Дефиниция: Ако една функция f(z) е диференцируема във всяка точка на дадена област S от комплексната равнина, то функцията f(z) се нарича аналитична в областта S. f '( z) + + Задача 7. Дадена е функцията ( ) ( ) f z x y + xy като z x +y. Проверете дали f(z) е диференцируема и намерете f ', ако е диференцируема. u x, y x y ; v x, y xy ( ) ( ) ( )
6 ; x x y; y; Условията на Коши-Риман са изпълнени и функцията е диференцируема в цялата комплексна равнина. Нейната производна е: f '( z) + x+ y z Задача 8. Дадена е реалната част на диференцируемата функция f ( z) uxy (, ) + vxy (, ), u( x, y) x y x, като z x +y. Намерете функцията f ( z) uxy (, ) vxy (, ) (, ) ( ) u x y x y x +. x 1 x 1 dv x 1 dy v x, y x 1 y+ C x u y dc ( xy y + C ( x) ) y + dx dc dc y y + C ( x) const A dx dx v x, y xy y+ A ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (, ) (, ) ( ) ( ) ( ) ( ) f z u x y + v x y x y x + xy y+ A x+ y x+ y + A ( ) + ; ( ) f z z z A 1 Задача 9. f ' z + x 1+ y z 1 Дадена е имагинерната част на диференцируемата функция f ( z) uxy (, ) vxy (, ) v( x, y) snxsnh y, като z x +y. Намерете функцията f ( z) uxy (, ) + vxy (, ). v x, y snxsnh y ( ) cos xsnh y cos xsnh y ( ) ( ) u cos xsnh y u x, y cos xcosh y+ C x +, 6
7 v sn xcosh y; dc ( cos xcosh y+ C( x) ) sn xcosh y+ dx dc sn x cosh y sn x cosh y + C ( x) const A dx u x, y cosxcosh y+ A ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f z u x, y + v x, y cos xcosh y+ A+ sn xsnh y cos x+ y + A cos z+ A f '( z) + sn xcosh y+ cos xsnh y sn ( x+ y) sn z Задачи за домашно: 1. Дадена е функцията f ( z) ( x xy ) ( x y y ) намерете f ', ако е диференцируема. + проверете дали е диференцируема и. Дадена е функцията f ( z) sn xcosh y+ cos xsn y проверете дали е диференцируема и намерете f ', ако е диференцируема.. Дадена е реалната част на диференцируемата функция f ( z) uxy (, ) + vxy (, ), u( x, y) x cos( yln), като z x +y. Намерете функцията f ( z) uxy (, ) + vxy (, ).. Дадена е имагинерната част на диференцируемата функция f ( z) uxy (, ) vxy (, ) v( x, y) x+ y, като z x +y. Намерете функцията f ( z) uxy (, ) + vxy (, ). +, 7
Microsoft Word - Sem8-Pharm-2018.docx
Семинар 8 1 / 7 Семинар 8: Комплексни числа. Вектори в тримерното пространство Комплексно число, с: c z (, ) + + j а Re[c] реална част; Im[c] имагинерна част; j 1 r c + - модул на комплексното число (к.
ПодробноКомплексни числа Алгебричен вид: c a ib, където Тригонометричен вид: c r cos i sin Показателна форма: c i re i 1 е имагинерната единица. В полярни коо
Комплексни числа Алгебричен вид: c i, където Тригонометричен вид: c r cos i sin Показателна форма: c i re i е имагинерната единица. В полярни координати: r cos, r sin Модул на комплексно число: r c Аргумент
ПодробноMicrosoft Word - IGM-CA2222ааа.doc
Лекция α Функциите e ln и Функциите e и ln Тук ще дадем още едно определение за експоненциалната функция което разбира се води до същия резултат както определението със степенен ред без да доказваме еквивалентността
ПодробноСеминар № 2: Граници на редици, признаци на Даламбер и Коши за сходимост на редове
Семинар 4 / 7 Семинар 4: Производна на неявна функция. Развитие на функция в ред на Тейлър. Правило на Лопитал. Развитие на функция в ред на Тейлър Дефиниция: Нека функцията f() да е дефинирана в някаква
ПодробноСеминар № 2: Граници на редици, признаци на Даламбер и Коши за сходимост на редове
Семинар 6 / Семинар 6: Лява и дясна граница. Непрекъснатост на числови функции. Изследване графиките на функции: Кривина, максимум, минимум и инфлексна точка Лява и дясна граница на функция Числото b се
ПодробноКвадратно уравнение ax 2 + bx + c = 0 = a(x x 1 )(x x 2 ) x 1,2 = b ± b2 4ac 2a Формули за съкратено умножение (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a b) 2 = a
Квадратно уравнение + + c = = ( )( ), = ± 4c Формули за съкратено умножение ( + ) = + + ( ) = + ( )( + ) = ( + ) = + + + ( ) = + ( + )( + ) = + ( )( + + ) = Правила за степенуване m = +m : m = = m m (
