Технически университет София Машинно-технологичен факултет маг. инж. Иван Данчев Данчев ДИНАМИЧНО ИЗСЛЕДВАНЕ НА СИСТЕМАТА РОТОР-ФУНДАМЕНТ А В Т О Р Е

Препис

1 Технически университет София Машинно-технологичен факултет маг инж Иван Данчев Данчев ДИНАМИЧНО ИЗСЛЕДВАНЕ НА СИСТЕМАТА РОТОР-ФУНДАМЕНТ А В Т О Р Е Ф Е Р А Т НА ДИСЕРТАЦИЯ ЗА ПОЛУЧАВАНЕ НА НАУЧНАТА И ОБРАЗОВАТЕЛНА СТЕПЕН ДОКТОР ПРОФЕСИОНАЛНО НАПРАВЛЕНИЕ 5 МАШИННО ИНЖЕНЕРСТВО НАУЧНА СПЕЦИАЛНОСТ ТЕОРИЯ НА МЕХАНИЗМИТЕ МАШИНИТЕ И АВТОМАТИЧНИТЕ ЛИНИИ Научни ръководители: чл кор проф дтн Венелин Живков проф дтн Евтим Захариев Рецензенти: проф д-р инж Веселин Илиев Павлов проф д-р инж Тодор Стоилов Тодоров СОФИЯ 5

2 Дисертационният труд е обсъден и насочен за защита от катедра Теория на механизмите и машините при Техническия университет София на заседание на разширен катедрен съвет проведено на 95 г Дисертантът е гл ас в катедра Теория на механизмите и машините при Техническия университет София Дисертацията съдържа увод и 8 глави на 5 страници включваща литература от източници и 9 стандарта на 6 страници и приложения на страници или всичко 64 страници В заключение са отразени основните научно-приложни и приложни приноси на дисертационния труд В автореферата номерацията на фигурите формулите и използваните символи и означения е както в дисертацията Позоваванията и цитиранията са отразени ограничено Защитата на дисертационния труд ще се състои на 945г от 4ч в зала 4 на ТУ София на открито заседание на Научното жури Материалите по защитата са на разположение на интересуващите се в канцеларията на Машинно-технологичния факултет на ТУ София каб Автор: Иван Данчев Данчев Заглавие:Динамично изследване на системата ротор-фундамент Тираж: 5 броя Излязъл от печат на 5 г Печатна база на ТУ София

3 ОБЩА ХАРАКТЕРИСТИКА НА ДИСЕРТАЦИЯТА АКТУАЛНОСТ ПРАКТИЧЕСКА ПОЛЕЗНОСТ И ПРИЛОЖИМОСТ НА ПРОБЛЕМА Изследването на процесите протичащи в роторни системи е въпрос вълнувал изследователите от началото на техническата революция По този въпрос са написани много статии книги и монографии В различните периоди от техническото развитие са били прилагани различни методи в процеса на това развитие В началото аналитични а след 8-те години на миналия век повечето задачи започват да се решават с помощта на ЕИМ което предопределя и бързото развитие на числените методи използвани при тяхното решаване Използването на МКЕ за решаване на проблеми при системи с еластични характеристики е стандартна процедура за съвременните инженерни системи за проектиране но за съжаление те не се справят много добре при решаване на въпросите на динамиката поради някои структурни особености на дефинирането на крайните елементи От друга страна широкото навлизане на матричните методи в научните изследвания позволява създаването на обобщени методи за изследване приложими при широк кръг инженерни проблеми Широкото разпространение на роторни системи в съвременната енергетика повдига въпроса за тяхната устойчивост и поведение при земетръсни въздействия Тази област е все още в процес на интензивно изследване и представлява голям интерес както от научна гледна точка така и от чисто практическия интерес свързан с тяхната експлоатация НАУЧНА ЗНАЧИМОСТ И НОВОСТ Използвайки съвременните матрични методи в докторската дисертация се представя методика и алгоритъм за дефиниране на параметрите на механични системи от твърди и еластични тела както и извеждане на уравненията на динамиката като се вземат предвид масовите характеристики коравините и демпфирането Тази методика е приложима при широк кръг механични системи и позволява създаването на компютърни програми за решаването на задачите на динамиката от изхождайки от един общ подход ПУБЛИКУВАНЕ И АПРОБАЦИЯ НА РЕЗУЛТАТИТЕ ОТ ДИСЕРТАЦИЯТА Резултатите от дисертацията са публикувани в 9 статии и доклади на български език в сп Механика на машините и конгреси по механика в Загреб Хърватия и Барселона Испания Дисертационният труд е апробиран на катедрен съвет на катедра ТММ ТУ София 95г ГЛАВА АНАЛИЗ НА ЛИТЕРАТУРНИ ИЗТОЧНИЦИ Влияние на вибрациите върху работоспособността и здравето на човекастандарти Вредното въздействие на вибрациите върху човешкия организъм е обект на множество изследвания и анализи За да се гарантира както запазване на здравето и работоспособността на оператора така и необходимото качество на извършваната от него работа са приети норми за допустими нива спектър и време на въздействието им Според начина на предаването им върху човешкия организъм вибрациите се подразделят на общи и локални В светлината на тези научни разработки са дефинирани редица български и международни стандарти Сравнението между стандартите показва известни непълноти в българските стандарти Тази разлика се състои най-вече в срока на въздействие диапазона на разглежданите честоти и посоките на въздействие Вибрационни стандарти за дебаланс на ротори Разглеждат се стандарти определящи допустимите нива на дебаланс при ротори Еластично-демпфиращи характеристики на виброизолатори Разгледани са характеристиките на различни виброизолатори и въздействията които имат влияние върху тях 4 Моделиране на роторни системи и методи за тяхното решаване Разглеждат се различни видове модели използвани за моделиране на роторни системи Периода който обхваща литературната справка е от края на 9 век до наши дни Обръща се внимание различни характеристики на взимани под внимание при моделирането на роторни системи като еластичност на лагерните опори еластичност на роторния вал различни инерционни характеристики в различните равнини и др В светлината на предлаганите модели

4 са показани използваните методи при тяхното решаване 5 Заключение През последните петдесет години в света усилено се работи в областта на роторните системи При това стремежът е да се обхванат все повече странични явления от движението на ротора Независимо от това пространствените трептения на системата ротор фундамент все още не са достатъчни изследвани Влиянието на еластичността на фундамента върху поведението на ротора както и върху околните машини все още не е изяснено С прилагането на съвременните матрични методи в механиката се постига унифициране на изследователския процес като се дава възможност за решаване на голям кръг задачи използвайки определен набор от матрични операции Подробно разглеждане на използваните числени методи е дадено в глава 6 6 Проблеми цели и задачи - Предлагане на обобщен подход за създаване на динамичен модел на роторна система с хоризонтална ос на ротация ориентиран към широк клас еластично окачени машини - Създаване на символни програмни продукти за определяне на собствени стойности и вектори (честоти и форми на трептенията); свободни затихващи трептения както и динамичен анализ и елементи на синтез в пространството на параметрите в средата на Mathematca ; - Създаване програмен продукт за симулиране на влиянието на кинематични външни въздействия (земетръс) върху динамичното поведение на системата; - проектиране създаване на лабораторен стенд и провеждане на експериментални изследвания за определяне на параметрите на свободните затихващи и принудени трептения при наличие на дебаланс в ротора ГЛАВА ГЕОМЕТРИЧНИ И КИНЕМАТИЧНИ ЗАВИСИМОСТИ НА РОТОРНА СИСТЕМА-ФУНДАМЕНТ Структура на роторната система фундамент Координатни системи На фигура е даден динамичен модел на роторна машина състояща се от еластично окачен фундамент тяло на роторната машина и хоризонтален ротор където - еластично окачен фундамент рама на роторната машина еластично окачена на фундамента твърд хоризонтален ротор на машината еластично свързан с рамата Приема се Че всяко едно от телата може да има транслация и ротация в пространството ограничена от връзките му с околните тела Връзките се моделират с помощта на еластодисипативни елементи които ограничават движението на телата по спрямо осите на глобалната координатна система OXYZ Фундаментът на роторната машина е виброизолиран от околната среда а върху него е еластично окачена рамата на роторната машина Върху рамата е поставен ротор лагеруван в еластични лагерни опори Дефинирани са глобална координатна система O X Y Z и локални координатни системи O X Y Z неподвижно закрепени към всяко едно от телата () Фиг Геометрични и кинематични зависимости на фундамента (тяло ) от роторната система Геометрични зависимости Матрица на преход между координатната система О X Y Z на фундамента и отправната система О X Y Z () = X Y Z cos sn cos sn X cos sn ; Y ; Z sn cos sn cos sn cos 4

