Homework 3

Размер: px
Започни от страница:

Download "Homework 3"

Препис

1 Домашно 3 по дисциплината Дискретни структури за специалност Информатика I курс летен семестър на 2015/2016 уч г в СУ ФМИ Домашната работа се дава на асистента в началото на упражнението на май 2016 г Име: Факултетен Група: Забележка 1: Задача Общо получени точки максимум точки Всички отговори трябва да бъдат обосновани подробно! Забележка 2: Не предавайте идентични решения дори когато работите заедно: идентичните решения ще бъдат анулирани! Задача 1 Постройте биекция f : следното свойство: за всяко цяло положително число n сборът f(1) + f(2) + f(3) + + f(n) да се дели на n със Задача 2 В турнир провеждан по системата на елиминациите участват n играчи В началото на турнира се тегли жребий за реда на провеждане на срещите Ако a n е броят на различните изходи от тегленето на жребия намерете a n като функция на n Например a 1 1 защото при един играч има само един начин за протичане на турнира: не се провеждат никакви срещи а единственият претендент става шампион При двама играчи също има само един начин за провеждане на турнира ( те a 2 1 ) : двамата играят един срещу друг и победителят става шампион При трима играчи има три начина за провеждане на турнира ( те a 3 3 ) : x y z y z x z x y Например записът x y z означава че първо x и y играят един срещу друг после победителят играе със z y x z има същия смисъл като x y z Записът При четирима играчи има петнадесет начина за провеждане на турнира ( те a 4 15 ) : x y z t x y t z x z y t x z t y x t y z x t z y y z x t y z t x y t x z y t z x z t x y z t y x x y z t x z y t x t y z Получава се редицата Търси се формула за общия член Упътване: Най-напред съставете (с обосновка) рекурентно уравнение за редицата После решете уравнението за да получите формула за общия член

2 Задача 3 Разглеждаме следната функция програмирана на езика C : unsigned int f(unsigned int n) unsigned int a 4; for (unsigned int k 1; k < n; k++) a 3 * a + 2; return a; Намерете явна формула за върнатата стойност f(n) Упътване: Да означим с a k стойността на променливата a след k-тата итерация на цикъла (a 0 е началната стойност) Трасирайте програмния код и намерете a k за някои k например за k Съставете и решете подходящо рекурентно уравнение за редицата a k Задача 4 За всяка от следните редици да се намери явна формула за общия член: а) a n (a n ) за всяко цяло n 0 a 0 5 ; (6 точки) б) b n+1 6 (b n ) 7 за всяко цяло n 0 b 0 36 (6 точки) Упътване: Използвайте подходящи полагания

