УНИВЕРСИТЕТ ПО АРХИТЕКТУРА, СТРОИТЕЛСТВО И ГЕОДЕЗИЯ КАТЕДРА ТЕХНИЧЕСКА МЕХАНИКА СБОРНИК ЗАДАЧИ ЗА КУРСОВИ РАБОТИ ПО ТЕОРЕТИЧНА МЕХАНИКА II ЧАСТ ДИНАМИ

Препис

1 УНИВЕРСИТЕТ ПО АРХИТЕКТУРА, СТРОИТЕЛСТВО И ГЕОДЕЗИЯ КАТЕДРА ТЕХНИЧЕСКА МЕХАНИКА СБОРНИК ЗАДАЧИ ЗА КУРСОВИ РАБОТИ ПО ТЕОРЕТИЧНА МЕХАНИКА II ЧАСТ ДИНАМИКА ДОЦ Д-Р ИНЖ ПЕТЪР ПАВЛОВ ГЛ АС Д-Р ИНЖ ДИМИТРИНА КИНДОВА-ПЕТРОВА СОФИЯ, 5Г

2

3 УВОД Настоящият Сборник задачи за курсови работи по Теоретична механика - II част Динамика е предназначен за студентите от инженерните факултети на УАСГ, изучаващи пълния курс на дисциплината Теоретична механика Сборникът съдържа задания за курсовите задачи на студентите и по няколко решени примера за всяка от тях Вида на задачите и тяхната последователност отговарят на учебната програма по дисциплината Теоретична механика II част, която се изучава от студентите в третия семестър от тяхното следване Най-напред се изучава динамиката на първия основен материален обект, изучаван в Теоретичната механика - материална частица Разглеждат се обратните задачи на движение на частица под действие на различни сили - постоянни, стационарни и нестационарни, позиционни, съпротивителни и др Този първи модул - Динамика на частица е свързан с изготвянето на курсовите задачи D и D Следва изучаването на динамиката на тяло и системи от тела Този втори модул от дисциплината Динамика е най-голям и разнообразен Разглеждат се динамиката на отделни тела (D), извършващи основните движения, изучавани в кинематиката - транслация, ротация, равнинно движение като се ползват уравненията за движение на тяло Някои от вариантите са допълнени с движение на частица в тялото, при което трябва да се ползват основните теореми на динамиката за получената система от тяло и частица При следващата задача (D) се изучава динамиката на холономни или нехолономни системи от тела чрез приложение на Теоремата за изменение на кинетичната енергия на системите в различните и форми Най-разнообразни варианти могат да се намерят и в задачата Кинетостатика на материална система (D5) в които се ползва един от много подходящите за строителни инженери методи на динамиката - Метод на кинетостатката, известен още и като Принцип на d'alebert за материална система В последния модул се изучава стандартния за всеки курс по Динамика раздел Аналитична механика Той е свързан с изготвянето на последните две задачи - D6 и D7 В първата се прилага Принципът на възможните скорости при определяне реакциите във външните и вътрешните връзки на определими равнинни системи Последната задача е свързана с изследване равновесното положение на равнинни системи и извършването на малки трептения около това равновесно положение По указание на лекторите по дисциплината Теоретична механика II част (Динамика) курсовите задачи, изготвяни от студентите могат да бъдат намалени Получаването на вариантите, които ще изготвя всеки студент става на първото или второто упражнение в началото на трети семестър по указание от водещият упражненията по дисциплината При изготвянето на задачите се

4 следват правилата за оформяне, валидни за всички дисциплини в катедра Техническа механика Съставените курсови задачи по дисциплината Теоретична механика II част (Динамика) и решените примери към тях са качени в електронен вариант на страницана на катедрата в сайта на УАСГ Така те са общодостъпни за всеки интернет потребител и могат да се ползват и от студенти от други специалности на Университета по Архитектура, Строителство и Геодезия, както и от студенти от други университети и висши училища при обучението си по Динамика

5 D ДИНАМИКА НА МАТЕРИАЛНА ТОЧКА Варианти от до 5 Материална точка с маса започва да се движи по грапава равнина под действие на постоянна сила F Началната скорост на точката е A Коефициентът на триене при плъзгане в участък АВ е След като изминава път l 5 k материалната точка достига т В и напуска равнината Тя продължава движението си като свободна точка Върху нея започва да действа съпротивителна сила R, а престава да действа силата F Да се запишат законите за движение в двата участъка Да се определят координатите на т С ( в координатна с-ма x By ) и скоростта на материалната точка за това положение Варианти от 6 до Материална точка с маса започва да се движи по грапава равнина под действие на постоянна сила F Началната скорост на точката е A Коефициентът на триене при плъзгане в участък АВ е След като изминава път l 5 k материалната точка достига т В и напуска равнината Тя продължава движението си като свободна точка Върху нея започва да действа съпротивителна сила R Да се запишат законите за движение в двата участъка Да се определят координатите на т С ( в координатна с-ма x By ) и скоростта на материалната точка за това положение Варианти от до 5 Материална точка с маса започва да се движи по грапава равнина под действие на постоянна сила F Началната скорост на точката е A Коефициентът на триене при плъзгане в участък АВ е След време s,,k материалната точка достига т В и напуска равнината Тя продължава движението си като свободна точка Върху нея започва да действа съпротивителна сила R, а престава да действа силата F Да се запишат законите за движение в двата участъка Да се определят координатите на т С ( в координатна с-ма x By ) и скоростта на материалната точка за това положение

6 ДИНАМИКА НА МАТЕРИАЛНА ТОЧКА D Варианти от 6 до Материална точка с маса започва да се движи по грапава равнина под действие на постоянна сила F Началната скорост на точката е A Коефициентът на триене при плъзгане в участък АВ е След време s,,k материалната точка достига т В и напуска равнината Тя продължава движението си като свободна точка и силата F престава да действа Да се запишат законите за движение в двата участъка Да се определят координатите на т С ( в координатна с-ма x By ) и скоростта на материалната точка за това положение За всички варианти:,k,,k kg 5,k s F k N A k

7 ДИНАМИКА НА МАТЕРИАЛНА ТОЧКА D 5

8 ДИНАМИКА НА МАТЕРИАЛНА ТОЧКА D 6

9 ДИНАМИКА НА МАТЕРИАЛНА ТОЧКА D Примерна задача Материална точка с маса 5 kg започва да се движи по грапава равнина под действие на постоянна сила F N Началната скорост на точката е A s Коефициентът на триене при плъзгане в участък АВ е, След като изминава път l 6 материалната точка достига т В и напуска равнината Тя продължава движението си като свободна точка Върху нея започва да действа съпротивителна сила R и силата F N, а силата F престава да действа Да се запишат законите за движение в двата участъка Да се определят координатите на т С ( в координатна с-ма x By ) и скоростта на материалната точка за това положение 6,87 g 9,8 s фиг Решение Първо се разглежда движението на материалната точка в участък AB, а след това в участък B Участък AB cos,8 sin,6 G g 59,8 9, 5 N фиг 7