5 5 При малки ротации до 6 е целесъобразно получените по-горе точни формули да бъдат опростени при което се получават достатъчно точни за инженерната практика зависимости От направените точни изчисления е видно че с приетите приближения матриците на прехода имат вида: () X ; Y ; Z Следователно при малки премествания на тяло или механичната система отправната координатна система и свързаната с тялото координатна система са близки една до друга по ориентация в пространството За удобство ъглите на завъртане около съответните оси могат да се представят с означенията фиг Като се има предвид () матрицата на преход (4) = Z Y X от локалната към отправната координатна система приема вида: (5) - - При изследване на малките премествания за елементите на матрицата (4) може да се приеме: (6) ; ; ; при което матрицата (5) се преобразува в приблизителния вид: (7) I Като се има предвид (7) векторът на положението от вида (8) на произволна материална точка С от твърдото тяло в глобалната координатна система приема вида: () Кинематични зависимости - Векторът на ъгловата скорост на фундамента (тяло ) при малки премествания проектиран в отправната координатна система се получава от уравнението () Θ и като се има предвид (): (4) Θ Отчитайки че са много малки то за вектора на абсолютната ъглова скорост на тялото при малки премествания проектиран в отправната координатна система се получава: Фиг

6 6 (7) - Ъглова скорост на фундамента (тяло ) в свързаната с него координатна система О X Y Z Векторът на ъгловата скорост проектиран в локалната координатна система има вида: (8) Θ Като се вземе предвид че са много малки то: () Следователно при малки ъгли За асиметричната матрица на ъгловата скорост в отправната координатна система се получава: () ; - Определянето на линейните скорости на точки от фундамента (тяло ) могат да се намерят чрез следните матрици: Вектор на положението на точката С () От където скорост на произволна точка С от тяло V V V V V V V Геометрични и кинематични зависимости на шасито (тяло ) от роторната система Геометричните и кинематични зависимости на тяло се получават по същите зависимости както за тяло 4 Геометрични и кинематични зависимости на хоризонтален ротор (тяло ) от роторната система 4 Геометрични зависимости Матрицата на преход между координатната система О X Y Z на ротора и отправната координатна система ще бъде (49) = X Y Z където X cos sn sn cos ; Y cos sn sn cos ; cos sn sn cos Z При малки завъртания до 6 матриците на ротация имат вида

7 7 X cos sn sn cos ; Y ; Z Резултантната матрица на преход има вида: (5) = Z Y X = Φ Φ SΦ Φ SΦ Φ SΦ SΦ SΦ Φ Φ SΦ SΦ Φ Φ Φ SΦ SΦ SΦ Φ SΦ Φ SΦ SΦ SΦ SΦ Φ Φ Φ където sn S cos Координатите на произволна точка С от тяло в локалната координатна система Z X Y O са фиксирани и се дефинират с вектора: (5) Векторът на положението на точка С от тялото проектиран в координатната система Z X Y O осите на която са успоредни на осите на координатната система O X Y Z има вида: (54) Векторът на положението на същата точка С от тялото проектиран в отправната координатна система O X Y Z има вида: (56) Записан в матричен вид векторът на положението има вида: (59) cos sn sn cos Z Y X 4 Кинематични зависимости Абсолютната скорост на точка С от тяло в отправната координатна система се определя като се диференцира по времето вектора на положението изразен с формула (46): (6) Тъй като (6) I то можем да запишем (6) във вида: (64) След заместване на (64) в (6) за вектора на скоростта се получава: (65) който може да се представи още във вида: (66) Векторът на ъгловата скорост е равен на (67) cos Φ sn Φ sn Φ cos Φ Φ Φ Ф Ф Ф Ф Ф Поради малките стойности на ъглите Ф и Ф то произведенията в които те участват могат да се пренебрегнат

8 8 (68) Θ където (69) cos sn sn cos Ф ; (7) Θ (7) Ъгловата скорост на хоризонтален ротор (тяло ) в свързаната с него координатна система О X Y Z се дефинира с матрицата (7) Т Θ Приемайки че са много малки то за вектора на абсолютната ъглова скорост на тялото при малки премествания проектиран в отправната координатна система се получава: (7) Векторът на ъгловата скорост проектиран в локалната координатна система се получава във вида: (74) Θ Като се вземе предвид че са много малки то за вектора на абсолютната ъглова скорост на тялото при малки премествания проектиран в локалната координатна система се получава: (76) Ако роторът е балансиран то можем да приемем че оста на въртене е главна инерционна ос и тогава за ъгловата скорост можем да напишем следното (77) при свободни трептения а при принудени трептения Определянето на линейните скорости на точка С от ротора (тяло ) могат да се намерят чрез следните матрици: (8) Θ I Ако точката С съвпада с масовия център на тялото тогава скоростта на тялото е (8) Z Y X V ГЛАВА ЧЕСТОТЕН СПЕКТЪР И ФОРМИ НА ТРЕПТЕНИЯ НА ВИБРОИЗОЛИРАНА РОТАЦИОННА МАШИНА С И БЕЗ ВИБРОИЗОЛИРАН ФУНДАМЕНТ

9 (собствени стойности и вектори) На фиг е показана модел на ротационна машина с хоризонтален ротор с виброизолирани фундаменти Кинетични енергии при ротационна машина Фундамент на ротационна машина определя се от зависимостта m V (4) V JOO или Фиг (5) m V V JOO Където инерционният тензор на фундамента J oo e равен на J - J - J (6) J OO J - J smmetc J където елементите J J J на матрицата (6) са осевите инерционни моменти а J J J са центробежните инерционни моменти Матрицата на масите от транслация m e (8) m ρ I dv m I V m Където I и m m smmetc m Корпуса на ротационна машина Кинетичната енергия на корпуса се намира по зависимостите дефинирани в т Хоризонтален ротор на ротационна машина (6) q М (q) Където q (7) q q е векторът на обобщените скорости на тялото а (8) m mo М (q) m O moo е матрицата на масите която характеризира масовите и инерционните свойства на тялото и съдържа блоковите матрици: (9) m ρ I dv m I V () ρ dv ρ dv J ; () moo P P V m О V P Т m ρ dv O V 9 P P S m маса на ротора J - масов инерционен тензор на ротора спрямо координатната система OO свързана с тялото с начало в масовия му център Асиметричната матрица на статичния момент e - () S P dv m - - OO