3 РЕШЕНИЯ Задача 1 Желаната биекция се построява стъпка по стъпка Най-напред полагаме f(1) 1 Очевидно f(1) се дели на 1 По -нататък: нека вече сме определили стойностите f(1) f(2) f(2n 1) така че f(1)+f(2) се дели на 2 f(1)+f(2)+f(3) се дели на 3 f(1)+f(2)+ +f(2n 1) се дели на 2n 1 Ще дефинираме f(2n) и f(2n + 1) така че f(1) + f(2) + + f(2n 1) + f(2n) да се дели на 2n и f(1) + f(2) + + f(2n 1) + f(2n) + f(2n + 1) да се дели на 2n + 1 Нека k е най-малкото цяло положително число неизползвано до момента тоест k min \ f(1) f(2) f(3) f(2n 1) Полагаме f(2n) 2nk + 2n(2n + 1)c f(1) f(2) f(2n 1) f(2n + 1) k където c е цяло число чиято стойност ще бъде уточнена след малко Тогава ( ) f(1) + f(2) + + f(2n 1) + f(2n) 2nk + 2n(2n + 1)c 2n k + (2n + 1)c се дели на 2n защото числото k + (2n + 1)c е цяло Аналогично f(1) + f(2) + + f(2n 1) + f(2n) + f(2n + 1) 2nk + 2n(2n + 1)c + k (2n + 1)(k + 2nc) се дели на 2n + 1 защото числото k + 2nc е цяло Числото f(2n + 1) k по определение е цяло положително и различно от числата f(1) f(2) f(3) f(2n 1) Числото f(2n) 2nk + 2n(2n + 1)c f(1) f(2) f(2n 1) е цяло за всяко цяло c ; а ще бъде положително и по-голямо от числата f(1) f(2) f(3) f(2n 1) и k стига c да е достатъчно голямо Избираме най-малкото такова c От избора на k и c е ясно че f приема само цели положителни стойности и че числата f(2n) и f(2n + 1) са различни помежду си и от f(1) f(2) f(3) f(2n 1) Следователно стойностите на функцията f са две по две различни те f е инекция От равенството f(2n + 1) k следва че най-малкото неизползвано до момента цяло положително число k расте с увеличаването на n Следователно всяко цяло положително число ще бъде използвано рано или късно те функцията f е сюрекция Щом f е инекция и сюрекция то f е биекция Задача 2 За n 1 играчи има общо a n 1 варианта Да изберем по произволен начин един от тези варианти По колко начина можем да добавим n-ти играч към избрания вариант? В избрания вариант има n 1 "реални" играчи участниците в турнира За да остане един шампион трябва да бъдат елиминирани n 2 играчи те трябва да бъдат проведени n 2 игри Оттук получаваме още n 2 "играчи стойности" победителите в игрите (разбира се те са някои от "реалните" играчи) Това прави общо (n 1) + (n 2) 2n 3 места на които може да бъде добавен новият n -тият играч: той може да играе с някой от старите n 1 играчи преди последният да е играл изобщо (дотук има n 1 възможности) или може да играе с победителя от някоя от всичките n 2 срещи (това са още n 2 възможности) П р и м е р : Нека n 4 От всеки вариант за трима играчи да кажем x y z се получават 2n 3 5 варианта за четирима играчи защото новият четвъртият играч t може да бъде вмъкнат на пет различни места: Играчът t може да играе с x y или z преди те да са играли с другиго Това дава три нови варианта: x t y z x y t z x y z t Играчът t може да играе с победителя от някоя от двете игри което дава още два нови варианта: x y t z x y z t

4 И така всеки вариант за провеждане на турнир с n 1 играчи поражда 2n 3 варианта за турнир с n играчи При това всеки от новите варианти се поражда от единствен стар вариант а именно от стария вариант който се получава като изключим новия играч П р и м е р : Нека n 4 и новият играч е t Тогава вариантът за четирима играчи x y t z се получава единствено от варианта за трима играчи x y z Доказахме че всеки вариант за n 1 играчи поражда 2n 3 варианта за n играчи а всеки вариант за n играчи се поражда от единствен вариант за n 1 играчи Следователно a n (2n 3) a n 1 за всяко естествено n > 1 Развиваме полученото рекурентно уравнение: a n (2n 3) a n 1 (2n 3)(2n 5) a n 2 (2n 3)(2n 5)(2n 7) a n 3 (2n 3)(2n 5)(2n 7) a 4 (2n 3)(2n 5)(2n 7) 5 a 3 (2n 3)(2n 5)(2n 7) 5 3 a 2 (2n 3)(2n 5)(2n 7) Значи a n (2n 3) е произведението на първите n 1 нечетни числа (При n 1 произведението съдържа нула множителя те то е празно а празното произведение се приема за равно на единица те a 1 1) Формулата може да се запише и по още един еквивалентен начин За целта умножаваме и делим с четните числа n 2 : a n (2n 3) (2n 2) (2n 2) (2 1) (2 2) (2 3) (2 (n 1)) те a n (n 1)! 2 n 1 Отговор: a n (2n 3) (n 1)! 2 n 1 Задача 3 Да означим с a k стойността на променливата a след k-тата итерация на цикъла (a 0 е началната стойност) Трасираме програмния код и получаваме първите няколко стойности от редицата a k : k a k Както се вижда от инструкцията в тялото на цикъла тази редица удовлетворява нехомогенното линейно -рекурентно уравнение a k 3 a k С помощта на характеристично уравнение намираме a k C 1 3 k + C 2 От a 0 4 и a 1 14 се получава системата C 1 + C 2 4 3C 1 + C 2 14 с единствено решение C 1 5 C 2 1 Затова a k 5 3 k 1 за всяко цяло k 0 От условието за край на цикъла се вижда че функцията f връща стойността f(n) a n 5 3 n 1 Забележка: Разсъждения като проведените по -горе се използват често за оптимизиране на алгоритми Формулата f(n) 5 3 n 1 представлява алгоритъм за изчисляване на f(n) който връща същата стойност като първоначалния алгоритъм но по -бързо (с по -малък брой аритметични операции)