10 ДИНАМИКА НА МАТЕРИАЛНА ТОЧКА D На движението на точката е наложено ограничение (тя се движи по равнина), те разглежда се движение на несвободна точка Началото на координатанта система се приема да съвпада с началното положение на точката, а оста x е по посока на движението Прави се схема за произволен момент от време (фиг), на която се означават всички действащи сили: F приложената постоянна сила, G теглото, N нормалната реакция на опората и T силата на триене Записва се основното уравнение на динамиката във векторен вид: a Fi F G N T Векторното уравнение се проектира по оси x и y : x F Gsin T y N Gcos Записва се уравнението на връзката y, тъй като материалната точка не се движи по това направление От това условие следва, че y y и се определя нормалната сила: N G cos 9,5,8 9, N Силата на триене Т е: T N,9,, 79 N Така се получава: 5 x 9,5,6,79 65,86 x,7 s Последното уравнение се интегрира два пъти спрямо x и се получава: x t x dt,7 dt,7 t,7 t xt x dt,7 t dt t За определяне на интеграционните константи се записват началните условия: x x s A Законът за движение в първи участък е:,7 t x t t В момента от време, в който материалната точка напуска равнината AB, тя е изминала път:,7 x l 6, а скоростта й е: x B,7 s 8

11 ДИНАМИКА НА МАТЕРИАЛНА ТОЧКА D От първото условие се определя моментът от време :,7 6, 5,,7,78 s, s За времето се приема най-малкият положителен корен на уравнението, те, s откъдето: B,7,, 6 s Скоростта в т B може да се определи и без да се определя времето Функцията на скоростта в първи участък се представя като сложна функция на времето t, те xt : dx d d xt dxt d d x t,7 dt dt dx dt dx dx Променливите се отделят и се получава уравнението: d, 7 dx, което се интегрира: B A l d,7 dx B A,7 l B A,7 l,76,6 s Участък B фиг В този участък имаме движение на свободна точка Началото на координатната система се приема да съвпада с началното положение на точката за този участък Оста x е хоризонтална, а оста y - вертикална Прави се схема за произволен момент от време (фиг), на която се означават всички действащи сили: F приложената постоянна сила, G теглото, R съпротивителна сила Записва се основното уравнение на динамиката във векторен вид: a Fi F G R Rx 6V x 6x R 6V R 6V 6 y y y Уравнението се проектира по оси x и y : 9

12 ДИНАМИКА НА МАТЕРИАЛНА ТОЧКА D x F Rx y G R y 5 x 5 y 6x 9,5 6y x, x 8 y, y 9,8 Получават се нехомогенни линейни диференциални уравнения с постоянни коефициенти Съответните им хомогенни диференциални уравнения са: x, x y, y И двете хомогенни диференциални уравнения имат едно и също характеристично уравнение:,,, Общите решения на хомогенните уравнения са: t t t,t,t x t e e e e e, хом y, хом t t t,t,t t e e e e e Десните части на нехомогенните уравнения са константи Частният интеграл и за двете диференциални уравнения е от вида: k t t Q t k Q t const t t A A t Частният интеграл за x е: t A t t A x t x x 6 5 t 6,667t, A 8 A 6,667 x Общото решение на диференциалното уравнение за движение по ос x е:,t x t x t t e 6,667t x, хом x,t t, e 6,667 s Частният интеграл и за y е: t A t t A t y, A y 9,8 A 8,75 y y t 8,75t Общото решение на диференциалното уравнение за движение по ос y е:,t y t y t t e 8,75t, хом y 5 6, t t, e 8,75 s y 6 Началните условия за този участък са: x x cos,6,8 6,5 y y B, x B sin,6,6,7 B, y B За да се получат зависимостите за преместването и за скоростта в началния момент, се замества с t s в съответните функции: 6

13 ДИНАМИКА НА МАТЕРИАЛНА ТОЧКА D x y x, e 6,667,, e 6,667, 6,667 6,5, 5 6e 8,75 5 6,, e 8,75, 8,75,7 y 6 Получават се интеграционните константи: 8, ,9 6 7,, 7, чрез които се определят законите за движение: x y t t 8,9 8,9e,t 7, 7,e,t 6,667t 8,75 t и законите за изменение на скоростта:,t x t 9,8 e 6,667 s y,t t,5 e 8,75 s В момента от време t С координатите ѝ са: x y 6,t t 8,9 8,9 e 6,667t d,t t 7, 7,e 8,75t h, когато материалната точка достига положение От фиг се съставя геометричната зависимост между търсените величини h и d: d tg h и се достига до уравнението:,t,t 8,9 8,9e 6,667t,75 7, 7,e 8,75t,t,6e,75t 5,6 За времето t се приема най-малкият положителен корен на уравнението t 7, 955 s, откъдето: d 8,9 8,9 e h 7, 7,e,7,955,7,955 6,6677,955 6, 8,757,955 7,9 Скоростта на материалната точката в положение е:,7,955 x t 9,8e 6,667 6,668 s, x, y y,7,955 t,5e 8,75 8,7 s 6,7,9, x, y 6,668 8,7, 55 s

14 D ХАРМОНИЧНИ ТРЕПТЕНИЯ НА МАТЕРИАЛНА ТОЧКА Варианти от до 5 Свободни трептения на материална точка в среда със съпротивление (Свободни затихващи трептения) Тяло, прието за материална точка, с маса е прикрепено чрез система от три пружини с коравина c i за неподвижна стена и трепти върху гладка хоризонтална или наклонена равнина Съпротивление на движението оказва дисипативната сила на демпфер с коефициент на линейно съпротивление b В началния момент материалната точка се намира на разстояние x от началото на координатната система и има скорост Да се определи законът на свободните затихващи трептения на точката За начало на отчета да се приеме положението на ненапрегнат пружинен комплект Освен ако не е указано друго на схемата, то за варианти от до 5: k kg ci ki N b kn s 5 k x,k,k s Варианти от 6 до Принудени трептения на материална точка вследствие кинематично смущение в среда без съпротивление (Принудени незатихващи трептения) Тяло, прието за материална точка, с маса е прикрепено чрез система от две пружини с коравина c i за неподвижна стена и трепти по вертикалата или върху гладка наклонена равнина Към тялото е прикрепено второ тяло с маса, вследствие на което пружините се разпъват (свиват) до положението на статичен покой В определен момент ( t s ) второто тяло се премахва, а неподвижната стена започва да трепти по закона sin t Да се определи законът на принудените незатихващи трептения на точката, вследствие на кинематичното смущение За начало на отчета да се приеме положението на ненапрегнат пружинен комплект 5 k k kg,k kg c k N c k N,,k 5,k s

15 ХАРМОНИЧНИ ТРЕПТЕНИЯ НА МАТЕРИАЛНА ТОЧКА D Варианти от до 5 Материална точка, с маса се движи във вертикална (за варианти, и 5) или в хоризонтална (за варианти и ) гладка равнина под действие на сили F и R За всеки вариант силите са зададени със закона си във векторна форма В началния момент точката е в положение A и има скорост A, показани на чертежа Да се определи законът на движение на материалната точка 6 k k kg OA, k,k s A Вариант : Вариант : Вариант : Вариант : Вариант 5: F R F R F R F R F R k x i k z k N k i N x k x i k y j N k i N x k x i k z k N k k N z k x i k y j N k j N y k x i k z k N k k N z Варианти от 6 до Принудени трептения на материална точка вследствие силово смущение в среда със съпротивление (Принудени затихващи трептения) Тяло, прието за материална точка, с маса е прикрепено чрез система от пружина с коравина c и демпфер с коефициент на линейно съпротивление b за неподвижна стена Тялото трепти по вертикалата или върху гладка наклонена равнина под действие на хармонична смущаваща сила от вида P P sin t, където P и са съответно амплитудата и честотата на принудените трептения

