Как да съставим задачи като използваме подобните триъгълници, свързани с височините на триъгълника
|
|
- Поли Генадиева
- преди 5 години
- Прегледи:
Препис
1 Съставяне на задачи с подобни триъгълници, свързани с височините на триъгълника Бистра Царева, Боян Златанов, Катя Пройчева Настоящата работа е адресирана към учителите по математика и техните изявени ученици, за да им покажем общият корен на големи серии от задачи, касаещи подобните триъгълници, свързани с височините на произволен неправоъгълен триъгълник, за да ги научим не само с лекота да решават тези задачи, но най-вече за да ги научим сами да съставят задачи в тази област Означения Нека C е произволен неправоъгълен триъгълник Ще въведем следните стандартни означения: C =, C =, C = C = a, C = b, = c, a b c = p R и r са радиуси на окръжностите, съответно описана и вписана за C Точките,, C са петите на височините съответно през върховете,, C Точка H е ортоцентър на C, а точка O е център на окръжността, описана около C Нека още означим средите на страните C, C, съответно с,,, а средите на отсечките H, H, CH съответно с,, Сигурно веднага забелязахте, че това са точките, лежащи върху окръжността на Ойлер окръжността на деветте точки: петите на височините, средите на страните и средите на отсечките, свързващи върховете на триъгълника с ортоцентъра му Тези означения ще използваме в цялата работа, поради което няма да ги споменаваме отново в условията Без да намаляваме общността на разглежданията приемаме, че когато C е тъпоъгълен, то > 9 Основна задача С всеки триъгълник са свързани следните двойки подобни триъгълници: ) CC ) CC C) HC HC HC и и и ) C ) C C) H H CH с коефициент на подобие tg с коефициент на подобие tg с коефициент на подобие tg,
2 Непосредствено от основна задача следват равенствата: CC C C C = = = = = tg, C HC H H () CC C C C = = = = = tg, C HC H H () = = = = = tg C H HC H C () От последните равенства и синусовата теорема следват равенствата: C C H = = Rcos, H = = Rcos, CH = = R cos tg tg tg (4) Двойките подобни триъгълници, указани в основна задача са еднакви, когато коефициентът на подобие е равен на, те tg = tg =, tg = В следващите изследвания ще разглеждаме двойката подобни триъгълници C) CH с коефициент на подобие k = tg Останалите случаи се третират аналогично Основна задача Ако sc и sc са симетралите съответно на страните C и C на C, то условията ) = 45 5) C = 45 9) = C ) ) = C 4) = CH са еквивалентни = H 6) 7) 8) C = 45 s s C C ) = H Доказателство: Когато към твърдението C) на основна задача CH прибавим едно от условията i),( i =,,,) получаваме CH, от където следват и останалите девет твърдения j) ( j i, j =,,,) Основна задача дава възможност да се съставят : ) V = 9 на брой доказателствени задачи от вида : Докажете, че ако за C е изпълнено условието i ), то в сила е и условието j ), където j i,i, j =,,, ) 45 на брой доказателствени задачи от вида: Докажете еквивалентност на условията i ) и j), където j i, i, j =,,, за C ) Изчислителни задачи от вида: За C е в сила едно от условията j),( j =,,,) и CH = a (респективно = a ) Да се намери дължината на (респективно CH ) Често срещана задача фрагмент от задача в сборниците, състезанията и кандидат- студентските изпити е "Докажете, че от ) следва 4) обратно Ще