5 Задача 4 а) Уравнението a n (a n ) е равносилно на ( a n+1 ) 3 4 (an ) Полагаме (a n ) 3 d n и уравнението приема вида d n+1 4d n с начално условие d Това линейно-рекурентно уравнение се решава с помощта на характеристично уравнение: x n+1 4x n откъдето (при x 0) се получава x 4 тоест мултимножеството 4 M Свободният член n 0 1 n поражда мултимножеството 1 Обединяваме двете M мултимножества: 4 ; 1 Следователно d n C M 1 4 n + C 2 От d и d n+1 4d n пресмятаме d След това заместваме n 0 и n 1 във формулата d n C 1 4 n + C 2 C 1 + C C 1 + C и получаваме следната система: Решението на тази система е C C 2 43 Следователно d n n 43 От (a n ) 3 d n следва че a n 3 d n n 43 Отговор: a n n 43 б) Пресмятаме първите няколко члена на редицата: b b 1 6 ( 6 2 ) и тн Удобно е полагането b n 6 pn Това полагане е допустимо защото b n > 0 за всяко n 0 (което се доказва чрез математическа индукция) Получава се редицата p 0 2 p 1 15 Уравнението b n+1 6 (b n ) 7 приема вида p n+1 7p n + 1 Чрез характеристично уравнение намираме мултимножеството 7 ; 1 откъдето p n C M 1 7 n + C 2 Заместваме n 0 и n 1 и получаваме системата C 1 + C 2 2 7C 1 + C 2 15 Решението на тази система е C C Следователно p n 13 7n 1 6 От формулата b n 6 pn намираме отговора на задачата 6 Отговор: b n n 1

Microsoft Word - VM22 SEC55.doc

Microsoft Word - VM22 SEC55.doc Лекция 5 5 Диференциални уравнения от първи ред Основни определения Диференциално уравнение се нарича уравнение в което участват известен брой производни на търсената функция В общия случай ( n) диференциалното

Подробно

Microsoft Word - nbb2.docx

Microsoft Word - nbb2.docx Коректност на метода на характеристичното уравнение за решаване на линейно-рекурентни уравнения Стефан Фотев Пиша този файл, тъй като не успях да намеря в интернет кратко и ясно обяснение на коректността

Подробно

Homework 2

Homework 2 Домашна работа 2 по Дизайн и анализ на алгоритми за специалност Компютърни науки, 2. курс, 1. поток СУ, ФМИ, летен семестър на 2017 / 2018 уч. г. СЪСТАВЯНЕ НА АЛГОРИТМИ Задача 1 2 3, а 3, б 3, в Общо получен

Подробно

СОФИЙСКА МАТЕМАТИЧЕСКА ГИМНАЗИЯ ТУРНИР ПО МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА "ЗА ТОРТАТА НА ДИРЕКТОРА" ТЕМА ПО МАТЕМАТИКА 8 КЛАС Задача 1. Да се реши в цели чис

СОФИЙСКА МАТЕМАТИЧЕСКА ГИМНАЗИЯ ТУРНИР ПО МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА ЗА ТОРТАТА НА ДИРЕКТОРА ТЕМА ПО МАТЕМАТИКА 8 КЛАС Задача 1. Да се реши в цели чис СОФИЙСКА МАТЕМАТИЧЕСКА ГИМНАЗИЯ ТУРНИР ПО МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА "ЗА ТОРТАТА НА ДИРЕКТОРА" ТЕМА ПО МАТЕМАТИКА 8 КЛАС Задача 1. Да се реши в цели числа уравнението p( + b) = (5 + b) 2, където p е просто.