16 ХАРМОНИЧНИ ТРЕПТЕНИЯ НА МАТЕРИАЛНА ТОЧКА D Да се определи законът на принудените затихващи трептения на точката, вследствие на силовото смущение За начало на отчета да се приеме положението на ненапрегнат пружинен комплект k kg c k N b k N s P k N k s Вариант 6: x,,k s Вариант 7: x,k s k Вариант 8: x,,k s Вариант 9: x s k Вариант : x,k s

17 ХАРМОНИЧНИ ТРЕПТЕНИЯ НА МАТЕРИАЛНА ТОЧКА D 5

18 ХАРМОНИЧНИ ТРЕПТЕНИЯ НА МАТЕРИАЛНА ТОЧКА D 6

19 ХАРМОНИЧНИ ТРЕПТЕНИЯ НА МАТЕРИАЛНА ТОЧКА D Примерна задача за варианти от до 5 Тяло, прието за материална точка, с маса kg е прикрепено чрез система от три пружини с коравини c i за неподвижна стена и трепти върху гладка наклонена равнина Съпротивление върху движението оказва дисипативната сила на демпфер с коефициент на линейно съпротивление b В началния момент материалната точка се намира на разстояние x, от началото на координатната система и има скорост, s Да се определи законът на свободните затихващи трептения на точката За начало на отчета да се приеме положението на ненапрегнат пружинен комплект c N c N c N b 5 N s g 9,8 s Решение: фиг Получаване на еластичната константа на еквивалентната пружина Пружините и са свързани успоредно Еластичната константа c на еквивалентната пружина, с която може да се заменят двете пружини се определя по формулата: c c c Пружината е последователно свързана с пружинния комплект, съставен от пружините и Еластичната константа c на еквивалентната пружина при последователно свързване на пружините е: c c c c c c 89, 7 N c c c c c 7

20 ХАРМОНИЧНИ ТРЕПТЕНИЯ НА МАТЕРИАЛНА ТОЧКА D Съставяне на диференциалните уравнения на движението F el c x i R b V b x G g фиг Записва се основното уравнение на динамиката във векторен вид: a Fi G N Fel R Уравнението се проектира по ос x и получава диференциалното уравнение на движението: x gsin c x b x Силата на триене е равна на нула, тъй като по условие е казано, че наклонената равнина е гладка Решение на диференциалното уравнение Получава се нехомогенно линейно диференциалното уравнение с постоянни коефициенти: b c x x x gsin Диференциалното уравнение се представя по следния начин и се определят параметрите: x x x gsin c 89,7 6, 6,,5 s b 5,786,786,57 s,5 b 5,89, където е собствената кръгова честота, е коефициентът на затихване Характеристично уравнение на хомогенното уравнение е: 8

21 ХАРМОНИЧНИ ТРЕПТЕНИЯ НА МАТЕРИАЛНА ТОЧКА D Корените на уравнението са: i,,5,57,69 s, където е кръговата честота на затихващите трептения Общото решение на хомогенното уравнение е: t xхом t e cos t sin t Частният интеграл на нехомогенно диференциалното уравнение в случая е t A, а производните му са t t Те се заместват в диференциалното уравнение: A gsin, откъдето се определя: gsin 9,8,5 A,765 t, 765 6, Общото решение на диференциалното уравнение е:,89t xt x хом t t e cos,69t sin,69t, 765, а неговата първа производна спрямо времето е:,89t x t,89e cos,69t sin,69t,89t e,69 sin,69t cos,69t Определяне на интеграционните константи Записват се началните условия: x x, x x x, s e cos sin,765,765,,89 cos sin,69 sin cos,,765,,89,69,,565,,565,89,69,756 5 Окончателен закон на движение x,89t t e,565cos,69t,756sin,69t,765 9

22 ХАРМОНИЧНИ ТРЕПТЕНИЯ НА МАТЕРИАЛНА ТОЧКА D Примерна задача за варианти от 6 до Тяло, прието за материална точка, с маса 5 kg е прикрепено чрез система от две пружини с коравина c i за неподвижна стена и трепти върху гладка наклонена равнина Към тялото е прикрепено второ тяло с маса 7, 5kg, вследствие на което пружините се разпъват до положението на статичен покой В определен момент ( t s ) второто тяло се премахва, а неподвижната стена започва да трепти по закона sin t Да се определи законът на принудените незатихващи трептения на точката, вследствие на кинематичното смущение За начало на отчета да се приеме положението на ненапрегнат пружинен комплект c N c,5 6 N 5,5 s g 9,8 s фиг Решение Получаване на еластичната константа на еквивалентната пружина Пружините са свързани успоредно Eластичната константа c на еквивалентната пружина, с която могат да се заменят, се определя по формулата: c c c 6 N Съставяне на диференциалните уравнения на трептене на материалната точка Записва се основното уравнение на динамиката във векторен вид: a Fi G N F el

23 ХАРМОНИЧНИ ТРЕПТЕНИЯ НА МАТЕРИАЛНА ТОЧКА D F x F el el c c x G g фиг Векторното уравнение се проектира по ос x : x gsin c x gsin c x c Решение на диференциалното уравнение Получава се нехомогенно линейно диференциалното уравнение с постоянни коефициенти: c c x x g sin sin t То се представя в следния вид: x x gsin sin t, откъдето се определя - собствената кръгова честота: c,7 s 5 Xомогенното уравнение e: x x Съответното характеристично уравнение и корените му са: i,7i, Общото решение на хомогенното уравнение: x хом t cos t sin t cos,7t sin, 7t Търси се частно решение на нехомогенно диференциалното уравнение от вида t A, чиято втора производна е t Те се заместват в диференциалното уравнение и се определя единият частен интеграл: gsin 9,8,5 A gsin t A, 5 Търси се решение на нехомогенно диференциалното уравнение е и от вида t Bsin t cos t, с втора производна

24 ХАРМОНИЧНИ ТРЕПТЕНИЯ НА МАТЕРИАЛНА ТОЧКА D t Bsin t cos t Те се заместват в диференциалното уравнение и се определя вторият частен интеграл: B sint cost Bsint cost sint cost Поотделно се приравняват коефициентите пред Получава се система от две уравнения: B B sin t и пред cos t,5,5,97 Вторият частен интеграл е: t,97sin 5,5t Общото решение на нехомогенното диференциалното уравнение е: x t x t t t x хом t cos,7t sin,7t,5,97sin 5,5t, а първата му производна е: x t,7 sin,7t,7 cos,7t,6cos5, 5t Определяне на интеграционните константи Тъй като тялото започва да се движи от положение на статичен покой, то От условието за статично равновесие фиг 5: F x x t фиг 5,5,97,858 ix gsin c st gsin st c 5 7,59,8,5,858 Записват се началните условия: x x,858 x,7,7,6 st s,6,6 5 Окончателен закон на движение x t,6cos,7t,6sin,7t,5,97sin 5,5t

