БЪЛГАРСКА АКАДЕМИЯ НА НАУКИТЕ ИНСТИТУТ ПО БИОФИЗИКА И БИОМЕДИЦИНСКО ИНЖЕНЕРСТВО ТРИМЕРНИ ИНДЕКСИРАНИ МАТРИЦИ И ПРИЛОЖЕНИЯ В ТРАНСПОРТНАТА ЗАДАЧА И OLA

Препис

1 БЪЛГАРСКА АКАДЕМИЯ НА НАУКИТЕ ИНСТИТУТ ПО БИОФИЗИКА И БИОМЕДИЦИНСКО ИНЖЕНЕРСТВО ТРИМЕРНИ ИНДЕКСИРАНИ МАТРИЦИ И ПРИЛОЖЕНИЯ В ТРАНСПОРТНАТА ЗАДАЧА И OLAP-КУБ ВЕЛИЧКА НИКОЛОВА ТРАНЕВА АВТОРЕФЕРАТ НА ДИСЕРТАЦИОНЕН ТРУД, ПРЕДСТАВЕН ЗА ПРИСЪЖДАНЕ НА ОБРАЗОВАТЕЛНА И НАУЧНА СТЕПЕН ДОКТОР ПРОФЕСИОНАЛНО НАПРАВЛЕНИЕ: 46 ИНФОРМАТИКА И КОМПЮТЪРНИ НАУКИ НАУЧНА СПЕЦИАЛНОСТ: ИНФОРМАТИКА НАУЧНИ РЪКОВОДИТЕЛИ: ЧЛ - КОР ПРОФ ДМН ДТН КРАСИМИР АТАНАСОВ ДОЦ Д-Р ПЕНЧО МАРИНОВ СОФИЯ, 2017

2 Дисертационният труд е обсъден на разширен научен семинар на секция Биоинформатика и математическо моделиране на Института по биофизика и биомедицинско инженерство на г Настоящият дисертационен труд е структуриран в увод, четири глави, заключение, декларация за оригиналност, библиография, списък на авторските публикации, списък със забелязани цитирания, списък на проекти с участието на докторанта, 2 приложения и е в обем от 159 страници Цитирани са 145 източника Защитата на дисертационния труд ще се състои на г от 13,00 часа в заседателната зала на Института по биофизика и биомедицинско инженерство Българска академия на науките (ул Акад Г Бончев, бл 105) на открито заседание на научното жури в състав: Председател: чл-кор проф дтн Стефан Хаджитодоров Членове: 1 чл-кор проф дмн дтн Красимир Атанасов 2 проф дтн Кети Пеева 3 проф д-р Стефка Фиданова 4 проф д-р Сотир Сотиров Автор: Величка Николова Транева ЗАГЛАВИЕ: Тримерни индексирани матрици и приложения в транспортната задача и OLAP-куб

3 Списък на съкращенията 2D-EIM двумерна разширена индексирана матрица 3D-EIM тримерна разширена индексирана матрица 3D-MLEIM тримерна многослойна разширена индексирана матрица 3D-IM тримерна индексирана матрица 3D IM {0,1} множество от всички (0, 1)-3D-EIMs с елементи 0 или 1 3D IM P множеството от всички 3D-EIMs с елементи предикати 3D IM IFP множеството от всички 3D-EIMs с елементи IFPs 3D EIM F E множеството от всички 3D-EIMs с елементи 1-аргументни функции F 1 A rec поелементна реципрочна матрица на А A транспонирана матрица на А ЕIFIM разширена интуиционистка размита индексирана матрица EIM разширена индексирана матрица ЕTIFIM разширена времева интуиционистка размита индексна матрица IFP интуиционистки размити двойки IFS интуиционистки размити множества IFIM интуиционисткa размита индексирана матрица IM индексирана матрица L-IM множеството от всички IMs с елементи предикати IMs индексирани матрици IMFE индексирана матрица с функционални елементи MDX Multidimensional expression OLAP On-Line Analytical Processing TIFIM времева интуиционистка размита индексирана матрица строго включване слабо включване d строго включване относно измерение d нестрого включване относно измерение v строго включване относно стойност v нестрого включване относно стойност 1

4 Увод Дисертационният труд е посветен на разширяване на съществуващите видове 3D-IMs, на операциите и релациите с тях, както и с изследване на някои техни свойства и приложения Основна изследователска теза: 3D-EIM и 3D-MLEIM, заедно с дефинираните операции и релации върху тях, позволяват намиране на оптимално решение на транспортни типове задачи, които са обобщения на класическата транспортна задача и за синтеза и анализа на информацията в OLAP-кубовете Цел: Да се дефинират разширения на 3D- IMs, нови операции и релации с тях, и да се намери приложението им в транспортната задача и OLAP-куб За постигане на целта са формулирани следните задачи: 1 Да се проучат съществуващите видове IMs, операциите и релациите с тях, включително агрегиращите и йерархичните операции с тях Да се посочат нерешените проблеми 2 Да се разширят съществуващите видове 3D-EIMs и да се дефинират операции и релации с тях Да се посочат нерешени проблеми в тези области 3 Да се дефинират и обобщят вътрешни (локални) и агрегиращи операции с 3D-EIMs 4 Да се дефинират и обобщят нови разширения на транспортната задача и да се дефинират алгоритми за тяхното решаване 5 Да се състави модел на OLAP-куб с апарата на IMs и да се моделират основните операции над него Благодарности: Дисертационният труд е подкрепен от Проект с Фонд Научни изследвания с Реф No ДФНИ-И-02-5/2014 Интеркритериален анализ - нов подход за вземане на решения Изказвам най-сърдечни благодарности на научните ми ръководители и рецензентите за оказаната научна подкрепа и съдействие 2

5 Глава 1 Въведение в теорията на IMs Глава първа е посветена на решаването на първата основна задача: Да се проучат съществуващите видове IMs, операциите и релациите с тях, включително агрегиращите и йерархичните операции с тях Понятието индексирана матрица е въведено от Атанасов през 1984 г През последните 30 години основните им свойства са изучени, а приложенията им са като инструмент за описване на преходите в обобщените мрежи, на интуиционистски размитите релации, на графите, на представимости в теорията на числата, за разпознаване на образи Тази глава има теоретично-обзорен характер и изложението е съгласно книгата на Атанасов Index Matrices: Towards an Augmented Matrix Calculus Springer, Cham, 2014 Изложени са дефиниции за основните видове IMs, операциите и релациите с тях Представени са следните видове индексирани матрици: 2D-IMs с елементи реални числа, 2D-IMs с (0,1)-елементи, 2D-IMs с елементи логически променливи или предикати, 2D-IFIMs, 2D-EIMs, 2D-TIFIMs, 2D-IMs с елементи-функции, 3D-IMs с елементи-произволни обекти Изложени са операциите и релациите с тях Изводи Oт прегледа на литературата се установява, че са дефинирани следните типове двумерни IMs IM с елементи реални числа, IM с елементи {0,1}, IM с елементи предикати, интуиционистка размита IM, разширена IM, времева интуиционистка размита IM, разширена времева интуиционистка размита IM, IM с функционален тип на елементите, IM с елементи-матрици Въведена е 3D-IM, чиито елементи могат да бъдат произволни обекти Дефинирани са операции и релации върху посочените 2D-IMs и 3D-IMs Поставени са редица открити проблеми, три от които са: Какви други форми могат да имат йерархическите оператори над EIMs?, Да се развие цялостно теорията на 3D-IMs, Да се намерят приложения на 3D-IMs В съгласие с цитираните три открити проблеми е формулирана целта на дисертационния труд 3

6 Глава 2 Нови аспекти в теорията на IMs Решават се втора и трета основни задачи Дефинирани са нови разширения на 3D-IMs: 3D-EIM, която обобщава две предишни разширения на IMs 2D-EIM и 3D-IM; 3D-MLEIM Разширени са дефинициите на операциите и релациите, обобщени са агрегиращите и йерархичните операции Въведени са вътрешни с IMs Доказани са теореми, свързани със свойствата на агрегиращите операции и за връзката между този вид операции и вътрешните операции 21 3D- EIM 211 Дефиниция Нека X е крайно множество от обекти (реални числа, числата 0 и 1, логически променливи, предположения или предикати, интуиционистки размити двойки (IFPs), функции и др) С X се означава мощността му Нека I е крайно множество от индекси и I n = { i 1, i 2,, i n ( j : 1 j n)(i j I)} и I * = 1 n Дефиницията на 3D-ЕIM [K, L, H, {a ki,l j,h g }] с индексни множества K, L и H (K, L, H I * ) и елементи от множеството X е: h g l 1 l j l n I n k 1 a k1,l 1,h g a k1,l j,h g a k1,l n,h g k i a ki,l 1,h g a ki,l j,h g a ki,l n,h g k m a km,l 1,h g a km,l j,h g a km,l n,h g h g H където K = {k 1, k 2,, k m }, L = {l 1, l 2,, l n }, H = {h 1, h 2,, h f }, и за 1 i m, 1 j n, 1 g μ : a ki,l j,h g X 4

