Глава 3 Крайнопородени алгебри и модули над ньотеров пръстен В настоящия въпрос са събрани някои предварителни сведения за доказателството на Теоремат

Препис

1 Глава 3 Крайнопородени алгебри и модули над ньотеров пръстен В настоящия въпрос са събрани някои предварителни сведения за доказателството на Теоремата на Хилберт за нулите. Междувременно, направената подготовка е използвана за доказване на Теоремата на Хилберт за базиса и Теоремата на Еми Ньотер за крайна породеност на алгебрата на инвариантните полиноми на крайна матрична група. Определение 3.1. Непразното множество M е модул над комутативния пръстен с единица R, ако в M са определени събиране M M M, (x, y x + y за x, y M и умножение R M M, (r, x rx на x M с r R, изпълняващи свойствата: (i асоциативност на събирането: (x + y + z = x + (y + z за x, y, z M; (ii комутативност на събирането : x + y = y + x за x, y M; (iii съществува нулев елемен 0 M, така че x + 0 M = 0 M + x = x за x M; (iv за x M съществува противоположен елемент ( x M, така че x + ( x = ( x + x = 0 M ; (vдистрибутивен закон над скаларен множител: (r + sx = rx + sx за r, s R, x M; (viдистрибутивен закон над векторен множител: r(x+y = rx+ry за r R, x, y M; (vii (rsx = r(sx = s(rx за r, s R, x M; (viii 1 R x = x за x M и 1 R R. Всеки комутативен пръстен с единица R е модул над себе си. Определение 3.2. Изображението ϕ : M N е хомоморфизъм на R-модула M в R-модула N, ако ( n n ϕ r i x i = r i ϕ(x i за произволни r 1,..., r n R и x 1,..., x n M. Определение 3.3. Ако R и S са комутативни пръстени с единица и R е подпръстен на S, то казваме, че S е R-алгебра. Непосредствено се вижда, че ако пръстенът S е R-алгебра, то S е R-модул. Определение 3.4. Хомоморфизъм на R-алгебри S 1 и S 2 е хомоморфизъм на R-модули ϕ : S 1 S 2, който в същото време е и хомоморфизъм на пръстени. Пример 3.5. Пръстенът R[x 1,..., x n ] на полиномите на x 1,..., x n с коефициенти от комутативен пръстен с единица R е R-алгебра. 18

2 3. КРАЙНОПОРОДЕНИ АЛГЕБРИ И МОДУЛИ НАД НЬОТЕРОВ ПРЪСТЕН 19 Определение 3.6. Комутативният пръстен с единица S е крайнопородена алгебра над комутативния пръстен с единица R, ако съществуват елементи a 1,..., a n S, така че S = R[a 1,..., a n ] = {f(a 1,..., a n f R[x 1,..., x n ]} се състои от полиномите на a 1,..., a n с коефициенти от R. Ако A = {a 1,..., a n } е множеството на пораждащите на R-алгебрата S = R[a 1,..., a n ], то естественото изображение π A : R[x 1,..., x n ] R[a 1,..., a n ] = S, π A (f(x 1,..., x n = f(a 1,..., a n е хомоморфизъм на R-алгебри с образ Im(π A = R[a 1,..., a n ]. Ядрото I A := Ker(π A = {f R[x 1,..., x n ] f(a 1,..., a n = 0} на този хомоморфизъм се нарича идеал на тъждествата на A. Съгласно теоремата за хомоморфизмите на пръстени, индуцираното изображение π A : R[x 1,..., x n ]/I A R[a 1,..., a n ], π A (f + I A = f(a 1,..., a n е изоморфизъм на пръстени. Още повече, π A (r(f + I A = π A (rf + I A = (rf(a 1,..., a n = rf(a 1,..., a n = rπ A (f + I A за r R и f R[x 1,..., x n ], така че π A е изоморфизъм на R-алгебри. По определение, всеки елемент на S = R[a 1,..., a n ] се представя във вида a = f(a 1,..., a n чрез някакъв полином f R[x 1,..., x n ]. Ако f(a 1,..., a n = f(a 1,..., a n за f, f R[x 1,..., x n ], то f f = h I A. По този начин, всички представяния на a = f(a 1,..., a n чрез полиноми на a 1,..., a n с коефициенти от R са от вида a = (f + h(a 1,..., a n за произволни h I A. Определение 3.7. Идеалът p в комутативния пръстен с единица R се нарича прост, ако от ab p за a, b R следва, че a p или b p. Да напомним, че комутативният пръстен с единица S се нарича област или област на цялост, ако от s 1 s 2 = 0 S за s 1, s 2 S следва s 1 = 0 S или s 2 = 0 S. С други думи, R е област точно когато нулевият идеал {0 R } R е прост. Лема 3.8. Идеалът p в комутативния пръстен с единица R е прост тогава и само тогава, когато фактор-пръстенът R/p е област на цялост. Доказателство: Ако идеалът p R е прост и (a + p(b + p = ab + p = p за някакви a, b R, то ab p води до a p или b p. Следователно a + p = p или b + p = p и R/p няма ненулеви делители на нулата. Обратно, ако R/p е област на цялост и ab p за някакви a, b R, то анулирането на произведението (a + p(b + p = ab + p = p изисква a + p = p или b + p = p. Следователно a p или b p и идеалът p R е прост, Q.E.D. В частност, крайнопородената R-алгебра R[a 1,..., a n ] R[x 1,..., x n ]/I A е област на цялост точно когато идеалът I A k[x 1,..., x n ] на тъждествата на A е прост. Определение 3.9. Комутативният пръстен с единица R се нарича ньотеров, ако всеки идеал I R е крайнопороден, т.е. съществуват r 1,..., r n I, така че { n } I = r 1,..., r n = r i s i si R,.