25 ХАРМОНИЧНИ ТРЕПТЕНИЯ НА МАТЕРИАЛНА ТОЧКА D Примерна задача за варианти от до 5 Материална точка, с маса 5kg се движи във вертикална равнина под действие на сили F и R Силите са зададени със закона си във векторна форма В началния момент точката е в положение A и има скорост A, показани на чертежа Да се определи законът на движение на материалната точка OA, A, 5 s F 5 x i 5 z k R 5 V k N g 9,8 s z N фиг 6 Решение Съставяне на диференциалните уравнения на движението Fx 5 x F Fz 5 z Rx R R 5 V 5 z G g фиг 7 Записва се основното уравнение на динамиката във векторен вид: a Fi G F R Векторното уравнение се проектира по оси x и z : x 5 x x 5 x x z g 5 z 5 z z g 5 z 5 z 9,8 z z z

26 ХАРМОНИЧНИ ТРЕПТЕНИЯ НА МАТЕРИАЛНА ТОЧКА D Решение на диференциалното уравнение Диференциалното уравнение за движение по ос x се записва в следния вид: x x То е линейно хомогенно уравнение от II -ри ред с характеристично уравнение:, чиито корени са, 6 Общото решение на диференциалното, уравнение за движение по ос x е: t,6 t,6 t x e e, а неговата първа производна е:,6 t,6 t x t,6 e,6 e Диференциалното уравнение за движение по ос z се представя в следния вид: z z z 9,8 То е линейно нехомогенно уравнение от II -ри ред Характеристично уравнение на хомогенното диференциално уравнение е:, чиито корени са,,5,5,5,78 i Общото решение на хомогенното уравнение:,5t zхомt e cos,78t sin, 78t Частния интеграл, когато лява страна на диференциалното уравнение е константа, е: k t t Qt k Qt const t t A A, а производните му са t t Те се заместват в диференциалното уравнение: A 9,8, откъдето се определя: 9,8 A,98 t, 98 Общото решение на диференциалното уравнение за движение по ос z е:,5t zt z хом t t e cos,78t sin,78t, 98, а неговата първа производна е:,5t z t,5e cos,78t sin,78t,5t e,78 sin,78t cos,78t

27 ХАРМОНИЧНИ ТРЕПТЕНИЯ НА МАТЕРИАЛНА ТОЧКА D Определяне на интеграционните константи Записват се началните условия: x x x sin 6,5,866,65 s z z z z A OA, cos 6,5,5,5 s x x A,6,6,65,98,98,,5,78,5,78,5,,8,,5,8,5,78,65 Окончателен закон на движение x z,6 t,6 t t, e, e,5 t t e,8cos,78 t,65 sin,78 t,98 5

28 ХАРМОНИЧНИ ТРЕПТЕНИЯ НА МАТЕРИАЛНА ТОЧКА D Примерна задача за варианти от 6 до Тяло, прието за материална точка, с маса система от пружина с коравина 5 kg е прикрепено чрез c 5 N и демпфер с коефициент на линейно съпротивление b 5 N s за неподвижна стена Тялото трепти по върху гладка наклонена равнина под действие на хармонична смущаваща сила от вида P P sin t, където P 5 N и 5s са съответно амплитудата и честотата на принудените трептения Да се определи законът на принудените затихващи трептения на точката, вследствие на силовото смущение За начало на отчета да се приеме положението на ненапрегнат пружинен комплект, при което x, 5, а скоростта 5 g 9,8 s фиг 8 Решение: Съставяне на диференциалните уравнения на движението P P sin t F c x el R bv G g x b x фиг 9 6

29 ХАРМОНИЧНИ ТРЕПТЕНИЯ НА МАТЕРИАЛНА ТОЧКА D Записва се основното уравнение на динамиката във векторен вид: a Fi G P Fel R Векторното уравнение се проектира по ос x : x gsin 5 P sin t c x b x Решение на диференциалното уравнение Получава се нехомогенно линейно диференциалното уравнение с постоянни коефициенти: b c P x x x g sin 5 sin t То се представя в следния вид и се определят параметрите: P x x x gsin 5 sin t c 5 c 5,6 s b 5 5,6,7s b 5,5, 5 където е собствената кръгова честота, е коефициентът на затихване Характеристично уравнение на хомогенното уравнение е:, чиито корени са: i,,6,7,78 s, където е кръговата честота на затихващите трептения Общото решение на хомогенното уравнение: t x t e cos t sin t хом,5t t e cos,78t sin,78t xхом Търси се частно решение на нехомогенно диференциалното уравнение от вида t A, с производни е t t Те се заместват в диференциалното уравнение и се определя единият частен интеграл: gsin 5 9,8,576 A gsin 5 A,567 t,567 7

30 ХАРМОНИЧНИ ТРЕПТЕНИЯ НА МАТЕРИАЛНА ТОЧКА D Търси се частно решение на нехомогенното диференциално уравнение и от вида: t Bsin t cos t, чиито първа и втора производни са: t Bcos t sin t t Bsin t cos t t Те се заместват в диференциалното уравнение: Bsin t cos t Bcos t sin t Bsin t cos t P sin t Поотделно се приравняват коефициентите пред Получава се система от две уравнения: B B P sin t и пред cos t В случая решението на системата от две линейни уравнения е получено по метода на Крамер: 5, P 5, 7 B 85 P,55, За проверка се замества в системата от уравнения с получените стойности на B и : 5,7,55,798,87,59,55,7 5,798,66,66,9999 Частният интеграл е: t,7sin5 t,798cos5 t Общото решение на нехомогенното диференциалното уравнение и първата му производна са: x t x t t t x x хом,5 t t e cos,78t sin,78t,798 cos5t,5t t,5 e cos,78t sin,78t,5t e,78 sin,78 t,567,7 sin 5t,5cos5t,97sin5t cos,78 t 8

31 ХАРМОНИЧНИ ТРЕПТЕНИЯ НА МАТЕРИАЛНА ТОЧКА D Определяне на интеграционните константи Записват се началните условия: x x,5 x x x,567,7,798,5,5,78,5,97,5655,5,5,78,5,855,5,5,855,78,56 Окончателен закон на движение x,5t t e,855cos,78t,56sin,78t,567,7sin5t,798cos5 t 9

32 D ДИНАМИКА НА ТЯЛО Варианти от до 5 Транслационно движение Тяло с маса е натоварено с равнинна група сили (материалната точка все още не е поставена върху тялото) Да се определи законът на транслационното движение на тялото при дадените начални условия След t s равнинната група сили престава да действа, а върху тялото е поставена материална точка с маса Тя започва да се движи спрямо тялото по закона s r Да се определи скоростта на тялото, когато материална точка достигне положение B 5,k kg,k kg k R,k x,5,k F k t k N F k sin t N,k s s k t r k Варианти от 6 до Ротационно движение Тяло с маса е натоварено с равнинна (пространствена) група сили (материалната точка все още не е поставена върху тялото) Да се определи законът на движение на тялото при дадените начални условия След t s равнинната (пространствената) група сили се престава да действа, а върху тялото е поставена материална точка с маса Тя започва да се движи спрямо тялото по закона s r Да се определи ъгловата скорост на тялото, когато материална точка достигне положение B 5,k kg,k kg R,k F k t k N M k sin t N,,k Варианти 8: i R k rad,5,k s s k t r

