Теория на вероятностите ( спец. Приложна математика)
Ръководство на клуб председател, касиер и секретар се избират по случаен начин измежду 4 човека: Aна, Борис, Васил и Георги. По колко различни начини може да се избере ръководството? 4.3.2=24 Ръководството председател, касиер и секретар се избират по случаен начин измежду 4 човека: Aна, Борис, Васил и Георги. Aна не иска да бъде председател. По колко различни начини може да се избере ръководството? 3.3.2=18 Ръководството председател, касиер и секретар се избират по случаен начин измежду 4 човека: Aна, Борис, Васил и Георги. Председател трябва да бъде Ана ИЛИ Борис. По колко различни начини може да се избере ръководството? 1.2.1+1.2.1=4
В ресторант има три вида супи, 4 основни ястия и 2 вида десерт. Колко различни комплекни менюта могат да се предложат 24 3 4 2 супа Основно ястие десерт Момиче има 5 блузи и 3 поли. Колко дни може да се облича по различен начин? блуза 5 3 пола 15 В английската азбука има 26 букви. Колко различни номера на коли от три букви могат да се образуват? 26 26 26 26 26 26 = 17576 Колко различни номера на коли могат да се образуват ако те се състоят от три букви, последвани от 2 цифри? 26 26 26 10 10 1757600
За да се отвори един катинар е необходимо да се въведе код от 4 цифри. Колко различни кода са възможни? 10.10.10.10=10 000 Колко различни кода са възможни, ако кодът задължително започва с четна цифра? 5 000 Ако кодът на катинар се състои от 4 различни цифри, то колко кода са възможни? 10.9.8.7=5 040 Колко различни пароли с различни цифри, на които последната цифра е четна, могат да се запишат? 9.8.7.5=2520 Колко различни 4-цифрени ЧЕТНИ числа с различни цифри могат да се запишат? 9.8.7.1+8.8.7.4=2296 0 е последна цифра 0 НЕ е последна цифра
Колко различни пароли, които имат повече от 3, но не повече от 6 символа са възможни, ако се използват само цифрите 0 и 1? с 4 символа 2^4 с 5 символа 2^5 с 6 символа 2^6 Общо: 2^4+2^5+2^6=2^4(1+2+4)=112 Колко различни пароли, които имат повече от 3, но не повече от 6 символа са възможни, ако се използват само цифрите 0, 1, 2, 3, 4, 5? с 4 символа 6^4 с 5 символа 6^5 с 6 символа 6^6 Общо: 6^4+6^5+6^6=6^4(1+6+36)=55728
ВРЪЗКА С ТЕОРИЯ НА КОМБИНАТОРИКАТА: А/ Без повторение Пермутацията на множество от обекти е произволна тяхна наредба Броят на пермутациите на n обекта е n! Забележка: n!=1*2*3.*(n-1)n 0!=1 1!=1 15 ученика трябва да се подредят в редица. По колко различни начина могат да го направят? 15! Преподавател подготвя тестове за ученици, като разполага с 20 въпроса и всеки тест трябва да съдържа тези 20 въпроса, но в различен ред. Колко различни теста могат да се направят? 20!
Б/ С повторение Пермутацията на елементите на m множества, всяко от които има съответно к1, к2, кm на брой еднакви елемента, където к1+к2+ +кm =n, се нарича пермутация с повторениe. Броят на пермутациите на n обекта с повторение е: ~ P k1, k2,..., k m k 1 k k! k 1 2 2...!... k m k! m! Колко различни думи (без значение на смисъл) могат да се напишат като се използват всички букви на думата АНТОАНЕТА А- 2 Т- 2 Н- 2 ~ P 9! 2!2! 2! 45360
ВАРИАЦИИ от n елемента к клас : А/ БЕЗ ПОВТОРЕНИЕ По колко начина могат да се подредят k различни елемента, избирайки ги от общо n елемента?
ВАРИАЦИИ от n елемента к клас : Б/ С ПОВТОРЕНИЕ
не- наредено множество от елементи C k n n k ( n n! k)! k! n( n 1)...( n k! k 1)
По колко различни начина могат да се изберат трима плувци от 10-членен отбор? 3 C 10 10(9)(8) 3! 720 6 120
~ C k n n k k 1 ( n k 1)( n k! k 2)...( n) Колко различни плочки има домино, на което всяка плочка е разделена на две и във всяка част има от 0 до 6 точки? ~ 2 C 7 7(8) 2! 28
Измежду 5 мъже и 7 жени трябва да се изберат петима, за да работят върху проект. Колко различни 5-членни групи могат да се изберат? 5 C 12 12! 5!(12 5)! 12(11)(10)(9)(8) 1(2)(3)(4)(5) 792 Колко различни 5-членни групи могат да се изберат, ако трима са мъже, а останалите две са жени? 3 5(4)(3) 2 7(6) C5 10 C 7 21 3! 2! 210 мъже жени Ако двама души настояват или да работят заедно или да не са в групата, то колко различни 5-членни групи могат да се изберат? 1 начин за двамата 10(9)(8) 3! 120 5 10(9)(8)(7)(6) + C 12 2 252 5!