ПодробноMicrosoft Word - VM22 SEC55.doc
Лекция 5 5 Диференциални уравнения от първи ред Основни определения Диференциално уравнение се нарича уравнение в което участват известен брой производни на търсената функция В общия случай ( n) диференциалното
ПодробноMicrosoft Word - Lecture 14-Laplace Transform-N.doc
Лекция 4: Интегрално преобразувание на Лаплас 4.. Дефиниция и образи на елементарните функции. Интегралното преобразувание на Лаплас Laplac ranorm се дефинира посредством израза: Λ[ ] преобразувание на
Подробноmathematical interface_Biologija i Himija
Логаритъм log log P т.е. P P Основа на логаритъма. log 0 и log Логаритъмът е степента (), на която трябва да бъде повдигната основата (), за да се получи числото Р. Логаритми, използвани във физикохимията:
Подробно16. Основни методи за интегриране. Интегриране на някои класове функции Интегриране по части. Теорема 1 (Формула за интегриране по части). Ако
6. Основни методи за интегриране. Интегриране на някои класове функции. 6.. Интегриране по части. Теорема (Формула за интегриране по части). Ако функциите f(x) и g(x) садиференцируеми в интервала (a, b)
ПодробноMicrosoft Word - Sem8-Pharm-2017.doc
Семинар 9 / 6 Семинар 9: Обикновени диференциални уравнения Обикновени диференциални уравнения с разделящи се променливи: = X ( ) Y ( ) = X + C Y d Ако е зададено гранично условие, у(х0) = у0 = Y ( ) 0
Подробноmunss2.dvi
ОТГОВОРИ И РЕШЕНИЯ 3(x + y)(x xy + y )y(x y) 1. (Б) Преобразуваме: (x y)(x + y)(x + y ) x(x xy + y ) = 3y (x + y)(x y) x = (x + y ) 3 y x y x x + y = 3 y x (x y ) 1 ( x y ) + 1 = 3 ( 3 ) 1 9 3 ( 3 ) +
ПодробноMicrosoft Word - IGM-CA1919.doc
Лекция 9 9 Функции на комплексна променлива Криви и области в комплексната равнина Тук се предполага че основните определения за комплексно число както и свойствата на алгебричните операции между комплексни
ПодробноСеминар 6: Обикновени диференциални уравнения от 2 ред.
Семинар 6 Обикновени диференциални уравнения от ред. Хомогенни линейни ОДУ-я с постоянни коефициенти (ХЛОДУПК): y ( ) +a y ( ) + +a y=0 Характеристично уравнение (ХУ): k +a k + +a =0 1) Всеки реален корен
ПодробноСЪДЪРЖАНИЕ
Тема 9: Параметри на синусоидалните напрежения и токове Символично представяне на синусоидални и несинусоидални величини Елементарни двуполюсници в установен синусоидален режим Теоретична част Параметри
ПодробноЗадача 1. Да се реши уравнението софийски университет св. климент охридски писмен конкурсен изпит по математика II 31 март 2019 г. Tема 1 (x 1) x 2 =
Задача 1. Да се реши уравнението софийски университет св. климент охридски писмен конкурсен изпит по математика II 1 март 019 г. Tема 1 x 1) x = x x 6. Решение: 1.) При x
ПодробноСеминар № 2: Граници на редици, признаци на Даламбер и Коши за сходимост на редове
Семинар / 7 Семинар : Парциална сума на числов ред. Метод на пълната математическа индукция. Критерии за сходимост на редове.! Редица (последователност): x, x,, x, x! Ред: x x x...... Числов ред (безкрайна
Подробно1. Намерете: xsin x lim x 0 ln( x ) Пресметнете интеграла: x 4 ln x dx
sin 0 ( 4 ) 4 d +, 5 - - ( 1) + d + + 5 = t, t, t [ 0, ] - - : 5 + 4 ( + 5 )sin( 4 ) d Намерете обема на тялото, получено от завъртането на y = ( + ), [0, 7 / ] около оста O 1Намерете: ( 1) 1 sin ( π )
Подробно(не)разложимост на полиноми с рационални коефициенти Велико Дончев Допълнителен материал за студентите по Висша алгебра и Алгебра 2 на ФМИ 1 Предварит
(не)разложимост на полиноми с рационални коефициенти Велико Дончев Допълнителен материал за студентите по Висша алгебра и Алгебра 2 на ФМИ 1 Предварителни сведения и твърдения Както е ясно от основната
Подробноmunss2.dvi
ОТГОВОРИ И РЕШЕНИЯ 1. (В) Даденото неравенство няма смисъл, в случай че някой от знаменателите на двата дробни израза е равен на нула. Тъй като x 4 = (x+)(x ), то x 4 = 0 за x = и за x =. Понеже x +3 >
ПодробноГлава 7 Теоретико-числови преобразования 7.1 Дискретно преобразование на Фурие. Дефиниция Нека X = {x n } и Y = {y n } са две редици от комплекс