10 са координати на масовия център в свързаната с тялото координатна система с начало което не съвпада с масовия център Ако роторът е балансиран то оста на въртене е главна инерционна ос и инерционните моменти I I и I са равни на Тогава и масовият център на ротора лежи на оста на въртене и съвпада с масовия център Тогава асиметричната матрица на статичния момент S Матрицата на масите на цялата система M dag M M M Потенциални енергии при машина с виброизолиран фундамент Еластични елементи между фундамент и неподвижна опора Ако тялото е свързано с неподвижната опора посредством няколко еластични елемента потенциалната енергия се определя като сума от потенциалните енергии от деформациите на всички еластични елементи Координатите на произволна материална точка P от тяло (фиг) в локалната координатна система O X Y Z са фиксирани и могат да се дефинират с вектора: (4) P P Векторът на положението на същата точка P от тялото в отправната координатна система O X Y Z има вида: (5) P P При деформации (те при малки премествания): (6) P P P P Като вземем предвид че в начално положение P P векторът на деформацията δ N на еластичния елемент се определя от израза: (7) δ N u P P P P P P P v P P P - P P P P P P w P P P P P P P Потенциалната енергия от деформацията на n броя тримерни еластични елементи N с които едно твърдо тяло е закрепено към неподвижна основа е: n n P P N N N = [ c c c] N N = P P P P N N N = c ( ) c ( ) ( P P P P c P N N N N c c c c са коефициенти на еластичност N (9) П = c δ P ) където Потенциалната енергия на механичната система е квадратична форма на обобщените координати която записана в матричен вид е: () П q q Където: матрица на коравините; [q] матрица на съответните деформации Еластични елементи между корпуса и фундамента (= =) На фиг са показани две твърди тела и Точките P и P са точките на закрепване на тримерния еластичен елемент към Фиг съответните тела и се намират на малко разстояние една от друга P P P

11 Връзката между телата се осъществява от тримерен еластичен елемент N с коефициенти на линейна еластичност: N N N N () c c c c N N N където c c c обобщените координати на телата имат вида: са константи или нелинейни функции на положението Векторите на (4) q q q q q q q q q q q q4 q5 q6 Двете тела и свързани с елемента N дефинират механична система от две тела с степени на свобода с вектор на обобщените координати: q (5) q q Векторът на деформацията на еластичния елемент в точката P на окачването на еластичния елемент към тяло дефиниран в отправната координатна система е: (6) P P където u P P P Δ P vp P ; ; ; P P w P P P Векторът на деформацията на еластичния елемент в точката P на окачването на същия еластичен елемент към тяло дефиниран в отправната координатна система е: (7) P P където и са радиус-вектори на началата на локалните координатни системи съответно на телата и а съответно на телата и и са матриците на преход от локална към глобална координатна система и са постоянни по големина радиус-вектори на точките на P P окачване на еластичните елементи в съответните локални координатни системи Тримерната деформация на еластичния елемент е: (8) δ N P P а потенциалната енергия от тримерната деформация на еластичния елемент е: P (9) П c δn където N е номера на еластичния елемент между телата и Потенциалната енергия на всички еластични елементи между телата и се определя от: t (4) n P П δ N N c Еластични елементи между ротора и корпуса (= =) Еластичните елементи между ротора и корпуса се дефинират по зависимостите показани в т 4 Гравитационни сили Потенциалната енергия от силата на тежестта на произволно тяло (фиг4) от една механична система се определя от израза: (49) ПG m g m g A Фиг4

12 където g = [ g ] е вектор който дефинира гравитационното ускорение в отправната координатна система; m - масата на тялото ; е векторът на положението на масовия център на тялото дефиниран в отправната координатна система За цялата механична система от n b на брой тела потенциалната енергия от теглото П G се определя от израза: (5) П b G П G n Потенциалната енергия от теглата се уравновесява от потенциалната енергия на статичните еластични сили и поради това не се отчита в диференциалните уравнения Уравнение за движение на консервативна система Честоти и форми Модална матрица Честотен спектър Системата нелинейни диференциални уравнения на ротационната система които описват свободните незатихващи нелинейни пространствени трептения се получават при прилагане на метода на Лагранж от II род и имат следния матричен вид: (54) M q q S ( q) q ( q) q където матриците M и характеризират линейните масово-инерционни и еластични свойства на механичната система а матриците S ( q) q и (q) описват нелинейните свойства на системата При изследване на малките трептения [4] може да се въведе малък параметър μ Малкият параметър е пред нелинейните членове на системата диференциални уравнения и произтича от наличието на много малки величини например ъглови премествания по-малки от ad измерени в реални машини а при свободни трептения преместванията са много по-малки от посочените Нелинейните членове са: (55) S q M S q) q ( ) ( ( q) M ( q) q При се получава система свързани линейни диференциални уравнения: (56) M q q ( ) () ( () са симетрични матрици които характеризират масовите инерционните и еластичните свойства на механичната система разположението на еластичните елементи и въздействието на теглото на телата Матричната система диференциални уравнения на свободните трептения на линеаризираната пораждаща (при много малки трептения) консервативна система има вида (57) M q q Форми на трептенията Решенията на диференциалните уравнения (59) съответстват на хармонични трептения с честота и начална фаза и имат вида (58) qt V snt където (59) V v v vn V - константен вектор (матрица -стълб) характеризиращ съотношението между различните обобщени координати В решения от този тип честотата и векторът V удовлетворяват матричното уравнение (6) M V Което е еквивалентно на система от n броя линейни хомогенни алгебрични уравнения относно компонентите на вектора V Условието за съществуване на ненулеви решения на хомогенната система (6) води до характеристичното уравнение наречено уравнение на собствените честоти (6) det M

13 От системата алгебрични уравнения (6) се получават кръговите ú собствени честоти n Подреждане на съвкупността на собствените честоти (6) n Ни дава спектъра на собствените честоти (на дадената система) Уравнението на собствените честоти (6) може да се представи с една от следните еквивалентни форми: (6) deti M ; detm I Една или повече собствени честоти могат да бъдат равни на нула На всяка собствена честота (64) v v v v съответства вектор на тези форми Изследване в главни координати на свободните трептения на механична система Решението на системата диференциални уравнения с търси във вида (66) qt V snt Преминаваме към главни координати чрез преобразуването (67) q V q където V v - матрица на фазите на свободните трептения v vn Ако отчетем че: (68) V M V dag ; V M V dag се получава система от независими диференциални уравнения всяко от което описва поведението на система с една степен на свобода / (69) а) q q б) q Решението на всяко от уравненията (69) има вида q A sn wt (7) а) (7) v A б) q wt q q При покой q 4 Уравнения за движение на ротационна машина с виброизолиран корпус Модална матрица В този случай роторната система се състои от три тела и се различава от системата описана в 5 единствено по размерността на системата уравнения Роторната система има 8 степени на свобода като векторът на обобщените координати q около устойчивото равновесно положение се записва във вида (7) q q q q n n=-8 а векторът на обобщените скорости (7) q q q q n Системата линейни диференциални уравнения има вида (74) M q q ( 88) (8) (88) (8) ( 88) a (88 ( 88) c (88 където M и ) ) n

14 са симетрични матрици които характеризират масовите инерционните и еластичните свойства на механичната система и разположението на еластичните на телата 5 Числен пример 5 Свободни трептения на система без виброизолиран фундамент На базата на получените формули е създаден алгоритъм за пресмятане с компютър в среда на стандартен програмен продукт Mathematca: Разглежда се конкретна роторна машина от разработеният стенд За стойности на входните параметри са използвани резултати от проведени измервания по време на натурален експеримент 8 Изводи: Извършено е механо-математично моделиране на свободните незатихващи линейни пространствени трептения на роторна система Създаден е динамичен модел на системата при което тя е дефинирана като механична система от тела с степени на свобода и тела с 8 степени на свобода и са отчетени масовите инерционните и геометричните характеристики на отделните тела и еластичните свойства на връзките Дефинирана е кинетичната енергия на механичната система Определена е потенциалната енергия от деформацията на връзките и от теглата Съставена е системата диференциални уравнения описваща свободните незатихващи пространствени трептения на механичната система Създадена е програма в среда на програмния продукт Mathematca моделиращ поведението на изследваната роторна система и са получени стойности за нейните собствените честоти и форми на трептене Получените стойности съвпадат с получените при натуралния експеримент резултати като разликата е между тях е в рамките на % Г Л А В А 4 4