7 212 Операции върху 3D-EIMs Със символа е означена липса на някои компоненти в дефинициите или празни матрични елементи Разширени са дефинициите на операциите за този вид матрици: транспонираност, събиране, почленно умножение, умножение, почленно изваждане, структурно изваждане, умножение с константа, проекция, редукция, субституция, композиция, автоматична редукция, декомпозиция, inflatingоперация и агрегиращи операции Нека 3D EIM R е множеството на всички 3D-ЕIMs с елементи реални числа, 3D EIM {0,1} е множеството от всички (0, 1)-3D-EIMs с елементи 0 или 1, 3D EIM P е множеството от всички 3D-ЕIMs с елементи предикати, 3D EIM IFP е множеството от всички 3D-EIMs с елементи IFPs Нека X, Y, Z, U са крайни множества Нека операциите * и са предварително зададени и, * {+,, max, min, average,,, } * : X Y Z и : Z Z U Нека индексното множество I * е дадено С цел яснота на изложението ще дадем дефиниции на следните операции върху 3D-EIMs A[K, L, H, {a ki,l j,h g }] и B[P, Q, R, { pr,q s,e d }]: Транспониране за 3D-EIM съществуват 5 случаи: [K, L, H, {a ki,l j,h g }] [1,3,2] = [K, H, L, {a ki,h g,l j }]; [K, L, H, {a ki,l j,h g }] [2,1,3] = [L, K, H, {a lj,k i,h g }]; [K, L, H, {a ki,l j,h g }] [2,3,1] = [L, H, K, {a lj,h g,k i }]; [K, L, H, {a ki,l j,h g }] [3,1,2] = [H, K, L, {a hg,k i,l j }]; [K, L, H, {a ki,l j,h g }] [3,2,1] = [H, L, K, {a hg,l j,k i }] Поелементна реципрочна матрица Дефиницията на тази операция върху IM A е както следва: A rec = [K, L, H, { ki,l j,h g }] h g H l 1 l j l n k 1 k1,l 1,h g k1,l j,h g k1,l n,h g =, k i ki,l 1,h g ki,l j,h g ki,l n,h g k m km,l 1,h g km,l j,h g km,l n,h g където K = {k 1, k 2,, k m }, L = {l 1, l 2,, l n }, H = {h 1, h 2,, h f } и за 1 i m, 1 j n, 1 g μ : 5

8 ki,l j,h g = 1/a ki,l j,h g, ако A 3D EIM R и a ki,l j,h g R/{0} ако A 3D EIM R и a ki,l j,h g = 0 или A 3D EIM {0,1} или A 3D EIM {0,1} или A 3D EIM P или A 3D EIM IFP Събиране A ( ) B = [K P, L Q, H R, {c tu,v w,x y }], където c tu,v w,x y = a ki,l j,h g, pr,q s,e d, a ki,l j,h g pr,q s,e d, ако t u = k i K, v w = l j L и x y = h g H R или t u = k i K, v w = l j L Q и x y = h g H или t u = k i K P, v w = l j L и x y = h g H ако t u = p r P, v w = q s Q и x y = e d R H или t u = p r P, v w = q s Q L и x y = e d R или t u = p r P K, v w = q s Q и x y = e d R ако t u = k i = p r K P, v w = l j = q s L Q и x y = h g = e d H R 0 в противен случай { за A, B 3D EIM R, или A, B 3D EIM {0,1} } F за A, B 3D EIM P 0, 1 за A, B 3D EIM IFP където F означава лъжа и {+,, max, min}, ако A 3D EIM R {max, min}, ако A 3D EIM {0,1} {,,, }, ако A 3D EIM P или A 3D EIM IFP Почленно умножение A ( ) B = [K P, L Q, H R, {c tu,v w,x y }], където c tu,v w,x y = a ki,l j,h g pr,q s,e d, за t u = k i = p r K P, v w = l j = q s L Q и x y = h g = e d H R Тук, е с горепосоченото значение Почленно изваждане A ( ) B = A ( ) ( 1)B = [K P, L Q, H R, {c tu,v w,x y }],, 6

9 c tu,v w,x y = a ki,l j,h g, ако t u = k i K&v w = l j L &x y = h g H R или t u = k i K&v w = l j L Q &x y = h g H или t u = k i K P &v w = l j L x y = h g H pr,q s,e d, ако t u = p r P &v w = q s Q { ако A, B 3D EIM R } &x y = e d R H 0, ако t u = p r P &v w = q s Q L { ако A, B 3D EIM {0,1} } &x y = e d R pr,q s,e d, ако t u = p r P K&v w = q s Q { ако A, B 3D EIM P &v w = q s Q ако A, B 3D EIM IFP }, &x y = e d R a ki,l j,h g pr,q s,e d, ако t u = k i = p r K P &v w = l j = q s L Q &x y = h g = e d H R 0 в противен случай { за A, B 3D EIM R или A, B 3D EIM {0,1} } F { за A, B 3D EIM P 0, 1 за A, B 3D EIM IFP } където α β = α β, ако A 3D EIM R max(0, α β), ако A 3D EIM {0,1} α β или α β, ако A 3D EIM P или A 3D EIM IFP Проекция Нека имаме 3D-EIM A = [K, L, H, {a ki,l j,h g }] и нека M K, N L и U H Тогава, pr M,N,U A = [M, N, U, { ki,l j,h g }], за всяко k i M, l j N и h g U, ki,l j,h g = a ki,l j,h g Редукция За 3D-EIM A = [K, L, H, {a ki,l j,h g }] дефинираме: A (k,, ) = [K {k}, L, H, {c tu,v w,h g }], където c tu,v w,x y = a ki,l j,h g за t u = k i K {k}, v w = l j L и x y = h g H, A (,l, ) = [K, L {l}, H, {c tu,v w,x y }], където c tu,v w,x y = a ki,l j,h g за t u = k i K, v w = l j L {l} и x y = h g H и A (,,h) = [K, L, H {h}, {c tu,v w,x y }], където c tu,v w,x y = a ki,l j,h g за t u = k i K, v w = l j L и x y = h g H {h} Субституция Нека 3D-EIM A = [K, L, H, {a k,l,h }] е дадена Локална субституция върху EIM е дефинирана за двойки индекси (p, k) и/или (q, l) и/или (r, h), респективно, чрез, 7

10 [ p k ; ; ] A = [ (K {k}) {p}, L, H, {a ki,l j,h g } ] [, ; q l ; ] A = [ K, (L {l}) {q}, H, {a ki,l j,h g } ] [ [, ; ; r h] A = K, L, (H {h}) {r}, {aki,l j,h g } ] Агрегиращи операции Нека 3D-EIM A = [K, L, H, {a ki,l j,h g }] (K, L, H I * ) e даденa и нека k 0 / K, l 0 / L, h 0 / H Нека : X X X и * : X X X {+,, average, max, min}, ако A 3D EIM R, {max, min}, ако A 3D EIM Нека {0,1} {, }, ако A 3D EIM P или A 3D EIM IFP Дефинирани са агрегиращи операции, както следва: ( ) α K -агрегация h g H l 1 l n α (K, ) (A, k o ) = k 0 a ki,l 1,h g a ki,l n,h g 1 i m 1 i m ( ) α L -агрегация h g l 0 α (L, ) (A, l o ) = k 1 k 2 1 j n 1 j n a k1,l j,h g a k2,l j,h g h g H k m 1 j n ( ) α H -агрегация l j h 0 a km,l j,h g α (H, ) (A, h 0 ) = k 1 k 2 1 g μ 1 g μ a k1,l 1,h g a k2,l 2,h g l j L k m ( ) α (K,L) -агрегация α (K,L, ) (A, k 0, l 0 ) = 1 g μ k 0, l 0 a km,l n,h g h 1 h f a ki,l j,h 1 a ki,l j,h f ; 1 i m 1 i m 1 j n 1 j n 8