Глава 7 Теоретико-числови преобразования 7.1 Дискретно преобразование на Фурие. Дефиниция 7.1.1 Нека X {x n } и Y {y n } са две редици от комплексни числа. Взаимна корелация на редиците X и Y наричаме
ПодробноMergedFile
ЛЕКЦИИ по КОМПЛЕКСЕН АНАЛИЗ доц д-р Ваня Хаджийски второ издание София 8 г На светлата памет на моите родители СЪДЪРЖАНИЕ Предисловие 9 Лекция Комплексни числа Редици и редове от комплексни числа Алгебрична
ПодробноMicrosoft Word - IGM-SER1111.doc
Лекция Редове на Фурие поточкова сходимост Теорема на Дирихле Тук ще разглеждаме -периодична функция ( ) която ще искаме да бъде гладка по части Това означава че интервала ( ) може да се раздели на отделни
ПодробноСеминар 5: Обикновени диференциални уравнения (ОДУ)
Семинар 5 Обикновени диференциални уравнения Обикновени диференциални уравнения с разделящи се променливи: dy dy =X)Yy) =X) + C Yy) Ако е зададено гранично условие, то намираме частно решение (ЧР): y )
ПодробноMicrosoft Word - Sem02_KH_VM2-19.doc
Семинар Действия с матрици. Собствени стойности и собствени вектори на матрици. Привеждане на квадратична форма в каноничен вид. Матрица k всяка правоъгълна таблица от k-реда и -стълба. Квадратна матрица
ПодробноDZI Tema 2
МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА ДЪРЖАВЕН ЗРЕЛОСТЕН ИЗПИТ ПО МАТЕМАТИКА 6.05.05 г. ВАРИАНТ Отговорите на задачите от. до 0. включително отбелязвайте в листа за отговори!. Кое от числата е различно
ПодробноDIC_all_2015_color.dvi
РУМЕН НИКОЛОВ ДАСКАЛОВ ЕЛЕНА МЕТОДИЕВА ДАСКАЛОВА В И С Ш А М А Т Е М А Т И К А ЧАСТ II y y = e O y = ln Диференциално и интегрално смятане Габрово, 05 Автори: Авторите са преподаватели в катедра Математика
ПодробноМОДЕЛ НА НАЦИОНАЛНОТО ВЪНШНО ОЦЕНЯВАНЕ ПО МАТЕМАТИКА В Х КЛАС ЗА УЧЕБНАТА ГОДИНА 1. Цели на НВО в Х клас съгласно чл. 44, ал. 1 от Наредба 1
МОДЕЛ НА НАЦИОНАЛНОТО ВЪНШНО ОЦЕНЯВАНЕ ПО МАТЕМАТИКА В Х КЛАС ЗА УЧЕБНАТА 019 00 ГОДИНА 1. Цели на НВО в Х клас съгласно чл. 44, ал. 1 от Наредба 11 за оценяване на резултатите от обучението на учениците:
ПодробноИван Димитров З А П И С К И на лекции по АНАЛИЗ 2 СОФИЯ, 2015
Иван Димитров З А П И С К И на лекции по АНАЛИЗ 2 СОФИЯ, 2015 Съдържание Предговор 4 1 Обикновени диференциални уравнения и системи 7 1.1 Обикновени диференциални уравнения от първи ред...... 7 1.1.1
ПодробноMicrosoft Word - VypBIOL-02-Kin-Okryznost.doc
ВЪПРОС КИНЕМАТИКА НА ДВИЖЕНИЕТО НА МАТЕРИАЛНА ТОЧКА ПО ОКРЪЖНОСТ Във въпроса Кинематика на движението на материална точка по окръжност вие ще се запознаете със следните величини, понятия и закони, както
ПодробноDIC_all_2014.dvi
РУМЕН НИКОЛОВ ДАСКАЛОВ ЕЛЕНА МЕТОДИЕВА ДАСКАЛОВА В И С Ш А М А Т Е М А Т И К А ЧАСТ II y y = e O y = ln Диференциално и интегрално смятане Габрово, 04 Автори: Авторите са преподаватели в катедра Математика
ПодробноMicrosoft Word - VM22 SEC66.doc
Лекция 6 6 Теорема за съществуване и единственост Метричното пространство C [ a b] Нека [ a b] е ограничен затворен интервал и да разгледаме съвкупността на непрекъснатите функции f ( определени в [ a
ПодробноГлава 3 Едномерни стационарни задачи 3.1 Едномерна безкрайна правоъгълна потенциална яма В тази глава ще разгледаме най-простия едномерен потенциал: б
Глава 3 Едномерни стационарни задачи 3.1 Едномерна безкрайна правоъгълна потенциална яма В тази глава ще разгледаме най-простия едномерен потенциал: безкрайна правоъгълна потенциална яма. Преди това ще
ПодробноЛЕКЦИЯ 6 ЗАКОН ЗА ИНЕРЦИЯТА Определение. Броят на положителните коефициенти в каноничния вид на дадена квадратична форма се нарича положителен индекс
ЛЕКЦИЯ 6 ЗАКОН ЗА ИНЕРЦИЯТА Определение. Броят на положителните коефициенти в каноничния вид на дадена квадратична форма се нарича положителен индекс на инерцията на тази квадратична форма. Броят на отрицателните
ПодробноПРОГРАМА ПО МАТЕМАТИКА I. Алгебра 1. Цели и дробни рационални изрази и действия с тях. Формули за съкратено умножение. 2. Квадратен корен. Корен n-ти.