Подробно

Microsoft Word - Tema-8-klas-PLOVDIV.doc

Microsoft Word - Tema-8-klas-PLOVDIV.doc МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА СЪЮЗ НА МАТЕМАТИЦИТЕ В БЪЛГАРИЯ Пролетен математически турнир 7 9 март 9 г., ПЛОВДИВ Тема за 8 клас Задача. Дадено е уравнението ax + 9 = x + 9ax 8x, където a е

Подробно

Microsoft Word - VM22 SEC66.doc

Microsoft Word - VM22 SEC66.doc Лекция 6 6 Теорема за съществуване и единственост Метричното пространство C [ a b] Нека [ a b] е ограничен затворен интервал и да разгледаме съвкупността на непрекъснатите функции f ( определени в [ a

Подробно

Microsoft Word - PMS sec1212.doc

Microsoft Word - PMS sec1212.doc Лекция Екстремуми Квадратични форми Функцията ϕ ( = ( K се нарича квадратична форма на променливите когато има вида ϕ( = aij i j i j= За коефициентите предполагаме че a ij = a ji i j При = имаме ϕ ( =

Подробно

Microsoft Word - IGM-SER1111.doc

Microsoft Word - IGM-SER1111.doc Лекция Редове на Фурие поточкова сходимост Теорема на Дирихле Тук ще разглеждаме -периодична функция ( ) която ще искаме да бъде гладка по части Това означава че интервала ( ) може да се раздели на отделни

Подробно

Microsoft Word - PRMAT sec99.doc

Microsoft Word - PRMAT sec99.doc Лекция 9 9 Изследване на функция Растене, намаляване и екстремуми В тази лекция ще изследваме особеностите на релефа на графиката на дадена функция в зависимост от поведението на нейната производна Основните

Подробно

Exam, SU, FMI,

Exam, SU, FMI, Поправителен изпит по Дискретни структури задачи СУ ФМИ 29. 08. 2016 г. Име: ФН: Спец.: Курс: Задача 1 2 3 4 5 Общо получени точки максимум точки 20 20 35 30 30 135 Забележка: За отлична оценка са достатъчни

Подробно

ЛЕКЦИЯ 6 ЗАКОН ЗА ИНЕРЦИЯТА Определение. Броят на положителните коефициенти в каноничния вид на дадена квадратична форма се нарича положителен индекс

ЛЕКЦИЯ 6 ЗАКОН ЗА ИНЕРЦИЯТА Определение. Броят на положителните коефициенти в каноничния вид на дадена квадратична форма се нарича положителен индекс ЛЕКЦИЯ 6 ЗАКОН ЗА ИНЕРЦИЯТА Определение. Броят на положителните коефициенти в каноничния вид на дадена квадратична форма се нарича положителен индекс на инерцията на тази квадратична форма. Броят на отрицателните

Подробно

I

I . Числено решаване на уравнения - метод на Нютон. СЛАУ - метод на проста итерация. Приближено решаване на нелинейни уравнения Метод на допирателните (Метод на Нютон) Това е метод за приближено решаване

Подробно

Microsoft Word - PMS sec11.doc

Microsoft Word - PMS sec11.doc Лекция Матрици и детерминанти Определения Матрицата е правоъгълна таблица от числа Ако е матрица с m реда и стълба то означаваме () O m m m m ( ) За елементите на матрицата се използва двойно индексиране

Подробно

munss2.dvi

munss2.dvi ОТГОВОРИ И РЕШЕНИЯ 3(x + y)(x xy + y )y(x y) 1. (Б) Преобразуваме: (x y)(x + y)(x + y ) x(x xy + y ) = 3y (x + y)(x y) x = (x + y ) 3 y x y x x + y = 3 y x (x y ) 1 ( x y ) + 1 = 3 ( 3 ) 1 9 3 ( 3 ) +

Подробно

Microsoft Word - VM-2-7-integrirane-na-racionalni-funkcii-seminar.doc

Microsoft Word - VM-2-7-integrirane-na-racionalni-funkcii-seminar.doc 7. Интегриране на рационални функции Съдържание. Пресмятане на неопределен интеграл от елементарни дроби. Интегриране на правилни рационални функции. Интегриране на неправилни рационални функции ТЕОРИЯ