11 ( ) α (K,H) -агрегация α (K,H, ) (A, k 0, h 0 ) = k 0, h 0 ( ) α (L,H) -агрегация α (L,H, ) (A, l 0, h 0 ) = l 0, h 0 l 1 l n a ki,l 1 i m 1,h g 1 g μ k 1 k m a k1,l 1 j n j,h g 1 g μ a ki,l n,h g ; 1 i m 1 g μ a km,l j,h g 1 j n 1 g μ Обобщени агрегиращи операции Нека 3D-EIM A е дадена: [K, L, H, {a kid,l j,h }] = H g L 1 l j1 l jν L n K 1 a K1,L 1,H g a K1,l j1,h g a K1,l jν,h g a K1,L n,h g k i1 a ki1,l 1,H g a ki1,l j1,h g a ki1,l jν,h g a ki1,l n,h g k ii a kii,l 1,H g a kii,l j1,h g a kii,l jν,h g a kii,l n,h g K m a Km,L 1,H g a Km,l j1,h g a Km,l jν,h g a Km,L n,h g където K = {K 1, K 2,, K i,, K m }, K i = {k i1, k i2,, k ii } за 1 i m, L = {L 1, L 2,, L j,, L n }, L j = {l j1, l j2,, l jν } за 1 j n, H = {H 1, H 2,, H g,, H f }, H g = {h g1, h g2,, h gg } за 1 g μ и за 1 i m, 1 j n, 1 g μ, 1 d I, 1 ν, 1 c G : a kid,l j,h X Обобщените агрегиращи операции върху A имат следния вид: ( ) α (K,Ki)-агрегация агрегация по индекс K i от измерение K H g L 1 L n K 1 a K1,L 1,H g a K1,L n,h g α (K,Ki, )(A, K i0 ) = K i0 a ki,l 1,H g i 1 i i I i 1 i i I a ki,l n,h g, K m a Km,L 1,H g a Km,L n,h g където K i K и 1 i m Нека са дадени индексните множества K * K и K * = {K v1,, 9

12 K vx, K vt }, 1 v x m за 1 x t Нека са дадени V * = {K v10,, K vx0,, K vt0 }, K vx0 / K за 1 x t В този случай е дефинирана: ( ) α (K,K*)-агрегация α (K,K*, )(A, V * ) = α (K,K*, )(A, K v10,, K vx0,, K vp0 ) = α (K,KVt, )(( α (K,Kv1, )(A, K v10 ) ), K vt0 ) С операцията транспониранe се дефинират: {( ) α (L,Lj)},{( ) α (H,Hg)}-агрегации Дефинирани са нови агрегиращи операции: α ( K,Ki, L,L j, ), α ( K,Ki, H,H g, ) и α ( L,Lj, H,H g, ) По подобен начин са дефинирани {( ) α ( K,K*, L,L * )} {( ) α ( K,Ki, H,H g )}, {( ) α ( L,Lj, H,H g )}-агрегации и те са обобщени За всяка 3D-EIM A, дефинирана в тази част е формулирана и доказана следната теорема: Теорема 1 1 α (K, ) (pr Ki,L,HA, K i0 ) = pr ki0,l,h(α (K,Ki, )(A, K i0 )) 2 α (L, ) (pr K,Lj,HA, L j0 ) = pr K,Lj0,H(α (L,Lj, )(A, L j0 )) 3 α (H, ) (pr K,L,Hg A, H g0 ) = pr K,L,Hg0 (α (H,Hg, )(A, H g0 )) 4 α (K,L, ) (pr Ki,L j,ha, K i0, L j0 ) = pr Ki0,L j0,h(α ( K,Ki, L,L j, )(A, K i0, L j0 )) 5 α (K,H, ) (pr Ki,L,H g A, K i0, H g0 ) = pr Ki0,L,H g0 (α ( K,Ki, H,H g, )(A, K i0, H g0 )) 6 α (L,H, ) (pr K,Lj,H g A, L j0, H g0 ) = pr K,Lj0,H g0 (α ( L,Lj, H,H g, )(A, L j0, H g0 )) Йерархически оператори Tри йерархични оператори са дефинирани от Атанасов върху 2D-EIMs, когато техните елементи не са само числа, променливи и др, но могат да бъдат и цели IM Те са обобщени върху 3D- EIMs в дисертацията Дефиницията на третия оператор е: нека A = [K, L, H, {a ki,l j,h g }] е 3D-EIM и нека неин елемент a kx,l y,h z е също IM: a kx,l y,h z = [P, Q, O{ pr,q s,o e }], където K P = L Q = H O = Нека е дадена A = [K, L, H, {a ki,l j,h g }], K = {k 1, k 2,, k m }, L = {l 1, l 2,, l n }, H = {h 1, h 2,, h f } и за 1 i m, 1 j n и 1 g μ : a ki,l j,h g X и всеки неин елемент a ki,l j,h g е IM: a ki,l j,h g = [P ki,l j,h g, Q ki,l j,h g, W ki,l j,h g, { ki,l j,h g,p u,q v,w π }], за 1 i m, 1 j n, 1 g μ, 1 u U i,j,g, 1 v V i,j,g, 1 π Π i,j,g и P ki,l j,h g = {p ki,l j,h g,1,, p ki,l j,h g,u i,j,g }, Q ki,l j,h g = {q ki,l j,h g,1,, q ki,l j,h g,v i,j,g }, W ki,l j,h g = {w ki,l j,h g,1,, w ki,l j,h g,π i,j,g }, K P ki,l j,h g = L Q ki,l j,h g = H W ki,l j,h g = и за всеки шест индекси {k i, k x } K, {l j, l y } L и {h g, h z } H : P ki,l j,h g Q ki,l j,h g P kx,l y,h z Q kx,l y,h z =, те няма двойки индекси от две различни IM на дадената ЕIM A, където е стандартното декартово про- 10

13 изведение В този случай, ако има два или повече p индекса на A *, които съвпадат, всички членове на първото измерение с тези индекси са написани на съответните места в първото измерение със съвпадащи индекси Ако има два или повече q индекса на A *, които съвпадат, всички членове на второто измерение с тези индекси са написани на съответните места в първото измерение със съвпадащи индекси В този случай, ако има два или повече w индекса на A *, които съвпадат, всички членове на третото измерение с тези индекси са написани на съответните места в първото измерение със съвпадащи индекси Матрицата се допълва с нули, ако индексното множество по едното измерение на подматрицата е по-късо/дълго от това на друга подматрица 22 3D-MLEIM 221 Дефиниция Дефиницията на 3D-MLEIM A с P -нива (слоя) по измерение K, Q-нива(слоя) по измерение L и R-нива (слоя) по измерение H е: A = [K, L, H, {a (p) K }] = i,l (q) d j,h (r) H g (R) H L (Q) 1 L (Q) n K (P ) 1 a (P ) K a 1,L (Q) 1,H g (R) (P ) K 1,L (Q) n,h g (R) K (P ) i a (P ) K a i,l (Q) 1,H g (R) (P ) K i,l (Q) n,h g (R) K m (P ) a (P ) K a m,l (Q) 1,H g (R) (P ) K m,l (Q) n,h g (R) където K { = {K (P ) 1, K (P ) 2,, K (P ) i,, K m (P ) }, } K (P ) (P 1) (P 1) (P 1) (P 1) i = K i 1, K i 2,, K i x,, K i I за 1 i m { } K u (1) = K u (0) 1, K u (0) 2,, K u (0) U те p тия слой на { измерение K на многослойната } матрица се представя чрез K u (p) * =, K (p 1),, K (p 1) за 1 p P L = {L (Q) 1, L (Q) L (Q) j L (1) v = K (p 1) u *1 u *2 u *U* 2,, L (Q) j,, L (Q) n }, = {L (Q 1) j 1, L (Q 1) j 2,, L (Q 1) j y,, L (Q 1) j ν } за 1 j n { L (0) v 1, L (0) v 2,, l (0) v V } 11