3 20 3. КРАЙНОПОРОДЕНИ АЛГЕБРИ И МОДУЛИ НАД НЬОТЕРОВ ПРЪСТЕН Твърдение Ако R е ньотеров комутативен пръстен с единица, то пръстенът на полиномите R[x] на x с коефициенти от R е също ньотеров. Доказателство: Нулевият идеал {0 R } = 0 R R[x] е крайнопороден, така че остава да установим крайната породеност на произволен ненулев идеал {0 R } I R[x]. За целта избираме редица от ненулеви полиноми f 1,..., f i... I, така че (i 0 R f 1 I е от минимална степен; (ii ако f 1,..., f i I, то избираме f i+1 I \ f 1,..., f i от минимална степен; (iii ако f 1,..., f i = I, то спираме избирането на полиноми от тази редица. Идеалите J i = LC(f 1,..., LC(f i в R, породени от старшите коефициенти на f 1,..., f i образуват ненамаляваща редица J 1 J 2... J i 1 J i J i Тяхното обединение J = J i е идеал в R. Твърдим, че J = J m = J m+1 =... за някое естествено m. За целта използваме, че пръстенът R е ньотеров, така че идеалът J = r 1,..., r s е крайнопороден. Ако пораждащите r j J i(j за всички 1 j s и m = max(i(1,..., i(s, то r 1,..., r s J m, откъдето J = r 1,..., r s J m J. Следователно J = J m = J m+1 =... съгласно J k J = J m J k за k > m. Твърдим, че f 1,..., f m = I. В противен случай, избираме f m+1 I \ f 1,..., f m от минимална степен. Старшият коефициент LC(f m+1 J m+1 = J = LC(f 1,..., LC(f m се представя във вида LC(f m+1 = m LC(f i r i чрез подходящи r i R. Ако deg(f s = d s, то по построение d m+1 d i за 1 i m. Полиномът m g(x = f m+1 (x r i x dm+1 di f i (x е от степен deg(g < d m+1. По построение, от тук следва, че g f 1,..., f m. Следователно f m+1 = g + m r i x dm+1 di f i (x f 1,..., f m, което противоречи на избора на f m+1 I \ f 1,..., f m. Това доказва, че I = f 1,..., f m = I, Q.E.D. Следствие Ако ϕ : R S е хомоморфизъм на комутативни пръстени с единица и R е ньотеров пръстен, то образът Im(ϕ := {ϕ(r r R} на ϕ е ньотеров пръстен. Доказателство: Трябва да докажем, че произволен идеал I Im(ϕ е крайнопороден. За целта използваме, че пълният праобраз ϕ 1 (I := {r R ϕ(r I} е идеал в R. Наистина, за произволни a, b ϕ 1 (I и r R е в сила a b, ar ϕ 1 (I съгласно ϕ(a b = ϕ(a ϕ(b I и ϕ(ar = ϕ(aϕ(r I за ϕ(a, ϕ(b I. Доколкото пръстенът R е ньотеров, идеалът ϕ 1 (I R е крайнопороден, т.е. съществуват r 1,..., r n ϕ 1 (I, така че { n } ϕ 1 (I = r 1,..., r n = r i s i si R, 1 i n. Твърдим, че { n } I = ϕ(r 1,..., ϕ(r n = ϕ(r i ϕ(s i s i R, 1 i n

