Конкурсен изпит за НПМГ Акад. Л. Чакалов За профил математика 7 юли 2006 година Време за работа 4 астрономически часа. Задача 1. Дадени са изразите A = x 2 810 502 4x 5 и B = ( 100) 251.3. 2006 а) Докажете, че A B за всяко x. б) Разложете A на множители. в) Намерете стойностите на x, за които A < 35 7x. Задача 2. В един камион има 1000 литра минерална вода в три вида бутилки: по 5, по 7 и по 10 литра. а) Покажете, че бутилките могат да се разпределят в два магазина така, че всеки магазин да получи по 500 литра вода. б) По колко бутилки има от всеки вид, ако общият им брой е 121, а броят на бутилките от 10 литра е най-голямото двуцифрено число, което дели числото 2006. Задача 3. Даден е четириъгълникът ABCD. Диагоналите AC и BD се пресичат в точка T, а продълженията на страните AB и BD в точка S. а) Докажете, че ако <) BAD =<) CDA =60 и <) DAC =<) BDC,то<) AT B =60, AC = BD и AB + CD = AD. б) Докажете, че ако N и M (N M) са средите съответно на AD и ST и <) ABD = <) ACD =90,тоNM BC.
Решения Задача 1. а) Опростяваме израза B: 810 502 502 (81.10) B = ( 100) 251 =.32006 (10 2 ) 251.3 = 2006 ( ) 3 4 502.10 502 = 10 2.251.3 2006 = 34.502 2006.10 502 10 502 = 3 2 = 9. Разглеждаме разликата A B: A B = ( x 2 4x 5 ) ( 9) = x 2 4x +4=(x 2) 2. Тъй като (x 2) 2 0 за всяко x, тоa B 0 A B за всяко x. б) Имаме A = x 2 4x 5=x 2 4x +4 9=(x 2) 2 3 2 = =[(x 2) 3] [(x 2) + 3] = (x 5) (x +1). в) Като използваме резултата от б), имаме A < 35 7x (x 5) (x +1) < 7 x 5. Очевидно числото 5 не е решение на неравенството. За всяко x, x 5е изпълнено x 5 > 0. Тогава (x 5) (x +1) < 7 x 5 x +1 < 7 I случай: Нека x< 1. Тогава x +1 < 7 (x +1)< 7 x<8 x> 8. В този случай решенията на неравенството са всички числа x, за които 8 <x< 1. II случай: Нека x 1, x 5. Тогава x +1 < 7 (x +1)< 7 x<6. Така в този случай решенията на неравенството са всички числа от множеството x ( 8 ; 5) (5 ; 6). Окончателно, като обединим двата случая, получаваме, че решение на даденото неравенства е всяко x ( 8 ; 5) (5 ; 6)
Задача 2. а) I случай: Нека в 5-литровите и 10-литровите бутилки има поне 500 литра. Ясно е тогава, че в първия магазин могат да се оставят точно 500 литра, налети само в такива бутилки. II случай: Нека в 5-литровите и 10-литровите бутилки има по-малко от 500 литра. Следователно в 7-литровите бутилки има не по-малко от 505 литра. Но 504 литра се събират в 72 бутилки, т.е. 7-литровите бутилки са най-малко 72. Тогава в първия магазин ще оставят седемдесет 7-литрови бутилки и една 10-литрова бутилка (7.70 + 10 = 500). б) Тъй като 2006 = 2.1003 = 2.17.59, то двуцифрените числа, които делят 2006 са 17, 34, 59. Това означава, че 10-литровите бутилки са 59, 5 и 7-литровите са общо 121 59 = 62 и в тях има общо 1000 590 = 410 литра. Нека броят на 5-литровите бутилки е x. Тогава броят на 7-литровите е 62 x. Оттук следва, че 5x +7(62 x) = 410 2x = 410 434 x =12. Така получихме, че броят на 5-литровите бутилки е 12, а на 7-литровите е 50. Задача 3. а) Нека <) DAC =<) BDC = α. ЪгълAT B е външен ъгъл за триъгълник AT D и следователно <) AT B =<) TAD+ <) ADT = α +(60 α) =60. Тъй като триъгълникът ASD е равнобедрен с ъгъл 60, то той е равностранен. Да разгледаме триъгълниците ACD и DBS: 1) <) DAC =<) BDS = α; 2) <) CDA =<) BSD =60 ; 3) AD = SD. Тогава ACD = DBS по втори признак за еднаквост на триъгълници AC = BD. От ACD = DBS следва, че CD = BS (като съответни елементи). Тъй като ADS е равностранен, то AD = AS = AB + BS = AB + CD. б) Разглеждаме правоъгълните триъгълници ABD и ACD. ТъйкатоN е среда на хипотенузата AD, тоbn = 1 AD = CN (медиана към хипотенузата в правоъгълен 2 триъгълник). Аналогично за правоъгълните триъгълници BST и CST имаме BM = 1 ST = CM. 2 С това показахме, че точките N и M са две точки от симетралата BC. Това означава, че NM BC.
Указание за оценяване на писмената работа Задача 1. а) 2 точки б) 1 точка в) 2 точки Задача 2. а) 4 точки б) 3 точки Задача 3. а) 3 точки б) 5 точки 1. При други верни решения всяко от подусловията на задачите получава общия брой на точките, указани при тези решения: Общо 23 точки. 2. За всяка техническа грешка се отнемат 0,25 т., а при логическа не по-малко 0,5 т. (дори при верни отговори). 3. Крайната оценка се получава по-формулата Оценка =0, 05 (3x +51), където x е броят на получените точки Всички работи, получили по-малко от 3 точки, получават оценка Слаб 2.