14 те q ия слой на { измерение Q на многослойната } матрица е представен чрез L (q) v * =, L (q 1),, L (q 1) за 1 q Q a K (p) i d,l (q) j,h (r) L (q 1) v *1 v *2 H = {H (R) 1, H (R) 2,, H g (R),, H μ (R) }, H g (R) = {H { g (R 1) 1, H g (R 1) 2,, H g (R 1) } z,, H g (R 1) G } за 1 g μ H w (1) = H w (0) 1, H w (0) 2,, H w (0) W те r ия слой на измерение { H на многослойната } матрица е представен чрез H w (r) * = H w (r 1) *1, H w (r 1) *2,, H w (r 1) *W* за 1 r R и (K, L, H I * ), и за 1 i I, 1 j ν, 1 g G, 1 p P, 1 q Q, 1 r R, 1 d I, 1 ν, 1 c G : X, K (p) i 0 / K, L (q) j 0 / L и H g (r) 0 / H 222 Операции върху 3D-MLEIM Проекция Нека е дадена 3D-MLEIM A = [K, L, H, {a (p) K }] Същността на операцията проекция върху матрицата A се изразява в i,l (q) d j,h (r) следното: pr (P ) (K i, p-слой),(l (Q) j, q-слой),(h g (R),r-слой) A = [(K (P ) i K (p), p-слой ), (L (Q) j i d (K (P ) i, p-слой), L (q) j (p) K i,l (q) d j,h (r) = a K (p) i d,l (q) v *V*, q-слой ), (H (R) g j,h (r), r-слой ), { K (p) i d,l (q) j,h (r) }], (L (Q) j, q-слой ) и H g (r) c (H g (R), r-слой ), K (P ) i K, 1 p P, L (Q) j L, 1 q Q и H g (R) H, 1 r R и е обобщена тази операция Обобщени агрегиращи операции Нека A е 3D-MLEIM със P -нива (слоя) на измерението K, Q-нива (слоя) на измерението L и R-нива (слоя) на измерението H Дефинирана е обобщената агрегираща операция, която представя агрегация на p ия слой на измерение K на матрицата A ( ) α (P ) (K,K i, p-слой) -агрегация Нека са дадени индексните множества K * K и K * = {K v (P ) 1,, K v (P ) x,, K v (P ) t }, V * = {K v (p) 10,, K v (p) x0,, K v (p) t0 } / K за 1 p P В този случай e дефинирана ( ) α (K,K*, p-слой) -агрегация Дефиницията на последната агрегираща операция може да бъде разширена по следния начин: нека K * K и K * = {K v (P ) 1,, K v (P ) x,, K v (P ) t }, V * = {K v (p1) 10,, K v (px) x0,, K v (pt) t0 } / K и P * = {p 1,, p x,, p t }, където 1 p x P за 1 x t Нека K * = P * = V * = t В този случай дефиницията на агрегиращата операция ( ) α (K,K*,P *)-агрегация е: 12

15 α (K,K*,P *, )(A, V * ) = α (K,K*,P *, )(A, K v (p1) 10 = α (P ) (K,K (A, K(p1) v 10 ) ), K v (pt) t0 ),, K v (px) x0,, K v (pt) t0 ) v t, ) (( α (K,K v (P ) 1, ) Чрез използването на операцията транспониране, аналогично може да се дефинират операциите: {( ) α (Q) (L,L j, q-слой), ( ) α (R) (H,H }-агрегация и те могат да бъдат разширени g, r-слой) Дефинирани са α (P ) ( K,K i, p-слой, L,L (Q) j, q-слой, ), α (P ) ( K,K i, p-слой, H,H g (R), r-слой, ) и α (Q) ( L,L j, q-слой, H,H g (R), r-слой, ) агрегация Йерархически оператори Всяка 3D-MLEIM A може да бъде представена като 3D-EIM, чиито елементи са многослойни матрици Следователно, нейният елемент a (P ) K i Тогава a (P ) K ia,l (Q) j,h g (R),L(Q) j,h (R) = [K (P ) i = [K (P ) i a, L (Q) j, H g (R), {a (P ) K, L (Q) j, H (R) ia g c, {a K (P 1),L(Q) j,h (R) iax }] е IM }],L (Q 1) j,h (R 1) y z (P 1) i ax = ) Вторият и третият йерархичен оператор е също IM, чиито елементи са също IMs, където K (P ) i K L (Q) j L (Q 1) j y = H g (R) H g (R 1) cz = Първият йерархичен оператор върху 3D-MLEIM A има формата: A (a (P ) K ia,l(q) j,h (R) могат да бъдат приложени и върху 3D-MLEIM A = [K, L, H, {a K (P ) i,l (Q) j,h g (R) }] Вторият йерархичен оператор може да бъде разширен върху 3D-MLEIM A като A * (a K (P ) ia,l(q) j,h (R) ; (p, q, r)) където 1 p P, 1 q Q, 1 r R Операторът ще бъде приложен последователно към нива P, P 1,, p на измерение K, Q, Q 1,, q на измерение Q и R, R 1,, r на измерение R Третият оператор може да бъде разширен като A * (p, q, r) където 1 p P, 1 q Q, 1 r R Този оператор ще бъде приложен последователно към нива P, P 1,, p от измерение K, Q, Q 1,, q oт измерение Q и R, R 1,, r от измерение R Операторът A * (0, 0, 0) ще развие матрицата A по всички измерения 23 Вътрешни (локални) операции с EIM Нека X, Y, Z, U са фиксирани множества Нека операциите * и да имат значението, посочено в предходния раздел 212 и са дефинирани така: * : X Y Z и : Z Z U Нека са дадени множеството X и индексното множество I *, дефинирани в глава 2 13

16 Зададени са 3D-EIMs A = [K, L, H, {a ki,l j,h g }], B = [P, Q, R, { pr,q s,ρ δ }] и C = [D, E, F, {c dx,e u,f z }] върху двете множества, където K = {k 1, k 2,, k m }, L = {l 1, l 2,, l n }, H = {h 1, h 2,, h f }, и за 1 i m, 1 j n, 1 g μ : a ki,l j,h g X ; P = {p 1, p 2,, p u }, Q = {q 1, q 2,, q v }, R = {ρ 1, ρ 2,, ρ w }, и за 1 r u, 1 s v, 1 δ w : pr,q s,ρ δ X ; D = {d 1, d 2,, d a }, E = {e 1, e 2,, e o }, F = {f 1, f 2,, f s }, и за 1 x a, 1 u o, 1 z s : c dx,e u,f z X Въведени са дефинициите на вътрешни операции с 3D-EIMs Вътрешно събиране и изваждане на елементи на EIMs Дефиницията на операцията вътрешно събиране/вътрешно изваждане между елементите a ki,l j,h g на A и pr,q s,ρ δ на B е следната: IO ( ) / ( ) ( k i, l j, h g, A, p r, q s, ρ δ, B ) = [ K, L, H, {c tu,v w,x y } ], където k i K, l j L, h g H; p r P, q s Q, ρ δ R, a tu,v w,x y, ако t u k i K, v w l j L c tu,v w,x y = a ki,l j,h g pr,q s,ρ δ, и x y h g H ако t u = k i K, v w = l j L, x y = h g H където в случай на вътрешно събиране ( ) {+,, max, min, average }, ако A, B 3D EIM R или A, B 3D EIM FE {max, min}, ако A, B 3D EIM {0,1} {,,, }, ако A, B 3D EIM P или A, B 3D EIM IFP В случай на вътрешно изваждане ( ) a ki,l j,h g pr,q s,ρ δ a ki,l j,h g pr,q s,ρ δ, ако A, B 3D EIM R или A, B 3D EIM FE = max(0, a ki,l j,h g pr,q s,ρ δ ), ако A, B 3D EIM {0,1} a ki,l j,h g pr,q s,ρ δ, ако A, B 3D EIM P или a ki,l j,h g pr,q s,ρ δ, или A, B 3D EIM IFP (21) Резултатът от тази операция е нова матрица [ K, L, H, {c tu,v w,x y } ], чиито елемент стоящ на позиция k i, l j, h g е a ki,l j,h g pr,q s,ρ δ, а останалите й елементи съвпадат с тези на A Дефинирана е подобна на тази операция, която записва резултантната стойност a ki,l j,h g pr,q s,ρ δ като елемент с индекс k i, l j, h g на трета матрица C, както следва: 14