4 3. КРАЙНОПОРОДЕНИ АЛГЕБРИ И МОДУЛИ НАД НЬОТЕРОВ ПРЪСТЕН 21 се поражда от ϕ(r 1,..., ϕ(r n като идеал в пръстена Im(ϕ = {ϕ(s s R}. Наистина, всеки елемент на I Im(ϕ е от вида ϕ(r за някое r R. По определението на ϕ 1 (I имаме r ϕ 1 (I, така че r = n r is i за подходящи s 1,..., s n R. Следователно ϕ(r = n ϕ(r iϕ(s i ϕ(r i,..., ϕ(r n, така че идеалът I = ϕ(r 1,..., ϕ(r n е крайнопороден и пръстенът Im(ϕ е ньотеров, Q.E.D. Следствие Ако R е ньотеров пръстен, то всяка крайнопородена R- алгебра S = R[a 1,..., a n ] е също ньотеров пръстен. Доказателство: С индукция по броя на променливите n, първо ще установим, че пръстенът на полиномите R[x 1,..., x n ] на x 1,..., x n с коефициенти от R е ньотеров. Случаят n = 1 е доказан от Твърдение Ако допуснем, че пръстенът R[x 1,..., x i 1 ] е ньотеров, то отново по Твърдение 3.10 получаваме, че и пръстенът R[x 1,..., x i 1 ][x i ] = R[x 1,..., x i ] е ньотеров. Ако π A : R[x 1,..., x n ] S = R[a 1,..., a n ] е естественият епиморфизъм, чието ядро Ker(π A = I A е идеалът на тъждествата на A = {a 1,..., a n }, то Следствие 3.11 гарантира, че Im(π A = R[a 1,..., a n ] = S ньотеров пръстен, щом пръстенът на полиномите R[x 1,..., x n ] е ньотеров, Q.E.D. В частност, ньотеровостта на пръстена F [x 1,..., x n ] на полиномите на x 1,..., x n с коефициенти от поле F е известна като Теорема на Хилберт за базиса. Определение Нека R е комутативен пръстен с единица, M е R-модул, а N е непразно подмножество на M. Ако за произволни x, y N и r R е в сила x y, rx N, то казваме, че N е R-подмодул на M. Ако N е R-подмодул на R-модула M, то (N, + е нормална подгрупа на (M, + и можем да образуваме фактор-групата (M/N, +. За произволни m+n M/N и r R полагаме r(m + N := rm + N. Така зададената операция е коректно определена, защото ако m + N = m + N, то rm + N = rm + N съгласно rm rm = r(m m N за m m N. Непосредствено се проверява, че аксиомите за R-модул са изпълнени за така определените събиране и умножение с r R в M/N. Казваме, че M/N е фактор-модулът на M по N. Естественият хомоморфизъм π N : M M/N на адитивната група (M, + върху адитивната фактор-група (M/N, + с ядро Ker(π N = N е R-модулен хомоморфизъм съгласно π N (rx = rx + N = r(x + N = rπ N (x за r R, x M. По този начин, всеки R-подмодул N на R-модул M се реализира като ядро на R-модулен хомоморфизъм на M върху фактор-модула M/N на M по N. В частност, всеки комутативен пръстен с единица R е R-модул. При това, R- подмодулите на R са точно идеалите I R и всички те се реализират като ядра на естествени R-модулни хомоморфизми π I : R R/I. Да отбележим, че π I е и хомоморфизъм на пръстени, съгласно π I (rs = rs + I = (r + I(s + I = π I (r + π I (s за r, s R. Като непосредствено обобщение на теоремата на хомоморфизмите на пръстени получаваме следната теорема за хомоморфизмите на R-модули: Ако ϕ : M N е хомоморфизъм на R-модули, то ядрото Ker(ϕ := {x M ϕ(x = 0 N } е R-подмодул на M, образът Im(ϕ := {ϕ(x x M} е R- подмодул на N и ϕ : M/Ker(ϕ Im(ϕ,

5 22 3. КРАЙНОПОРОДЕНИ АЛГЕБРИ И МОДУЛИ НАД НЬОТЕРОВ ПРЪСТЕН ϕ(x + Ker(ϕ = ϕ(x за x M е изоморфизъм на R-модули. По-точно, ϕ е хомоморфизъм на (M, + в (N, +, така че по теоремата за хомоморфизмите на групи получаваме, че ϕ е изоморфизъм на (M/Ker(ϕ, + с (Im(ϕ, + Още повече, ϕ(r(x + Ker(ϕ = ϕ(rx + Ker(ϕ = ϕ(rx = rϕ(x = rϕ(x + Ker(ϕ за r R и x + Ker(ϕ M/Ker(ϕ, така че ϕ е изоморфизъм на R-модули. Определение Казваме, че M е крайнопороден R-модул, ако съществуват краен брой елементи µ 1,..., µ n M, така че { n } M = Rµ Rµ n = r i µ i ri R, 1 i n. Можем да кажем, че комутативният пръстен с единица R е ньотеров точно тогава, когато всеки негов R-подмодул е крайнопороден R-модул. В частност, Следствие 3.11 установява, че ако R е ньотеров пръстен, а ϕ : R S е хомоморфизъм на пръстени, то всеки Im(ϕ-подмодул на Im(ϕ е крайнопороден Im(ϕ-модул. Това твърдение може да се модифицира по следния начин: Лема (i Ако R е ньотеров пръстен, а ψ : R M е хомоморфизъм на R-модули, то всеки R-подмодул на Im(ψ е крайнопороден R-модул. (ii Ако R е ньотеров пръстен и R-модулът M o = Rµ се поражда от единствен свой елемент µ, то всеки R-подмодул на M o е крайнопороден. Доказателство: (i Ако µ := ψ(1 R M, то за r R е в сила ψ(r = ψ(r.1 R = rψ(1 R = rµ, така че Im(ψ = Rµ се поражда от µ като R-модул. За произволен R-подмодул N на Im(ψ = Rµ твърдим, че пълният праобраз ψ 1 (N := {r R ψ(r = rµ N} е идеал в R. Наистина, ако r 1, r 2 ψ 1 (N, то ψ(r j = r j µ N за j = 1, 2 и ψ(r 1 r 2 = ψ(r 1 ψ(r 2 = r 1 µ r 2 µ N, така че r 1 r 2 π 1 (N. За r ψ 1 (N и s R е в сила ψ(rs = sψ(r = s(rµ N съгласно rµ N. Това доказва, че ψ 1 (N R. Доколкото пръстенът R е ньотеров, съществуват краен брой пораждащи r 1,..., r n ψ 1 (N на идеала { n } ψ 1 (N = r 1,..., r n = r i s i si R, 1 i n. Твърдим, че N = Rr 1 µ Rr n µ се поражда от образите им ψ(r i = r i µ като R-модул. От една страна, r i µ N води до Rr 1 µ Rr n µ N. От друга страна, ако rµ N, то r ψ 1 (N, така че r = n r is i за подходящи s i R. В резултат, ( n n n rµ = ψ(r = ψ r i s i = s i ψ(r i = s i (r i µ Rr 1 µ Rr n µ. Това установява включването N Rr 1 µ Rr n µ, а оттам и съвпадението N = Rr 1 µ Rr n µ. (ii Естествената проекция π : R Rµ = M o, π(r = rµ за r R