3 отбележим, че някои от условията са по-леки Изборът на конкретна задача както и нейното самостоятелното използване включване като елемент на по-трудна задача е избор на автора и зависи от предназначението на задачата : за контролна, класна, състезание, изпит за влизане в гимназия университет и тн Ще дадем примерни задачи за състезание в 7 клас, включващи свойствата на медианата към хипотенузата, на точките върху симетралата на отсечка, на характеристиките на успоредник и специалните успоредници Пример Да се докаже, че условието четириъгълникът е квадрат е еквивалентно с условието = 45 Пример Да се докаже, че условието = 45 = е еквивалентно с условието Разбира се условието ) : = 45, използвано в тези примерни задачи, може да бъде заменено с всяко еквивалентно нему от основна задача Условието k = tg = не е задължително за учениците от по-горните класове Ето защо полезна за съставяне на задачи за тези ученици е Основна задача За C условията ) tg = k 4) cotg C = k ) = kc 5) cotg C = k ) = kh 6) = kch са еквивалентни Доказателството се базира на твърдение C) от основна задача, те в сила е CH с коефициент на подобие k = tg и равенствата () Основна задача дава възможност да се съставят : ) V 6 = на брой доказателствени задачи от вида : Докажете, че ако за C е изпълнено условието i) то в сила е и условието j)( j i, i, j =,,,6) ) 5 на брой доказателствени задачи от вида: Докажете еквивалентност на условията i) и j)( j i, i, j =,,,6) за C ) Изчислителни задачи от вида: Дадено : ) R, ), CH ) CH, 4) cotghc, CH 5) R и условия,уточняващи ъглите на триъгълника Да се намери : CH, R, R описана около H R H H CH (например : : = : 4 : 5) Трудността на задача ) е повишена като в нея е вградена неявно известната задача "Окръжностите, описани около триъгълниците C, H, CH, CH са еднакви" H радиусът на окръжността,
4 Трудността на задача ) може да бъде облекчена и ако се уточни, че C е остроъгълен тъпоъгълен, с което ще се премахне необходимостта да се изследват и двата случая за Намирането на R H = R не зависи от избора на < 9 ( > 9 ) Основна задача 4За C са в сила: 4) C C с коефициент на подобие cos 4) C C с коефициент на подобие cos 4) C C с коефициент на подобие cos, Непосредствено от основна задача 4 и равенствата (4) се получават равенствата C C = sin, = sin, = sin H H CH (5) Често срещан фрагмент от задачите за кандидат студентските изпити е свързан с равенството = Rsin ( C = Rsin, C = Rsin ), произтичащо от синусовата теорема Задаването на две от величините в него позволява да се намери третата Ще отбележим, че със задаването на c,, R триъгълникът C не се определя еднозначно Знае се само, че върхът C принадлежи на геометричното място на точките, от които страната се вижда под ъгъл Положението на точка C се доуточнява със задаването на допълнително условие, напр a, p, r,,, C H H C C C В леките задачи две от величините c, R, се задават директно Задачите стават потрудни, когато едната едновременно и двете величини се зададат индиректно Изборът на този подход определя степента на трудност на задачата Ще посочим няколко триъгълници, свързани с височините на C, които са полезни за тази цел Основна задача 4 е един от най-често използваните източници за задаване на Отношението на произволна двойка съответни елементи за подобните триъгълници C и C определя cos Триъгълник е равнобедрен ( = = ) с ъгъл между бедрата = = 8, когато < 9 и = 8, когато > 9 (6) и с лице 8 = sin 8 = c sin CH Триъгълник е равнобедрен ( = = ) с ъгъл между бедрата = =, когато < 9 и = = 6, когато > 9 (7) (8) 4
