Съставяне на задачи с подобни триъгълници, свързани с височините на триъгълника Бистра Царева, Боян Златанов, Катя Пройчева Настоящата работа е адресирана към учителите по математика и техните изявени ученици, за да им покажем общият корен на големи серии от задачи, касаещи подобните триъгълници, свързани с височините на произволен неправоъгълен триъгълник, за да ги научим не само с лекота да решават тези задачи, но най-вече за да ги научим сами да съставят задачи в тази област Означения Нека C е произволен неправоъгълен триъгълник Ще въведем следните стандартни означения: C =, C =, C = C = a, C = b, = c, a b c = p R и r са радиуси на окръжностите, съответно описана и вписана за C Точките,, C са петите на височините съответно през върховете,, C Точка H е ортоцентър на C, а точка O е център на окръжността, описана около C Нека още означим средите на страните C, C, съответно с,,, а средите на отсечките H, H, CH съответно с,, Сигурно веднага забелязахте, че това са точките, лежащи върху окръжността на Ойлер окръжността на деветте точки: петите на височините, средите на страните и средите на отсечките, свързващи върховете на триъгълника с ортоцентъра му Тези означения ще използваме в цялата работа, поради което няма да ги споменаваме отново в условията Без да намаляваме общността на разглежданията приемаме, че когато C е тъпоъгълен, то > 9 Основна задача С всеки триъгълник са свързани следните двойки подобни триъгълници: ) CC ) CC C) HC HC HC и и и ) C ) C C) H H CH с коефициент на подобие tg с коефициент на подобие tg с коефициент на подобие tg,
Непосредствено от основна задача следват равенствата: CC C C C = = = = = tg, C HC H H () CC C C C = = = = = tg, C HC H H () = = = = = tg C H HC H C () От последните равенства и синусовата теорема следват равенствата: C C H = = Rcos, H = = Rcos, CH = = R cos tg tg tg (4) Двойките подобни триъгълници, указани в основна задача са еднакви, когато коефициентът на подобие е равен на, те tg = tg =, tg = В следващите изследвания ще разглеждаме двойката подобни триъгълници C) CH с коефициент на подобие k = tg Останалите случаи се третират аналогично Основна задача Ако sc и sc са симетралите съответно на страните C и C на C, то условията ) = 45 5) C = 45 9) = C ) ) = C 4) = CH са еквивалентни = H 6) 7) 8) C = 45 s s C C ) = H Доказателство: Когато към твърдението C) на основна задача CH прибавим едно от условията i),( i =,,,) получаваме CH, от където следват и останалите девет твърдения j) ( j i, j =,,,) Основна задача дава възможност да се съставят : ) V = 9 на брой доказателствени задачи от вида : Докажете, че ако за C е изпълнено условието i ), то в сила е и условието j ), където j i,i, j =,,, ) 45 на брой доказателствени задачи от вида: Докажете еквивалентност на условията i ) и j), където j i, i, j =,,, за C ) Изчислителни задачи от вида: За C е в сила едно от условията j),( j =,,,) и CH = a (респективно = a ) Да се намери дължината на (респективно CH ) Често срещана задача фрагмент от задача в сборниците, състезанията и кандидат- студентските изпити е "Докажете, че от ) следва 4) обратно Ще
отбележим, че някои от условията са по-леки Изборът на конкретна задача както и нейното самостоятелното използване включване като елемент на по-трудна задача е избор на автора и зависи от предназначението на задачата : за контролна, класна, състезание, изпит за влизане в гимназия университет и тн Ще дадем примерни задачи за състезание в 7 клас, включващи свойствата на медианата към хипотенузата, на точките върху симетралата на отсечка, на характеристиките на успоредник и специалните успоредници Пример Да се докаже, че условието четириъгълникът е квадрат е еквивалентно с условието = 45 Пример Да се докаже, че условието = 45 = е еквивалентно с условието Разбира се условието ) : = 45, използвано в тези примерни задачи, може да бъде заменено с всяко еквивалентно нему от основна задача Условието k = tg = не е задължително за учениците от по-горните класове Ето защо полезна за съставяне на задачи за тези ученици е Основна задача За C условията ) tg = k 4) cotg C = k ) = kc 5) cotg C = k ) = kh 6) = kch са еквивалентни Доказателството се базира на твърдение C) от основна задача, те в сила е CH с коефициент на подобие k = tg и равенствата () Основна задача дава възможност да се съставят : ) V 6 = на брой доказателствени задачи от вида : Докажете, че ако за C е изпълнено условието i) то в сила е и условието j)( j i, i, j =,,,6) ) 5 на брой доказателствени задачи от вида: Докажете еквивалентност на условията i) и j)( j i, i, j =,,,6) за C ) Изчислителни задачи от вида: Дадено : ) R, ), CH ) CH, 4) cotghc, CH 5) R и условия,уточняващи ъглите на триъгълника Да се намери : CH, R, R описана около H R H H CH (например : : = : 4 : 5) Трудността на задача ) е повишена като в нея е вградена неявно известната задача "Окръжностите, описани около триъгълниците C, H, CH, CH са еднакви" H радиусът на окръжността,