6 3. КРАЙНОПОРОДЕНИ АЛГЕБРИ И МОДУЛИ НАД НЬОТЕРОВ ПРЪСТЕН 23 е хомоморфизъм на R-модули, доколкото π(r + s = (r + sµ = rµ + sµ = π(r + π(s и π(rs = (rsµ = r(sµ = rπ(s за r, s R. Образът Im(π = Rµ = M o, защото rµ = π(r. Съгласно (i, всеки подмодул на M o = Im(π е крайнопороден R-модул, Q.E.D. Сега ще обобщим Лема 3.15 (ii чрез следното Твърдение Ако R е ньотеров комутативен пръстен с единица, а M е крайнопороден модул над R, то всеки подмодул N на M е крайнопороден. Доказателство: Ще работим с индукция по броя n на пораждащите µ 1,..., µ n на M = Rµ Rµ n като R-модул. Лема 3.15 (ii установява верността на твърдението за n = 1. За произволно естествено n да разгледаме естествения хомоморфизъм на R-модули π n : M = Rµ Rµ n M/Rµ n, ( n π n r i µ i = n n 1 r i µ i + Rµ n = r i µ i + Rµ n с ядро Ker(π n = Rµ n и образ Im(π n = M/Rµ n. Твърдим, че M/Rµ n = R(µ 1 + Rµ n R(µ n 1 + Rµ n се поражда от µ i +Rµ n с 1 i n 1 като R-модул. От една страна, всички елементи µ i + Rµ n M/Rµ n, така че n 1 R(µ i + Rµ n е R-подмодул на фактормодула M/Rµ n. Обратно, всеки елемент на M/Rµ n е от вида n r iµ i +Rµ n = n 1 r iµ i + Rµ n = n 1 r i(µ i + Rµ n R(µ 1 + Rµ n R(µ n 1 + Rµ n, така че M/Rµ n = R(µ 1 + Rµ n R(µ n 1 + Rµ n. Ако N е R-подмодул на M, то π n се ограничава до хомоморфизъм на R-модули π n : N (N + Rµ n /Rµ n. По индукционно предположение, подмодулът (N+Rµ n /Rµ n на фактор-модула M/Rµ n = R(µ 1 + Rµ n R(µ n 1 + Rµ n е крайнопороден. Нека (N + Rµ n /Rµ n = R(ν 1 + Rµ n R(ν m + Rµ n за някакви ν 1,..., ν m N. От друга страна, N Rµ n е R-подмодул на Rµ n, така че се поражда от краен брой елементи λ 1,..., λ l N Rµ n съгласно Лема 3.15 (ii, N Rµ n = Rλ Rλ l. Твърдим, че N = Rλ Rλ l + Rν Rν m. От една страна, λ 1,..., λ l, ν 1,..., ν m N пораждат R-подмодула Rλ Rλ l +Rν Rν m на N. От друга страна, произволен елемент x N се изобразява в π n (x = m r i(ν i +Rµ n под действие на естествения хомоморфизъм π n с ядро Rµ n. По този начин, x o := x m r iν i N има образ m π n (x o = π n (x r i (ν i + Rµ n = Rµ n и x o N Rµ n. В резултат, x o = l j=1 s jλ j за подходящи s j R и x = l j=1 s jλ j + m r iν i Rλ Rλ l + Rν Rν m. Това установява, че N = Rλ Rλ l + Rν Rν m е крайнопороден R-модул, Q.E.D. Основният резултат на настоящия въпрос е следното