Спортен клуб има 8 жени и 7 мъже. Треньорът трябва да избере за предстоящия турнир 6 жени и 5 мъже. Колко различни групи може да избере треньорът? 6 8(7)(6)(5)(4)(3) 5 (7)(6)(5)(4)(3) C8 28 C 7 21 6! 5! жени мъже 28 21 = 588
Всеки процес, който може да се повтори и чийто резултати са неизвестни Всеки изход на даден опит Съкупност от всички елементарни опити, свързани с даден опит Всяка съвкупност от елементарни събития (всяко подмножество на S). Обикновено събитията се означават с главни латински букви: A, В,С,... Един изход е благориятен за събитие А, ако е елемент на А
опит: Хвърляне на монета един път. A={Г}, B={Л} S={Л,Г}, Опит: хвърляне на зарче един път. S={1,2,3,4,5,6}, A={нечетен брой точки върху зара}={1,3,5} B={поне 5 точки на зара}={5,6} C= {по-малко от 4 точки на зара}={1,2,3} Опит: избор на листче измежду 4 листчета с написани числата от 1 до 4 върху тях. S={1,2,3,4}, A={нечетно число върху листчето}={1,3} B={число по-голямо от 4 върху листчето}=празно Опит: избор на семейство измежду всички с две деца. S={BB,АА,BА,АB}, където А-момиче, В-момче A={семейството има едно момче}={bа, АB} B={семейството има поне едно момче}={ba, AB, BB}
Опит: стрелба по кръгова мишена. S={всички точки от кръга} A={попадение в десятката}={точките от кръга, които са означени с 10} Опит: Хвърляне на два различни зара едновременно Елементарно събитие(изход)= наредени двойки от вида (i,j) S={11,12,13,14,15,16,21,22,23,,66}, A={еднакви числа върху зарчетата}={11,22,33,44,55,66} B={сумата от точките е 7}={16,61,25,52,34,43} Опит: Хвърляне на един зар два пъти Опит: Хвърляне на монета до поява на лице. S={Л, ГЛ,ГГЛ,ГГГЛ,ГГГГЛ,... }, А={точно един герб}={гл} В={поне един герб}={гл,ггл,гггл,ггггл,... } крайномерни Изброими безкрайни неизброими
Състои се от всички изходи, свързани с даден опит= S Събития, които нямат общи изходи A B S Всеки изход на А е благоприятен и за В B A S Събитието А се нарича допълнение на събитието А, ако се състои от всички изходи на пространството S, които не принадлежат на А A А и А са несъвместими S Допълнение на събитието А Казваме, че настъпва събитието А, ако след изпълнение на опита се наблюдава изход от А (благоприятен за А)
Сечение на две събития: A B Нека A,B са събития A B и A и B е събитие, което се състои от всички изходи, които принадлежат както на A така и на B. Сума на две събития : A B A или B е събитие, което се състои от всички изходи, които принадлежат или на A, или на B, или и на двете A B или
Карта е избрана по случаен начин от колода от 52 карти A={избраната карта е черна} C={избраната карта е поп} B={избраната карта е пика} D={избраната карта е спатия} B или C= Избраната карта е пика или поп B C B и C= Избраната карта е поп пика B C A или B= A и B= Избраната карта е черна Избраната карта е пика A B A B B или D= A B D B и D= празно B D
Нека А и В са несъвместими събития A B = А и В= невъзможното A A = невъзможното A A S Нека А влече В А В A B A B = А и В= А = А или В= В A S A S = А и S= А = А или S= S
Нека А, В и С са три различни събития. Използвайки и трите събития А,В, С, напишете израз за събитието, при което а/ настъпва само А A B C б/ настъпват двете събития А,В, но не настъпва С A B C в/ настъпва поне едно от събитията А,В, С A B C г/ настъпват поне две от събитията А,В, С. д/ настъпват всичките събития А,В, С. AB BC AC A B C е/ никое от събитията А,В, С не настъпват A B C ж/ настъпва най-много едно от събитията А,В, С A B C A B C A BC AB C з/ настъпват най-много две от събитията А,В, С и/ настъпват точно две от събитията А,В, С A BC AB C ABC к/ настъпват най-много три от събитията А,В, С A B C A B C A BC AB C
Болничен администратор кодира пристигащите пациенти от едно срутване в мина в зависимост от това дали имат здравна застраховка или не 1, ако имат и 0 ако нямат. Освен това той кодира и тяхното състояние - Д- Добро - З -Задоволително Опит: Пристигане на пациент и неговото кодиране - С - сериозно Напишете пространството от елем. изходи S={ 1д, 1з,1с, 0д, 0з, 0с} A=пациентът е в сериозно състояние. Кои са изходите на А? А={ 1с, 0с} В=пациентът не е осигурен. Кои са изходите на В? В={0д, 0з, 0с} Кои са изходите на A B ={ 1д, 1з,1с, 0с} Кои са изходите на A B ={ 1с}