17 CIO ( ) / ( ) ( d m, e k, f s, C, k i, l j, h g, A, p r, q s, ρ δ, B ) = [ D, E, F, {c tu,v w,x y } ], където k i K, l j L, h g H; p r P, q s Q, ρ δ R; d m D, e k E, f s F и има същия смисъл като (21) Нека V = { k 1, l 1, h 1, k 2, l 2, h 2,, k ν, l ν, h ν }, където {k 1, k 2,, k ν } K, {l 1, l 2,, l ν } L, {h 1, h 2,, h ν } H; p r P, q s Q, ρ δ R Нека V 1 = { p 1, q 1, ρ 1, p 2, q 2, ρ 2,, p ν, q ν, r ν }, където {p 1, p 2,, p ν } P, {q 1, q 2,, q ν } Q, {ρ 1, ρ 2,, ρ ν } R Нека V 2 = { d 1, e 1, f 1, d 2, e 2, f 2,, d ν, e ν, f ν }, където {d 1, d 2,, d ν } D, {e 1, e 2,, e ν } E, {f 1, f 2,, f ν } F ; d m D, e k E, f s F и нека V = V 1 = V 2 = ν (22) Дефинираните операции са обобщени чрез следните операции на вътрешно събиране и изваждане: IO ( ) / ( ) ( V, A, p r, q s, ρ δ, B ); IO ( ) / ( ) ( V, A, V 1, B ) = [ K, L, H, {c tu,v w,x y } ], където V и V 1 са дефинирани в (22), V = V 1 = ν; IO ( ) / ( ) ( V, A, V 1, B ) ; IO ( ) / ( ) ( k i, l j, h g, A, V 1, B ) За V 1 = { p 1, q 1, ρ 1, p 2, q 2, ρ 2,, p u, q v, ρ w }, където {p 1, p 2,, p m } = P, {q 1, q 2,, q v } = Q, {ρ 1, ρ 2,, ρ w } = R, тази операция може да бъде записана по следния начин: GIO ( ) / ( ) ( k i, l j, h g, A, B ) и нейното действие се изразява в това, че прибавя/изважда към елемента a ki,l j,h g всички елементи на матрицата B посредством операция За V = { k 1, l 1, h 1, k 2, l 2, h 2,, k m, l n, h f }, където {k 1, k 2,, k m } = K, {l 1, l 2,, l n } = L, {h 1, h 2,, h f } = H е дефинирана глобалната операция: GIO ( ) / ( ) ( A, p r, q s, ρ δ, B ) и тя се прилага към всички елементи на матрицата A За K = P = m, L = Q = n, H = R = μ е дефинирана операцията: GIO ( ) / ( ) (A, B) = IO ( ) / ( ) ( V, A, V 1, B ) Резултатът от операцията се записва в матрицата A, към чиито елементи са прибавени посредством операцията съответните елементи на матрицата B Дефинирана е обобщена агрегираща операция: AGIO ( ) / ( ) (A) Тази операция агрегира матрицата към един елемент, който е операция на всички нейни елементи е дефинирана в (21), в зависимост от операциите { ; } Подобни на предходните операции, които записват резултатът от действието им като елементи на трета матрица C са дефинирани Вътрешно умножение с константа α IO *,α ( k i, l j, h g, A ) = [ K, L, H, {c tu,v w,x y } ] за k i K, l j L, h g H 15

18 { atu,v c tu,v w,x y = w,x y, if t u k i K, v w l j L и x y h g H αa ki,l j,h g if t u = k i K, v w = l j L, x y = h g H, където α е константа и * е математическата операция умножение Ако X = R или X = F 1, тогава α R; ако X = {0, 1}, тогава α {0, 1}; когато X е множество от логически променливи, предположения, предикати или IFPs, тогава α има смисъл само, когато е операция отрицание Тази операция също е обобщена Сравнение на компонентите на матриците и относително събиране (изваждане) Вътрешно сравнение на компонентите на матриците Нека Φ е оценяваща функция Φ : X R, такава че тя съвпада със самия елемент, ако X = R Ако матрицата принадлежи на 3D EIM p, в този случай Φ е функция, която оценява истинностната стойност на логически променливи, предположения или предикати Нека Ω {min, max} и A, B и C са 3D EIMs, дефинирани по-горе [ Дефинирани са операциите: IO Ω ( k i, l j, h g, A, p r, q s, ρ δ, B ) = K, L, H, {ctu,v w,x y } ], k i K, l j L, h g H; p r P, q s Q, ρ δ R a tu,v w,x y, ако t u k i K, v w l j L, x y h g H a ki,l j,h g, ако t u = k i K, v w = l j L, x y = h g H c tu,v w,x y = и a ki,l j,h g = Ω(Φ(a ki,l j,h g ), Φ( pr,q s,ρ δ )) pr,q s,ρ δ, ако t u = k i K, v w = l j L, x y = h g H и pr,q s,ρ δ = Ω(Φ(a ki,l j,h g ), Φ( pr,q s,ρ δ )) Резултатът от тази операция е нова матрица [ K, L, H, {c tu,v w,x y } ], чийто елемент стоящ на позиция k i, l j, h g е по-големия (по-малкия) измежду елементите Φ(a ki,l j,h g ) и Φ( pr,q s,ρ δ ) съответно на матриците A и B в съответствие с Ω Подобна операция на предходната, която записва резултата от действието като елемент на трета матрица C, е дефиниранa: CIO Ω ( d m, e k, f s, C, k i, l j, h g, A, p r, q s, ρ δ, B ) = [ D, E, F, { } ] c tu,v w,x y, където ki K, l j L, h g H; p r P, q s Q, ρ δ R; d m D, e k E, f s F Относително събиране и изваждане Дефинирана е следната операция: IO Ω, ( ) / ( ) ( k i, l j, h g, A, p r, q s, ρ δ, B ) = [ K, L, H, {c tu,v w,x y } ] за k i K, l j L, h g H; p r P, q s Q, ρ δ R и 16

19 c tu,v w,x y = a tu,v w,x y, ако t u k i K, v w l j L и x y h g H pr,q s,ρ δ a ki,l j,h g, ако t u = k i K, v w = l j L, x y = h g H, Ω = min, a ki,l j,h g =Ω(Φ(a ki,l j,h g ), Φ( pr,q s,ρ δ )) ако t u = k i K, v w = l j L, x y = h g H, Ω = max, pr,q s,ρ δ =Ω(Φ(a ki,l j,h g ), Φ( pr,q s,ρ δ )), a ki,l j,h g pr,q s,ρ δ, ако t u = k i K, v w = l j L, x y = h g H, Ω = min, pr,q s,ρ δ =Ω(Φ(a ki,l j,h g ), Φ( pr,q s,ρ δ )) ако t u = k i K, v w = l j L, x y = h g H, Ω = max, a ki,l j,h g =Ω(Φ(a ki,l j,h g ), Φ( pr,q s,ρ δ )) където α β има същото значение като това в точка 212 Действието на операцията IO Ω,( ) се изразява в: сравняват се Φ(a ki,l j,h g ) и Φ( pr,q s,ρ δ ), и от по-големия елемент се изважда помалкия Тази операция се използва за решаване на задачи на линейното програмиране с апарата на индексираните матрици Дефинирана е подобна на тази операция, която записва резултантните стойности като стойности на елементи на трета матрица C Обобщени вътрешно сравнение и относително събиране и изваждане Операциите Вътрешно сравнение и Относително събиране и изваждане са обобщени чрез следните операции: IO Ω{, ( ) / ( ) }( V, A, p r, q s, ρ δ, B ) = [ K, L, H, {c tu,v w,x y } ], където V е дефинирано в (22), k i K, l j L, h g H; p r P, q s Q, ρ δ R; IO Ω{, ( ) / ( ) }( k i, l j, h g, A, V 1, B ) = [ K, L, H, {c tu,v w,x y } ], V 1 е дефинирано с (22), k i K, l j L, h g H; p r P, q s Q, ρ δ R; IO Ω{, ( ) / ( ) } ( V, A, V 1, B ) = [ K, L, H, { } ] c tu,v w,x y, където ( ) / ( ) има същото значение като в т 23, a V и V 1 са дефинирани в (22) Дефинирани са операции, аналогични на предходните, но записващи резултата като стойности на елементи на трета матрица Дефинирана е глобалната операция GCIO Ω{, ( ) / ( ) } (C, A, B) = [ { } ] D, E, F, ctu,v w,x y Индекс Нека A, B са 3D-EIMs, дефинирани по-горе Дефинирана е следната { операция: Index Ω ( k i, l j, h g, A, p r, q s, ρ δ, B ) ki, l = j, h g, A, ако a ki,l j,h g = Ω(Φ(a ki,l j,h g ), Φ( pr,q s,ρ δ )) p r, q s, ρ δ, B, ако pr,q s,ρ δ = Ω(Φ(a ki,l j,h g ), Φ( pr,q s,ρ δ )), където k i K, l j L, h g H; p r P, q s Q, ρ δ R Операцията извежда индекса на по-големия/по-малкия елемент между двата елемента a ki,l j,h g A и pr,q s,ρ δ B в съответствие с Ω Дефинирани са обобщения на тази операция С цел представяне 17

