11. Количествено ориентирани методи за вземане на решения в обкръжение на неопределеност и риск 1
Структура Матрица на полезността Дърво на решенията 2
11.1. Матрица на полезността 3
Същност на метода Матрица на полезността Матрицата на полезността е метод за обосновка на решения при наличие на неопределеност. Матрицата дава възможност за систематизиране на очакванията за полезността (печалбата или загубата) при различни съчетания на избрана алтернатива и състояние на природата. 4
Избор на решение при използване на матрица на полезността 1. Определяне на списъка с алтернативите за вземане на решение 2. Определяне на списъка с възможни състояния на природата 3. Избор на измерител на полезността за всяка комбинация между алтернатива и състояние на природата 4. Идентификация и изключване на евентуално съществуващи доминирани алтернативи 5. Конструиране на матрица на съжаленията 6. Оценка на алтернативите по възприетия критерий 7. Избор на алтернатива според възприетия критерий 5
1. Определяне на списъка с алтернативите за вземане на решение Списъкът с алтернативи се определя от възможните действия, насочени към постигане на определена цел. Разглежданият метод цели да се обоснове избора на една от всички алтернативи. Изисква се да са налице поне две алтернативи 6
2. Определяне на списъка с възможни състояния на природата Необходимо е да се спазват две изисквания: състоянията на природата следва да са несъвместими (т.е. да липсва вероятност за поява на които и да са две едновременно) състоянията на природата да образуват пълна група (т.е. поне едно от тях трябва да настъпи) Съчетанието между двете изисквания означава изискване да настъпи едно и точно едно състояние на природата 7
3. Избор на измерител на полезността за всяка комбинация между алтернатива и състояние на природата Полезността се определя от очаквания резултат при избор на една или друга алтернатива. Резултатът ще зависи от избраната алтернатива и от появилото се състояние на природата. За измерител на полезността може да се изберат показатели като 1. печалба или приходи 2. загуба (разходи) 8
При измерител на полезността печалба или приходи Решението ще бъде ориентирано към търсене на максимум полезност При измерител на полезността загуба (разходи) Решението ще бъде ориентирано към търсене на минимум полезност 9
Означения Полезността се означава с Rij полезност при i-та алтернатива и j-то състояние на природата. 10
4. Идентификация и изключване на евентуално съществуващи доминирани алтернативи Доминирани алтернативи При търсене на максимум Алтернатива к доминира над алтернатива i ако: R (k,j) за R (i,j) j и R R ( k, j) ( i, j за ) поне едно j 11
Доминирани алтернативи При търсене на минимум Алтернатива к доминира над алтернатива i ако: R R ( k, j) ( i, j) за j и R R ( k, j) ( i, j) за поне едно j 12
5. Конструиране на матрица на съжаленията (матрица на алтернативната загуба) 13
Означение OL ( i, j) стойност на съжалението (алтернативната загуба) при избор на i-та алтернатива и състояние на природата j. 14
При търсене на максимум OL max R R ( i, j) ( k, j) ( i, j) k 15
Процедура за изчисление на стойността на съжалението: Намира се максималната стойност на полезността за всяко състояние на природата Изчислява се стойността на съжалението за всяка клетка от матрицата, като се използува горната формула 16
При търсене на минимум OL R min R ( i, j) ( i, j) ( k, j) k 17
6. Специфични критерии за взимане на решение в обкръжение на неопределеност. Използване на матрицата на полезността при вземане на решения в обкръжение на неопределеност 18
Шестата стъпка при избор на алтернатива по възприетия метод е: 6. Оценка на алтернативите по възприетия критерий и избор на алтернатива според възприетия критерий 19
Съществуват различни критерии за избор на решение при обкръжение на неопределеност и на риск. Действията при избор на решение според всеки от критериите се различават, в зависимост от това дали се търси максимум или минимум полезност 20
Критерии за взимане на решение в обкръжение на неопределеност (при търсене на максимум) 1. Максимакс (критерий на абсолютния оптимизъм) 2. Максимин (критерий на абсолютния песимизъм) 3. Минимакс на съжалението 4. Критерий на Лаплас (критерий при еднаква вероятност) 21
Критерии за взимане на решение в обкръжение на неопределеност (при търсене на минимум) 1. Минимин (критерий на абсолютния оптимизъм) 2. Минимакс (критерий на абсолютния песимизъм) 3. Минимакс на съжалението 4. Критерий на Лаплас (критерий при еднаква вероятност). 22
Критерии за взимане на решение в обкръжение на неопределеност (при търсене на максимум) 23
Критерий MAXIMAX (критерий на абсолютния оптимизъм) Избира се алтернативата, за която: max max R ( i, j) i j 24