7 24 3. КРАЙНОПОРОДЕНИ АЛГЕБРИ И МОДУЛИ НАД НЬОТЕРОВ ПРЪСТЕН Твърдение Нека R е ньотеров пръстен, R[a 1,..., a n ] е крайнопородена R-алгебра, а S е такъв подпръстен на R[a 1,..., a n ], съдържащ R, че R[a 1,..., a n ] е крайнопороден S-модул. Тогава S е крайнопородена R-алгебра. Доказателство: Нека R[a 1,..., a n ] = Sb Sb m. Без ограничение на общността можем да считаме, че b m = 1 R. (Ако b i 1 R за всички 1 i m, то полагаме b m+1 := 1 R и увеличаваме броя на пораждащите на R[a 1,..., a n ] като S-модул. От a p R[a 1,..., a n ] за 1 p n следва съществуването на α p1,..., α pm S, така че m a p = α pq b q. q=1 От друга страна, за произволни 1 i < j m елементите b i, b j R[a 1,..., a n ] имат произведение b i b j R[a 1,..., a n ], така че m b i b j = α ijq b q за подходящи α ijq S. Да разгледаме крайнопородената R-алгебра q=1 S o := R[α pq, α ijq 1 p n, 1 i, j, q m]. Пръстенът R е ньотеров, така че и пръстенът S o е ньотеров съгласно Следствие Твърдим, че R[a 1,..., a n ] = S o b S o b m се поражда като S o -модул от фиксираните си пораждащи като S-модул. От една страна, S o b S o b m Sb Sb m = R[a 1,..., a n ], доколкото S o е подпръстен на S. За обратното включване трябва да покажем, че всеки полином f = β B r βa β на a 1,..., a n с коефициенти r β R принадлежи на S o -модула M o = S o b S o b m. Вземайки предвид, че M o е подгрупа на адитивната група (R[a 1,..., a n ], +, достатъчно е да проверим, че всеки моном r β a β принадлежи на M o. С индукция по общата степен β = n β i ще докажем, че a β M o. Доколкото M o е S o -модул, а R е подпръстен на S o, оттук следва r β a β M o за произволно r β R. Ако β = n β i = 0, то β 1 =... = β n = 0 и a β = 1 R = b m M o. Да допуснем, че a γ M o за всички γ = (γ 1,..., γ n с γ = n γ i < n β i = β и да изберем 1 i n с β i 1. Тогава за β = (β 1,..., β i 1, β i 1, β i+1,..., β n е в сила индукционното предположение a β = m j=1 s jb j M o, така че ( m m ( m m m a β = a β a i = s j b j α iq b q = s j α iq α jqp b p = m Това установява, че j=1 m j=1 q=1 p=1 q=1 j=1 q=1 p=1 m s j α iq α jqp b p S o b S o b m = M o. R[a 1,..., a n ] = S o b S o b m. По построение, S o е подпръстен на S, така че S е S o -модул. Още повече, S o е ньотеров пръстен, а S е S o -подмодул на крайнопородения S o -модул R[a 1,..., a n ], така че S = S o σ S o σ l

8 3. КРАЙНОПОРОДЕНИ АЛГЕБРИ И МОДУЛИ НАД НЬОТЕРОВ ПРЪСТЕН 25 е крайнопороден S o -модул по Твърдение От една страна, S = S o σ S o σ l S o [σ 1,..., σ l ], доколкото всички полиноми на σ 1,..., σ l с коефициенти от S o съдържат хомогенните линейни полиноми. От друга страна, S o [σ 1,..., σ l ] S, защото S o е подпръстен на S и σ 1,..., σ l S, така че S o [σ 1,..., σ l ] е подпръстен на S. Следователно S = S o [σ 1,..., σ l ] = R[α pq, α ijq 1 p n, 1 i, j, q m][σ r 1 r l] = R[α pq, α ijq, σ r 1 p n, 1 i, j, q m, 1 r l] е крайнопородена R-алгебра, Q.E.D. Определение Елементът a на R-алгебрата S се нарича цял над R, ако съществуват r 1,..., r n R, така че a n + r 1 a n r n 1 a + r n = 0. Ясно е, че всеки елемент r R е цял над R, в качеството си на корен на полинома x r = 0. Ако E е подполе на поле F, то казваме, че a F е алгебричен над E, ако съществуват e 0, e 1,..., e n E, e 0 0 E, така че e 0 a n + e 1 a n e n 1 a + e n = 0 E. Доколкото всички ненулеви елементи на полето E са обратими, a F е алгебричен над E тогава и само тагава, когато a е цял над E. Нека полето F е разширение на полето E. Елементите a 1,..., a k F са алгебрични над E, ако съществува нетъждествено нулев полином 0 f(x 1,..., x k E[x 1,..., x k ], така че f(a 1,..., a k = 0. Ако a 1,..., a k F не са алгебрични над E, то казваме, че a 1,..., a k са трансцендентни над E. Лема Ако елементът a на R-алгебрата S е цял над R, то пръстенът R[a] е крайнопороден R-модул. В частност, ако полето F е разширение на полето E и елементът a F е алгебричен над E, то пръстенът E[a] е поле и крайномерно линейно пространство над E. Доказателство: Ако a n + r 1 a n r n = 0 за някакви r 1,..., r n R, то a n = r 1 a n 1... r n 1 a r n R.1 R + Ra Ra n 1 =: M o. С индукция по k n ще установим, че мономът a k принадлежи на крайнопородения R-модул M o. По този начин, R[a] M o, а оттам и R[a] = M o. Базата на индукцията k = n е вече установена. Ако допуснем, че a k 1 = n t ia n i за някакви t i R, то a k = (t 1 a n 1 + t 2 a n t n a = t 1 ( r 1 a n 1... r n 1 a r n + t 2 a n t n a = (t 2 t 1 r 1 a n (t n t 1 r n 1 a t 1 r n M o. Нека f(x E[x] е полином от минимална степен с корен a. Без ограничение на общността можем да считаме, че старшият коефициент на f(x е 1 = 1 E. Горните разглеждания доказват, че ако deg(f = n, то E[a] = E +Ea+...+Ea n 1. Остава да докажем, че E[a] е подполе на F. Преди всичко да споменем, че полиномът f(x E[x] е неразложим над полето E поради минималността на степента му deg(f. Произволен ненулев елемент 0 E g(a E[a] е представен с полином g(x E[x], който е взаимно прост с f(x. Следователно