5 и с лице 8 = CH sin 8 = CH sin (9) 4 Подобните триъгълници H и O с коефициент на подобие k = Очевидно = 8 Съгласно (6) и (8) можем да запишем: = 6 = 9 = ( = ( = 9 ( = 5 = 75 = ( = 6 ) = От (), (7) и (8) следва = = tg CH ) ) ) = 6 = 45 = = 5 = 5 = 5 Тези връзки ни ръководят при избора на конкретните данни, за да специализираме подходящо триъгълниците Като илюстрация на казаното, предлагаме няколко изчислителни задачи : 6) 7) 8) 9) ) ) Дадено : Да се намери : C =, = C R = 5, = 6 R =, = 9 R = c, R CH =, = c R, CH O =, O =, sin = cos и две доказателствени задачи : Пример Да се докаже, че ако = CH, то = Математически състезания, Бургас Нека H е ортоцентър на неправоъгълен триъгълник C Ако описаната около C окръжност разполвява отсечката CH, да се докаже, че tg tg 4tg = Трудността на задача може да се намали, ако заменим "да се намери cos " с "да се намерят c, R, cos," те да се посочат стъпките, през които трябва да мине решението преди да се приложи второто равенство на (4) Ако към всяка от задачите от 6) до ) добавим още едно условие, напр C = a, то C ще се определи еднозначно и тогава могат да се търсят и останалите величини, свързани с него Задачи, давани на кандидатстудентските изпити през изминалите години, касаещи разглежданата в тази работа тема Технически университет и Висш институт за архитектура и строителство - 99 Радиусът на описаната окръжност около C има дължина R, ъглите на триъгълника 5
6 ,, образуват аритметична прогресия, = 45 Точка H е ортоцентър, а точките L,, N са симетрични на H съответно относно страните C, C, Намерете периметъра на шестоъгълника NLC Пловдивски университет "Паисий Хилендарски" - 99 В остроъгълен C дължината на страната C е a, а C = С диаметър C е построена окръжност, която пресича страната C в точка, а страната - в точка C а) Да се изрази чрез a и дължината на отсечката C б) Да се докаже, че частното от лицата на триъгълниците и зависи само от Софийски университет "Климент Охридски" Даден е остроъгълен C, в който и са петите на височините, спуснати от върховете и съответно към страните C и C, а H е пресечната точка на и Разстоянията от центъра O на описаната около C окръжност до страните C и C са съответно равни на и и лицето на 6
\376\377\000T\000E\000M\000A\000_\0001\000_\0002\0007\000.\0000\0005\000.\0002\0000\0001\0003
МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО, МЛАДЕЖТА И НАУКАТА ДЪРЖАВЕН ЗРЕЛОСТЕН ИЗПИТ ПО МАТЕМАТИКА 7.0.0 Г. ВАРИАНТ Отговорите на задачите от. до 0. включително отбелязвайте в листа за отговори!. Колко на брой от
Подробно10_II_geom_10
Стр / Тест 5 D Стр, Зад в) D D os8 Стр, Зад ; 6 ; R? От синусова теорема следва, R sin 6 6 5 R ; R ; R ; R sin 6 Стр, Зад D - успоредник, ; D 6 ; OD 6 ; D D 6 5 O D O 5; DO От косинусова теорема за OD
ПодробноА Л Г Е Б Р А I.Решете уравненията и системите уравнения: x + 2 = 3 x+1 x 2 x 2 x 2 x + 8 = 5 x 2 4 x x 5 + x 1 = x 2 +6x+9 x
А Л Г Е Б Р А I.Решете уравненията и системите уравнения: 1.. + = 3 +1 + 8 = 5 4 3 3. 4. 4 5 + 1 = +6+9 +3 1 + 4 = 1 4 + 5. +1 + = 9 +1 10 6. ( -5) +10( -5)+4=0 7. 11 3-3 = 3 5+6 8. 1 +30 1 16 = 3 7 9
Подробноmunss2.dvi