ПРОГРАМА ПО МАТЕМАТИКА I. Алгебра 1. Цели и дробни рационални изрази и действия с тях. Формули за съкратено умножение. 2. Квадратен корен. Корен n-ти. Коренуване на произведение, частно, степен и корен.
ПодробноMicrosoft Word - variant1.docx
МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА ДЪРЖАВЕН ЗРЕЛОСТЕН ИЗПИТ ПО МАТЕМАТИКА.05.019 г. Вариант 1 МОДУЛ 1 Време за работа 90 минути Отговорите на задачите от 1. до 0. включително отбелязвайте в листа
ПодробноMicrosoft Word - IGM-SER1010.doc
Лекция Редове на Фурие -теория Сведения за пространства със скаларно произведение В този раздел ще се занимаваме с периодични функции с период T > Една функция определена за всяко x R се нарича T -периодична
ПодробноMicrosoft Word - VM-LECTURE06.doc
Лекция 6 6 Уравнения на права и равнина Уравнение на права в равнината Тук ще разглеждаме равнина в която е зададена положително ориентирана декартова координатна система O с ортонормиран базис i и j по
ПодробноMicrosoft Word - stokdovo saprotivlenie.doc
Движения при наличие на Стоксово съпротивление При един често срещан вид движения неподвижно тяло започва да се движи под действие на сила с постоянна посока Ако върху тялото действа и Стоксова съпротивителна
ПодробноMicrosoft Word - Lekciya-8-9-Proizvodni-na-Elementarnite-Funkcii.doc
Лекция 8. Производни на логаритмичната, показателната и степенната функции 8.. Производна на логаритмичната функция, у log (0
ПодробноMicrosoft Word - matsh_solutions-2011
Уважаеми колеги, класирани за Областния кръг се считат учениците получили не по малко от 6 точки. В срок до февруари 0 г. изпратете в РИО Бургас и на е-мeйл: veleka3@gmail.com (задължително) ПРОТОКОЛ с
ПодробноДИМЧО СТАНКОВ
ДИМЧО СТАНКОВ c, r E ( ) ln ( ) (ln ) (З) (П) r() F (, ) k (З) О v МАТЕМАТИЧЕСКИ АНАЛИЗ за студенти по икономика 7 П Р Е Д Г О В О Р Настоящият учебник е предназначен за студентите от специалност Икономика
ПодробноПЛОВДИВСКИ УНИВЕРСИТЕТ
. Интерполиране с алгебрични полиноми - полином на Лагранж. Оценка на грешката. Метод на най-малките квадрати. Програмиране на методите и визуализация. Интерполационен полином на Лагранж Това е метод за
Подробногодишно разпределение по математика за 8. клас 36 учебни седмици по 3 учебни часа = 108 учебни часа I срок 18 учебни седмици = 54 учебни часа II срок
годишно разпределение по математика за 8. клас 36 учебни седмици по 3 учебни часа = 08 учебни часа I срок 8 учебни седмици = 54 учебни часа II срок 8 учебни седмици = 54 учебни часа на урок Вид на урока
Подробноvibr_of_triat_mol_alpha
Месечно списание за Култура, Образование, Стопанство, Наука, Общество, Семейство http://www.kosnos.co Симетрично валентно трептение на симетрични нелинейни триатомни молекули Този материал е продължение
Подробно\376\377\000T\000E\000M\000A\000_\0001\000_\0002\0007\000.\0000\0005\000.\0002\0000\0001\0003
МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО, МЛАДЕЖТА И НАУКАТА ДЪРЖАВЕН ЗРЕЛОСТЕН ИЗПИТ ПО МАТЕМАТИКА 7.0.0 Г. ВАРИАНТ Отговорите на задачите от. до 0. включително отбелязвайте в листа за отговори!. Колко на брой от
Подробно