15 СВОБОДНИ ЗАТИХВАЩИ ТРЕПТЕНИЯ НА ОБОБЩЕНИЯ МОДЕЛ РОТОРНА СИСТЕМА 4 Обобщен динамичен модел роторна система с фундамент На фиг 4 е изобразен моделът със съответните локални инерционни координатни системивекторът на обобщените координати е представен във вида: (4) q=[ Ф х Ф Ф Ф Ф Y Ф Z х Ф Ф Ф ] Където: са координати на масовия център на телата (=-) Ф Ф Ф са модифицирани ъгли на завъртане на Ойлер (=; =-) Свободните затихващи пространствени трептения се изследват като се отчита демпфирането в еластичните връзки на окачването Еластодемпфиращите елементи E притежават транслационна и ъглова еластичност и съответни линейни демпфиращи свойства [4] на виброизолаторите за окачване на корпуса и ротора Демпфиращата Фиг 4 сила има вида: F b q b q b q (4) b дефинира линейните демпфиращи свойства на еласто-демпфиращите елементи между телата Дисипативната сила се дефинира като квадратична форма на обобщените скорости [4 9]: (44) Fb q B q където: q 8 - вектор на обобщените скорости по съответните обобщени координати; B( q ) матрица която характеризира демпфиращите свойства на механичната система 4 Диференциални уравнения Системата диференциални уравнения която описва свободните затихващи трептения на роторна система от три тела се получава при прилагане на метода на Лагранж от II род и има вида: (45) M 8 8 q 8 B8 8 q q S ( q) q ( q) q ( q ) където: M 88 е матрица на масовите параметри 8 8 е матрица на еластичните параметри B88 е матрицата на демпфиращите параметри Тази система позволява да се изследват и нелинейните процеси които възникват в ротационната система При изследване на малките трептения може да се въведе малък параметър μ Малкият параметър е пред нелинейните членове на системата диференциални уравнения (45) и произтича от наличието на много малки величини например ъглови премествания по-малки от ad измерени в реални машини а при свободни трептения преместванията са много по-малки от посочените Нелинейните членове са: ) S ( q) M S ( q q ( q) M ( q) q ( q ) M ( q ) Които при малки трептения се пренебрегват и системата (45) приема вида: (46) M q B q q b са симетрични матрици които където M ( 88) a B и (88) 88 ( 88) c (88 ) характеризират масовите инерционните демпфиращите и еластичните свойства на механичната система разположението на еластичните елементи и въздействието на теглото на телата 4 Решение на системата диференциални уравнения Решението на (46) се търси във вида: pt (48) q V e След диференциране на (48) и заместване в (46) се получава: 5

16 (49) p M p B V където: M B и са матриците на масите демпфиращите и еластичните характеристики на системата от т 4 Трептенията се дефинират от собствените стойности p и собствените вектори u които в общия си вид са комплексно спрегнати числа: (4) p - собствени стойности; u v w - собствени вектори; ; - относителен коефициент на демпфиране; - коефициент на демпфиране; - честота на свободно затихващите трептения; w - имагинерна част на собствения вектор породена от демпфиране на системата; v - собствените форми и собствените честоти на недемпфираната система Определянето на собствените честоти и собствените форми v на консервативната система е дадено в гл При определяне на и w от матриците V и B се образува матрицата: (4) K V M V V BV За коефициентите на демпфиране се получава: (4) С помощта на матрицата K се образува матрицата: d при ; (4) D d d при Матрицата W на имагинерната част на собствените вектори на демпфираната система се определя по формулите: (44) W V D Общите решения на системата за собствените стойности p и собствените вектори u се получават като се определят началните условия на движение При начални условия t q() q q () q общите решения на системата диференциални уравнения [4] записани в матричен вид са: 7 t q( t) G Mq GM H M GBq() e cos t t g h (45) 7 t H Mq H M GM H Bq() e sn t g h При наличието на демпфиране в механичната система преминаването от обобщени в нормални координати [47] е възможно когато в системата диференциални уравнения (45) е изпълнено условието за пропорционалност: (46) B M при което тя се трансформира във вида: (47) Mq M q q Като се има предвид условието за преход от обобщени в нормални координати системата диференциални уравнения има вида: (48) V MVq V M Vq V Vq Като се използва ортогоналността на модалната матрица за (47) се получава: (49) M q B q q q q където: М q V MV ; Bq V M V ; q V V От (48) се получават 8 на брой независими диференциални уравнения от вида: (4) m q b q c q 6

17 Ако системата притежава една собствена честота и останалите s уравнения (4) добиват вида: q за (4) q s ssq s s qs за s Решенията на диференциалните уравнения (4) при начални условия t q q q q се търсят във вида: q q q t за (4) където ds q e s t s q s cos dst ds q q sn t за 44 Числени пресмятания на свободните затихващи трептения на конкретна машина На базата на получените формули е създаден алгоритъм за пресмятане с компютър в среда на стандартен програмен продукт Mathematca Входните данни за системата са дадени в глава За конкретната система са изчислени амплитудите на свободните затихващи трептения На фиг4 са показани резултати от числените решения за свободните затихващи трептения на системата q ad Фиг4 s q ad s s ds к с 5 5 ts 5 5 ts q 4 m 4 q 6 ad ts 4 5 ts Изводи: Съставена е системата диференциални уравнения описваща свободните затихващи пространствени трептения на механичната система Получени са решения на системата диференциални уравнения За конкретна машина са получени числени резултати за свободните затихващи трептения Получените числени резултати се потвърждават от резултатите от експерименталното изследване на роторната машина дадени в глава 7 Г Л А В А 5 ПРИНУДЕНИ ТРЕПТЕНИЯ НА РОТОРНА СИСТЕМА ЗА СЛУЧАИТЕ С И БЕЗ ВИБРОИЗОЛИРАН ФУНДАМЕНТ 5 Обобщени сили 7

18 Принудените пространствени трептения на роторна машина се изследват като се отчита силовото смущение породено от дебаланс Векторът на обобщените сили Q се формира [4] както от приложените към ротора дебаланс така и от приложените към телата сили и моменти които имат различен произход и характер Аналитичен израз за компонентите на вектора на обобщените сили Q се получава чрез израза за виртуалната работа който в общия случай има вида [4]: (5) W Q q n q W F M където: Q - обобщените сили; - виртуални премествания по обобщените координати q Векторът на обобщените координати на тялото е: q От (5) следва че в аналитичния израз за виртуалната работа δw коефициентите пред виртуалните премествания по обобщените координати δq ще имат смисъл на обобщени сили Q по съответните обобщени координати q На фиг5 е показана схема на тяло с 6 степени на свобода с приложени към него външна сила F и външен момент M 5 Виртуална работа и обобщени сили от действащ върху тялото момент на двоица M и сила F приложена в т P На фиг5 е показано свободно тяло в D пространството с действаща върху него сила и момент определени с: (5) F F F F - вектор на външната сила приложена в точка P проектиран върху отправната координатна система O ; (5) M M M M - вектор на външния момент приложен към P тялото проектиран върху отправната координатна система O ; P - Вектор на виртуално преместване на тялото под действието на силата F проектиран върху отправната координатна система O ; - вектор на виртуалното завъртане на тялото под Т действието на момента M Векторът на положението на точка P проектиран в координатната система O се представя с израза [4]: (54) P O P Векторът на виртуалното преместване P на точка P има вида: (55) P O P Виртуалната ротация се изчислява чрез зависимостта [4]: (56) След заместване на (56) и (55) в (5) и след подходящо групиране на членовете пред виртуалните премествания по обобщените координати изразът (5) за виртуалната работа придобива вида: (57) W Q Q където: (58) (59) Q F O Q F P M F P M Векторът на обобщените сили има вида: (5) Q Q Q F P M 8

