Mechanics ISSN 131-383 Transport issue 3, 011 Communications article 0600 Academic journal http://wwwmtc-ajcom ФОРМИРАНЕ НА ХАОТИЧНИ ПРОЦЕСИ В СИСТЕМИ ЗА ФАЗОВА АВТОМАТИЧНА ДОНАСТРОЙКА НА ЧЕСТОТАТА Галина Чернева galja_cherneva@abvbg Доц д-р инж, Висше транспортно училище Тодор Каблешков,1574 София, ул Гео Милев 158 БЪЛГАРИЯ Резюме: Въз основа на математичния модел на система за фазова автоматична донастройка на честотата е изследвано динамичното състояние на процесите в системата Получени и анализирани са фазови траектории при различно съотношение на параметрите Ключови думи: хаотични сигнали, фазови траектории, система за фазова автоматична донастройка на честотата ВЪВЕДЕНИЕ Системите за автоматична донастройка на честотата представляват сложни динамични системи, на базата на които се създават широк клас устройства за обработка на сигнали Традиционно те се използват при детектиране на сигнали, синхронизиране на генератори, синтезиране на честоти Основното им предназначение е да поддържат автоматично съгласуване на честотата на управляемия и външния (еталонен) сигнал Затова в основата на функционирането им е принципът на текущо сравнение на честотите (чрез честотен дискриминатор) или фазите (чрез фазов дискриминатор) на еталонния сигнал и този на генератора, и формиране на коригиращ сигнал, въздействащ върху генератора Разгледани от позицията на нелинейната динамика, системите за автоматична донастройка на честотата са нелинейни автоколебателни системи, в които се реализират както равновесни и периодични състояния, така и хаотични движения При определени условия те генерират разнообразни хаотични колебания, чийто характеристики могат да се управляват чрез въздействие върху параметрите на веригата за управление Това ги прави приложими при разработване на генераторни схеми на хаотични сигнали Чрез тях може да се реши един от основните проблеми в това направление генериране на хаотични колебания с управляеми характеристики Това изисква изследване на условията, при които възникват хаотични процеси в тези системи, както и определяне на онези параметри на системата, които влияят върху свойствата и характеристиките на генерираните колебания На тези проблеми е посветена настоящата работа VIIІ-8
МАТЕМАТИЧЕН МОДЕЛ НА СИСТЕМА С ФАЗОВА АВТОМАТИЧНА ДОНАСТРОЙКА НА ЧЕСТОТАТА Структурната схема на система за фазова автоматична донастройка на честотата (ФАДЧ) е дадена на фиг1 [1] Външният сигнал s, с фаза ϕ s, и сигналът от управляемия генератор (УГ) и с фаза ϕ u, постъпват във фазовия дискриминатор (ФД) При разлика във фазите им ϕ() t = ϕs ϕu, се формира сигнал (1) ud = U mf[ ϕ( t) ], където U m е максималната му стойност, а F () е дискриминационната характеристика Ролята на коригиращо звено играе нискочестотният филтър (НЧФ), който преобразува u d в управляващ сигнал u y, така че () u y = K( ω) u d, където K ( ω) е предавателната функция на НЧФ Под действие на u y управляващият елемент (УЕ) управлява генератора, те осъществява необходимата корекция на честотата с (3) Δ f y = S yu y, където S y е стръмност на характеристиката на управляващия елемент s, f s u d u, f v u y Фиг 1 Ако f е честотата на напрежението на генератора, а f0 е нейната стойност в началния момент, когато веригата на УЕ е отворена, то (4) Δf = f0 Δf y Като се заместят зависимости (1) (3) в (4), се получава: (5) Δf = f0 U y K( ω) F( ϕ), В зависимост от типа на НЧФ от (5) се получават различни нелинейни диференциални уравнения, чрез изследването на които, се проследяват възможните състояния на процеса в системата ИЗСЛЕДВАНЕ НА СИСТЕМА ЗА ФАПЧ С НЧФ ОТ ПЪРВИ РЕД Разглеждаме най-простия случай, когато е включен RC филтър от първи ред Тогава може да се запише: du y (6) ud = u y + τ, dt където τ се определя от параметрите на филтъра: (7) τ = RC Като изразим участващите в (6) величини чрез зависимости (1),(3), (4) и (5), се получава диференциалното уравнение: VIIІ-9
( ϕ) df f f U y F (8) = 0 dt τ τ τ Като се вземе предвид, че 1 dϕ f =, π dt където ϕ () t е фазата на напрежението на генератора, то от (8) се получава диференциалното уравнение от втори ред: d ϕ πf 1 dϕ πu y F( ϕ) (9) = 0 dt τ τ dt τ Уравнение (9) може да се сведе до система от две диференциални уравнения от първи ред: dϕ = y dt (10) dy πf 1 πu y F( ϕ) = 0 y dt τ τ τ Система (10) е решена в Mathcad [] Дискриминационната характеристика е приета от вида (11) F = cosϕ() t Построени са фазовите траектории на процеса при f0 = 100KHz три стойности на времеконстантата τ : 1 ms (фиг); 0,1 ms (фиг3); 0,01 ms (фиг4) 0397 5 0 X 3 15 10 6553 5 8 10 1 14 16 18 904 X 16139 Фиг 615 X 4 5399 50 30 0 0 10 0 30 6553 X 3 0397 Фиг 3 VIIІ-10
30 0 X 3 0 0 36369 0 10 0 10 0 30 13044 X 0001 Фиг 4 Резултатите показват, че с намаляване на τ процесът от периодичен (фиг и фиг3) става апериодичен (фиг4) Ако, обаче, се продължи с увеличаване на f 0 и τ, в един момент, при f0 = 160KHz и τ =1,5 ms в системата настъпва срив на колебанията и тя преустановява да функционира нормално, фиг5 1000 818111 Y 3 500 0 0 5000 1 10 4 4 Y 7319 10 3 Фиг 5 По-нататък е изследвано уравнение (5), като в него е заместена предавателната функция на НЧФ от втори ред, както и Проследено е изменението на процеса при увеличаване на разстройката на честотите и времеконстантата Установено е, че при f0 = 130KHz и τ =1, ms е налице странен атрактор [3], даден на фиг6, който е показател за наличието на хаотичен процес в системата Фиг 6 VIIІ-11
ИЗВОДИ Направеното изследване показва, че при нормално функциониране на системата с фазово автоматично поддържане на честотата, се реализират голям брой периодични и апериодични състояния Усложняването на филтъра и промяна на началната разстройка на честотата, обаче, позволяват да се разширят възможностите за генериране на сложни колебания в системата ЛИТЕРАТУРА [1] Баскаков С И, Радиотехнические цепи и сигналы, М Высшая школа, 000 [] Дьяконов,ВП, Энциклопедия Mathcad 001i и Mathcad 11, Солон-Пресс, 004 [3] Baker GL and JG Gollub, Chaotic dynamics - an introduction, Cambridge University Press, 1996 FORMATION OF CHAOTIC PROCESSES IN PHASE LOCKED LOOP Galina Cherneva Todor Kableshkov University of Transport,, Sofia, 158 Geo Milev Str BULGARIA Key words: chaotic signal, phase trajectories, phase locked loop Abstract: The paper presents the dynamic state of phase locked loop on the base of mathematical model The phase trajectories are obtained and analyzed at different proportion between parameters VIIІ-1