ОТГОВОРИ И РЕШЕНИЯ 3(x + y)(x xy + y )y(x y) 1. (Б) Преобразуваме: (x y)(x + y)(x + y ) x(x xy + y ) = 3y (x + y)(x y) x = (x + y ) 3 y x y x x + y = 3 y x (x y ) 1 ( x y ) + 1 = 3 ( 3 ) 1 9 3 ( 3 ) +
ПодробноЗадача 1. Да се реши уравнението софийски университет св. климент охридски писмен конкурсен изпит по математика II 31 март 2019 г. Tема 1 (x 1) x 2 =
Задача 1. Да се реши уравнението софийски университет св. климент охридски писмен конкурсен изпит по математика II 1 март 019 г. Tема 1 x 1) x = x x 6. Решение: 1.) При x
Подробноtu_ mat
ТЕХНИЧЕСКИ УНИВЕРСИТЕТ СОФИЯ ТЕСТ ПО МАТЕМАТИКА юли 00 г. ВАРИАНТ ВТОРИ ПЪРВА ЧАСТ Всяка от следващите 0 задачи има само един верен отговор. Преценете кой от предложените пет отговора на съответната задача
ПодробноMicrosoft Word - variant1.docx
МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА ДЪРЖАВЕН ЗРЕЛОСТЕН ИЗПИТ ПО МАТЕМАТИКА.05.019 г. Вариант 1 МОДУЛ 1 Време за работа 90 минути Отговорите на задачите от 1. до 0. включително отбелязвайте в листа
Подробно(Microsoft Word - \342\340\360\350\340\355\362 2)
ТЕХНИЧЕСКИ УНИВЕРСИТЕТ ВАРНА ТЕСТ ПО МАТЕМАТИКА 0 юли 0 г Вариант Периодичната десетична дроб, () е равна на: 6 6 6 ; б) ; в) ; г) 5 50 500 9 Ако a= 6, b= 6 +, то изразът a + b има стойност: b a ; б) ;
ПодробноСОФИЙСКА МАТЕМАТИЧЕСКА ГИМНАЗИЯ ТУРНИР ПО МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА "ЗА ТОРТАТА НА ДИРЕКТОРА" ТЕМА ПО МАТЕМАТИКА 8 КЛАС Задача 1. Да се реши в цели чис
СОФИЙСКА МАТЕМАТИЧЕСКА ГИМНАЗИЯ ТУРНИР ПО МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА "ЗА ТОРТАТА НА ДИРЕКТОРА" ТЕМА ПО МАТЕМАТИКА 8 КЛАС Задача 1. Да се реши в цели числа уравнението p( + b) = (5 + b) 2, където p е просто.
ПодробноСОФИЙСКА МАТЕМАТИЧЕСКА ГИМНАЗИЯ ТУРНИР ПО МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА "ЗА ТОРТАТА НА ДИРЕКТОРА" ТЕМА ПО МАТЕМАТИКА КЛАС Задача 1. Дадена е двуизмер
СОФИЙСКА МАТЕМАТИЧЕСКА ГИМНАЗИЯ ТУРНИР ПО МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА "ЗА ТОРТАТА НА ДИРЕКТОРА" ТЕМА ПО МАТЕМАТИКА 10-11 КЛАС Задача 1. Дадена е двуизмерна огледална стая във формата на правилен шестоъгълник
ПодробноМинистерство на образованието, младежта и науката 60. Национална олимпиада по математика Областен кръг, г. Условия, кратки решения и кри
Министерство на образованието, младежта и науката 60. Национална олимпиада по математика Областен кръг, 1-1.0.011 г. Условия, кратки решения и критерии за оценяване Задача 11.1. Да се намерят всички стойности
Подробно26. ТУРНИР НА ГРАДОВЕТЕ ЕСЕНЕН ТУР Основен вариант, клас Задача 1. (5 точки) Функциите f и g са такива, че g(f(x)) = x и f(g(x)) = x за всяк
26. ТУРНИР НА ГРАДОВЕТЕ ЕСЕНЕН ТУР Основен вариант, 10. - 12. клас Задача 1. (5 точки) Функциите f и g са такива, че g(f(x)) = x и f(g(x)) = x за всяко реално число x. Ако за всяко реално число x е в сила
ПодробноDZI Tema 2
МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА ДЪРЖАВЕН ЗРЕЛОСТЕН ИЗПИТ ПО МАТЕМАТИКА 6.05.05 г. ВАРИАНТ Отговорите на задачите от. до 0. включително отбелязвайте в листа за отговори!. Кое от числата е различно
ПодробноНАЦИОНАЛНА ПРИРОДО-МАТЕМАТИЧЕСКА ГИМНАЗИЯ АКАД. Л. ЧАКАЛОВ XXI МАТЕМАТИЧЕСКО СЪСТЕЗАНИЕ,,РИКИ 27 април 2014г. ПРИМЕРНИ РЕШЕНИЯ Задача 1. Да се реши ур
НАЦИОНАЛНА ПРИРОДО-МАТЕМАТИЧЕСКА ГИМНАЗИЯ АКАД. Л. ЧАКАЛОВ XXI МАТЕМАТИЧЕСКО СЪСТЕЗАНИЕ,,РИКИ 7 април 0г. ПРИМЕРНИ РЕШЕНИЯ Задача. Да се реши уравнението ( n. ) ( ), където n е естествено число. ( n n.