19 За виртуалната работа на всички сили и моменти приложени върху тялото в матричен вид може да се запише уравнението: (55) W e F P M Θ След заместване за виртуалната работа на силите и моментите се получава: F F W e P Θ M Θ F F M Θ (58) Q Q Q P Θ Ако върху тялото действа произволна система от сили 9 F с вектори на приложните F Fns им точки ns моментите на двоица M M Mnm то съответните обобщени сили от всички външни сили и моменти на двоица се определят от: a) случай с модифицирани ъгли на Ойлер (55) Q e F F Fns ns (56) Q e M F Q nm ns F По аналогичен начин в дисертацията е извършено определянето на всички обобщени сили 5 Смущаващи сили и моменти породени от дебаланс При работа на ротор трябва да се отчете влиянието на силите и моментите които възникват от дебаланс в него които са пропорционални на честотата на въртене Смущаващата сила може да бъде зададена във вида [4]: F F F където: F (57) F ew m coswt Fw coswt ew msn wt Fw sn wt F - силов вектор ; е - дебаланс; - честота на завъртане на коляновия вал; m - дебалансна маса; Fw Sw ; S em - статичен момент; Векторът на смущаващата сила може да с е изрази [4] чрез своите компоненти върху съответните координатни системи: (58) F w F w F w - хоризонтален ротор - Момент от неуравновесена двоица центробежни сили при ротор M M M (59) M M m w e coswt m w e snwt 54 Диференциални уравнения на принудените трептения 54 Принудени трептения породени от дебаланс и кинематично смущение Диференциалните уравнения описващи трептенията на роторна машина породени от смущаващи сили и моменти от ротор и пространствено кинематично смущение [4]: (5) M q B q q Sq ( q q ) QF QM QFF QMM където: Q F и Q М са смущаващите сили и моменти от дебаланс; Q FF и Q МM са смущаващите сили и моменти от страничен дебаланс; S и описват нелинейните свойства на системата При малки трептения около устойчивото равновесно положение (т4) системата придобива следния вид: (5) M q B q q8 QF QM QFF QMM

20 Решението на системата диференциални уравнения (5 ) при t q() q q () има вида: (5) q( t) 7 7 g e q o n g h h 7 g h G Mq () G M H M G B q() G H G Q H Mq () H M G M H B начални условия n 7 G H P G P t e Q e g h P P 54 Решение в главни координати Диференциалните уравнения описващи принудените трептения се съставят във вида [45]: (5) M q Bq q Q Където М В С характеризират съответно инерционните демпфиращите и еластичните Q M е вектор на обобщените външни сили и моменти свойства d M q q q q F e q() t e e t t cos t sn t е вектор на обобщените координати Решение на диференциалните уравнения чрез метода на главните координати може да се намери при изпълнено условие за пропорционалност (54) B M и като се има предвид условието за преход от обобщени в главни координати (55) q V q Където V v (56) (88 ) където v v v v v v 4 е векторът на собствените форми по обобщените координати за -та собствена честота системата диференциални уравнения (5) в главни координати има вида (57) M q B q q Q където M q q q (58) V MV; B V M V; V V Q V Q q q От (58) се получават независими диференциални уравнения от вида (59) m q b q (54) m q b q c q Q където b m c Като се вземе предвид че b (54) ; m - собствена честота на недемпфираната система ω ω ω ω4 ω4 ω5 ω8 Следователно (54) може да се запише във вида (54) q q q Q Ако смущаващите сили са периодични решението на (54) за чисто принудените трептения има вида q

21 (54) V Q n m q sn t 4 където m е елемент на диагоналната матрица М q е честотата на к -тия хармоник на принудените трептения Q е векторът на амплитудата на к -тия хармоник на обобщените сили е фазовият ъгъл на к -тия хармоник (544) actan При резонанс ω (545) q sn t n V Q m 55 Числени пресмятания на принудените трептения за роторна машина Параметри на системата На базата на получените формули е създаден алгоритъм за пресмятане с компютър в среда на стандартен програмен продукт Mathematca: На фиг5 са показани амплитудно-честотните характеристики на изследваната система q ad q 6 ad s s Фиг5аb 6 Изводи: Извършено е механо-математично матрично моделиране на принудените нелинейни пространствени трептения на роторна машина с отчитане на масовите геометричните еластичните демпфиращите кинематичните и силовите свойства Създаден е алгоритъм на базата на получените формули и е извършено програмиране в среда на програмен продукт Mathematca Съставена е системата диференциални уравнения и са получени решения в матричен вид описващи принудените пространствени трептения на механичната система С получените формули за машина с конкретни параметри на масовите геометричните еластичните демпфиращите кинематичните и силовите свойства са получени числени резултати на принудените трептения и техните амплитудно-честотни характеристики включително зоните в и извън резонанс Г Л А В А 6 ЧИСЛЕНО МОДЕЛИРАНЕ НА КИНЕМАТИКАТА И ДИНАМИКАТА НА СИСТЕМИ ОТ ТВЪРДИ И ЕЛАСТИЧНИ ТЕЛА В настоящата глава се разглежда методика и алгоритми за числено моделиране на кинематиката и динамиката на системи от твърди и еластични тела Чрез числените методи се увеличава сложността и многообразието на решаваните задачи като се дава възможност ефективно да се моделират нелинейни процеси и явления които чрез аналитичните методи е

22 много трудно дори невъзможно да бъдат описани Основавайки се на методиката за извеждане на кинематичните зависимости както и на дефинирането на параметрите на движение техните скорости и ускорения представени по горе в аналитичната методика (Глава ) в изложението на този раздел ще бъдат представени методика и алгоритми за дефиниране на параметрите на механични системи от твърди и еластични тела както и извеждане на уравненията на динамиката като се вземат предвид масовите характеристики коравините и демпфирането 6 Описание на координатите на системи от твърди и дискретизирани еластични тела Основен етап в моделиране на динамиката на многозвенните системи изградени от твърди и еластични елементи и тела е алгоритмът за описание на структурата Движението на твърдо тяло или възел от еластичен елемент се представя чрез движението на неговата (неподвижно свързана към тялото) координатна система като се описва чрез три параметри на транслации на точка (координатното начало) и параметрите на ротация Тази тема за конкретния случай на роторна машина състояща се от еластично окачен фундамент е разгледана в Глава Фиг ; като в тази глава се представят специфични подходи за описание на конфигурацията на взаимосвързани тела Транслационните параметри се представят чрез линейните премествания по три координатни оси утвърдени и без проблеми използвани в практиката При ротационните параметри обаче съществуват множество методи за тяхното дефиниране като основната причина за многообразието е нееднозначното описание произтичащо от особените конфигурации при големи пространствени ротации Тук накратко ще разгледаме два от най-често прилаганите метода за представяне на ротационните координати параметрите и ъглите на Ойлер като ще обобщим преимуществата и трудностите при реализацията на разгледаните по-горе методи за описание на конфигурацията на системи от твърди и еластичните тела На фиг 6 (а) схематично са показани как параметрите на Ойлер ( и []) дефинират еднозначното разположението на една ос от твърдо тяло и ротацията около нея напълно достатъчни за дефинирането на подвижната координатна система на тялото при големи ротационни премествания Тези параметрите са четири като три от тях ( ) дефинират оста е в пространството около която е осъществено завъртането дефинирано чрез параметъра На фигурата тези параметри въпреки че не са ъгли съответстват на ъглите които дефинират оста и завъртането около нея Параметрите на Ойлер са зависими поради което при описанието на кинематичните зависимости се налага да се въведе допълнително кинематично ограничение В практиката преимуществено се прилагат ъглите на Ойлер (Фиг 6 б) В Глава беше представена роторна система за която абсолютното ъглово разположение претърпява малки изменения поради което и координати на ротация се приемаха малки завъртания около координатните оси на абсолютната координатна система Това са последователни ротации около определени оси на подвижната и относителната координатни системи ( - фиг 6 б) но при се получава неопределеност на дефинирането на другите две ротации с рязка промяна на другите два ъгъла при малко нарастване на В Глава беше представена роторна система за която абсолютното ъглово разположение претърпява малки изменения поради което и координати на ротация се приемаха ротации около координатните оси на абсолютната координатна система Матрица на координатната трансформация на подвижната координатна система спрямо абсолютната е изразена чрез последователни матрични трансформации ( X Y Z ) на последователно свързани координатни системи са представени чрез уравнения ( 5)

