Сандерс & Соскова: ЕАИ March 23, 2008 1 1.4 Контекстно-зависими и тип 0-езици
Сандерс & Соскова: ЕАИ March 23, 2008 2 Нормална форма на Курода Една граматика G = (V,Σ,P,S) от тип 1 е в Курода нормална форма ако P V (V Σ V 2 ) V 2 V 2 Твърдение: G от тип 1 : ε L(G) G в Курода нормална форма и L(G) = L(G ) Д-во: не тук. Идея: Обобщение на нормалната форма на Чомски.
Сандерс & Соскова: ЕАИ March 23, 2008 3 Машини на Тюринг Дали крайните автомати са последната дума? +: Един компютър с карйна памет е краен авомат! : Голямата памет астрономически голям брой състояния, много сложни автомати : Търсим един прост машинен модел за автомати, които например приемат думи от вида a n b n c n
Сандерс & Соскова: ЕАИ March 23, 2008 4 Детерминистични (еднолентови)-машини на Тюринг (DTM) T = (Q,Σ,Γ,δ,s,F): Q състояния, Σ вх. азбука Γ азбука на лентата, Σ: празен символ, Σ { } Γ δ : Q Γ Q Γ {L,R,N}, функция на прехода; s Q, начално състояние F Q, крайни състояния Eingabe wεσ * Ausgabe...... δ q εq L R
Сандерс & Соскова: ЕАИ March 23, 2008 5 Недетерминистични машини на Тюринг (NTM) T = (Q,Σ,Γ,δ,s,F): Q, състояния Σ, входна азбука Γ азбука на лентата, Σ: празен символ, Σ { } Γ δ : Q Γ 2 Q Γ {L,R,N}, функция на прехода; s Q, начално състояние F Q, крайни състояния Eingabe... wεσ * δ q εq Ausgabe... L R
Сандерс & Соскова: ЕАИ March 23, 2008 6 Недетерминистични машини на Тюринг (NTM) T = (Q,Σ,Γ,δ,s,F): Q, състояния Σ, входна азбука Γ азбука на лентата, Σ: празен символ, Σ { } Γ Eingabe... δ Q Γ Q Γ {L,R,N}, релация на прехода; s Q, начално състояние F Q, крайни състояния wεσ * δ q εq Ausgabe... L R
Сандерс & Соскова: ЕАИ March 23, 2008 7 Защо машини на Тюринг? Исторически началото [Turing 1936] Оригиналната мотивация: Да се опростят изчисленията в човешката математическа дейност Минимално разширение на един краен автомат Тезис на Чърч: Всички адекватни достатъчно мощни машинни модели са еквивалентни
Сандерс & Соскова: ЕАИ March 23, 2008 8 Потенциално безкрайна памет? +: Уникална алтернатива за огромни крайни автомати +: Шпациите преди входа и след изхода не се запомнят Eingabe wεσ * Ausgabe...... δ L R q εq
Сандерс & Соскова: ЕАИ March 23, 2008 9 Конфигурация на една TM w(q)av wav (q)... w a v δ L... R q εq w,v Γ, a Γ, q Q
Сандерс & Соскова: ЕАИ March 23, 2008 10 Как работи една DTM wa(q)bcv δ(q,b)=(q,b,n) wa(q)bcv δ(q,b)=(q,b,l) wa(q)bcv δ(q,b)=(q,b,r) wa(q )b cv w(q )ab cv wab (q )cv Функцията на прехода δ дава три нови елемента: Ново състояние като FA Нов символ замества стария символ, сочен от главата Направления за придвижване на главата
Сандерс & Соскова: ЕАИ March 23, 2008 11 Как работи една NTM wa(q)bcv (q,b,n) δ(q,b) wa(q)bcv (q,b,l) δ(q,b) wa(q)bcv (q,b,r) δ(q,b) wa(q )b cv w(q )ab cv wab (q )cv Възможни преходи между конфигурациите
Сандерс & Соскова: ЕАИ March 23, 2008 12 Кога завършва една DTM? T завършва при конфигурация w(q)av, ако δ(q,a) = (q,a,n). Конвенция: q F : a Γ : δ(q,a) = (q,a,n)
Сандерс & Соскова: ЕАИ March 23, 2008 13 Кога завършва една NTM? T завършва при конфигурация w(q)av ако δ(q,a) = {}. Конвенция: q F : a Γ : δ(q,a) = {}
Сандерс & Соскова: ЕАИ March 23, 2008 14 Интерпретация с граф T = (Q,Σ,Γ,δ,s,F) дефинира безкраен мулти граф Възли: конфигурации на T. Дъги: допустими от δ преходи между конфигурации. w L(A) път P = (s)w u( f)v : f F Разлики DTM versus NTM: δ определя преходите между конфигурации versus δ допуска преходите между конфигурации.