9 26 3. КРАЙНОПОРОДЕНИ АЛГЕБРИ И МОДУЛИ НАД НЬОТЕРОВ ПРЪСТЕН съществуват полиноми u(x, v(x E[x], реализиращи тъждеството на Безу f(xu(x + g(xv(x = 1. Замествайки x = a получаваме че g(av(a = 1, откъдето g(a 1 = v(a E[a]. Това доказва, че E[a] е подполе на F, Q.E.D. За по-нататъшното изучаване на свойствата на цялата зависимост е необходима следната Лема Ако R-алгебрата S е крайнопородена като R-модул и M е крайнопороден S-модул, то M е крайнопороден R-модул. Доказателство: Нека S = Rs Rs m за подходящи s 1,... s m S и M = Sµ Sµ n за подходящи µ 1,..., µ n M. Тогава твърдим, че m n M = Rs j µ i j=1 се поражда като R-модул от своите елементи s j µ i M. Наистина, включването m n j=1 Rs jµ i M е ясно от това, че R е подпръстен на S, s i S и µ i M. Обратно, всеки елемент µ M се представя във вида µ = n σ iµ i чрез някакви σ i S. От своя страна, σ i = m j=1 r ijs j за подходящи r ij R, така че n m m n µ = r ij s j µ i = r ij (s j µ i. j=1 Това установява, че M m Q.E.D. j=1 j=1 n Rs jµ i, а оттам и M = m j=1 n Rs jµ i, Твърдение Ако S = R[a 1,..., a n ] е крайнопородена R-алгебра и a 1,..., a n S са цели над R, то S е крайнопороден R-модул. Доказателство: Ще разсъждаваме с индукция по броя на пораждащите n на S като R-алгебра. От Лема 3.19 знаем, че R-алгебрата R[a 1 ] е крайнопороден R-модул, ако a 1 е цял над R. За произволно естествено n > 1, R-алгебрата R[a 1,..., a n 1 ] е крайнопороден R-модул по индукционно предположение. Цялата зависимост a m n + r 1 a m 1 n r m 1 a n + r m = 0 R на a n над R r 1,..., r m представлява и цяла зависимост на a n над R-алгебрата R[a 1,..., a n 1 ] r 1,..., r m, така че R[a 1,..., a n 1, a n ] = R[a 1,..., a n 1 ][a n ] е крайнопороден R[a 1,..., a n 1 ]-модул съгласно Лема Прилагайки Лема 3.20 получаваме, че R[a 1,..., a n ] е крайнопороден R-модул, Q.E.D. Като приложение на Твърдение 3.17 и Твърдение 3.21, ще докажем Теоремата на Еми Ньотер за крайна породеност на k-алгебрата k[x 1,..., x n ] G на инвариантните полиноми на крайна матрична група G. Да напомним, че общата линейна група над поле k се състои от неособените квадратни матрици GL n (k = {A k n n det(a 0} с обичайната операция умножение на матрици. Ако x = x 1... x n е стълб от променливи, то съответствието x Ax се продължава до действие f(x f(ax на GL n (k върху пръстена k[x] = k[x 1,..., x n ] на полиномите на тези променливи. Крайните подгрупи G на GL n (k ще наричаме накратко крайни матрични групи. Полиномът f(x е G-инвариантен, ако f(ax = f(x за A G. Множеството k[x 1,..., x n ] G на G-инвариантните полиноми f(x на x =

10 x 1... x n 3. КРАЙНОПОРОДЕНИ АЛГЕБРИ И МОДУЛИ НАД НЬОТЕРОВ ПРЪСТЕН 27 с коефициенти от k е подпръстен на всичките полиноми k[x 1,..., x n ]. Полето k е подпръстен на k[x 1,..., x n ] G, така че k[x 1,..., x n ] G е k-алгебра. Лема Ако G GL n (k е крайна матрична група, а f(x k[x 1,..., x n ] е полином на n променливи, то f(x е цял над пръстена k[x 1,..., x n ] G на G-инвариантните полиноми на x 1,..., x n. Доказателство: Да разгледаме произведението F f(x (y := A G[y f(ax]. Понеже f(ax k[x 1,..., x n ] за A G, изразът F f(x (y е полином на y с коефициенти от k[x 1,..., x n ]. Продължаваме действието на G върху k[x 1,..., x n ] до действие на G върху k[x 1,..., x n ][y], което оставя на място y. Тогава образът на F f(x (y под действие на произволно B G е F f(x (y = [y f(abx] = f(cx] = F f(x (y, A G C G[y защото A пробягва групата G точно когато C = AB пробягва G. Следователно полиномът F f(x (y е G-инвариантен и F f(x (y k[x 1,..., x n ] G [y]. Степента на F f(x (y относно y съвпада с реда card(g на G. Старшият коефициент на F f(x (y е 1. Освен това, y = f(x е корен на F f(x (y, защото F f(x (y има множител y f(e n x = y f(x, където E n G единичната матрица. По определение, гореспоменатите свойства означават, че f(x е цял над k[x 1,..., x n ] G, Q.E.D. Твърдение Ако G е крайна матрична група над поле k, то пръстенът k[x 1,..., x n ] G = k[f 1 (x,..., f m (x] на G-инвариантните полиноми се поражда като k-алгебра от краен брой хомогенни G-инвариантни полиноми f 1 (x,..., f m (x. Докаазтелство: Полето k е ньотеров пръстен. Полиномиалният пръстен k[x 1,..., x n ] е крайнопородена k-алгебра, а множеството k[x 1,..., x n ] G на G- инвариантните полиноми е подпръстен на k[x 1,..., x n ], съдържащ k. Твърдим, че k[x 1,..., x n ] = k[x 1,..., x n ] G [x 1,..., x n ]. Включването k[x 1,..., x n ] k[x 1,..., x n ] G [x 1,..., x n ] следва от това, че константите от k са G-инвариантни полиноми, k k[x 1,..., x n ] G. Обратно, G- инвариантните полиноми k[x 1,..., x n ] G се съдържат в пръстена k[x 1,..., x n ] на всички полиноми и x 1,..., x n k[x 1,..., x n ], така че k[x 1,..., x n ] G [x 1,..., x n ] се съдържа в пръстена k[x 1,..., x n ]. По този начин, k[x 1,..., x n ] = k[x 1,..., x n ] G [x 1,..., x n ] се оказва крайнопородена k[x 1,... x n ] G -алгебра. От Лема 3.22 следва, че x 1,..., x n са алгебрични над k[x 1,..., x n ] G, така че k[x 1,..., x n ] = k[x 1,..., x n ] G [x 1,..., x n ] е крайнопороден k[x 1,..., x n ] G -модул, съгласно Твърдение Това дава възможност да приложим Твърдение 3.17 и да получим съществуването на полиноми g 1 (x,..., g k (x k[x 1,..., x n ] G, пораждащи като k-алгебра. Полином h(x = k[x 1,..., x n ] G = k[g 1 (x,..., g k (x] d i=0 h (i (x k[x 1,..., x n ] с хомогенни компоненти h (i (x k[x 1,..., x n ] (i е G-инвариантен тогава и само тогава, когато