Критерий MAXIMIN (критерий на абсолютния песимизъм) Избира се алтернативата, за която: max min R ( i, j) i j 25
Критерий MINIMAX НА СЪЖАЛЕНИЯТА Избира се алтернативата, за която: min max OL( i, j ) i j 26
Критерий на Лаплас (критерий при еднаква вероятност) Избира се алтернативата с максимална средна полезност. Средната полезност се изчислява за всяка алтернатива като средно аритметична величина на полезностите за алтернативата по всички състояния на природата. 27
Критерии за взимане на решения в условията на неопределеност при търсене на МИНИМУМ 28
Критерий MINIMIN (критерий на абсолютния оптимизъм) Избира се алтернативата, за която: min min R ( i, j) i j 29
Критерий MINIMAX (критерий на абсолютния песимизъм) Избира се алтернативата, за която: min max R ( i, j) i j 30
Критерий минимакс на съжаленията Процедурата за избор на решение по критерия минимакс на съжаленията не се различава от процедурата за търсене на максимум. 31
Критерий на Лаплас (критерий при еднаква вероятност) Избира се алтернативата с минимална средна полезност. 32
Специфични критерии за взимане на решение при обкръжение на риск. Използване на матрицата на полезността при вземане на решения в обкръжение на риск 33
Ще бъдат разгледани два критерия: Критерий на най-вероятното състояние на природата Критерий на очакваната полезност 34
Критерий на най-вероятното състояние на природата Избира се алтернативата, която: при търсене на максимум осигурява максимална полезност при най-вероятното състояние на природата; при търсене на минимум осигурява минимална полезност при найвероятното състояние на природата. 35
Критерий на очакваната полезност Избира се алтернативата, която осигурява максимална (респ., при търсене на минимум минимална) очаквана полезност. За целта за всяка алтернатива се изчислява очакваната стойност на полезността по формулата: E ( i) P ( j) n ( i) ( j) ( i, j) i 1 E P. R, където: очаквана стойност на полезността вероятност за поява на състояние на природата j 36
Пример 1 Фирма Х разработва идея за започване на производството на нов продукт. Очакваният обем на продажбите на новия продукт ще зависи от икономическите условия в бъдеще. При добри икономически условия ще се очакват високи продажби, а при лоши икономически условия слаби продажби. Инвестиционните разходи за започване на новото производство се оценяват на 50 000 лв. Производствените разходи за новия продукт се очаква да бъдат 11 лв./бр. Планираната продажна цена е 30 лв./бр. Ако икономическите условия са добри, се очаква продажба общо на 10 000 бр. от продукта (при което, като се отчетат разходите печалбата ще бъда 140 000 лв.). Ако икономическите условия са лоши, се очаква продажба общо на 2 000 бр. от продукта (при което, като се отчетат разходите ще е налице загуба от 12 000 лв. 37
Пример 1 продължение Възможно е да се продължи с производството на стария продукт. Това решение ще осигури за същия период при добри икономически условия печалба от 35 000 лв., а при лоши икономически условия печалба от 25 000 лв. Не съществува техническа възможност да се произвеждат и реализират едновременно и стария и новия продукт. Коя от двете възможни алтернативи ще изберете? 38
Матрица на полезност за Пример 1 Алтернативи Състояния на природата Добри икономически Лоши икономически условия условия Нов продукт 140 000-12 000 Съществуващ продукт 35 000 25 000 39
Изчисляване на матрицата на съжаленията за Пример 1 Алтернативи Състояния на природата Добри икономически Лоши икономически условия условия Нов продукт 140 000-12 000 Съществуващ продукт 35 000 25 000 Максимум 140 000 25 000 Алтернативи Състояния на природата Добри икономически Лоши икономически условия условия Нов продукт 0 37000 Съществуващ продукт 105000 0 40
Критерий MAXIMAX (критерий на абсолютния оптимизъм) Избира се алтернативата, за която: max max R ( i, j) i j за Пример 1 Алтернативи Състояния на природата Max Добри икономически условия Лоши икономически условия Нов продукт 140000-12000 140000 Съществуващ продукт 35000 25000 35000 41
Критерий MAXIMIN (критерий на абсолютния песимизъм) Избира се алтернативата, за която: max min R ( i, j) i j за Пример 1 Алтернативи Състояния на природата Min Добри икономически условия Лоши икономически условия Нов продукт 140000-12000 -12000 Съществуващ продукт 35000 25000 25000 42
Критерий MINIMAX НА СЪЖАЛЕНИЯТА Избира се алтернативата, за която: min max OL( i, j ) i j за Пример 1 Алтернативи Състояния на природата Max Добри икономически условия Лоши икономически условия Нов продукт 0 37000 37000 Съществуващ продукт 105000 0 105000 43
Критерий на Лаплас (критерий при еднаква вероятност) Избира се алтернативата с максимална средна полезност за Пример 1 Алтернативи Състояния на природата Средна полезност Добри икономически условия Лоши икономически условия Нов продукт 140000-12000 64000 Съществуващ продукт 35000 25000 30000 44