20 на алгоритъма за намиране на оптимално решение на транспортната задача чрез апарата на IMs са дефинирани операциите: Index Ω,αK,( /+/0)(A) = { k u1, l v1, h w1,, k ui, l vi, h wi,, k um, l vm, h wm }, където k ui, l vi, h wi е индекса на минималния или максималния {отрицателен/положителен/ различен от 0} елемент a ki,l j,h g на k i -ия ред на измерение K Index Ω,αL,( /+/0)(A) = { k u1, l v1, h w1,, k ui, l vi, h wi,, k um, l vm, h wm }, където k ui, l vi, h wi е индекса на минималния или максималния {отрицателен/положителен/ различен от 0} елемент a ki,l j,h g на l j -та колона на измерение L Index Ω,αH,( /+/0)(A) = { k u1, l v1, h w1,, k ui, l vi, h wi,, k um, l vm, h wm }, където k ui, l vi, h wi индекса на минималния или максималния {отрицателен/положителен/ различен от 0} елемент a ki,l j,h g на h g -та колона на измерение H Index / /(+)/( )/(0) (A) = { k u1, l v1, h w1,, k ui, l vi, h wi,, k um, l vm, h wm }, където k ui, l vi, h wi (за 1 i m) е индекса на елемента на матрицата A, чиято клетка е празна/пълна/има положителна или отрицателна, или нулева стойност Дефинирани са агрегиращи операции върху елементите на матрицата A: AGIndex Ω (A) = k i, l j, h g, която намира индекса на минималния или максималния елемент на A в съответствие с операцията Ω; AGIndex Ω,( /+/0) (A) = k i, l j, h g, която намира индекса на минималния или максималния отрицателен/положителен/ различен от 0 елемент на A в съответствие с операцията Ω 24 Релации върху 3D-EIMs Нека Φ : X R е оценяваща функция, която съвпада с числото, ако X = R Нека променливата x заема стойности от множеството X (X е множество от реални числа) и нека a X е произволна стойност на x Нека са дадени две 3D-EIMs A = [K, L, H, {a k,l,h }] и B = [P, Q, R, { p,q,e }] Дефинирани са следните релации върху тези две IMs: строга/нестрога релация включване относно измерение ; строга/нестрога релация включване относно стойност и строга/нестрога релация включване За яснота на изложението е представена дефиницията на нестрогата релация включване относно стойност : A v B, ако (K = P ) & (L = Q) & (H = R) & ( k K)( l L) ( h H) (Φ(a k,l,h ) Φ( k,l,h )) (В случай, че A 3D EIM FE последният член на горния израз е: ( a X )f k,l,h (a) g k,l,h (a)) 18

21 25 Свързаност между агрегиращите и вътрешните операции с 3D-EIMs Нека индексните множества I * и X са фиксирани и е дадена 3D-EIM A = [K, L, H, {a ki,l j,h g }], (K, L, H I * ), {a ki,l j,h g } X и нека k 0 / K, l 0 / L, h 0 / H Нека { } : X X X и {+,, max, min, average }, ако A, B 3D EIM R или A, B 3D EIM FE {max, min}, ако A, B 3D EIM {0,1} {,,, }, или A, B {3D EIM P или 3D EIM IFP } Формулирани са следните свойства, които могат да се докажат чрез индукция и дефинициите на операциите, дадени в раздел 23: 251( ( ( IO ( ) ( k i, l j, h g, A, k r, l j, h g, A ) ) ) ) 1 r m r i 1 j n еквивалентна е на резултата от операцията α (K, ) (A, k o ); ) ) 1 g μ 252( ( ( IO ( ) ( k i, l j, h g, A, k i, l s, h g, A ) ) 1 s n s j 1 i m еквивалентна е на резултата от операцията α (L, ) (A, l o ); ) ) 1 g μ 253( ( ( IO ( ) ( k i, l j, h g, A, k i, l j, h u, A ) ) 1 u μ u g 1 j n еквивалентна е на резултата от операцията α (H, ) (A, h o ); 254AGIO ( ) (A) = AGIO ( ) (α (K, ) (A, k o )) = AGIO ( ) (α (L, ) (A, l o )) = AGIO (α (H, ) (A, h o )) 1 i m 26 Свойства на операциите върху 3D-EIMs Свойства на агрегиращите операции Нека индексните множества I * и X са фиксирани и нека са дадени 3D-EIMs A = [ K, L, H, {a ki,l j,h g } ], B = [P, Q, R, { pr,q s,ρ δ }] и C = [D, E, F, {c dx,e u,f z }] върху двете множества t / {K, L, H, P, Q, R, D, E, F } Нека за краткост с α се бележи произволна агрегираща операция α (K, ), α (L, ),α (H, ), α (K,L, ), α (K,H, ) или α (L,H, ) Формулирана е и доказана следната теорема: Теорема 2 1α max (A ( ) B, t) v α max (A, t) ( ) α max (B, t); 2α min (A ( ) B, t) v α min (A, t) ( ) α min (B, t); 3α sum (A ( ) B, t) = α sum (A, t) ( ) α sum (B, t); 19

22 4α av (A ( ) B, t) α av (A, t) ( ) α av (B, t); 5α max (A ( ) B, t) v α max (A, t) ( ) α max (B, t); 6α min (A ( ) B, t) v α min (A, t) ( ) α min (B, t); 7α sum (A ( ) B, t) v α sum (A, t) ( ) α sum (B, t); 8α av (A ( ) B, t) α av (A, t) ( ) α av (B, t); 9α sum (A ( ) B, t) v α sum (A, t) ( ) α sum (B, t); 10α av (A ( ) B, t) v α av (A, t) ( ) α av (B, t); 11α max (A ( ) B, t) v α max (A, t) ( ) α max (B, t) ако елементите на A и B са реални числа 1 ; v α max (A, t) ( ) α max (B, t) ако елементите на A и B са реални числа [0, 1] 12α min (A ( ) B, t) v α min (A, t) ( ) α min (B, t) ако елементите на A и B са реални числа 1 v α min (A, t) ( ) α min (B, t) ако елементите на A и B са реални числа [0, 1] Свойства на вътрешните операции Формулирана е и доказана следната Теорема 3 1 αio ( ) / ( ) (V, A, p r, q s, ρ δ, B ) = IO ( ) / ( ) ( V, A, p r, q s, ρ δ, B ) α = ( V, αa, p r, q s, ρ δ, B) където α е дефиниран в раздел 32 2 IO ( ) / ( ) ( V, A, p r, q s, ρ δ, B) ( ) IO ( ) / ( ) ( V 1, B, k i, l j, h g, A) = IO ( ) / ( ) ( V 1, B, k i, l j, h g, A) ( ) IO ( ) / ( ) ( V, A, p r, q s, ρ δ, B) 3 IO ( ) / ( ) ( V, A B, p r, q s, ρ δ, B) = IO ( ) / ( ) ( V, B A, p r, q s, ρ δ, B ) 4 IO ( ) / ( ) ( V, A B, p r, q s, ρ δ, B) = IO ( ) / ( ) ( V, B A, p r, q s, ρ δ, B ) 5 αagio ( ) / ( ) (A) = AGIO ( ) / ( ) (A) α = AGIO ( ) / ( ) (αa) При изпълнението на тази операция, ако X = R или X = F 1, тогава α R; ако X ={0, 1}, тогава α {0, 1}; когато X е множество от логически променливи, предположения, предикати или IFPs, тогава α има значение на операция отрицание 6 AGIO ( ) (A ( ) B, t) v AGIO ( ) (A, t) ( ) AGIO ( ) (B, t) за всички случаи на AGIO ( ), {+,, max, min, average}, ако A, B 3D EIM R или A, B 3D EIM FE; {max, min}, ако A, B 3D EIM {0,1} ; {,,, }, ако A, B 3D EIM P или A, B 3D EIM IFP} 20