11 28 3. КРАЙНОПОРОДЕНИ АЛГЕБРИ И МОДУЛИ НАД НЬОТЕРОВ ПРЪСТЕН всяка от хомогенните му компоненти е G-инвариантна. По-точно, за A G образът h (i (Ax k[x 1,..., x n ] на h (i (x е хомогенен полином на x 1,..., x n от степен i. Затова равенството d d h (i (Ax = h(ax = h(x = h (i (x i=0 се свежда до равенствата h (i (Ax = h (i (x за 0 i d и доказва G-инвариант -ността на всички хомогенни компоненти h (i (x на G-инвариантен полином h(x. Нека f 1 (x,..., f m (x са G-инвариантните хомогенни компоненти на пораждащите g 1 (x,..., g k (x на k[x 1,..., x n ] G като k-алгебра. Представяйки всеки от полиномите g j (x като сума на своите хомогенни компоненти получаваме включването k[x 1,..., x n ] G = k[g 1 (x,..., g k (x] k[f 1 (x,..., f m (x]. Обратно, k[f 1 (x,..., f m (x] k[x 1,..., x n ] G следва от f 1 (x,..., f m (x k[x 1,..., x n ] G и от факта, че k[x 1,..., x n ] G е пръстен. Следователно, пръстенът на G-инвариантните полиноми k[x 1,..., x n ] G = k[f 1 (x,..., f m (x] се опражда като k- алгебра от краен брой хомогенни G-инвариантни полиноми f 1 (x,..., f m (x k[x 1,..., x n ] G, Q.E.D. За да изложим по-конкретна формулировка на Теоремата на Еми Ньотер, трябва да въведем така наречения оператор на Рейонлдс. Лема-Определение 4. Ако G GL n (k е крайна матрична група над поле k с характериситка char(k = 0, то изображението i=0 R G : k[x 1,..., x n ] k[x 1,..., x n ], 1 R G (f(x = f(ax card(g е хомоморфизъм на k[x 1,..., x n ] G -модули A G R G : k[x 1,..., x n ] k[x 1,..., x n ] G, който трансформира хомогенните полиноми h(x от степен d в хомогенни полиноми R G (h(x от степен d и оставя на място R G (g(x = g(x всеки G-инвариантен полином g(x k[x 1,..., x n ] G. Изображението R G се нарича оператор на Рейнолдс на G. Доказателство: Да отбележим, че изискването char(k = 0 е нужно, за да можем да делим на броя на елементите card(g на крайната матрична група G, в определението на R G. Образът R g (f(x на произволен полином f(x k[x 1,..., x n ] е G-инвариантен, защото 1 1 R G (f(bx = f(abx = f(cx = f(x card(g card(g A G за всяко фиксирано B G. Ако g(x k[x 1,..., x n ] G е G-инвариантен полином, 1 то g(ax = g(x за A G, откъдето R G (g(x = card(g card(gg(x = g(x. Ако h(x k[x 1,..., x n ] (d е хомогенен полином от степен d, то за всички A G полиномите h(ax k[x 1,..., x n ] (d са хомогенни и от същата степен d, така че R G (h(x k[x 1,..., x n ] (d е хомогенен полином от степен d. За произволни g 1 (x,..., g m (x k[x 1,..., x n ] G и f 1 (x,..., f m (x k[x 1,..., x n ] пресмятаме, че ( m ( 1 m R G g i f i (x = g i f i (Ax = card(g A G ( 1 m ( 1 m g i (Axf i (Ax = g i (xf i (Ax. card(g card(g A G A G C G