33 ДИНАМИКА НА ТЯЛО D Варианти от до 5 Равнинно движение Тяло с маса и инерционен радиус i е натоварено с равнинна група сили Тялото се търкаля без приплъзване върху грапава, наклонена равнина Да се определи законът на движение на тялото при дадените начални условия Да се отчете влиянието на моментът на триене при търкаляне M При решението на задачата да се използват диференциалните уравнения на равнинното движение на тяло 5,k kg k r,,k F f,5,5k G N M,5,k G r N,,k r x,k,k s Варианти,,, 5: i r Вариант : i r f Варианти от 6 до Равнинно движение Тяло с маса и инерционен радиус i е натоварено с равнинна група сили Тялото се търкаля с приплъзване върху грапава, наклонена равнина Да се определи законът на движение на тялото при дадените начални условия При решението на задачата да се ползват диференциалните уравнения на равнинното движение на тяло 5, k kg k r,, k F x,5,5 k G N,, k, k, k s Варианти 6, 8, 9, : i r Вариант 7: i r

34 ДИНАМИКА НА ТЯЛО D

35 ДИНАМИКА НА ТЯЛО D

36 ДИНАМИКА НА ТЯЛО D Примерна задача за варианти от до 5 Транслационно движение Тяло с маса 6 kg е натоварено с равнинна група сили (материалната точка все още не е поставена върху тялото) Да се определи законът на транслационното движение на тялото при дадените начални условия Равнинната група сили престава да действа, а върху тялото е поставена материална точка с маса kg Тя започва да се движи спрямо тялото по закона s r Да се определи на колко ще бъде равна скоростта на тялото, когато материална точка достигне положение B фиг 6 R,8 s F sin t N 6 x,6 t F t 6 N r, s g 9,8 s Решение: Закон на движение на тялото, преди да е поставена материалната точка Записва се основното уравнение на динамиката във векторен вид: a F i фиг

37 ДИНАМИКА НА ТЯЛО D Уравнението се проектира само по ос x и се получава диференциалното уравнение на движението: x F sin 6 F 6 x t,5878 6,5878 sin t 6 dv x,76 t,5878 sin t dt 6 Интегрира се спрямо t и се получава законът за изменение на скоростта: t t,76 t,5878 sin t dt 6 dx dt t 6,76,5878t cos t 6 dx t t,76,5878t,8cos t dt 6 Интегрира се още веднъж спрямо t и се получава законът за движение: x t t,76,5878 t,8cos t dt 6 t t 6 x,76,5878,8 sin t t 6 6 t t x,76,5878 7,95sin t t 6 6 За определяне на интеграционните константи се записват началните условия: x x,6,6, s,8, 6, Законът за движение на тялото, преди да е поставена точката върху него, е: x t,96 t,9t 6,t,6 7,95sin t, 6 а законът за изменение на скоростта е: t,588t,588t 6,,8sin t s 6 Скоростта на тялото, когато престават да действат силите и се поставя материалната точка върху тялото, е:,588,588 6,,8sin 5,86 s 6 5

38 ДИНАМИКА НА ТЯЛО D Промяна на скоростта при премахване на равнинната група сили и задаване на релативното движение на точката спрямо тялото s r t r s r t s фиг Записва се теоремата за изменение на количеството на движение: dq F i dt Уравнението се проектира по ос x : dq x F, ix dt но F ix, тъй като външните сили престават да действат Следователно количеството на движение е: const Q Q Q x x, x, B В началния момент от време материалната точка се намира в положение A и количеството на движение за системата е: Q Q Q,9,97,89 kg s Q Q x, x, x, x, e,, x, 65,86,9 kg където e 5, 86 s s 5,86,97 kg е скоростта на тялото в началния момент от време, когато престават да действат силите и се поставя материалната точка върху тялото За втория момент от време материалната точка се намира в положение B : AB sr t B R 6,8,98,55 8 t,55 t t,67 s sr B B B Количеството на движение за системата в момента от време t B е: Q Q Q 6, 8, Q x, B x, B x, B B 6 x, B B B B s, B 6

39 ДИНАМИКА НА ТЯЛО D Q Q B t cos 6 5,6,89 x, B Qxe, B Q xr, B r B B x, B B, t t,67 5,6 s r B B Приравняваме количеството на движение на системата за двата момента от време:,89 8 B, B, 6 s 7

40 ДИНАМИКА НА ТЯЛО D Примерна задача за варианти от до 5 Равнинно движение Тяло с маса 5 kg и инерционен радиус i r е натоварено с равнинна група сили Тялото се търкаля без приплъзване върху грапава, наклонена равнина Да се определи законът на движение на тялото при дадените начални условия Да се отчете влиянието на моментът на триене при търкаляне M (При решението на задачата да се ползват диференциалните уравнения на равнинното движение на тяло) r, F,8G M,5G r f,r x,5, s N g 9,8 s N f фиг Решение: Съставяне на диференциалните уравнения на движението Записват се диференциалните уравнения за равнинното движение на тяло: x y I F F ix iy M Вместо последното уравнение може да се използва I M P ip i фиг 5 8

41 ДИНАМИКА НА ТЯЛО D x Fcos Gsin T y Fsin Gcos N I M F r T r M f Тялото се търкаля без приплъзване, следователно моментният център x x на скоростите е допирната точка с наклонената равнина и r r Уравнението на физиката е: M f f N,r N Отчита се уравнението на връзките y y Инерционният момент на тялото за центъра на тежестта е: r r I i Получените зависимости се заместват в системата уравнения: x,8 g,866 g,5 T,8 g,5 g,866 N x r,5 g r,8 g r T r,r N r x,9 g T N,66 g x, g T,N Заместваме второто уравнение в третото и получаваме система от две уравнения с две неизвестни: x,9 g T x,9 g, g,87 g x, g T,87 x 9,8,9 s x,9 t t x,9 t Определяне на интеграционните константи Началните условия са: x x,5 x, s,,5 9

42 ДИНАМИКА НА ТЯЛО D Закон на движение t x,9, t,5 y t 9,9,667 t,5 rad

43 КИНЕТОСТАТИКА НА МАТЕРИАЛНА СИСТЕМА D5 D ДИНАМИКА НА МАТЕРИАЛНА СИСТЕМА Варианти от до 5 Холономна материална система Дадена е система от тела, движеща се под действие на силите на тежестта Да се определи законът на движение на тяло, ако в началния момент системата е била в покой Инерционните и геометричните характеристики на отделните тела са дадени във функция на базови маса и размер r (Да се ползва теоремата за изменение на кинетичната енергия в диференциална форма) 5,k kg r,,k k,,k Вариант :,5 i r Вариант : i r Вариант : i r Вариант : i r Вариант 5: i r i r Варианти от 6 до Нехолономна материална система Дадена е система от тела, движеща се под действие на силите на тежестта и активна сила (момент) В началния момент системата заема положението показано на чертежа и тяло има начална скорост Да се определи ъгловата скорост на тяло, когато то се завърти на ъгъл (Да се ползва интегралната форма на теоремата за изменение на кинетичната енергия) 5 k kg F 5 k N M k N i,k i s

44 ДИНАМИКА НА МАТЕРИАЛНА СИСТЕМА D Варианти от до 5 Трептения на холономна материална система Дадена е система от тела, движеща се под действие на силите на тежестта и еластична възстановяваща сила Да се определи законът на движение на тяло, ако в началния момент системата е в покой, а пружината ненапрегната Триенето да се пренебрегне Инерционните и геометричните характеристики на отделните тела са дадени във функция на базова маса и базов размер r 5,k kg r,,k k c k N Вариант :,5 i r Вариант : i r Вариант : i r Вариант : i r Вариант 5: i r i r Варианти от 6 до Трептения на нехолономна материална система Дадена е система от тела, движеща се под действие на силите на тежестта, активна сила (момент) и еластична възстановяваща сила В началния момент системата заема положението показано на чертежа, пружината е ненапрегната и тяло има начална скорост Да се определи ъгловата скорост на тяло, когато то се завърти на ъгъл 5 k kg F 5 k N M k N i c k i N,k s