Подробно

54. НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА НАЦИОНАЛЕН КРЪГ Задача 1. Да се намерят всички тройки от естествени числа (x, y, z) такива, че 2005 x + y + 200

54. НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА НАЦИОНАЛЕН КРЪГ Задача 1. Да се намерят всички тройки от естествени числа (x, y, z) такива, че 2005 x + y + 200 54. НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА НАЦИОНАЛЕН КРЪГ Задача 1. Да се намерят всички тройки от естествени числа (x, y, z) такива, че x + y + 005 x + z + y + z е естествено число. Решение. Първо ще докажем,

Подробно

XXX МЕЖДУНАРОДЕН ТУРНИР НА ГРАДОВЕТЕ Пролетен тур, ОСНОВЕН ВАРИАНТ за клас РЕШЕНИЯ Задача 1. Правоъгълник е разделен на няколко по-малки право

XXX МЕЖДУНАРОДЕН ТУРНИР НА ГРАДОВЕТЕ Пролетен тур, ОСНОВЕН ВАРИАНТ за клас РЕШЕНИЯ Задача 1. Правоъгълник е разделен на няколко по-малки право XXX МЕЖДУНАРОДЕН ТУРНИР НА ГРАДОВЕТЕ Пролетен тур, ОСНОВЕН ВАРИАНТ за 10 1 клас РЕШЕНИЯ Задача 1 Правоъгълник е разделен на няколко по-малки правоъгълника Възможно ли е всяка отсечка, която свързва центровете

Подробно

Основен вариант за клас Задача 1. (4 точки) На графиката на полином a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, чиито коефициенти a n, a n 1,..., a 1

Основен вариант за клас Задача 1. (4 точки) На графиката на полином a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, чиито коефициенти a n, a n 1,..., a 1 Основен вариант за 10 12 клас Задача 1. (4 точки) На графиката на полином a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0, чиито коефициенти a n, a n 1,..., a 1, a 0 са цели числа, са отбелязани две точки с целочислени

Подробно

Microsoft Word - Sem02_KH_VM2-19.doc

Microsoft Word - Sem02_KH_VM2-19.doc Семинар Действия с матрици. Собствени стойности и собствени вектори на матрици. Привеждане на квадратична форма в каноничен вид. Матрица k всяка правоъгълна таблица от k-реда и -стълба. Квадратна матрица

Подробно

Microsoft Word - VM-LECTURE21.doc

Microsoft Word - VM-LECTURE21.doc Лекция Числови редове Определения и примери Абсолютна и условна сходимост Числовите редове представляват безкрайни суми () = L L Величината се нарича общ член на реда Сумирането в () започва от = но по

Подробно

Министерство на образованието, младежта и науката 60. Национална олимпиада по математика Областен кръг, г. Условия, кратки решения и кри

Министерство на образованието, младежта и науката 60. Национална олимпиада по математика Областен кръг, г. Условия, кратки решения и кри Министерство на образованието, младежта и науката 60. Национална олимпиада по математика Областен кръг, 1-1.0.011 г. Условия, кратки решения и критерии за оценяване Задача 11.1. Да се намерят всички стойности

Подробно

Вариант 1 Писмен Изпит по Дискретни Структури 14/02/2018 г. Оценката се образува по следния начин: 2 + бр. точки, Наредени двойки бележим с ъглови ско

Вариант 1 Писмен Изпит по Дискретни Структури 14/02/2018 г. Оценката се образува по следния начин: 2 + бр. точки, Наредени двойки бележим с ъглови ско Вариант Писмен Изпит по Дискретни Структури 4/02/208 г. Оценката се образува по следния начин: 2 + бр. точки, Наредени двойки бележим с ъглови скоби, напр., b. Зад.. Намерете: а) (0.25 т.) подмножествата

Подробно

Microsoft Word - VM-LECTURE06.doc

Microsoft Word - VM-LECTURE06.doc Лекция 6 6 Уравнения на права и равнина Уравнение на права в равнината Тук ще разглеждаме равнина в която е зададена положително ориентирана декартова координатна система O с ортонормиран базис i и j по