23 При числените методи за дефиниране на конфигурацията на системи от твърди тела се използват така наречените ставни координати които приложени за отчитане на свободната ротация на твърдо тяло се преобразуват в последователност от три взаимно ортогонални условни ротационни двоици (фиг 6 а) Използват се и различни модификации на началното положение на подвижната и неподвижна координатни системи които определят и друга последователност на подбор на ъглите на ротация но както и при ставните координати това са на практика модифицирани ъгли на Ойлер Това може да се установи от фиг 6 (б) където на ротациите около осите по които се определят ъглите на Ойлер са съпоставени условни ротационни двоици Очевидно е съответствието на този подход с описания в Глава метод за представяне на ротацията на подвижна координатна система както и съответствието на параметрите на ъглите на Ойлер При малки ротации по съответните координатни системи както в случая на роторна система се получават опростените зависимости на матрицата на координатната трансформация уравнения (7 ) Изводът който може да се направи е че аналитичните и числените процедури прилагат общи методики за описаните на конфигурацията на системи от свързани тела както и тяхното пространствено движение с големи ротации В научната литература въпреки голямото многообразие на наименованията използваните параметри описващи ротацията на свързани тела и свободното движение на тяло в пространството се свеждат основно до параметрите на Ойлер и ъглите на Ойлер 6 Динамика Динамичните уравнения независимо как са изведени в най-общия си вид представят линейната зависимост между инерционните сили на масовите обекти външни сили натоварващи звената сили предизвикани от потенциални полета (гравитационни и еластични сили) демпфиращи сили сили на триене и др Този вид на динамичните уравнения се представя от уравненията на Лагранж При уравненията на Нютон Ойлер системата се разглежда в квазистатично равновесие под действието на инерционните и външни сили За извеждането на диференциалните уравнения на движение тези сили се привеждат спрямо използваните координати Разликата в двете методики е при извеждането на инерционните сили докато при силите на потенциалните полета и външните сили подходът е идентичен Уравненията на Лагранж се прилагат най-често при извеждането на динамичните уравнения във аналитичен вид докато уравненията на Нютон Ойлер се прилагат при ефективни числени алгоритми за динамичен анализ 6 Динамични уравнения на системи от твърди и еластични тела За една многозвенна система без да се вземат предвид ограниченията на движението на телата динамичният модел се представя като система от n на брой Обикновени Диференциални Уравнения (ОДУ) M q F qq t G q (6) където q е n матрица на вторите производни спрямо времето на координатите на движение q M n n е квадратна симетрична матрица на масите; n матриците G и F са респективно обобщените сили (приведени към координатите не задължително само независимите) и инерционните сили зависещи от скоростите Координатите на този динамичен модел найчесто представят глобалното движение на масови обекти (масови точки твърди тела еластични елементи и техните възли) спрямо абсолютната координатна система

24 За механична система с кинематични връзки и например затворени вериги координатите q са обект на m (m < n) на брой нелинейни алгебрични ограничения m матрица а именно: q t (6) Уравнение 6 дефинира неявно m зависими координати q спрямо g = n - m обобщени координати q С други думи q е матрица стълб от вида q q q а g е броят на степените на свобода на системата Диференциалните уравнения (6) и алгебричните уравнения (6) образуват система от Диференциални Алгебрични Уравнение (ДАУ) които в общия случай не могат да бъдат решени аналитично и е необходимо те да бъдат дискретизирани и съответно решени числено В този раздел ще бъдат представени и анализирани методи и подходи за моделиране на динамиката на многозвенни системи както със склерономни така и с реономни ограничения Склерономни ограничения са обикновено независещите от времето ограничения които налагат връзките между звената (двоиците) на една система от свързани тела Реономни са ограничения зависещи от времето и обикновено това са външни въздействия например земетресения които ще бъдат разгледани по-долу В дисертационния труд се прилага обобщен подход при който реономните ограничения се трансформират до склерономни тъй като всяка функция на времето може да бъде преобразувана [] посредством въвеждането на допълнителен параметър (с индекс n + ) чрез заместването q n t и q n qn е n + - ят елемент на матрицата на t координатите q Координатите q и техните първи и втори производни спрямо времето ( q q ) в дискретизираните динамични уравненията (6) трябва да задоволяват дискретизираните ограничения (уравнения 6) както и техните производни спрямо времето а именно: q q (6) q q (64); q q q При известни координати на движение скорости и ускорения както и външни сили решението на така наречената обратна задача на динамиката се състои в трансформирането на уравненията (6 64) така че те да бъдат явно решени спрямо задвижващите сили и реакциите Решаването на така наречената права задача на динамиката а именно при зададени управляващи и външни сили и въздействия да се изчислят координатите на резултантното движение на системата се състои в следното: (а) трансформиране на динамичния модел на системата (уравнения 6 64) до една линейна система уравнения спрямо q ; (б) за една начална (или междинна) конфигурация на системата (индекс ) за която q t q и техните скорости q t q са известни ограниченията стойностите на координатите уравнения (6 6) са задоволени с необходимата точност а също така при зададени външни и задвижващи сили се решава така получената система линейни уравнения спрямо ускоренията q t q ; (в) дефиниране на нови стойности на координатите и скоростите q t t f Q q q q q t t g q q в случай на явен метод за числено q интегриране и в случай на неявен метод на интегриране q f q q q q q gq q q Докато стъпките (б в) са етапи на процеса числено интегриране трансформацията на диференциалните и алгебрични уравнения и решаването им спрямо ускоренията е стъпка която до голяма степен определя ефективността на последващите изчисления По-долу ще бъдат 4

25 разгледани накратко основните и най-често прилагани методи за решаване на задачите на динамиката 6 Метод на множителите на Лагранж Трябва да се отбележи че този метод не засяга само извеждането на уравненията на динамиката от вида 6 който процес е съвместим с Уравненията на Лагранж от втори род а за решаването им при наличие на алгебрични уравнения и повече на брой координати на движение от степените на свобода на системата Някои източници употребяват терминологията Уравнения на Лагранж от първи род В световната научна литература тези два метода са с обединено название - уравнения на Лагранж с алгебрични ограничения (ДАУ) и такива спрямо обобщените (независими) координати (ОДУ) Прилагането на метода на множителите на Лагранж [ 4 5] се заключава в трансформирането на ДАУ в ОДУ от втори ред които включват дискретизираните уравнения на динамиката (6) и вторите производни на алгебричните уравнения (64) спрямо времето Това може да се направи ако алгебричните ограничения (ур авнения 6 6) са задоволени с предписаната точност ДАУ в матрична форма като се използва методът с коефициентите на Лагранж са както следва: (65) M G Fqq t G Q q q q q q mm q q q m m където е m m нулева матрица Уравнение (65) е линейна система от m + n уравнения спрямо m + n неизвестни ускорения q и множители на Лагранж Множителите на Лагранж могат да бъдат елиминирани и уравнение (65) да бъде представено в явна форма спрямо ускоренията q [4 5]: където Q Ps M G q M G q q Ps M M q q е една псевдо-обратната матрица на q q (66) (67) При начални условия qt q и qt q които задоволяват алгебричните уравнения (6 6) и прилагането на подходяща числена интеграционна процедура се получават добри резултати Тъй като задоволяването на алгебричните уравнения (6 6) се постига в рамките на численото интегриране след няколко итерации точността се губи поради което стойностите на координатите и скоростите трябва да бъдат коригирани за да се постигне желаната прецизност на задоволяване на всички ограничения (6 64) Разработени са множество процедури за стабилизация на ограниченията в рамките на интеграционната процедура [6 7] като най-често използваната и успешно прилаганата е тази на [8 9] са предложили числена процедура за минимизиране на грешките в ограниченията за всяка стъпка на интегриране основаваща се на коригиране на координатите и техните скорости като се използва псевдо-обратна матрица 6 Метод на предварителния кинематичен анализ и независимите координати Този метод се основава на предварителен кинематичен анализ на системата [ ] Първо и основно при този подход е разделянето на координатите q на зависими q и обобщени q - q q q Съобразно това разделяне се обособяват и две под-матрици на Q 5