45 ДИНАМИКА НА МАТЕРИАЛНА СИСТЕМА D

46 ДИНАМИКА НА МАТЕРИАЛНА СИСТЕМА D

47 ДИНАМИКА НА МАТЕРИАЛНА СИСТЕМА D Примерна задача за варианти от 6 до Нехолономна материална система Дадена е система от тела, движеща се под действие на силите на тежестта и активна сила F 8 N и момент M N В началния момент системата заема положението показано на чертежа и тяло има начална скорост s Да се определи ъгловата скорост на тяло, когато то се завърти на ъгъл 9 (Да се ползва теоремата за изменение на кинетичната енергия в интегрална форма) kg 6 kg kg g 9,8 s Решение фиг Начално положение Кинематични зависимости Тяло извършва ротационно движение Тяло и тяло извършват равнинно движение Моментният център на тяло е допирната точка със земята P Моментният център на скоростите на тяло е в безкрайност, следователно s и фиг 5

48 ДИНАМИКА НА МАТЕРИАЛНА СИСТЕМА D s O A 8 r 8 s s Кинетична енергия Тяло ротационно движение: () Ek, IO 6 8 J () IO O A 6 kg Тяло равнинно движение (моментна транслация): E 68 k, 9 J Тяло равнинно движение: () Ek, I B 8 6 J () I B r 6 kg Ek, Ek, i J Крайно положение Кинематични зависимости Тяло извършва ротационно движение Тяло и тяло извършват равнинно движение Моментният център на тяло е допирната точка със земята P Моментният център на скоростите на тяло т P е пресечната точка на правите АО ( A ) и ВР ( B ) фиг V A O A A P A,7,89 6

49 ДИНАМИКА НА МАТЕРИАЛНА СИСТЕМА D AP B - правоъгълен AB 6 AP P AB BP BP AB A sin BAP BP B P 6 B,7 AB 6,6667,89,68 P B,89,578 B P B,578,789 Кинетична енергия 7 BAP,8 Тяло ротационно движение: () E k, I O 6 Тяло равнинно движение: () Ek, I 6,68 8,89 Ek, 57,59 () I AB kg Тяло равнинно движение: () Ek, B I B,578 6,789 Ek, 57,6 E 6 57,59 57,6 79, k E k, i Работа на силите при преместване от начално в крайно положение Преместване Преместването на всяка точка от началното ѝ положение до разглежданото се определя, като разстоянията за двете положения се отчитат спрямо неподвижната точка О 9

50 ДИНАМИКА НА МАТЕРИАЛНА СИСТЕМА D 8 5,58,7 6 H H H h G G G F фиг Работа 7,7 58,86 5, 7,7, 85,58,99 J H G W J H G W J H G W J h F W J M W G G G G G G F F M 58,86 69,8 7,7 9,8 N g G N g G 9,7 7,7 5,,,99, J W W i Приложение на теоремата за изменение на кинетичната енергия в интегрална форма, 79, 6 9,7 9,7 6 79, s W E E k k

51 ДИНАМИКА НА МАТЕРИАЛНА СИСТЕМА D Примерна задача за варианти от до 5 Трептения на холономна материална система Дадена е система от тела, движеща се под действие на силите на тежестта и еластична възстановяваща сила Да се определи законът на движение на тяло, ако в началния момент системата е в покой, а пружината ненапрегната Триенето да се пренебрегне Инерционните и геометричните характеристики на отделните тела са дадени във функция на базова маса kg и базов размер r, фиг 5 i c N,5 r g 9,8 s Решение 5 Кинематични зависимости фиг 6 Тяло и тяло извършват транслационно движение Тяло извършва ротационно движение Тяло извършва равнинно движение като моментният център на скоростите е допирната точка с въжето P Въвежда се скоростта на тяло като обобщена скорост и чрез нея се изразяват скоростите на останалите тела 9

52 ДИНАМИКА НА МАТЕРИАЛНА СИСТЕМА D 5 Тяло : r r r r Тяло : 6 6 r r r r r Тяло : пр 6 Кинетична енергия Тяло транслационно движение:, E k Тяло ротационно движение: () (), r r i I r r I E k Тяло равнинно движение: (), (), r r R I E r r I E k k Тяло транслационно движение: 8,5, E k, E E i k k 7 Мощност 8 cos8 9,6,5 cos8 9,6 cos8 58,86,5 6 cos x x x x x x x c F P g G P g G P g G P пр пр пр пр пр пр ел Fее G G G 8 9,6 8 9,6 9,6 58,86 x P x P P i

53 ДИНАМИКА НА МАТЕРИАЛНА СИСТЕМА D фиг 7 8 Приложение на теоремата за изменение на кинетичната енергия в диференциална форма de k P dt d 7 8 x dt 7 a 8 x 7 a 8 x / : 7 9,6 a x,77 x,77 7,7 x Получава се нехомогенно линейно диференциалното уравнение с постоянни коефициенти: Диференциалното уравнение се представя в следния вид: x 7,7 x,77 Xомогенното уравнение e: x 7,7x Характеристично уравнение и корените му са: 7,7, i 7,7 i,7i Общото решение на хомогенното уравнение: x хом t cos t sin t cos,7t sin, 7t, Търси се решение на нехомогенно диференциалното уравнение от вида t A, чиято втора производна е t Те се заместват в диференциалното уравнение и се определя частният интеграл: / : 5

54 ДИНАМИКА НА МАТЕРИАЛНА СИСТЕМА D то,77 7,7 A,77 A, t, 7,7 Общото решение на диференциалното уравнение е: x t x хом t t, t cos,7t sin,7t, t,7 sin,7t,7 x x cos, 7t Тъй като тялото започва да се движи от положение на статичен покой, Началните условия са: x x x,,7,7 Окончателният закон на движение е:, t,cos,7t,, cos,7t x 5

55 КИНЕТОСТАТИКА НА МАТЕРИАЛНА СИСТЕМА D5 D5 КИНЕТОСТАТИКА НА МАТЕРИАЛНА СИСТЕМА Варианти от до 5 Ротация на материална система около неподвижна ос Дадена е материална система от тела, която ротира около неподвижна вертикална ос ) Да се определи ъгловата скорост, с която се върти системата ) Да се определят динамичните стойности на указаните опорни реакции,k kg 7,k kg ',k kg c k N,5,k Варианти,,, : l,5,k Вариант 5: l Варианти от 6 до Холономна материална система - обратна задача Дадена е система от тела, която се движи под действие на силите на тежестта Да се определи законът на движение на тяло при дадените начални условия и усилията в нишките между телата Инерционните и геометричните характеристики на телата са дадени във функция на базова маса и базов размер r ( Да се ползва Методът на кинетостатиката) 5,k k kg r,,k,,k,k s Вариант 6: i r Вариант 7: i r Вариант 8: i r Вариант 9: i r Вариант : i r 5

