Механика Транспорт ISSN -8 (prnt ISSN 67-66 (onlne Комуникации том, брой, 5 г. Научно списание http://www.mtc-a.com статия 6 МОДЕЛИРАНЕ ДВИЖЕНИЕТО НА МОТОПЕД В НЕХОЛОНОМНА ПОСТАНОВКА Петър Колев Колев petarolev@abv.bg ВТУ Тодор Каблешков 57 София, ул. Гео Милев 58 БЪЛГАРИЯ Ключови думи: Динамично моделиране, нехоломна механика Резюме: Стилизиран модел на мотопед се движи без плъзгане по хоризонтална равнина. Равнината на рамата остава перпендикулярна на хоризонталната равнина на търкаляне на колелата на мотопеда. Изведени са: - уравненията на нехолономните връзки - диференциалните уравнения на движение отчитайки наложените нехолономни връзки на колелата. Въведение Нехолономната механика е една достатъчно сложна теория, поради което не се изучава в класическите курсове по аналитична механика. Изводът на диференциалните уравнения на движение на механични системи подчинени на нехолономни връзки е труден, но основен в динамичния анализ на нехолономни системи. В този труд се моделира динамиката на двуколесно превозно средство (за краткост мотопед в нехолономна постановка. Мотопедът се движи без плъзгане по хоризонтална равнина, като равнината на рамата остава перпендикулярна на хоризонталната равнина на търкаляне на колелата на мотопеда. Извеждат се: - уравненията на нехолономните връзки; - диференциалните уравнения на движение отчитайки наложените нехолономни връзки на колелата. Равнината по която се движи мотопедът е означена с Oy. Рамата остава вертикална. Движението се извършва под действието на двигателния момент M, а управлението от момента M. Направлението му съвпада с това на кормилната вилкаи сключва ъгъл с вертикалната ос. С първото колело е свързана координатната система O yz, а с второто O y z. Точките O и O лежат във вертикалната равнина на симетрия на мотопеда на разстояние O O. Масата на мотопеда заедно с тази на моториста е осначена с m. Точката C(,C, y,c,z, C е масовия център на системата с неговите координати в O y z. Разстоянето между т. O и масовия VII-
( център С е равно на L. J z,c е масовия инерционен момент спрямо ос успоредна на остаzи минаваща през масовия център на системата, a J S - кормилната част. Колелата се търкалят без плъзгане и тяхната маса в това изследване се пренебрегва. Точката Р е моментния център на ротация на колелото. Извод на уравненията на нехолономните връзки Положението и движението на мотопеда се определя с обобщените координати q за,...5 където q O, q y O, q, q, q 5. На мотопеда, като механична система са наложени три нехолономни стационарни Bвръзки v ; v O, y P, ; vp,y, общото уравнение на които има вида q. Тук qbвектова на обощените скорости, а е правоъгълна матрица, чийто елементи са функщия на обощените координати. За извода на диференциалните уравнения на вдижение ще приложим уравненията на Лагранг от II-ри род с множители. z z S M y z y C M y O M O O P Урaвнението на първата нехолономна връзка v получаваме като O, y проектираме скоростта на центъра на колелото - т. O, в неподвижната координатна система проектираме в O y z. vo q q (. v q q. q sn q cos q snq q O,y Следователно уравнението на първата нехолономна връзка приема вида: ( snq q q VII-
Останалите две нехолономни връзки ще получим от векторното уравнение за точка Р. ( v O O v v PO ( vo O P O v P q q cos sn y z O P O P z За да получим уравненията на останалите две нехолономни връзки vp, ; vp,y проектираме уравнението за скоростта на точка Р в неподвижната координатна система върху осите на координатната система O yz. (5 v. P P v. q q q q snq snq q q O P O P O P O P Развиваме първият израз на (5 като отчитаме, че OP : (6 v P, q cos( q cos ( cos sn( cos q cos( q sn( sn cos y y z z z z sn( sn.cos( cos.sn( вида: Следователно уравнението на наложената втора нехолономна връзка приема (7 q q sn(q q q snq q cos q 5 Развиваме втоеият израз на (5като отчитаме, че OP : (8 v P, q sn( q cos( sn.sn( cos.cos( sn( cos( cos cos( sn( cos q sn( q cos( cos cos sn( Следователно уравнението на наложената трета нехолономна връзка приема вида: (9 sn(q q q q q q cos sn (q q q 5 VII-
Извод на диференциалните уравнения на движение Определяне на кинетичната енергия: Определяме скоростта на масовия център на мотопеда. ( vc vo OC vc vo OC v O OC, А след това и израза на кинетичната енергия mq q q,c q q snq ( mvc Jz,C JS = = Jz,C m,c q JSq = m q q q,c q q snq JSq Jz, q Определяна на обобщените сили: Ще ги определим с помощта на принципа на възможните мощности. ( vo, q q. q cos q sn q q snq MvO M( M ( q q snq M M(q q Mq snq M q M q M q M M q Следователно: ( snq Q M ; Q M ; Q M; Q ; Q5 Диференциалните уравнения на движение извеждаме с уравненията на Лагранж от втори род с множители. QλB qq(5 t Където λ(,, е векторът на неопределените множители Прилагаме уравненията на Лагранж, където неговите елементи са представени матрично (6 m,c (q m(q m(q q q q sn q,c,c sn q J q S q q q q sn q,c,c sn q q q J C,z q = VII-
M snq M M snq + sn(q q q sn(q q q snq cos cos sn (q q от което получаваме диференциалните уравнения на движение на нехолономната система в явен вид: (7 m(q m(q J q S m q sn(q q,c M [q q q snq q cos,c,c q q snq snq q (q cos sn(q,c,c q M M q snq snq ] J snq C,z q sn(q snq q q Получената система диференциални уравнения, заедно с уравненията на нехоломните връзки q snq q q q q sn(q q q snq q 5 cos sn(q q q q q q cos sn (q q q 5 образува затворена система, чрез която се изследва движението и реакциите на нехолономните връзки представени от неопределените множители.сложността в анализа на нехолонмните системи се свързва именно със затворената система уравнения и с определянето на уравненията на нехолономните връзки. Решението на тези уравнения и анализа на движението, както и влиянието на различни параметри на системата върху него се извършва труда Динамичен анализ на движението на двуколесно МПС (мотопед нехолономна постановка. Литература: [] Ноймн Ю.И.,Фуфаев Н.А. Динамика нехолономньх систем. М., Наука, 967г. [] Паскалев Г., Паскалев П., Греков П., Капитанова М., София, Архимед, 6г. [] Чернева З., Бъчваров Ст., Лилов Л., София, Св. Климент Охридски, 997г. VII-5
SHAPING HE MOPED MOVEMEN IN NO HOLONOMY SEING Petar Kolev Kolev petarolev@abv.bg odor Kableshov Unversty of ransport 58 Geo Mlev Street, Sofa 57, BULGAIA Key words:dynamc shapng, not holonomy mechancs Abstract:A stylzed moped model s movng on a horuzontal plane wthout sldng. he plane of the chasss s perpendcular to the horzontal plane of the moped s wheels.he followng formulatons are deduced: - equatons of not holonomy bonds - dfferental equatons for the movement of not holonomy bonds of the wheels. VII-6