12 3. КРАЙНОПОРОДЕНИ АЛГЕБРИ И МОДУЛИ НАД НЬОТЕРОВ ПРЪСТЕН 29 Разменяйки реда на сумиране получаваме ( m [ ] m 1 m R G g i f i (x = g i (x f i (Ax = g i (xr G (f i (x. card(g Следователно изображението R G : k[x 1,..., x n ] k[x 1,..., x n ] G е хомоморфизъм на k[x 1,..., x n ] G -модули, Q.E.D. Теорема 5. Нека G GL n (k е крайна матрична група над поле k с характеристика char(k = 0. Тогава пръстенът на G-инвариантните полиноми [ ] k[x 1,..., x n ] G = k R G (x α m 1 α = α i card(g се поражда като k-алгебра от образите R G (x α на мономите x α = x α xαn n от степен α card(g под действие на оператора на Рейонлдс R G на G. Доказателство: Пръстенът k[x 1,..., x n ] G на G-инвариантните полиноми се поражда като k-алгебра от всички мономи x β, β (Z 0 n. Наистина, ако f(x = c β x β k[x 1,..., x n ] G е G-инвариантен полином, то β B A G f(x = R G (f(x = R G c β x β = c β R G (x β, β B β B съгласно G-инвариантността на c β k. Твърдим, че за произволни променливи z 1,..., z n и произволно естествено d е изпълнено (z z n d = d! β 1!... β n! zβ. β =d По-точно, z β1 1 се избира по ( d d! = β 1 β 1!(d β 1! начина от (z z n d. При фиксирано z β1 1 избираме z β2 2 по ( d β1 (d β 1! = β 2 β 2!(d β 1 β 2! начина. Продължаваме по същия начин, като избираме z βn 1 n 1 по ( d β1... β n 2 (d β 1... β n 2! = β n 1 β n 1!(d β 1... β n 1! начина и накрая zn βn по ( d β1... β n 1 β n = (d β 1... β n 1! β n!(d β 1... β n! начина. Окончателно, броят на мономите z β = z β zβn n в (z z n d е ( ( ( d d β1 d β1... β... n 1 d! = β1 β 2 β n β 1!... β n!. Въвеждаме променливи u = (u 1,..., u n. Представяме произволна матрица a 1 A G GL n (k като съвкупност от вектор-редове A =..., така че a n

13 30 3. КРАЙНОПОРОДЕНИ АЛГЕБРИ И МОДУЛИ НАД НЬОТЕРОВ ПРЪСТЕН uax = u 1 a 1 x u n a n x за x = (uax d β =d x 1... x n. Тогава d! β 1!... β n! (u 1a 1 x β1... (u n a n x βn = β =d d! β 1!... β n! uβ (Ax β. Нека card(g = m и G = {E n = A 1,..., A m }. Разглеждаме множеството M = {ua i x 1 i m}. Действието x A j x чрез A j G индуцира действие ua i x ua i A j x върху M чрез пермутации. Съответният хомоморфизъм на G в групата на взаимно-еднозначните изображения на M, може да се разглежда като реализация на G като подгрупа на симетричната група G m, съгласно Теоремата на Кейли. Нека S d := (uax d е d-тият степенен сбор на елементите на M. Тогава S d = β =d A G [ ] d! β 1!... β n! uβ (Ax β = d! β 1!... β n! card(guβ R G (x β. A G β =d Понеже S d е симетрична функция на ua i x за 1 i m, съществува полином F (y 1,..., y m k[y 1,..., y m ], така че където σ 2 = S d = F (σ 1,..., σ m, σ 1 = 1 i 1<i 2 m m ua i x, (ua i1 x(ua i2 x, σ k = (ua i1 x... (ua ik x, 1 i 1<...<i k m σ m = (ua 1 x... (ua m x са елементарните симетрични полиноми на ua 1 x,..., ua m x. Твърдим, че за всяко 1 i m съществува полином H i (y 1,..., y m k[y 1,..., y m ], така че i-тият елементарен симетричен полином σ i = H i (S 1,..., S i се представя като полином H i на първите i степенни сборове S 1,..., S i на ua 1 x,..., ua m x. Тогава S d = F (H 1 (S 1,..., H m (S 1,..., S m = F (S 1,..., S m се оказва полином F (y 1,..., y m k[y 1,..., y m ] на първите m степенни сборове S 1,..., S m на ua 1 x,..., ua m x. По-точно, ( d!card(g γ!card(g β 1!... β n! uβ R G (x β = F γ 1!... γ n! uγ R G (x γ 1 γ m β =d! за d N, така че R G (x β с β = d е полином на R G (x γ, 1 γ m, с коефициенти от k. За изразяването на σ i чрез полиноми H i на S 1,..., S i, да напомним формулите на Нютон S i σ 1 S i ( 1 j σ j S i j ( 1 i 1 σ i 1 S 1 + ( 1 i σ i i = 0

14 3. КРАЙНОПОРОДЕНИ АЛГЕБРИ И МОДУЛИ НАД НЬОТЕРОВ ПРЪСТЕН 31 за 1 i m. Над полето k с char(k = 0, можем да изразим σ i = ( 1i+1 [ Si σ 1 S i ( 1 j σ j S i j ( 1 i 1 ] σ i 1 S 1. (3.1 i С индукция по 1 i m, от (3.1 получаваме съществуването на H i (y 1,..., y i k[y 1,..., y i ] с H i (S 1,..., S i = σ i, Q.E.D.