56 КИНЕТОСТАТИКА НА МАТЕРИАЛНА СИСТЕМА D5 Варианти от до 5 Нехолономна материална система права задача Дадено е моментното положение на нехолономна материална система от пръти, която се движи под действие на силите на тежестта и активна сила (момент) По зададените кинематични характеристики на движението да се определят активната сила (момент) и динамичните стойности на указаните реакции на връзките,k kg 7,k kg ',k kg,k s Варианти от 6 до Нехолономна материална система - права задача Дадено е моментното положение на нехолономна материална система от тела, която се движи под действие на силите на тежестта и активна сила (момент) По зададените кинематични характеристики на движението да се определят активната сила (момент) и динамичните стойности на указаните реакции на връзките 5,k r,5,,k Вариант 6: i kg 7,k kg ',k kg k k,,k s a,k s r Вариант 7: i r 5

57 КИНЕТОСТАТИКА НА МАТЕРИАЛНА СИСТЕМА D5 55

58 КИНЕТОСТАТИКА НА МАТЕРИАЛНА СИСТЕМА D5 56

59 КИНЕТОСТАТИКА НА МАТЕРИАЛНА СИСТЕМА D5 Примерна задача за варианти от до 5 Ротация на материална система около неподвижна ос Дадена е материална система от тела, която ротира около неподвижна вертикална ос ) Да се определи ъгловата скорост, с която се върти системата ) Да се определят динамичните стойности на указанaтa реакция cos,6 sin,8 фиг 5 kg ' kg 7 kg c N l,5 g 9,8 s Решение Кинематични зависимости a Osin 5,8 DD DD ODsin OD,5 cos фиг 5 OD,5,6,5 a D DD,5,8 57

60 КИНЕТОСТАТИКА НА МАТЕРИАЛНА СИСТЕМА D5 Инерционни сили, сили на тежестта и пружинна сила G g 9,8 98, N G g 79,8 68,67 N G ' OD g,59,8 7,57 N q q a D D ' a ' a D DD a 8 O 5 6 q O 85 a 7 8 qd OD 6,5 7,5 c KK l,,5 8 F ел N Определяне на ъгловата скорост и ставните сили фиг 5 79,88,5 s M O, i G G F 8 98, 68,67 8,8 ел,8 6, O O O O H H H H F ih F ,8 8 7,7 N ел O O O V V V F iv G G 98, 68,67 66,8 N 58

61 КИНЕТОСТАТИКА НА МАТЕРИАЛНА СИСТЕМА D5 Определяне на опорната реакция A H 7,5 6,7,5 8,7 N M B, i AH 7 OH Fел,8 G A 7 7,7 8,8 7,75 A H 8,7 H,7 75, N 7 фиг 5 59

62 КИНЕТОСТАТИКА НА МАТЕРИАЛНА СИСТЕМА D5 Примерна задача за варианти от 6 до Нехолономна материална система - права задача Дадено е моментното положение на нехолономна мат система от тела (i), движеща се под действие на силите на тежестта и активна сила (момент) По зададените кинематични характеристики на движението да се определят активната сила (момент) и динамичните стойности на указаните реакции на връзките Решение фиг 55 Кинематични зависимости 5 kg ' kg 7 kg r,5, s a s i r g 9,8 s фиг 56 Тяло извършва транслационно движение Тяло извършва ротационно движение Тяло извършва равнинно движение Моментният център 6

63 КИНЕТОСТАТИКА НА МАТЕРИАЛНА СИСТЕМА D5 6 на скоростите на тяло т P е пресечната точка на правите, които са перпендикулярни на A и на B Скорости, ,5,5 s P B s s r s r s B B Ускорения,58 8,5 s a a s r a s r a s a B 5,5 5,5 AB a s AB a a a a a в AB ц AB в AB ц AB B A,6 5 sin,8 5 cos 5 AB Векторното уравнение се проектира по ос x :,688 8,75 5,8,5,6 cos sin s a a a в AB ц AB B Ускорението на масовия център на тяло е:,7,688,5 5,65,5,5 s B a s B a a a a a в B ц B в B ц B B Проекциите на вектора на ускорението по ос x и по ос y са:

64 КИНЕТОСТАТИКА НА МАТЕРИАЛНА СИСТЕМА D5 a a a a x y x y a B a a ц B 6 s ц B sin a cos a,5 s в B в B cos 5,65,6,7,8 sin 5,65,8,7,6 Инерционни моменти и сили, сили на тежестта фиг 57 G g 59,8 9,5 N G g 7 68,67 N G ' AB g 59,8 98, N Тяло транслационно движение: a 5 N Тяло ротационно движение: M I 5,58 N i 7,5 5,5 kg I Тяло равнинно движение: H ax ' AB ax 56 6 N a ' AB a 5,5 5, N M V y y V a I,8,688 97,65 N y AB I ' AB a y ' AB AB 5,5 5, N ' AB 6 5,8 kg

65 КИНЕТОСТАТИКА НА МАТЕРИАЛНА СИСТЕМА D5 Условия за динамично равновесие Тяло фиг 58 M B, i AH H V,5 G,5 M AH 6 5,,5 98,,5 97,65 AH 97,75 7, N F ih S A S 6 7, S, N H H Тяло M O, i S,5 S,5 M S,5,,5 S,6,5 87, N фиг 59 Тяло F iy N G cos Fsin N G cos Fsin N 9,5,866 F,5,8 F,5,8 F,5 8,96, T N, F фиг 5 S F ix T G sin Fcos 87, 8,96 F, 9,5,5 F,866 F 5,,766 75, N 6

66 D6 ПРИНЦИП НА ВЪЗМОЖНИТЕ СКОРОСТИ Определете с принципа на възможните скорости (премествания) указанaта опорна реакция и прътово усилие a, b, F F M q k k k k kn k kn k kn kn 6

67 ПРИНЦИП НА ВЪЗМОЖНИТЕ СКОРОСТИ D6 65

68 ПРИНЦИП НА ВЪЗМОЖНИТЕ СКОРОСТИ D6 66

69 ПРИНЦИП НА ВЪЗМОЖНИТЕ СКОРОСТИ D6 Примерна задача Определете с принципа на възможните скорости (премествания) указаните опорни реакции и прътово усилие S? M? A? A? A H V фиг 6 Решение Равнодействащата на разпределения товар е: R q q l 8 8kN Ако товарът е разпределен върху няколко тела, то за всяко тяло се определят равнодействащи на съответния разпределен товар За да се приложи принципа на възможните скорости трябва съответната връзка да се замени със своя динамичен еквивалент търсената опорна реакция (прътово усилие) Последната (последното) е неизвестна и се прибавя към системата активни сили По този начин статически определимата механична система се превръща в механизъм Задава се възможна скорост на точка (възможна ъглова скорост на тяло) Посредством методите на кинематиката скоростите на всички приложни точки на активните сили се изразяват чрез въведената величина От принципа на възможните скорости се записва: P i Във всяко събираемо участва въведената възможна скорост, която е различна от нула и може да се съкрати Единствената неизвестна, която остава в уравнението е търсената опорна реакция (прътово усилие) Знакът + означава, че избраната посока на опорна реакция е действителна, а знакът - означава, че действителна посока на опорна реакция е противоположна на избраната 67