ПодробноТест за кандидатстване след 7. клас Невена Събева 1. Колко е стойността на израза : 8? (А) 201; (Б) 226; (В) 1973; (Г) На колко е ра
Тест за кандидатстване след 7 клас Невена Събева 1 Колко е стойността на израза 008 00 : 8? (А) 01; (Б) 6; (В) 197; (Г) 198 На колко е равно средното аритметично на 1, 1, и 1,? (А) 4, 15(6); (Б) 49, ;
ПодробноПРОЧЕТЕТЕ ВНИМАТЕЛНО СЛЕДНИТЕ УКАЗАНИЯ:
М И Н И С Т Е Р С Т В О Н А О Б Р А З О В А Н И Е Т О И Н А У К А Т А ДЪРЖАВЕН ЗРЕЛОСТЕН ИЗПИТ ПО МАТЕМАТИКА 6 май 9 г. Вариант УВАЖАЕМИ ЗРЕЛОСТНИЦИ, Тестът съдържа 8 задачи по математика от два вида:
ПодробноМОДЕЛ НА НАЦИОНАЛНОТО ВЪНШНО ОЦЕНЯВАНЕ ПО МАТЕМАТИКА В Х КЛАС ЗА УЧЕБНАТА ГОДИНА 1. Цели на НВО в Х клас съгласно чл. 44, ал. 1 от Наредба 1
МОДЕЛ НА НАЦИОНАЛНОТО ВЪНШНО ОЦЕНЯВАНЕ ПО МАТЕМАТИКА В Х КЛАС ЗА УЧЕБНАТА 019 00 ГОДИНА 1. Цели на НВО в Х клас съгласно чл. 44, ал. 1 от Наредба 11 за оценяване на резултатите от обучението на учениците:
ПодробноПРОГРАМА ПО МАТЕМАТИКА I. Алгебра 1. Цели и дробни рационални изрази и действия с тях. Формули за съкратено умножение. 2. Квадратен корен. Корен n-ти.
ПРОГРАМА ПО МАТЕМАТИКА I. Алгебра 1. Цели и дробни рационални изрази и действия с тях. Формули за съкратено умножение. 2. Квадратен корен. Корен n-ти. Коренуване на произведение, частно, степен и корен.
