Лекця 7 7 Дефнця свойства на определен нтеграл Сум на Дарбу Определенят нтеграл е фундаментално средство в математката с разнообразн съдържателн прложеня Той се зползва за пресмятане на геометрчн фзчн велчн Интегрално делене на нтервала [ ] < се нарча сстемата от точк = { } за която = = < < < L < < = Даметър на деленето нарчаме чслото d( = m където = = Ако даметърът на деленето намалява то броят на точкте на деленето нараства Когато се казва че деленето следва деленето Да отбележм че за всек две деленя деленето 3 = U следва Нека функцята f ( :[ ] R е огранчена да положм m = if f ( = sup f ( Имаме m f ( пр което константте m за всяко [ ] са збран по оптмалня възможен начн Да положм m = if f = sup f [ ] ( [ ] ( Очевдно m m = да зберем по прозволен начн някакво чсло ξ Тогава сумте = От всек нтервал [ ] s( f = m S( f = = = се нарчат съответно долна горна сума на Дарбу за функцята f ( деленето а сумата r ( f = f ( ξ = образуван по се нарча нтегрална сума на Рман Интегралната сума на Рман завс от збора на междннте точк ξ = по начн който не е съществен за нейното зползване затова таз завсмост не е отбелязана в означенето Рс 7 Твърдене 7 Интегралнте сум мат следнте свойства За всяко делене е зпълнено m( s( f r( f S( f ( ; Ако то S ( f S( f s ( f s( f те с увелчаване броя на точкте на делене горнте сум намаляват (не нарастват а долнте сум се увелчават (не намаляват;
3 За всек две деленя е в сла неравенството s ( f S( f което означава че всяка долна сума не надвшава всяка горна сума Доказателство За всяко = маме m m ξ след умножаване с положтелното чсло = получаваме m m f ( ξ откъдето след сумране по всчк = получаваме m = = m = f ( ξ = което доказва серята от неравенства понеже = = = от което Ще докажем само неравенството S ( f S( f неравенство ( f s( f = U{} ξ Нека = f ( понеже другото s се доказва аналогчно Да предположм отначало че нека таз за някой ндекс sup деленето съдържа само една точка повече от деленето точка ξ е от нтервала ( = sup f ( От друга страна сумте S ( f ( f ξ ξ S се разлчават само над нтервала [ ] следователно S( f ( = ( ( ξ S f ( ξ Сумата в дясната страна няма да нарасне ако заменм ( ξ с ( ξ ( ξ с ( ξ понеже По тоз начн намраме S( f S( f ( ( ξ ( ξ = = [( ( ξ ( ξ ] = те S ( f S( f Да предположм сега че = U { ξ ξ } K ξ p Прлагайк последователно доказаното неравенство когато деленята се разлчават само с една точка получаваме S f S f U ξ S f U ξ ξ L S f U ξ ξ ξ = S f ( ( { } { } ( ( { } ( p 3 = U Тогава 3 3 s f s f 3 S f 3 S f É 3 Да образуваме деленето според предшнте точк маме ( ( ( ( следователно На следващата рсунка 7 е дадена геометрчната нтерпретаця на сумте на Дарбу пр f ( [ ] Рс 7
Нека π Π всочн съответно m От рс 7 се вжда че s ( f е сборът от лцата на правоъгълнцте π а S ( f е сборът от лцата на правоъгълнцте Π = Нека A е крволнейнят трапец образуван от оста O графката на функцята f ( верткалнте лн през точкте = = Да предположм че фгурата A ма лце да означм това лце с µ ( A (мярка на A Тогава за всяко делене е зпълнено неравенството s ( f µ ( A S( f по-общо за всек две деленя е зпълнено неравенството (7 s ( f µ ( A S( f което е в основата на геометрчната нтерпретаця на определеня нтеграл която ще дадем по-надолу в таз лекця Точната горна гранца на всчкте долн сум на Дарбу се нарча долен нтеграл на Дарбу се бележ с ( d = sup s( f = са правоъгълнцте с основа нтервала [ ] а точната долна гранца на всчкте горн сум на Дарбу се нарча горен нтеграл на Дарбу се бележ с ( d if S( f = От теоремата за отделмост от точка 3 на твърдене 7 следва че за всяка f : е зпълнено огранчена функця ( [ ] R (7 ( d f ( f d С друг дум долнят горнят нтеграл на Дарбу са внаг определен пр което между тях е валдно неравенството (7 Сега можем да препшем неравенството (7 във вда (73 ( d µ ( A f ( f d Неравенството (7 може да се зкаже по следня начн: между всчкте долн сум всчкте горн сум ма поне едно чсло което г разделя Това твърдене е геометрчно очевдно съгласно (73 което не бва да се схваща като точно разсъждене понеже в (73 не разполагаме с определене за лце на A Можем обаче да кажем че каквото чсло µ ( A да наречем лце на крволнейня трапец A за него трябва да бъде зпълнено неравенството (73 Определене 7 Казва се че огранчената функця f ( :[ ] R е нтегруема по Рман (в рманов смсъл в нтервала [ ] когато долнят горнят нтеграл на Дарбу са равн В тоз случай тяхната обща стойност се нарча определен се бележ с (Рманов нтеграл на функцята f ( в нтервала [ ] f ( d ( d = ( d = ( d Напрмер ако f ( е константа ( C Дарбу мат една съща стойност ( f = то всяка долна всяка горна сума на C Последното означава че долнят горнят нтеграл на Дарбу мат една съща стойност 3
( Cd = Cd = C следователно константата ( C ( d = C( f = е нтегруема функця пр което Необходм достатъчн условя за нтегруемост Оказва се че класът на нтегруемте функц е достатъчно шрок Пред всчко ще формулраме Теорема 7 Огранчената функця f ( :[ ] R е нтегруема в нтервала [ ] тогава само тогава когато за всяко > може са се намер нтегрално делене за което S ( f s( f < Доказателство Нека > е делене за което S ( f s( f < От определенята следва че за всяко делене е в сла (74 s( f f ( d f ( d S( f Тогава ( d f ( d S( f s( < f следователно ( d f ( = f d понеже можем да збраме прозволно малко Да предположм сега че функцята f ( е нтегруема в нтервала [ ] нека > Съгласно определенята за долен горен нтеграл понеже чслото ( не е горна гранца за долнте сум на Дарбу чслото ( + не е долна гранца за горнте сум на Дарбу могат да се намерят деленя таква че ( d = ( d < s( f ( d = ( d ( d + = ( d + > S( f ( d = ( d Нека 3 = U Тогава съгласно свойствата на сумте на Дарбу последнте две съотношеня маме ( d < s( f s( f 3 ( ( 3 ( < ( + d S f S f d следователно S ( f s( f < É С помощта на теорема 7 ще докажем следното Твърдене 7 Всяка непрекъсната функця е нтегруема всяка монотонна функця е нтегруема Доказателство Нека функцята f ( е непрекъсната в нтервала [ ] ( < Тогава тя е огранчена равномерно непрекъсната Нека > Тогава от равномерната непрекъснатост следва съществуването на δ > такова че 4
f < когато < δ Нека деленето е збрано с еднственото d < Да разгледаме разлката ( f ( зскване ( δ (75 S( f s( f = ( m = Понеже ( всек нтервал [ ] = следователно = f ( ξ m f ( η ξ η [ ] Тогава m = f ( ξ f ( η < f е непрекъсната тя достга най-голямата най-малката с стойност във = за няко от (75 следва че пр тоз збор на деленето маме S( f s( f = = ( = = = което съгласно теорема 7 доказва нтегруемостта на непрекъснатата функця ( Нека функцята f ( е монотонна в нтервала [ ] предположм че f ( е монотонно растяща не е константа ( f ( f За определеност да f > Да зберем едно > нека деленето е збрано с еднственото зскване d( < Да f ( f ( разгледаме отново разлката (75 Тук маме = f ( m = f ( = (75 према вда S ( f s( f = [ f ( f ( ] = откъдето оценяваме S( f s( f [ f ( f ( ] = = f ( f ( f ( f ( което доказва нтегруемостта на f ( Случаят когато ( = [ f ( f ( ] = f е монотонно намаляваща се разглежда аналогчно É Може да се докаже че ако една огранчена функця f ( :[ ] R е непрекъсната с зключене евентуално на краен брой точк то тя е нтегруема Следващят прмер показва че ма функц кото не са нтегруем Нека f ( е определена в нтервала [ ] по следня начн: f ( = ако е рацонално чсло f ( = ако е рацонално чсло Във всек отворен нтервал ма както безбройно много рацоналн чсла така безбройно много рацоналн чсла следователно за всяка долна горна сума на Дарбу маме s ( f = = ( f = = По таз прчна = ( d = < f ( = d S = така определената функця не е нтегруема Доказаното твърдене 7 съдържа нещо повече понеже в двата случая нтегралът се получава като гранца на нтегралнте сум когато даметърът на 5
деленето клон към нула те за всяко > съществува δ такова че S f s f < внаг когато d ( < δ откъдето следва че ( ( f ( d S( f < f ( d + ( d s( f > f ( d Последното може да запше по следня начн ( f ( f f ( f lim S = lim s = d ( d ( d което по същество е частен случай на следната теорема на Дарбу Теорема 7 За всяка огранчена функця f ( :[ ] R е зпълнено lim d ( ( f f ( s = d ( ( f f ( lim S = d d те долнят горнят нтеграл на Дарбу се явяват гранц съответно на долнте горнте сум на Дарбу когато даметърът на деленето клон към нула É От теоремата на Дарбу от неравенството за нтегралнте сум s ( f r( f S( f следва верността на Твърдене 73 Нека огранчената функця ( [ ] Тогава (76 f ( ( ( f d = lim r d f е нтегруема в нтервала те нтегралът се явява гранца на рмановте нтегралн сум когато даметърът на деленето клон към нула É Да отбележм че твърдене 73 е доказано строго за случая когато функцята ( послуж за отправна точка за въвеждане на рмановя нтеграл Функцята ( f е непрекъсната л монотонна Съдържането на това твърдене може да f се определя като нтегруема в нтервала [ ] когато съществува гранцата lim r( f d ( която е стойността на нтеграла Не предпочетохме друг подход който зяснява повече структурн връзк в схемата на въвеждане на нтеграла Премнаването от нтегралн сум на Рман към определен нтеграл във формулата (76 ще нарчаме нтегрален гранчен преход Тоз преход леж в основата на получаване на разлчнте прложеня на определеня нтеграл Формулата (76 открва възможност за доказване няко свойства на нтеграла по следната схема Свойството се доказва отначало за нтегралнте сум след което се получава за нтеграла след нтегрален гранчен преход 3 Геометрчна нтерпретаця на определеня нтеграл Нека ( [ ] Както вече отбелязахме пр разумно определене на лце ( A крволнейня трапец A образуван от оста O графката на ( прав през точкте f µ на f двете верткалн = = (Рс 73 ще бъде зпълнено неравенството (73 то (73 према вда Следователно ако f ( е нтегруема в нтрвала [ ] ( d µ ( A f ( f d което означава че по необходмост лцето на крволнейня трапец A се определя от формулата 6
(77 µ ( f ( A = d Рс 73 Когато функцята f ( с сменя знака в нтервала [ ] където f ( е отрцателна се зваждат лцата на участъцте Рс 74 напрмер за зобразеня на рсунка 74 случай маме ( d = µ ( A µ ( A + µ ( A3 7