Сандерс & Соскова: ЕАИ March 23, 2008 15 Машини на Тюринг като разпознаватели T = (Q,Σ,Γ,δ,s,F). L(T)? T приема w α,β Γ, f F : (s)w α f β L(T):= {w Σ : T приема w}. Eingabe wεσ * Ausgabe...... δ q εq L R
Сандерс & Соскова: ЕАИ March 23, 2008 16 Интерпретация с граф T = (Q,Σ,Γ,δ,s,F). L(T)? Дефиниция: T приема w Σ ако редица от ( допустими от δ) преходи между конфигурации (s)w x( f)y с f F. Eingabe... wεσ * δ q εq Ausgabe... L R L(T):= {w Σ : T приемаw}.
Сандерс & Соскова: ЕАИ March 23, 2008 17 Пример: разпознавател за L = 1(0,1) s 0 0, R q 1 0 0, R 1 1, R, R, R 1, L q 2 0 0, N 1 1, N, N Графични означения: Разширение на КА. Разширено маркиране на дъгите: входни символи изходни символи,l,n,r
, R Сандерс & Соскова: ЕАИ March 23, 2008 18 1.5, R s 0 0, R 1, L q 1 q 2 0 0, R 1 1, R, R 0 0, N 1 1, N, N Конвенция: Завършващите с Error преходи TM завършва., R s 1, L q 2
Сандерс & Соскова: ЕАИ March 23, 2008 19 Пример: разпознаватели за {0 n 1 n : n 1} 0 0, R 1 1, R s 1 1, R q, L 1 q 1, L 2 q 0 0, L 3 1 1, L, L, R 0 0, R 1 1, R q 6 0 0, R 0, R 1 1, R q 5, R q 4 q 7
Сандерс & Соскова: ЕАИ March 23, 2008 20 (s)000111 0(s)00111 00(s)0111 000(s)111 0001(q 1 )11 00011(q 1 )1 000111(q 1 ) 00011(q 2 )1 0001(q 3 )1 0001(q 3 )1 000(q 3 )11 00(q 3 )011 0(q 3 )0011 (q 3 )00011 (q 3 ) 00011 (q 4 )00011 (q 5 )0011 0(q 6 )011 00(q 6 )11 001(q 6 )1 0011(q 6 ) 001(q 2 )1 00(q 3 )1 0(q 3 )01 (q 3 )001 (q 3 ) 001 (q 4 )001 (q 5 )01 0(q 6 )1 01(q 6 ) 0 0, R 0(q 2 )1 (q 3 )0 (q 3 ) 0 (q 4 )0 (q 5 ) 0 0, R 1 1, R s 1 1, R q, L 1 q 1, L 2 q 0 0, L 3 1 1, L q 6 (q 7 ) q 7 1 1, R, L 0 0, R q 0, R 5 1 1, R, R q 4, R
Сандерс & Соскова: ЕАИ March 23, 2008 21 Пример: {0 n 1 n : n 0}. 0 0,R 1 1,R 0 _,R s _ _,N _ _,R f r l 0 0,L 1 1,L _ _,L e 1 _,L
Сандерс & Соскова: ЕАИ March 23, 2008 22 Пример: {0 n 1 n : n 0}. Нека k 1, w {0,1} ε: (s) ( f). 0: (s)0 (r) (e) завършва. 1w: (s)1w завършва. 0w0: (s)0w0 (r)w0 w +1 0w1: (s)0w1 (r)w1 w +1 0 _,R s _ _,N _ _,R f 0 0,R 1 1,R r l 0 0,L 1 1,L w0(r) w(e)0 завършва. w1(r) w(e)1 w +1 0 n 1 n : (s)0 n 1 n (s)0 n 1 1 n 1 (s) ( f) _ _,L e 1 _,L (l) w (s)w 0u1, u {0 n 1 n : n 0}: (s)0u1 (s)u. Не завършва в f. (Индукция)
Сандерс & Соскова: ЕАИ March 23, 2008 23 Варианти на машини на Тюринг k глави: δ : Q Γ k Q Γ k {L,R,N} k k ленти: т.е. една глава за лента d-размерна лента: например d = 2, δ : Q Γ Q Γ {L,R,U,D,N} вероятностни: допълнително инструкции за движение на главата с рандом бит
Сандерс & Соскова: ЕАИ March 23, 2008 24 LBA: Линейно ограничени недетрминистични машини на Тюринг NTM T = (Q, Σ, Γ, δ, s, F) е линейно ограничена, когато a = a 1 a n Σ + : (s)a α(q)β αβ n
Сандерс & Соскова: ЕАИ March 23, 2008 25 Твърдение: тип 1 език L : LBA T : L(T) = L Д-во: Нека G = (V, Σ, P, S)-тип 1 граматика с L(G) = L. Да разгледаме NTM T = (Q,Σ,(Σ V),δ,s,F): Procedure inl(z) // начална конфигурация (s)z invariant съдържанието на лентата z invariant tape z while tape S do accept z if w α P : tape = xαy then // 2 недетрм. избор! tape:= xwy else reject z приемащо изчисление Inv. извод. // заместващо правило! S z съответстващо успешно изчисление.
