Microsoft Word - VypBIOL-02-Kin-Okryznost.doc

Препис

1 ВЪПРОС КИНЕМАТИКА НА ДВИЖЕНИЕТО НА МАТЕРИАЛНА ТОЧКА ПО ОКРЪЖНОСТ Във въпроса Кинематика на движението на материална точка по окръжност вие ще се запознаете със следните величини, понятия и закони, както и с основните единици за измерване: Ъгъл на завъртане Ъглова скорост Векторно произведение на два вектора Ъглово ускорение Периодично движение Период Честота Центростремително ускорение Единици за измерване Радиан Единица за ъглова скорост Единица за ъглово ускорение Единица за честота - 1 -

2 1 Основни величини в кинематиката на движението по окръжност 11 Ъгъл на завъртане Ъгъл на завъртане се нарича ъгълът ϕ, който се описва от радиус-вектора на материалната точка за определен интервал от време (фиг1а) а) б) Фиг1 Ъгълът на завъртане се измерва в радиани (rad), като: 360 o =π rad Радиан (rad) Един радиан е големината на ъгъл, вписан в окръжност, за който дължината на съответстващата дъгае равна на радиуса на окръжността Ъгълът на завъртане като вектор При много малък интервал от време (dt 0) ъгълът на завъртане се разглежда като вектор ( dϕ ) Неговото начало е в центъра на окръжността, направлението му е перпендикулярно на нейната равнина, а посоката му се определя по правилото на «свитите пръсти на дясната ръка» (фиг1б) Полярни координати - -

3 1 Ъглова скорост Ъгловата скорост характеризира бързината, с която се изменя ъгълът на завъртане Ъгловата скорост е първа производна на ъгъла на завъртане по времето Тя се дефинира чрез формулата ω = dϕ dt На фиг е представена ъгловата скорост на материална точка, която се движи по окръжност Тази скорост представлява вектор, перпендикулярен на равнината на окръжността Посоката й се определя от правилото за «свитите пръсти на дясната ръка», а началото й а в центъра на окръжността Фиг Големината на ъгловата скорост е dϕ ω = dt Единица за ъглова скорост Единицата за измерване на ъглова скорост е радиан за секунда (rad/s) Между големината на линейната скорост ( ) и ъгловата скорост ( ω ) съществува следната връзка = ω където е радиусът на окръжността Връзка между линейната и ъгловата скорост На фиг1б се вижда, че за малък интервал от време dt материалната точка изминава път ds (дъга от окръжността с дължина ds ) Големината d ϕ на ъгъла на завъртане и дължината ds на съответс

4 тващата му дъга са свързани със зависимостта ds dϕ =, където е радиусът на окръжността Ако разделим двете страни на това равенство на dt и използваме, че d s dt =, получаваме dϕ ds = = dt dt От формулите получаваме dϕ ω = и d ϕ = dt dt = ω Векторно произведение на два вектора Векторите на ъгловата скорост ω, скоростта и радиус-вектора r (фиг) са свързани с векторното произведение = ω r Неговата големина е = ωr sinα, където α е ъгълът между двата вектора ωи r, Когато 90 o o ω r, α =, sin90 = 1 и = ωr При движение по окръжност r =, така получаваме отново формулата = ω 13 Ъглово ускорение Ъгловото ускорение характеризира бързината, с която се изменя ъгловата скорост Ъгловото ускорение представлява първа производна на ъгловата скорост по времето или втора производна на ъгъла на завъртане по времето: ε = dω dt или Големината на ъгловото ускорение е d dϕ d = = dt dt dt ε d ϕ ε = dt Единица за ъглово ускорение В международната система единицата за измерване на ъглово ускорение е радиан за секунда на квадрат (rad/s ) Връзка между ъгловото и тангенциалното ускорение ϕ

5 Между големината на ъгловото ускорение ( ε ) и на тангенциалното ускорение ( a t ) съществува връзка: a ε = t, където е радиусът на окръжността От дефиницията за ъглово ускорение следва, че dω d 1 d a ε = = t dt dt = = dt откъдето a = ε t Ъгловото ускорение е по направление на ъгловата скорост, те то лежи на оста, която е перпендикулярна на равнината на окръжността и минава през центъра й (фиг3) а) б) Фиг3 При ускорително движение по окръжност векторите ε и ω са еднопосочни В този случай тангенциалното ускорение a t е по посока на скоростта (фиг3а) При закъснително движение по окръжност векторите ε и ω са с противоположна посока В този случай тангенциалното ускорение a t е в противоположна посока на скоростта (фиг3б) При равномерно движение по окръжност няма ъглово ускорение ( ω = const и ε = 0) и тангенциалното ускорение ( a = 0 ) тъй като големината на скоростта е постоянна = const t - 5 -

6 Равномерно движение по окръжност Равномерното движение по окръжност е най-простия пример на периодично движение в природата 1Периодично движение Движение, което се повтаря през равни интервали от време, се нарича периодично Период Най-малкият интервал от време, след който се повтарят стойностите на всички величини, характеризиращи движението, се нарича период Периодът се означава с T и се измерва в секунда (s) 3Честота Честотата показва колко пъти се повтаря периодичното движение за 1 секунда Честотата се означава с ν : 1 ν = или T T Единица за честота 1 = ν Единицата за честота е s -1 и се нарича херц (Hz) 4Равномерно движение по окръжност Движение по окръжност, при което големината на скоростта остава постоянна с времето, а се изменя само посоката й, се нарича равномерно движение по окръжност При това движение: - няма тангенциално ускорение ( a = 0 ); - има нормално (центростремително) ускорение, което остава постоянно по големина ( a n = const ), като във всяка точка е насочено по радиуса на окръжността към нейния център; - ъгловата скорост остава постоянна ( ω = const ); - няма ъглово ускорение ( ε = 0 ) Поради наличието на центростремително ускорение равномерното движение по окръжност е всъщност ускорително движение Следователно всички криволинейни движения, включително и равномерните, са ус- t - 6 -

7 корителни Те се извършват с различно от нула нормално ускорение, което променя посоката на скоростта Връзка между скоростта, периода и честотата За време t = T материалната точка извършва едно пълно завъртане и изминава път, равен на дължината на окръжността π Тогава π = = πν T ω π π Тъй като = ω, то ω = πν, ν = или ω = и T = π T ω 3 Центростремително ускорение Нормалното ускорение при равномерно движение по окръжност винаги е насочено по радиуса към центъра на окръжността, поради което се нарича центростремително ускорение То характеризира изменението на направлението и посоката на скоростта Неговата големина остава постоянна, равна на a n =, където е радиусът на окръжността Тъй като = ω, an = ω Центростремително ускорение Центростремително ускорение a n се нарича нормалното ускорение при равномерно движение по окръжност, което по големина е равно на an = - 7 -

8 4Аналогия между величините, характеризиращи праволинейното движение и движението по окръжност на материална точка: Между величините, характеризиращи праволинейното движение на материална точка и движението й по окръжност, съществува аналогия В таблицата са записани съответстващите си една на друга величини: Праволинейно движение Движение по окръжност Път ( s ) Ъгъл на завъртане ( ϕ ) Скорост ( ) Ъглова скорост ( ω ) Ускорение ( a ) Ъглово ускорение ( ε ) Тези величини са свързани с формулите s = ϕ където е радиусът на окръжността = ω at = ε an = ω - 8 -