Подробно54. НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА НАЦИОНАЛЕН КРЪГ Задача 1. Да се намерят всички тройки от естествени числа (x, y, z) такива, че 2005 x + y + 200
54. НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА НАЦИОНАЛЕН КРЪГ Задача 1. Да се намерят всички тройки от естествени числа (x, y, z) такива, че x + y + 005 x + z + y + z е естествено число. Решение. Първо ще докажем,
ПодробноР Е П У Б Л И К А Б Ъ Л Г А Р И Я М И Н И С Т Е Р С Т В О Н А О Б Р А З О В А Н И Е Т О, М Л А Д Е Ж Т А И Н А У К А Т А НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМ
Т Е М А ЗА 4 К Л А С Задача. Дуорите са същества, които имат два рога, а хепторите имат 7 рога. В едно стадо имало и от двата вида същества, а общият брой на рогата им бил 6. Колко дуори и хептори е имало
Подробноmunss2.dvi
ОТГОВОРИ И РЕШЕНИЯ 1. (В) Даденото неравенство няма смисъл, в случай че някой от знаменателите на двата дробни израза е равен на нула. Тъй като x 4 = (x+)(x ), то x 4 = 0 за x = и за x =. Понеже x +3 >
Подробногодишно разпределение по математика за 8. клас 36 учебни седмици по 3 учебни часа = 108 учебни часа I срок 18 учебни седмици = 54 учебни часа II срок
годишно разпределение по математика за 8. клас 36 учебни седмици по 3 учебни часа = 08 учебни часа I срок 8 учебни седмици = 54 учебни часа II срок 8 учебни седмици = 54 учебни часа на урок Вид на урока
ПодробноОсновен вариант за клас Задача 1. (4 точки) На графиката на полином a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, чиито коефициенти a n, a n 1,..., a 1
Основен вариант за 10 12 клас Задача 1. (4 точки) На графиката на полином a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0, чиито коефициенти a n, a n 1,..., a 1, a 0 са цели числа, са отбелязани две точки с целочислени
Подробно033b-t.dvi
МАТЕМАТИКА И МАТЕМАТИЧЕСКО ОБРАЗОВАНИЕ, 2006 MATHEMATICS AND EDUCATION IN MATHEMATICS, 2006 Proceedings of the Thirty Fifth Spring Conference of the Union of Bulgarian Mathematicians Borovets, April 5
ПодробноMicrosoft Word - Tema-8-klas-PLOVDIV.doc
МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА СЪЮЗ НА МАТЕМАТИЦИТЕ В БЪЛГАРИЯ Пролетен математически турнир 7 9 март 9 г., ПЛОВДИВ Тема за 8 клас Задача. Дадено е уравнението ax + 9 = x + 9ax 8x, където a е
ПодробноMicrosoft Word - VM22 SEC55.doc
Лекция 5 5 Диференциални уравнения от първи ред Основни определения Диференциално уравнение се нарича уравнение в което участват известен брой производни на търсената функция В общия случай ( n) диференциалното
Подробно036v-b.dvi
МАТЕМАТИКА И МАТЕМАТИЧЕСКО ОБРАЗОВАНИЕ, 2010 MATHEMATICS AND EDUCATION IN MATHEMATICS, 2010 Proceedings of the Thirty Ninth Spring Conference of the Union of Bulgarian Mathematicians Albena, April 6 10,
ПодробноКНИГА ЗА УЧИТЕЛЯ ISBN
КНИГА ЗА УЧИТЕЛЯ ISBN 978-954-8-40-7 Книга за учителя по математика за 0 клас Автори Емил Миланов Колев, 09 Иван Георгиев Георгиев, 09 Стелиана Миткова Кокинова, 09 Графичен дизайн Николай Йорданов Пекарев,
ПодробноVTU_KSK14_M3_sol.dvi
Великотърновски университет Св. св. Кирил и Методий 07 юли 01 г. ТРЕТА ТЕМА Задача 1. Да се решат уравненията: 1.1. x +x+1 = 1 x 1 + 8x 1 x 3 1 ; 1.. log x+log x 3 = 0; 1.3. x+1 +6. x 1 = 0. Задача. Дадено
ПодробноMicrosoft Word - UIP_mat_7klas_