Сандерс & Соскова: ЕАИ March 23, 2008 26 Подпрограма: търсене на подходяща лява страна Нека G е в Курода-нормална форма десните символи 2 отиди до левия ограничител отиди до десния през лентата: състоянието запазва символа L в ляво от главата δ може да зависи от L, актуалния символ на лентата и информацията от P (крайно!) определяйки дали са подходящи за правилото Да? Направи субституцията Не? Продължи
Сандерс & Соскова: ЕАИ March 23, 2008 27 Подпрограма: заместване за AB CD Една стъпка наляво Напиши C Една стъпка надясно Напиши D Обратно към главния цикъл
Сандерс & Соскова: ЕАИ March 23, 2008 28 Подпрограма: заместване за AB C Напиши C; една стъпка наляво напиши иди в ляво в началото на лентата запомни първия символ на лентата в състояние repeat размени запазения и актуалния символ на лентата; една стъпка в дясно until се замести
Сандерс & Соскова: ЕАИ March 23, 2008 29 Твърдение: L : LBA T : L(T) = L L е език от тип 1. Д-во: Нека T = (Q,Σ,Γ,δ,s,F) е LBA и L(T) = L. Да разгледаме граматика от тип 1 G = (V = {S} (Γ Σ) (Q Γ Σ),Σ,P,S). Идея: TM-конфигурация α(q)aβ твърдение за α(q,a)β плюс екстра информация за оригиналния вход. 3 фази на извода: 1. генерираме дума от Σ. 2. симулираме изчислението на TM. 3. след успешно приемане възстановяваме входната дума
Сандерс & Соскова: ЕАИ March 23, 2008 30 Фаза 1: генериране на дума от Σ T = (Q,Σ,Γ,δ,s,F) LBA и L(T) = L. G = (V = {S} (Γ Σ) (Q Γ Σ),Σ,P,S). {S S(a,a) : a Σ} P {S (s,a,a) : a Σ} P край на фаза 1. (и специални грижи ако ε L) Пример: S S(c,c) S(b,b)(c,c) (s,a,a)(b,b)(c,c) отговаря на началната конфигурация (s)abc
Сандерс & Соскова: ЕАИ March 23, 2008 31 Фаза 2: симулиране на изчислението на TM T = (Q,Σ,Γ,δ,s,F) LBA с L(T) = L. G = (V = {S} (Γ Σ) (Q Γ Σ),Σ,P,S). P:= P {(q,a,c) (q,a,c) : (q,a,n) δ(q,a),c Σ} {(b,c )(q,a,c) (q,b,c )(a,c) : (q,a,l) δ(q,a),c Σ} {(q,a,c)b a (q,b,c) : (q,a,r) δ(q,a),c Σ} Пример: (s,a,a)(b,b)(c,c) (x,a)( f,y,b)(z,c) отговаря на редицата от конфигурации (s)abc x( f)yz
Сандерс & Соскова: ЕАИ March 23, 2008 32 Фаза 3: възстановява входната дума T = (Q,Σ,Γ,δ,s,F) LBA с L(T) = L. G = (V = {S} (Γ Σ) (Q Γ Σ),Σ,P,S). {( f,a,c) c : f F,a Γ,c Σ} P Приемане {(a,b) b : a Γ b Σ} P Пример: (x,a)( f,y,b)(z,c) (x,a)b(z,c) ab(z,c) abc
Сандерс & Соскова: ЕАИ March 23, 2008 33 Свойства за затвореност за тип 1 Затвореност относно обединение конкатенация звезда сечение допълнение
Сандерс & Соскова: ЕАИ March 23, 2008 34 Затвореност относно обединение за тип 0/1 L(A 1 ) L(A 2 ) hat тип 0/1? Две подпрограми U 1 за L(A 1 ) и U 2 за L(A 2 ). Нова програма за U 1 U 2. Не е необходимо допълнително място. Упражнение: Затвореност относно сечение за тип 0/1