При наличие на допълнителна информация за Пример 1 Най-вероятно е икономическите условия в обозримо бъдеще да бъдат добри 45
Критерий на най-вероятното състояние на природата Избира се алтернативата, която осигурява най-висока полезност при най-вероятното състояние на природата За Пример 1 Алтернативи Състояния на природата Добри икономически Лоши икономически условия условия Нов продукт 140000-12000 Съществуващ продукт 35000 25000 Най-вероятно състояние на природата 46
При наличие на допълнителна информация за Пример 1 Вероятността икономическите условия в обозримо бъдеще да бъдат добри e 40%, а да бъдат лоши 60% 47
Критерий на очакваната полезност за Пример 1 E1 140 000. 0.4 ( 12000. 0.6) E2 35 000. 0.4 (25000. 0.6) 48 800 29 000 Алтернативи Състояния на природата Очаквана полезност Добри икономически условия p 1 04. Лоши икономически условия p 2 0. 6 Нов продукт 140000-12000 48 800 Съществуващ продукт 35000 25000 29 000 48
11.2. Дърво на решенията 49
Дърво на решенията Дървото на решенията е графичен метод за избор на алтернатива чрез изследване на последователни и взаимно свързани решения и резултатите от тях. Дървото на решенията дава възможност за избор на рационално управленско решение, когато за всяка алтернатива на решенията са известни или могат да бъдат предвидени стойността на възможните резултати и вероятностите за постигане на един или друг резултат. 50
Дърво на решенията общ вид Действие В 1 Резултат Х 1 D 2 Действие В 2 Резултат Х 2 Действие А 1 Резултат Х 3 D 1 Действие А 2 Резултат Y 1 Действие С 1 Действие С 2 Резултат Y 2 D 3 Действие С 3 51
Елементи на дървото на решенията Дървото на решенията е граф, изграден от два типа възли: възел решение възел резултат и от клони, които свързват възлите 52
Възли решения Възлите решения са точките, при които са налице алтернативи, измежду които следва да се вземе решение на база изчисление на очаквания резултат 53
Възли резултати Възлите резултати са точките, при които дървото на решенията се разклонява на база различните възможни резултати от предприетите действия 54
Процедура и логически правила при вземане на решения при използване на дървото на решенията 55
Алгоритъмът за избор на решение по метода дърво на решенията се състои от две фази конструиране на дървото изчислителна фаза 56
I фаза конструиране на дървото: 1. Разчертава се дървото на решенията, като последователно, от ляво на дясно се изобразяват възлите решения и възлите резултати. Отразява се логическата връзка между действията и тяхната хронологична последователност. 2. Оценяват се вероятностите за всеки от клоните на дървото, излизащи от възлите резултати. Възможно е някои от вероятностите да не са зададени по условие. Тогава те трябва да бъдат изчислени допълнително. 57
II фаза изчислителна. 1. Изчислява се очакваната стойност на дохода за всеки от възлите резултати, като се имат предвид възможните доходи и вероятностите за получаване на всеки от възможните доходи, асоциирани с клоните на дървото. Изчисленията се правят от дясно наляво. 2. Когато се достигне до възел решение се прави избор на решение, при което се избира клонът с по-висок очакван доход. 58
Задача Възможен е избор на два варианта за решение А и В. Разходите и за двата варианта са по 500 лв. Ако бъде избран вариант А, то съществува 80% вероятност да се спечелят 1000 лв. и 20% вероятност да не се спечели нищо. Ако бъде избран вариант В, то съществува 60% вероятност да се спечелят 5000 лв. и 40% вероятност да се загубят 2000 лв. Изберете вариант за решение и обосновете избора си, като използвате метода дърво на решенията. 59
Решение на задачата C 4 p = 0.8 1000 1 А -500 2 D 5 p = 0.2 0 В -500 E 6 p = 0.6 5000 3 F 7 p = 0.4-2000 60
Изчисления стъпка 1 Очакваната полезност във възел 2 се изчислява по следния начин: 0.8 х 1000 + 0.2 х 0 = 800 лв. Очакваната полезност във възел 3 се изчислява по следния начин: 0.6 х 5000 + 0.4 х (-2000) = 2200 лв. 61
Графично изображение, стъпка 1 C 4 p = 0.8 800 1000 1 А -500-500 В 2 D E 5 6 p = 0.2 0 p = 0.6 5000 3 2 200 F 7 p = 0.4-2000 62
Изчисления стъпка 2 След отчитане на разходите, очакваната стойност на дохода при действие А ще бъде 800 500 = 300 лв., а при действие В ще бъде 2200 500 = 1700 лв. 63
Графично изображение, стъпка 2 800 C 4 p = 0.8 1000 1 300 1 700 А -500-500 В 2 3 D E 5 6 p = 0.2 0 p = 0.6 5000 2 200 F 7 p = 0.4-2000 64
Решение Решението е да се избере действие В, което има по-висок очакван доход. 1 700 > 300 65
Графично изображение на решението C 4 p = 0.8 800 1000 1 300 А -500-500 1 700 В 2 D E 5 6 p = 0.2 0 p = 0.6 5000 3 2 200 F 7 p = 0.4-2000 66