Приложение 2 УЧЕБНО-ИЗПИТНА ПРОГРАМА ПО МАТЕМАТИКА ЗА НАЦИОНАЛНОТО ВЪНШНО ОЦЕНЯВАНЕ В КРАЯ НА VII КЛАС І. Вид и времетраене Изпитът от националното външно оценяване е писмен. Равнището на компетентностите
ПодробноMicrosoft Word - VM-LECTURE06.doc
Лекция 6 6 Уравнения на права и равнина Уравнение на права в равнината Тук ще разглеждаме равнина в която е зададена положително ориентирана декартова координатна система O с ортонормиран базис i и j по
ПодробноОсновен вариант, клас Задача 1. (3 точки) За кои n съществуват различни естествени числа a 1, a 2,..., a n, за които сборът е естествено число
Основен вариант, 0. 2. клас Задача. (3 точки) За кои n съществуват различни естествени числа, a 2,..., a n, за които сборът е естествено число? a 2 a 3 + + a n Решение: Ще докажем, че n =, n > 2. При n
ПодробноПробен ТЕСТ НАЦИОНАЛНО ВЪНШНО ОЦЕНЯВАНЕ ПО МАТЕМАТИКА VII КЛАС 18 май 2019 г. УВАЖАЕМИ УЧЕНИЦИ, Тестът съдържа 25 задачи по математика. Задачите са тр
Пробен ТЕСТ НАЦИОНАЛНО ВЪНШНО ОЦЕНЯВАНЕ ПО МАТЕМАТИКА VII КЛАС 18 май 2019 г. УВАЖАЕМИ УЧЕНИЦИ, Тестът съдържа 25 задачи по математика. Задачите са три вида: с избираем отговор с четири възможности за
Подробно1 Основен вариант за клас Задача 1. Хартиен триъгълник, един от ъглите на който е равен на α, разрязали на няколко триъгълника. Възможно ли е
1 Основен вариант за 10 12 клас Задача 1 Хартиен триъгълник, един от ъглите на който е равен на α, разрязали на няколко триъгълника Възможно ли е всички ъгли на всички получени тръгълници да са по-малки
ПодробноMicrosoft Word - зацайча-ваѕианч1качоÐflЊП.docx
МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА НАЦИОНАЛНО ВЪНШНО ОЦЕНЯВАНЕ ПО МАТЕМАТИКА VII клас, 9 юни 09 година ВАРИАНТ ПЪРВА ЧАСТ (60 минути) Отговорите на задачите от. до 7. включително отбелязвайте в листа
ПодробноОУ,ПРОФЕСОР ИВАН БАТАКЛИЕВ ГР. ПАЗАРДЖИК ПРОБЕН ИЗПИТ ПО МАТЕМАТИКА ЗАДАЧИ С ИЗБИРАЕМ ОТГОВОР г. ПЪРВИ МОДУЛ 1. Ако х 5у = 5, колко е сто
ОУ,ПРОФЕСОР ИВАН БАТАКЛИЕВ ГР. ПАЗАРДЖИК ПРОБЕН ИЗПИТ ПО МАТЕМАТИКА ЗАДАЧИ С ИЗБИРАЕМ ОТГОВОР 28. 04. 2018 г. ПЪРВИ МОДУЛ 1. Ако х 5у = 5, колко е стойността на израза 5 5.(х 5у)? А) 0 Б) 30 В) 20 Г) 15
ПодробноЛинейна алгебра 12. Квадратични форми специалности: Математика, Бизнес математика, Приложна математика, I курс лектор: Марта Теофилова Линейна алгебра
специалности: Математика, Бизнес математика, Приложна математика, I курс лектор: Марта Теофилова Реални квадратични форми Израз от вида f(x 1, x 2,..., x n ) = n i=1 j=1 n a ij x i x j, (1) където x i
ПодробноMicrosoft Word - 8-klas-JAMBOL-2012.doc
МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО, МЛАДЕЖТА И НАУКАТА СЪЮЗ НА МАТЕМАТИЦИТЕ В БЪЛГАРИЯ Зимен математически турнир Атанас Радев 8 9 януари 0 г., ЯМБОЛ Тема за 8 клас Задача. Във футболно първенство всеки отбор
Подробнотрите имена на ученика клас училище Прочетете внимателно указанията, преди да започнете решаването на теста! Формат на теста Тестът съдър
............ трите имена на ученика клас училище Прочетете внимателно указанията, преди да започнете решаването на теста! Формат на теста Тестът съдържа 8 задачи по математика. 7 задачи от двата вида:
ПодробноMicrosoft Word - PRMAT sec99.doc
Лекция 9 9 Изследване на функция Растене, намаляване и екстремуми В тази лекция ще изследваме особеностите на релефа на графиката на дадена функция в зависимост от поведението на нейната производна Основните
Подробно