26 За да е направен правилният подбор на независимите координати важно q q q условие е да съществува обратна на матрицата или тя да не е особена Подборът на q независимите координати най-често се извършва като се използва методът на Гаус При този процес важно условие е да се следят диагоналните (водещите) елементи на матрицата Ако q съответният елемент на матрицата на зависимите координати е близък до нула то координатата съответстваща на този елемент трябва да се приеме за независима координата Въпреки че методът на Гаус не е обобщаващ той е един от най-ефективните от гледна точка на изчислителната процедура Изразяването на зависимите координати q спрямо обобщените q при линейни уравнения на кинематичните ограничения уравнения 6 е тривиална задача При механичните системи със затворени кинематични вериги както и при нелинейни ограничения извеждането на тези зависимости по аналитичен път е невъзможно поради което този ефективен метод и приложим само при числените методи Най-често и успешно се използва методът на Нютон Рафсон за числено решаване на нелинейни уравнения Скоростите на зависимите координати q се изразяват посредством обобщените координати чрез така наречената проекционна матрица P : q Pq (68) Така получените зависимости за q и q се заместват в изразите за кинетичната и потенциална енергия или в динамичните уравнения на Нютон-Ойлер Един от най-често прилаганите числени методи е този при който се използва принципът на виртуалната работа и уравненията на Нютон Ойлер В този случай инерционните и външните сили се привеждат към обобщените координати като се използват частните производни на координатите на масовите точки и точките на приложните силите спрямо обобщените координати Основно предимство на метода на предварителния кинематичен анализ е че уравненията на динамиката се извеждат директно като ОДУ от втори ред спрямо минимален брой обобщени координати Ефективен метод за извеждане на уравненията на динамиката [] включително спрямо обобщените координати е приложен в програмния пакет NEWEL [] Числени експерименти показват [4] че интеграционните алгоритми за решаване на ОДУ са много поефективни от тези за ДАУ Извеждане на уравненията на динамиката спрямо минималния брой на обобщените координати и методът основаващ се на предварителен кинематичен анализ се прилага при анализа на сложни пространствени механизми и крачещи системи [5 6] Въпреки че този подход се реализира сравнително трудно от гледна точка на изграждането на софтуера той е един от най-точните и икономични методи в смисъл на обем на изчисленията и бързодействие Той е и най-често прилаганият метод при симулация в реално време и управление на многозвенни системи 6 Инерционните сили при многозвенни системи от твърди и еластични тела В Глава са разгледани матриците на масите M и еластичните свойства на системи от твърди тела и еластични елементи Използвани са уравнения на Лагранж от втори род за извеждане на инерционните сили (членовете получени при диференцирането на кинетичната енергия спрямо обобщените скорости и времето) При числените методи за динамичен анализ на системи от твърди тела инерционните сили се определят спрямо квазискоростите и ускоренията чрез уравненията на Нютон Ойлер а именно (за тялото ): F m a ; (69) (6) F J J 6

27 където F и F са респективно инерционните сили в центъра на тежестта и инерционните F моменти на тялото Матрицата вектор F е 6 матрица вектор на инерционните F сили и моменти на тялото Крайните елементи са части от еластично тяло и се изграждат от виртуални краен брой точки наречени възли Тези възли са координатни системи и извършват относителни премествания един спрямо друг а релативното им разположение се поддържа от еластичните сили помежду им Подобно на твърдите тела техни координатни системи се движат с линейна и ъглова скорости и ускорения За елемента 6 матрица се представя с вектори на скоростите и ускоренията които са респективно V и a Масовата матрица на един такъв елемент се изчислява като се редуцират разпределените маси по дължината на елемента към крайните възли като се използва полиномиална апроксимация на еластичните деформации и принципът на еквивалентност на кинетичната енергия [7] В книгите и статии които разглеждат проблемите на динамиката на еластични системи дискретизирани чрез метода на крайните елементи уравненията на динамиката са записани в следната форма: G M B (6) В (584) е матрица стълб съставена от линейните и ъглови ускорения на възлите на еластичния елемент Както и при твърдите тела тези ускорения зависят също така от обобщените скорости и ускорения а именно: q q M B и са съответно матриците на масите демпфирането и коравината; G е матрицата на обобщените сили за всички елементи Въпреки че еластичните елементи са много по-сложни обекти от твърдото тяло в (6) не е включен член при които инерционните сили да зависят от ъгловите скорости Очевидно е че при извеждането на уравненията на динамиката на еластични тела и използване на метода на крайните елементи за дискретизация не е взето пред вид че възлите на елементите са координатни системи а не просто масови точки и че матрицата на масите M зависи от ъгловото разположение на съответния елемент В резултат на това този допълнителен член е изпуснат което води до неточни динамични уравнения Класическата методика на крайните елементи [7] успешно се прилага и развива за решаване на сложни задачи в областта на техниката строителството и много други области Задачата за извеждане на уравненията на динамиката при многозвенните системи като се прилага методът на крайните елементи е актуална и редица автори обръщат внимание на проблемите при нейното решаване На практика обаче този подход не може да се използва директно за моделиране на динамиката на еластични системи което значително затруднява използването на богатия арсенал от програмни продукти (NASAN ANSYS ABAQS) В [8] се извеждат обобщени уравнения на Нютон Ойлер за твърди и еластични тела при което инерционните сили са както следва: F M M M (6) където n и V dag n ; ; n са скоростите във възел ; V V Елементите на матрицата F както при твърдите тела за възела инерционните сили и моменти F са 6 матрица вектор F F Така изведените обобщени уравнения на Нютон Ойлер са приложими както за твърди така и за еластични системи и изграждат основата за една ефективна и обобщена рекурсивна ; 7

28 методика за извеждане на уравненията на динамиката на многозвенни системи от твърди и еластични тела Изведените чрез уравненията на Нютон Ойлер инерционни сили се привеждат към избраните координати като се използва принципът на виртуалната работа 64 Линейно демпфиране при системи от твърди и еластични тела Линейното демпфиране [9] е най-често използваният подход при моделиране на динамиката на еластични системи Демпфиращите сили P d се моделират като линейна функция на скоростта както това е показано в уравнение 6 : P d Bq (6) където B M (64) d d За определяне на коефициентите d и d е необходимо да се определят първите две основни честоти на системата и както и степените на демпфиране и на първите две собствени форми В уравнение 64 d d (65) За да се използват зависимостите (65) трябва да се определят и както и степените на демпфиране и Честотите могат да бъдат измерени експериментално или чрез числен анализ като се използва методът на крайните елементи За определяне на степените на демпфиране и е необходимо да се анализира графиката на амплитудното затихване експерименти [] Стойностите на степените на демпфиране (Фиг6) което се извършва основно чрез се определя от []: (66) където и е логаритмичното затихване за първата и втората собствена форма Стойностите им се определят чрез експериментално изследване на затихването на амплитудите както това е показано на фигура 6 както и чрез следните зависимости: n n n n A n B A 65 Реономни ограничени при моделирането на сеизмични въздействия Вълновите процеси при земетресенията предизвикват принудени колебания на фундаментите на сградите и машините Движението на земните платове респективно на основите и фундаментите се регистрира посредством акселометри и обикновено се състои от три взаимно перпендикулярни компоненти Скоростите и преместванията на земните пластове се изчисляват чрез интегриране на базата на получените акселограми Оценката на едно земетресение включва оценка на върховите стойности на ускоренията времетраене и честотата На Фиг 64 е показана графиката на преместването на земните пластове за земетресението E ento afona 94 г както и полиномиалната B n (67) 8

