Хармонично трептене

Препис

1 1

2 Дефиниции : Периодично движение - всяко движение, което се повтаря през равни интервали от време. Трептене - Движение, което се повтаря през равни интервали от време и тялото се отклонява многократно от равновесното положение. 2

3 +x А P х О А x ω A ϕ ϕ M M y Хармонично трептене : x ( t) = Asin( ω t + ϕ ) ( t) = ω t ϕ ϕ + Амплитуда на трептене А максималното отклонение на тялото от равновесното му положение. - Фаза. Период на трептене Т времето за едно пълно движение; Периодът се измерва в секунди [s] Честота на трептенето броят на трептенията за 1 s. Връзка между периода и честотата: ν = 1 Т 1Hz = 1s -1 ; 2π ω = = 2πν ; ω T - собствена кръгова честота. 3

4 Скорост и ускорение при хармоничното трептене: υ = dx dt = ( ω t + ϕ ) = Aω sin ω t + ϕ + Aωcos π 2 a dυ 2 = Aωsin sin dt 2 ( ω t + ϕ ) = Aω ( ω t + ϕ + π ) = При сравнение на закона за хармоничното трептене и израза за ускорението: a 2 = ω x А според Втория принцип на динамиката: F = ma = mω 2 x = kx ω = k m 4

5 5

6 Графики на хармонично трептене 6

7 Енергия на хармоничното трептене При трептенето кинетичната енергия в точката на max отклонение от равновесното положение е: Е к =, E p = max. В момента на преминаване през равновесното положение кинетичната енергия достига своя max: E к = mv 2 /2, E p =. При хармоничното трептене става периодично превръщане на: Е к E p и E p E к. Извод: При хармоничнот о т репт ене винаги се извършва периодично превръщане на пот енциалнат а енерг ия в кинет ична и обрат но, но пълнат а енерг ия на т репт ящат а сист ема една и съща, ако няма т риене и съпрот ивление. 7

8 Преобразуване на енергията при хармонично трептене: 8

9 Собствени (свободни) трептения Трептения, които възникват под действие на вътрешни сили, след извеждане на системата от равновесното положение. Условие за възникване на собствени трептения е: след еднократно внасяне на енергия в системата да действа връщаща сила, насочена към равновесното положение. Собст венит е т репт ения са винаг и зат ихващи, т ъй кат о в реална т репт яща сист ема дейст ват сили на т риене и съпрот ивление. 9

10 Прости трептящи системи: 1. Пружинно махало - пружина, закачена в единия си край за неподвижна повърхност, а в другия тяло с маса m. Пренебрегват се силите на триене. Ако пружинното махало не извършва никакви трептения, то се намира в своето равновесно положение. Когато се свие или разтегне тази пружина заедно с предмета, закачен за нея, започват хармонични трептения. Върху топчето се упражнява сила, която зависи от коефициента на еластичност на пружината k и от отклонението на предмета x спрямо равновесното положение: F=k x. 1

11 Пружинно махало: x kx kx ω = k m x x mg kx mg T = 2π m k 11

12 2. Математично махало: Във всеки момент на махалото действат две сили силата на тежестта G и силата на опъване на нишката N. Може да се покаже, че: равнодействащата F на тези сили е допирателна към траекторията и е насочена към равновесното положение на махалото, т.е. тя играе роля на връщаща сила. когато амплитудата на люлеене е малка (< 1 ), големината на връщащата сила F с голямо приближение е пропорционална на отклонението. Изпълнението на тези две условия гарантира, че движението на махалото е хармонично трептене. 12

13 Математично махало: T = 2π l g 13

14 3. Физично махало: T = 2π I mgd l пр =. I md 14

15 Принудени трептения Трептения, които се извършват под действие на външна, периодично изменяща се сила. Те са незатихващи, защото загубата на енергия се компенсира от външни сили. 15

16 Резонанс Явлението, което настъпва при изравняване на честотата Ω на външната сила и честотата ω на собствените трептения на системата и се изразява в рязко нарастване на амплитудата на принудените трептения, се нарича резонанс. Външна сила с честота Ω: Ω<ω Ω=ω Ω>ω Ω > ω 16

17 Резонанс А β= β 1 β 1<β2 < βкр A Р β 2 β кр А СТ ω Р ω ω A = ( 2 2 ) ω ω + 4β ω f 17

18 Разрушаване на тела, конструкции. Опасни последици за човека Механични вълни (при ν = 5-7 Hz). 18