23 с изключение, когато е min 7 AGIO (min) (A (( )) B, i) v AGIO (min) (A, t) ( ) AGIO (min) (B, t) 8 AGIO ( ) (A ( ) B, t) v AGIO ( ) (A, t) ( ) AGIO ( ) (B, t) за всички случаи на AGIO ( ) с изключение на min 9 AGIO (min) (A ( ) B, t) v AGIO (min) (A, t) ( ) AGIO (min) (B, t) ( 10 AGIO (sum) A ( ) B ) v AGIO (sum) (A) ( ) AGIO (sum) (B) ( 11 AGIO (max) A ( ) B ) v AGIO (max) (A) ( ) AGIO (max) (B) ако елементите на A и B са реални числа 1 v AGIO (max) (A) ( ) AGIO (max) (B) ако елементите на A и B са реални числа [0, 1] ( 12 AGIO (min) A ( ) B ) v AGIO (min) (A) ( ) AGIO (min) (B) ако елементите на A и B са реални числа 1 v AGIO (min) (A) ( ) AGIO (min) (B) ако елементите на A и B са реални числа [0, 1] Изводи Дефинирани са нови разширения на 3D-IMs: EIM и MLEIM, въведени са операции и релации с тях Направени са обобщения на агрегиращите операции и йерархическите оператори върху тези два вида IMs За първи път са дефинирани вътрешни операции за поелементни действия с IMs: вътрешно събиране и изваждане, вътрешно умножение с константа, вътрешно сравнение, относително събиране/изваждане и индекс Посочените операции са определени и в обобщен вид Формулирани са и доказани теореми за връзката между агрегиращите операции и вътрешните операции, както и за свойствата на агрегиращите операции Дефинираните разширения на 3D-IMs са средство за моделиране на обобщени типове двумерни и многомерни транспортни задачи и за OLAP-кубове Обобщените операции на проекцията, на агрегиращите и йерархичните операции дават възможност за моделиране на основните операции в OLAP-куб Въведените вътрешни операции между елементите на 3D-EIM вътрешно събиране и изваждане, относително събиране/изваждане и индекс са инструмент за описание на алгоритмите за намиране на оптимално решение на обобщени транспортни видове задачи 21

24 Глава 3 Индексираноматрични интерпретации на транспортната задача Класическата транспортна задача е оригинално развита от Хитчкок през 1941 г Първият метод за решаване на транспортната задача, ( метод на потенциалите ) Канторович развива през 1949г 31 Индексираноматрични интерпретации на транспортната задача Формулирана е транспортната задача (31): Продукт е произвеждан от m производители ({k 1,, k i,, k m }), съответно в количества c ki,r и единична цена c ki,pu (за 1 i m) n-потребителя ({l 1,, l j,, l n }) имат необходимост от продукта в съответно в количество c Q,lj (за 1 j n)c t k i,l j е цената за транспортиране на една единица от продукта от k i -ия производител до l j -ия потребител; c ki,l j да е общата цена за транспортиране на единица продукт, включваща производствената цена и тази а за траспортиране от k i -тия производител до l j -ия потребител; x ki,l j количеството продукт, транспортиран от k i -ия производител to l j -th потребител minimize m n c ki,l j x ki,l j = m n (c t k i,l j + c ki,pu)x ki,l j i=1 j=1 i=1 j=1 n m = c ki,r, i = 1, 2,, m; = c Q,lj, j = 1, 2,, n; x ki,l j j=1 x ki,l j i=1 x ki,l j 0, за 1 i m, 1 j n 32 Решение на транспортната задача чрез IMs Дефинирани са следните IM R : l 1 l j l n R pu k 1 c k1,l 1 c k1,l j c k1,l n c k1,r c k1,pu C[K, L] = k m c km,l 1 c km,l j c km,l n c km,r c km,pu Q c Q,l1 c Q,lj c Q,ln c Q,R c Q,pu където K ={k 1, k 2,, k m, Q}, L={l 1, l 2,, l n, R, pu} и за, 22

25 1 i m, 1 j n, {c ki,l j, c ki,r, c Q,lj, c ki,pu} са неотрицателни числа и c ki,l j = (c t k i,l j + c ki,pu) l 1 l j l n R k 1 x k1,l 1 x k1,l j x k1,l n x k1,r X[K, L] =, където k m x km,l 1 x km,l j x km,l n x km,r Q x Q,l1 x Q,lj x Q,ln x Q,R K ={k 1, k 2,, k m, Q}, L={l 1, l 2,, l n, R}, и за 1 i m, 1 j n: x ki,l j R В началото на алгоритъма се изпълнява операцията x ki,l j = ( k i K, l j L), където с означаваме празна клетка Заменя се C = C (,pu) Дефинирана е IM R S = [K, L, {s ki,l j }]такава, че S = C те (s ki,l j = c ki,l j k i K, l j L) Разгледан е методът на потенциалите за решаване на транспортната задача, през призмата на IMs В началото на алгоритъма, в Стъпка 1 са дефинирани действия за балансиране на транспортната задача След това алгоритъмът продължава със: Стъпка 2: Прилагат се методите на северозападния ъгъл, на минималните цени или на Фогел за намиране на начално решение Метод на северозападния ъгъл: Стъпка 21 Избира се северозападният ъгъл на матрицата S s ki,l j и се намира минимума между s ki,r и s Q,lj Стъпка 22 Дефинират се 2D IM R, както следва: S 1 [k i, R] = pr ki,rs и S 2 [Q, l j ] = pr Q,lj S ] (S 2 ) (те min(s ki,r, s Q,lj ) = s ki,r), тогава [ k Ако S 1 i v l j ; R Q локализираме в матрицата X: x ki,l j = s ki,r ] S 1 Игнорира Матрицата X се заменя с: X := X (+) [ ; lj R се k i -ия ред от матрицата S и се получава нова матрица с размерности (m) (n + 1) Конструира се 2D IM R S 3, както [ ] следва: S 3 [Q, l j ] = S 2 Q (+) R ; lj k i (S 1 ) Новата матрица от цените S се заменя чрез изпълнение на операцията матрично събиране с: S := S (+) S 3, изпълнява се стъпка 3 ] (S 2 ) (те min(s ki,r, s Q,lj ) = s Q,lj ), то- = s Q,lj IM X се [ k Ако S 1 i v l j ; R Q гава локализираме в матрицата X: x ki,l j променя с: X := X (+) [ k i Q ; ] S 2 Игнорираме l j -та колона от матрицата S и се получава нова матрица с размерности 23

26 (m+1) (n) За реализация на операцията s ki,r = s ki,r s Q,lj в матрицата S, се конструира ] 2D IM R S 3, както следва: (S 2 ) и новата матрица от цени S се S 3 [k i, R] = S 1 (+) [ k i l j ; R Q получава чрез прилагането на операция матрично събиране : S := S (+) S 3, изпълнява се стъпка 3 Стъпка 3: Повтаря се стъпка 2 за получената матрица S, докато матрицата се редуцира в матрица с размерности S[{Q}, {R}] Стъпка 4: Началното решение и началната транспортна цена са: x ki,l j X ({Q},{R}) and AGIO (+) ( C({Q},{R}) ( ) X ({Q},{R}) ) Стъпка 5: Инициализира се 2D IM R S = [K, L, s ki,l j ]: (s ki,l j = c ki,l j k i K, l j L) Ако транспортната задача е дегенерирана(изродена) ( ( ) ) Index X(Q,R) < (m + n 1), тогава се допълват базовите клетки x ki,l j с още една, в която се записва доставно количество 0 С X означаваме мощността на X Стъпка 6: Дефинират се 2D IM R S 4 и S 5, както следва, за да се реализира s ki,r = s Q,lj = 0: S 4 [K, R] = pr K,R S, S 5 [Q, L] = pr Q,L S; S := S (+) S 4, S := S (+) S 5 Клетките s ki,r и s Q,lj съответстват на всеки k i -ти ред и l j -та колона на матрицата S Стъпка 7: За базисните клетки на матрицата X (Q,R) се намират техните съответни в матрицата S и се изчислява: s ki,r + s Q,lj = s ki,l j Това определя стойностите на всички s ki,r и s Q,lj на матрицата S Изпълняват се следните операции: Стъпка 71 Index (X (Q,R) ) = { k i1, l j1, k i2, l j2,, k iφ, l jφ }; Ако транспортната задача е изродена ( ( ) ) Index X(Q,R) < (m+n 1), тогава се допълват базисните клетки x ki,l j с още една, в която се записва доставно количество 0 Стъпка 72 За индексната двойка k i1, l j1 се конструират 2D IM R S 6, S 7, както следва: S 6 = [k i1, R, {s ki1,r = 0}]; IMs S се променя на ] S := S (+) S 6 ; S 7 = pr ki1,l j1 S (+) [ ; lj 1 R (pr ki1,rs); S се променя на S := S Q [ ] (+) k i1 ; S 7 Изпълнява се стъпка 72 със следващите двойки, на които първият индекс е k i1 Стъпка 73: Продължаваме с индексните двойки, на която [ първият ] индекс ki2 е k i2 и се конструира S 7 = pr ki2,l j2 S (+) Q ; (pr Q,lj2 S) 24