29 апроксимация на числената графика за нуждите на динамичната симулация За специфични региони се използва статистически данни за земетресенията и се представят в числена форма от вида q q t (67) където с индексите се представя мястото на съответните премествания на фундамента в матрицата на обобщените координати q Това са на практика реономни ограничения (функция на времето) наложени на динамичните уравнения на системата За многозвенна система със степени на свобода n движението на които се описва чрез система от ОДУ уравнения 6 с наложени m = реономни ограничения уравнения 64 динамичните уравнения се представят като система n + m линейни ДАУ от вида M q F qq t G q ; q q t (68) Чрез заместване системата 68 се преобразува във вида [] M q \ \ q q m q n F q q G G G m Gn В уравнения (69) обобщените ускорения q q t m (69) които представят реономните ограничения са включени като параметри с известни стойности докато съответните обобщени сили G G t m са неизвестни Решаването на системата уравнения (69) представлява съвместно решаване на права и обратна задача на динамиката при която се търсят неизвестните обобщени ускорения q q t m n и обобщените сили G G t m Динамичните уравнения (69) се преобразуват в следния вид: \ \ q S S q Fqq M q q S M m n m (6) Уравненията (6) се решават числено за определяне на движението на системата и еластичните деформации Ефективността на предлагания метод се представя чрез пример на турбо-генератор монтиран на голяма еластична колона Фигура 65 Конструктивните характеристики на системата са: стоманена колона с височина L = [m]; плътност ρ = 8 [g/m ]; вътрешен и външен диаметър съответно D = [m] D = 96 [m]; маса на гондолата; m* [g]; коефициенти на коравина и демпфиране респективно b [Ns/m] c 4 5 [N/m]; маса на ротора (маса в т ) m = 6 [g]; масов инерционен момент на ротора J = [m 4 ]; ексцентрицитет на ротора e = [m]; задвижващ момент M [Nm] На Фигура 66 е показана диаграмата на амплитудата на вибрациите във функция на ъгловата скорост Ясно се очертават зоните за възможно възникване на нестационарни процеси около собствените честоти Така разглежданата система е подложена на влиянието на земетресение с ускорение q G cos t На Фигура 67 е показа диаграмата на ускоренията спрямо времето Времето на въздействие е 5 секунди и е в началото на развъртане на турбогенератора На Фигурите 68 (а б и в) са показани резултатите от въздействието на системата върху амплитудата като функция на времето Отбелязано е влиянието на земетресението Фигури 68 (б в) върху ъгловата скорост на ротора 9

30 Изводи: Разработени и предложени са метод и алгоритъм за моделиране и извод на уравненията на динамиката на роторна система при наличие на кинематични (б) ограничения с външни смущения и принудени трептения Реализиран е алгоритъм и програмна система за моделиране динамиката на системи подложени на сеизмични въздействия Изложената методика и алгоритми е приложена при изследването на реална ветрогенераторна система като резултатите са показани в графичен вид Г Л А В А 7 ЕКСПЕРИМЕНТАЛНО ИЗСЛЕДВАНЕ 7 Експериментално определяне на еластични и демпфиращи характеристики за виброизолация на роторна система На фиг 7 е показана опитната установка на роторна система където е окачващи еластични елементи маса е преобразувател на механично смущение в електрическо(датчик) 4 усилвател на електрическо трептение 5 аналогово цифров преобразувател 6 регистриращ уред (лаптоп) Когато се използва термомеханичен записвач не се използва АЦП Роторната системата се развърта до скорост по-висока от резонансната честота и се записват затихващи трептения 7 Определяне на масови инерционни моменти по метода на еднодве или три нишкото окачване или чрез моделиране на компонентите на роторната система чрез система за машинно тримерно моделиране SOLID WOKS 7 Резултати 74 Експериментално изследване на принудените трептения в D пространство Резонанси и графики Роторната система с предварително монтиран дебаланс се развърта до скорост надвишаваща зоната на появяване на резонанс след което се оставя да се върти без външен задвижващ момент В резултат на силите на триене и въздушното съпротивление роторната система преминава през резонансната зона Резултатите от измерването се записват с компютър На диаграмите по-долу са дадени резултати от измерванията Измерване на принудените трептения на модел с две маси и ротор Датчици са закрепени върху маса по оста на въртенето на ротора Фиксирани ляв и десен датчик Измерване на принудените трептения на модел с две маси и ротор Датчици закрепени на маса перпендикулярно на въртенето на ротора Измерване на принудените трептения на модел с две маси и ротор Датчици закрепени на маса перпендикулярно на

31 въртенето на ротора Фиксиран ляв датчик Измерване на принудените трептения на модел с две маси и ротор Датчици закрепени на маса перпендикулярно на въртенето на ротора Фиксиран ляв датчик 75 Обсъждане на резултатите и сравняване на експерименталните и цифровите резултати Сравнението на резултатите от експерименталните изследвания с резултатите от моделирането на роторната система с програмния продукт Математика показва голямо съвпадение на резултатите разликата между получените числени и експериментални резултати е в границите на % Това позволява да се използва създадения математически модел за изследване на поведението на роторна система при различни външни въздействия Приноси Научно приложни приноси 8 Създаден е обобщен динамичен модел на роторна машина включващ фундамент корпус хоризонтален вал и съответните пространствени еласто-дисипативни връзки който обхваща широк клас машинни агрегати 8 Предложен е алгоритъм в матричен вид за дефиниране на геометричните кинематичните и динамични зависимости и уравнения на свободни (консервативни и затихващи) и принудени трептения предизвикани от дебаланс и кинематични смущения (земетръс) 8 Разработени и създадени са символни програмни продукти в средата на Mathematca за собствени стойности и вектори на модулната матрица на роторната система както и за пресмятане на затихващите трептения в D-пространството 84 Разработени и предложени са метод и алгоритъм за моделиране и извод на уравненията на динамиката на роторна система при наличие на кинематични ограничения с външни смущения и принудени трептения 85 Реализиран е алгоритъм и програмна система за моделиране динамиката на системи подложени на сеизмични въздействия Приложни приноси 86 Създаден е метод на базата на обобщения модел на роторна машина за експериментално изследване на свободните затихващи и принудени трептения предизвикани от дебаланс в пространството на конкретни масови и еласто-демпфиращите параметри и характеристики 87 Проведена е апробация на получените резултати на затихващи и принудени трептения като е потвърдено съответствие в рамките на +/-% с теоретичните такива получени при изследване на роторната система с изложените методика и алгоритми 8 Разработен е стенд за изследване на затихващите и принудени трептения в D пространството на роторна система Статии и доклади свързани с дисертацията Структурно моделиране на динамичните процеси в механични системи Данчев И Научна сесия на ВМЕИ 89 София 989 г секция стр 5 Динамично изследване на роторна система Данчев И Павлов Ст Семинар по Динамика на механични системи Варна IX 9 т стр -6 Използване на матрични методи за решаване на проблемите в механични системипроблеми предимства реализация Данчев И Павлов Ст XVII Национален Семинар по Динамика на механични системи Варна 9 книга стр 7-4 Алгоритъм за определяне на собствените честоти на роторна система Данчев И Павлов Ст Механика на машините Варна 95 книга стр-9 5 Спектрален анализ на трептенията върху оператора на строителни машини