Трудността на задача ) може да бъде облекчена и ако се уточни, че C е остроъгълен тъпоъгълен, с което ще се премахне необходимостта да се изследват и двата случая за Намирането на R H = R не зависи от избора на < 9 ( > 9 ) Основна задача 4За C са в сила: 4) C C с коефициент на подобие cos 4) C C с коефициент на подобие cos 4) C C с коефициент на подобие cos, Непосредствено от основна задача 4 и равенствата (4) се получават равенствата C C = sin, = sin, = sin H H CH (5) Често срещан фрагмент от задачите за кандидат студентските изпити е свързан с равенството = Rsin ( C = Rsin, C = Rsin ), произтичащо от синусовата теорема Задаването на две от величините в него позволява да се намери третата Ще отбележим, че със задаването на c,, R триъгълникът C не се определя еднозначно Знае се само, че върхът C принадлежи на геометричното място на точките, от които страната се вижда под ъгъл Положението на точка C се доуточнява със задаването на допълнително условие, напр a, p, r,,, C H H C C C В леките задачи две от величините c, R, се задават директно Задачите стават потрудни, когато едната едновременно и двете величини се зададат индиректно Изборът на този подход определя степента на трудност на задачата Ще посочим няколко триъгълници, свързани с височините на C, които са полезни за тази цел Основна задача 4 е един от най-често използваните източници за задаване на Отношението на произволна двойка съответни елементи за подобните триъгълници C и C определя cos Триъгълник е равнобедрен ( = = ) с ъгъл между бедрата = = 8, когато < 9 и = 8, когато > 9 (6) и с лице 8 = sin 8 = c sin CH Триъгълник е равнобедрен ( = = ) с ъгъл между бедрата = =, когато < 9 и = = 6, когато > 9 (7) (8) 4
и с лице 8 = CH sin 8 = CH sin (9) 4 Подобните триъгълници H и O с коефициент на подобие k = Очевидно = 8 Съгласно (6) и (8) можем да запишем: = 6 = 9 = ( = ( = 9 ( = 5 = 75 = ( = 6 ) = От (), (7) и (8) следва = = tg CH ) ) ) = 6 = 45 = = 5 = 5 = 5 Тези връзки ни ръководят при избора на конкретните данни, за да специализираме подходящо триъгълниците Като илюстрация на казаното, предлагаме няколко изчислителни задачи : 6) 7) 8) 9) ) ) Дадено : Да се намери : C =, = C R = 5, = 6 R =, = 9 R = c, R CH =, = c R, CH O =, O =, sin = cos и две доказателствени задачи : Пример Да се докаже, че ако = CH, то = Математически състезания, Бургас - 976 Нека H е ортоцентър на неправоъгълен триъгълник C Ако описаната около C окръжност разполвява отсечката CH, да се докаже, че tg tg 4tg = Трудността на задача може да се намали, ако заменим "да се намери cos " с "да се намерят c, R, cos," те да се посочат стъпките, през които трябва да мине решението преди да се приложи второто равенство на (4) Ако към всяка от задачите от 6) до ) добавим още едно условие, напр C = a, то C ще се определи еднозначно и тогава могат да се търсят и останалите величини, свързани с него Задачи, давани на кандидатстудентските изпити през изминалите години, касаещи разглежданата в тази работа тема Технически университет и Висш институт за архитектура и строителство - 99 Радиусът на описаната окръжност около C има дължина R, ъглите на триъгълника 5
,, образуват аритметична прогресия, = 45 Точка H е ортоцентър, а точките L,, N са симетрични на H съответно относно страните C, C, Намерете периметъра на шестоъгълника NLC Пловдивски университет "Паисий Хилендарски" - 99 В остроъгълен C дължината на страната C е a, а C = С диаметър C е построена окръжност, която пресича страната C в точка, а страната - в точка C а) Да се изрази чрез a и дължината на отсечката C б) Да се докаже, че частното от лицата на триъгълниците и зависи само от Софийски университет "Климент Охридски" - 995 Даден е остроъгълен C, в който и са петите на височините, спуснати от върховете и съответно към страните C и C, а H е пресечната точка на и Разстоянията от центъра O на описаната около C окръжност до страните C и C са съответно равни на и и лицето на 6