70 ПРИНЦИП НА ВЪЗМОЖНИТЕ СКОРОСТИ D6 Определяне на S Премахваме указания прът и въвеждаме силите S, които отразяват неговото действие върху конструкцията Системата се превръща в механизъм, съставен от тела Тяло извършва ротационно движение Тяло извършва равнинно движение и трябва да се определи положението на моментния център на скоростите P Тяло е неподвижно поради запъването в точка А Следователно т O от тяло е неподвижна и то извършва ротационно движение Вече може да се определи положението на моментния център на скоростите на тяло т P Задава се възможна ъглова скорост на тяло и чрез нея се изразяват ъгловите скорости на останалите тела фиг 6 cos,6 sin,8 O P P P B 6 B P B OB OB 6 Мощностите на силите и моментите за тяло са: тяло тяло P М О S 6 Мощността на сила, която е приложена в става се изчислява като се приеме, че тя действа само върху едно от свързаните тела тяло тяло P М P Scos Ssin 56 S,6 S,8,8 S,8 S тяло тяло P М O Тяло е в покой Приложеното върху него натоварване няма мощност 68 O

71 ПРИНЦИП НА ВЪЗМОЖНИТЕ СКОРОСТИ D6 Прилага се принципът на възможните скорости: P i 6,8 S 6,8 S 8 S 6,67 kn натиск Определяне на M A В случая механизмът е съставен от тела Тяло и тяло извършват ротационно движение Тяло извършва равнинно движение и т P е неговият моментен център на скоростите Задава се възможна ъглова скорост на тяло и чрез нея се изразяват ъгловите скорости на останалите тела B O B фиг 6 O B BD P B P B B 6 P 8 P A A Мощностите на силите и моментите за отделните тела са: тяло тяло P М О 56 тяло тяло P М P

72 ПРИНЦИП НА ВЪЗМОЖНИТЕ СКОРОСТИ D6 тяло М А М A 8 6 М A М M 8 тяло P A A Прилага се принципът на възможните скорости: P 6 M 8 i M M A A 6 8 kn A Определяне на А H Mеханизмът отново е съставен от тела Опорното устройство в т А позволява транслационно движение на тяло само в хоризонтално направление Тяло извършва ротационно движение, а тяло извършва равнинно движение Задава се възможна ъглова скорост на тяло и чрез нея се изразяват скоростите на останалите тела фиг 6 O B B O B P B P B B 6 P 8 8 BD 6 Мощностите на силите и моментите за отделните тела са: тяло тяло P М О 56 7

73 ПРИНЦИП НА ВЪЗМОЖНИТЕ СКОРОСТИ D AH 6 AH 68 8AH 8 тяло тяло P М P тяло тяло P FH Прилага се принципът на възможните скорости: P 6 8 A 8 i 8 A A H H kn H Определяне на А V Опорното устройство в т А позволява транслационно движение на тяло само във вертикално направление Тяло извършва ротационно движение, а тяло извършва равнинно движение Моментният център на скоростите на тяло съвпада с точка В Скоростта на тв е равна на, от което следва, че ъгловата скорост на тяло Задава се възможна ъглова скорост на тяло и чрез нея се изразява скоростта на тяло P 6 фиг 65 Тяло е в покой Приложеното върху него натоварване няма мощност Мощностите на силите и моментите за останалите тела са: тяло тяло P М P 8 тяло тяло P FV AV AV 6 Прилагаме принципа на възможните скорости: Pi 6 AV 6 AV A 5, kn V 7

74 D7 МАЛКИ ТРЕПТЕНИЯ НА МЕХАНИЧНА СИСТЕМА С ЕДНА СТЕПЕН НА СВОБОДА ОКОЛО ПОЛОЖЕНИЕТО НА УСТОЙЧИВО РАВНОВЕСИЕ Дадена е материална система от три пръта и една концентрирана маса Системата може да се движи във вертикалната равнина Равновесието и устойчивостта на системата се поддържа от две пружини: хоризонтална с коравина c N (винтова с коравина c N rad за варианти,,,, 6) и вертикална с коравина c N В положението, показано на схемата хоризонталната (винтовата) пружина е ненапрегната, а подвижния край на вертикалната е преместен на разстояние st Да се определи: Коравината на вертикалната пружина c от условието за равновесие на показаното положение Коравината c да се определи с точност четири значещи цифри Минималната коравина на хоризонталната (винтовата) пружина от условието за устойчивост на това равновесно положение Минималната стойност на c да се определи с точност четири значещи цифри Собствената кръгова честота и периода на свободните трептения на системата по зададените инерционни и геометрични характеристики на системата и получените еластични характеристики от условие и За коравината c да се приеме, че е равна удвоената абсолютна стойност на получената минимална коравина от условие a,k,k kg kg M 5 5k kg b,k,,k st 7

75 МАЛКИ ТРЕПТЕНИЯ НА МЕХАНИЧНА СИСТЕМА D7 7

76 МАЛКИ ТРЕПТЕНИЯ НА МЕХАНИЧНА СИСТЕМА D7 7

77 МАЛКИ ТРЕПТЕНИЯ НА МЕХАНИЧНА СИСТЕМА D7 Примерна задача Дадена е материална система от три пръта и една концентрирана маса Системата може да се движи във вертикалната равнина Равновесието и устойчивостта на системата се поддържа от две пружини: винтова с коравина c N rad и вертикална с коравина c N В положението, показано на схемата винтовата пружина е ненапрегната, а подвижния край на вертикалната е преместен на разстояние st Да се определи: Коравината на вертикалната пружина c от условието за равновесие на показаното положение Коравината c да се определи с точност четири значещи цифри Минималната коравина на хоризонталната (винтовата) пружина от условието за устойчивост на това равновесно положение За следващото условие да се приеме коравината c да е два пъти по-голяма, като се закръгли до четвъртата значеща цифра Собствената кръгова честота и периода на свободните трептения на системата по зададените инерционни и геометрични характеристики на системата и получените еластични характеристики от условие и За коравината c да се приеме, че е равна удвоената абсолютна стойност на получената минимална коравина от условие Решение: фиг 7 Кинематично решение (скорости) kg M 875 kg g 9,8 s G 8 g 89,8 78,8 N G g 9,8 N G 7 g 79,8 68,67 N G st M kg, M g 8759,8 89 N Телата и извършват ротационно движение Тяло извършва равнинно движение и трябва да се определи положението на моментния център на скоростите P 75

78 МАЛКИ ТРЕПТЕНИЯ НА МЕХАНИЧНА СИСТЕМА D7 Приема се обобщената координата q да е равна на завъртането на тяло Тогава ъгловата скорост на тяло е q Чрез се изразяват ъгловите скорости на останалите тела и скоростите на конкретни точки фиг 7 M O M A 8 O A P A O A 6 P A B P B O B P B 6 O B,5 O,5,5 E O E 7 Кинематично решение (премествания) За малки ъгли са в сила зависимостите: sin cos sin cos фиг 7 Чрез обобщената координата q се изразяват вертикалните премествания на точките, в които са приложени теглата: O cos M OM cos 8 76

79 МАЛКИ ТРЕПТЕНИЯ НА МЕХАНИЧНА СИСТЕМА D7 O sin,5,5,5 (или направо може да се съобрази, че,5 D,5 ) От E следва, че: pr pr pr st ненапрегната пружина в статично пружина в пружина равновесие произволен момент Потенциална енергия M G 68,67,5 7 G 78,8,9 G G G M M G c c c c pr st c pr pr st st st c c, c, c i,9 75 c c 7, c 766 c c 7, c Условие за равновесие на началното положение 766 c c 7, c 7, c c 7, 7 N 77