27 Тогава матрицата S се заменя с S := S (+) [ ; R l j2 ] S 7 Повтаря се стъпка 73, докато свършат индексните двойки Стъпка 8: За небазисните двойки на матрицата X (за които x ki,l j = те са празни), се намират w ki,l j = s ki,l j (s ki,r + s Q,lj ) Стъпка 81 D = Index X (Q,R) = { k i*1, l j*1,, k i*f, l j*f,, k i*φ, l j*φ } Стъпка 82: Конструира се 2D-IM W [K/{Q}, L/{R}, {w ki,l j = 0}] : за всяка индексна ( ( [ двойка ] k i*f, l j*f ) D се ( [ изпълнява: ] ) ) ) W (+) ( pr ki,l j S ; lj k R pr ki,rs i (+) Q ; pr Q,lj S Ако I 0 v W (w ki,l j 0), където I 0 = [K/{Q}, L/{R}, {0}], тогава това е оптималното решение и се изпълнява стъпка 15, в противен случай се изпълнява стъпка 9 Стъпка 9: Изпълнява се операцията AGIndex min,( ) (W ) = k im, l jn (в матрицата W се избира най-малкото отрицателно число w ki,l j ) и нека съответстващата клетка в матрицата X е x kim,l jn Стъпка 10: Прави се цикъл в матрицата X, започвайки от x kim,l jn и движейки се хоризонтално и вертикално по най-близките клетки (за които x ki,l j > 0) при ограничение, че в цикъла се включват само базисни клетки (с изключение на x kim,l jn ) Забележка: Дефинция за цикъл: Последователност от клетки в транспортната таблица се нарича цикъл, ако начупената линия, формирана от отсечки е затворена и удовлетворява условията: всяка отсечка лежи изцяло в ред или стълб на таблицата; две отсечки, излизащи от един и същи връх, лежат едната в ред, другата в стълб на таблицата Стъпка 101: F = Index X (Q,R) = { k a1, l 1,, k ay, l z,, k aa, l B } Стъпка 102: Локализира се цикъл от клетки k ay, l z F в матрицата X (Q,R), започвайки от кетката x kim,l jn и движението се извършва по заети клетки, чиито адреси се получават чрез промяна само на първия или втория индекс на текущите клетки на цикъла Стъпка 103: Нека клетките от матрицата X, които са включени в цикъла имат индекси: { k imx, l jny, h g, k is2, l js2,, k isis, l jsjs } Стъпка 11: Конструира се матрица E = pr kis2,l js2 X (+) pr kis4,l js4 X (+) (+) pr kisis,l jsjs X 25

28 Стъпка 12: Изпълнява се: AGIndex min (E) = k u, l v Стъпка 13: Прибавя се и изважда алтернативно от всяка ъглова клетка на цикъла MS = (x ku,l v )За тази цел се изпълняват операции вътрешно събиране, както следва: IO (+) ( k is1, l js1, k is3, l js3,, X, k u, l v, X ), IO ( ) ( k is2, l js2, k is4, l js4,, X, k u, l v, X ) ; x ku,l v = Стъпка 14: Повтарят се стъпки 7-13 докато I 0 v W Стъпка 15: Полученото оптимално решение и общата оптимална цена са: X opt(q,r) [K, L, {x ki,l j }] и AGIO (+) ( C({Q},{R}) ( ) X opt({q},{r}) ) 33 Решения на транспортни типове задачи чрез IMs Транспортна задача с ценови ограничения на покупката на продукта: разгледана е транспортната задача (31) Допълнително ограничение е: c pl,lj, за 1 j n горна граница на цената, на която l j -ия потребител желае да закупува продукта Този клас транспортни задачи се решават чрез алгоритъма, дефиниран в раздел 32 чрез добавяне на условие за проверка [ преди ] включването k на x ki,l j в базиса на задачата: pr ki,l j C i v pl ; pr pl,lj C Транспортна задача с общи цени на доставка от производител до потребител: разгледана е транспортна задача (31) За да приложим алгоритъма в раздела 32, е необходимо [ за 1 i m, 1 j n, да се конструира IM C i,j = [ ; lj pu k i Q ; ] {pr Q,lj C} ] {pr ki,puc} и след това, се извършва C := C (+) C i,j Транспортна задача с предпочитания за закупуване на продукт от производител: разгледана е транспортната задача (31) Допълнителното ограничение към нея е: всеки потребител има предпочитание от кои производители иска да закупи продуктa Към алгоритъма в раздел 32 е необходимо да се конструира IM от предпочитания на потребителите P REF [K 1, L 1 ] В началото на алгоритъма на раздел 32 е необходимо да се изпълнят следните стъпки върху ценовата IM C: C := { C (Q,{R,pu}) P REF } Ако c ki,l j = 0, тогава: c ki,l j := (те празна клетка) или c ki,l j := M (M е голямо положително число, по-голямо от всички цени c ki,l j ) Двуетапна транспортна задача: разгледана е следната ситуация: Нека P е множество от производители, които продават 26

29 своя продукт на множество от дистрибутори D и множество от дистрибутори E, които продават своя продукт на множество от консуматори C Интересен случай е, когато D E, D E и E D Необходимо е да конструират две IMs A = [P, D, {a pr,q s }] и B = [E, C, { ki,l j }] в рамките на които се решава двуетапната транспортна задача След това се конструира IM Z = A (,*) B = [P (E D), C (D E), {z uv,w x }] с елементи, имащи горното значение В така формулирания проблем, част от дистрибуторите (елементи на D E) са в ролята на консуматори, а друга част (елементи на E D) ролята на производители Тримерна транспортна задача Първо, разгледана е транспортна задача, в която планирането на предлагането се разглежда във времето: Продукт е произведен от m производителя k 1,, k i,, k m в количества c ki,r,h g и единична цена c ki,pu,h g за 1 i m, 1 g f, съответно във времеви момент h g H е фиксирана времева скала и h g е неин елемент те времеви момент Нека n консуматори (потребителя) l 1,, l j,, l n търсят този продукт в количество c Q,lj,h g (за 1 j n, 1 g f) c t k i,l j,h g е цената за транспортиране на единица количество от продукта от k i -ия производител до l j -ия потребител и c ki,l j,h g е общата цена за транспортиране на единица количество от продукта, включваща единичната му цена и тази за транспортиране от k i -ия производител до l j -ия потребител във времевия момент h g Нека x ki,l j,h g е количеството от продукта във времевия момент h g, транспортиран от k i -ия производител до l j -ия потребител и нека T ki,l j е единиците продукт, транспортирани от k i -ия производител до l j -ия потребител за дефинирания времеви период Дефинирана е ценова 3D-IM с трето измерение - времето - за решаване този вид транспортни задачи Второ, може да се формулира нова задача, в която всеки един от m производителя произвеждат най-малко един продукт Нека i-ия производител произвежда множество от продукти P i = {P i,1,, P i,si } Нека P = Очевидно, p n s i i=1 m i=1 P i = {P 1,, P p } 27

30 34 Решения на някои видове транспортни задачи Дефинирани са транспортни видове задачи и са предложени алгоритми за намиране на тяхното решение чрез IMs: Алгоритъм за решение на транспортен вид задача с две ограничения:c pl,lj, за 1 j n горна граница на цената, на която l j -ия потребител желае да закупи продукта; всеки потребител има предпочитания от кой производител желае да закупи продукта; Алгоритъм за намиране на оптимално решение на тримерна транспортна задача с трето измерение времето; Алгоритъм за намиране на оптимално решение на oбобщена двуетапна транспортна задача Първият етап на задачата: Разглежда се транспортната задача с допълнително ограничение: горна граница на цената, на която всеки потребител желае да закупува продукта Втори етап от задачата: Част от потребителите се превръщат в прекупвачи и продават продукта с надценка на други потребители Някои от тях продават количества от продукта, който не е само от закупуване, но и от собствено производство или от запаси, други не желаят да продават в този момент Изводи Представен е методът на потенциалите за решаване на класическата транспортна задача чрез IMs Изложени са разширения на тази задача и алгоритми за намиране на оптималното решение на транспортни типове двумерни и тримерни задачи с апарата на IMs Въведените вътрешни операции между елементите на 3D-EIMs вътрешно събиране и изваждане, относително събиране/изваждане и индекс са използвани като средство за описание на алгоритмите за намиране на оптимално решение на обобщени транспортни видове задачи Очертаният подход за решаване на нови типове транспортни задачи има следните предимства: дефинираните алгоритми могат се приложат към транспортна задача с ясни параметри, както и към такава с размити или интуционистки размити параметри; дефинираните алгоритми могат да се разширят, за да намират оптималното решение на други типове двумерни или многомерни задачи 28