Сандерс & Соскова: ЕАИ March 23, 2008 35 Затвореност относно конкатенация за тип 0/1 L(A 1 ) L(A 2 ) имат тип 0/1? Две подпрограми U 1 за L(A 1 ) и U 2 за L(A 2 ). Нова програма за w L(A 1 ) L(A 2 )?: Разделяме w = w 1 w 2 (недетрминистично). return w 1 L(A 1 ) w 2 L(A 2 ) Работи без разширяване на лентата но с маркиране. Упражнение: Затвореност относно звезда на Клини ( ) за тип 0/1
Сандерс & Соскова: ЕАИ March 23, 2008 36 Затвореност относно допълнение за тип 1 Дадено: L = L(G) Σ, G = (V,Σ,P,S). Идея: намираме LBA M, който приема x Σ n, x L. { a:= α (V Σ) : α n S α} // todo c:= 0 foreach α (V Σ) \{x} с α n do if S α then c++ else continue // недетрминистичен fail! return c = a
Сандерс & Соскова: ЕАИ March 23, 2008 37 Изчисляване на { α (V Σ) : α n S α} a:= 1 for m := 1 to do b:= 0 foreach w (V Σ) в α n do z:= 0 // {S} // край на извода // брояч за нови или стари думи // брояч за стари думи foreach w (V Σ) с α n do if S m w then z + + // недетрминистично if w = w w w then b++ if z a then fail if a = b then break loop a:= b
Сандерс & Соскова: ЕАИ March 23, 2008 38 тип 0 езици Твърдение: L се разпознава от TM L има тип 0 Д-во: Аналогично на д-вото за тип 1.
Сандерс & Соскова: ЕАИ March 23, 2008 39 Йерархия на Чомски alle Sprachen Typ0: rekursiv aufz. Sprachbeispiele Typ1: kontextsensitiv Typ2: kontextfrei L d L d n n n a b c n n a b a*b* Typ3: regular EA Maschinenmodelle Turingmaschinen LBA NKellerA
Сандерс & Соскова: ЕАИ March 23, 2008 40 тип описание 3 дясно линейни или ляво линейни DFA, εnfa, εnfa регулярни изрази Det. CF LR(k) граматика DKellerA с кр. съст. 2 контекстно-свободна гр. (1-съст.)NKellerA 1 контекстно-зависима LBA 0 тип 0 grammar Машина на Тюринг
Сандерс & Соскова: ЕАИ March 23, 2008 41 тип Недетрм. Детерминистични еквивалентни? 3 NFA DFA да 2 NKellerA DKellerA не 1 LBA DLBA??? 0 NTM DTM да (спец. комп.)
Сандерс & Соскова: ЕАИ March 23, 2008 42 Свойства на затвореност тип 3 да да да да да Дет. КСв не не да не не 2 не да не да да 1 да да да да да 0 да да не да да
Сандерс & Соскова: ЕАИ March 23, 2008 43 Рарешимост тип Дума- празнота- еквивалентност празно сечени 3 да да да да Дет. КСв да да да [97] не 2 да да не не 1 да не не не 0 не не не не
Сандерс & Соскова: ЕАИ March 23, 2008 44 Сложност на проблема за принадлежност на дума тип сложност 3 O(n) Дет. КСв O(n) 2 O ( n 3) 1 Σ O(n), NP-трудна теория на сложността 0 рекурсивно номер. изчислими
Сандерс & Соскова: ЕАИ March 23, 2008 45 Йерархия на Чомски-критицизъм 2: (Само?) тези граматики са точно правилни 3: случйно правят линейни изводи като един краен автомат 0,1: правилата за контекстно-зависими граматики са от твърде ниско ниво и са твърде подобни на TM за да се правят интересни моделни приложения 1: Едно от многото решения на специалния случай? Защо точно линейно ограничение на паметта? Има полезни обобщения на CFGs.