Подробно

Microsoft Word - IGM-SER1010.doc

Microsoft Word - IGM-SER1010.doc Лекция Редове на Фурие -теория Сведения за пространства със скаларно произведение В този раздел ще се занимаваме с периодични функции с период T > Една функция определена за всяко x R се нарича T -периодична

Подробно

Линейна алгебра 7. Умножение на матрици. Обратими матрици. Матрични уравнения специалности: Математика, Бизнес математика, Приложна математика, I курс

Линейна алгебра 7. Умножение на матрици. Обратими матрици. Матрични уравнения специалности: Математика, Бизнес математика, Приложна математика, I курс . Обратими матрици. Матрични уравнения специалности: Математика, Бизнес математика, Приложна математика, I курс лектор: Марта Теофилова Кратка история Матричното умножение е въведено от немския математик

Подробно

Основен вариант, клас Задача 1. (3 точки) За кои n съществуват различни естествени числа a 1, a 2,..., a n, за които сборът е естествено число

Основен вариант, клас Задача 1. (3 точки) За кои n съществуват различни естествени числа a 1, a 2,..., a n, за които сборът е естествено число Основен вариант, 0. 2. клас Задача. (3 точки) За кои n съществуват различни естествени числа, a 2,..., a n, за които сборът е естествено число? a 2 a 3 + + a n Решение: Ще докажем, че n =, n > 2. При n

Подробно

036v-b.dvi

036v-b.dvi МАТЕМАТИКА И МАТЕМАТИЧЕСКО ОБРАЗОВАНИЕ, 2010 MATHEMATICS AND EDUCATION IN MATHEMATICS, 2010 Proceedings of the Thirty Ninth Spring Conference of the Union of Bulgarian Mathematicians Albena, April 6 10,

Подробно

Microsoft Word - stokdovo saprotivlenie.doc

Microsoft Word - stokdovo saprotivlenie.doc Движения при наличие на Стоксово съпротивление При един често срещан вид движения неподвижно тяло започва да се движи под действие на сила с постоянна посока Ако върху тялото действа и Стоксова съпротивителна

Подробно

Глава 17 ζ-функция на Hasse-Weil. Преди да разгледаме ζ-функцията на Hasse-Weil трябва да въведем някои числови инварианти на крива, определена над кр

Глава 17 ζ-функция на Hasse-Weil. Преди да разгледаме ζ-функцията на Hasse-Weil трябва да въведем някои числови инварианти на крива, определена над кр Глава 7 ζ-функция на Hasse-Weil. Преди да разгледаме ζ-функцията на Hasse-Weil трябва да въведем някои числови инварианти на крива, определена над крайно поле. Лема 7.. Ако F е функционално поле на една

Подробно

Глава 15 Въпрос 15: Оператор на Рейнолдс. Крайна породеност на пръстена от инвариантни полиноми на крайна матрична група. Навсякъде в настоящия въпрос

Глава 15 Въпрос 15: Оператор на Рейнолдс. Крайна породеност на пръстена от инвариантни полиноми на крайна матрична група. Навсякъде в настоящия въпрос Глава 15 Въпрос 15: Оператор на Рейнолдс. Крайна породеност на пръстена от инвариантни полиноми на крайна матрична група. Навсякъде в настоящия въпрос полето k е с характеристика char(k = 0. За произволни

Подробно

8 клас

8 клас ............ трите имена на ученика клас училище Прочетете внимателно указанията, преди да започнете решаването на теста! Формат на теста Тестът съдържа 7 задачи по математика. 7 задачи от двата вида:

Подробно

Microsoft Word - Lekciya Red-na-Taylor-Pravilo-L-Hopital.doc

Microsoft Word - Lekciya Red-na-Taylor-Pravilo-L-Hopital.doc Лекция. Производни oт по-висок порядък. Развиване на функции в ред на Тейлър.. Производна от -ти порядък. Производната на дадена функция у = дефинирана и диференцируема в интервала a b на свой ред е дефинирана

Подробно

Kontrolno 5, variant 1

Kontrolno 5, variant 1 N P - П Ъ Л Н И З А Д А Ч И КОНТРОЛНО 5 ПО ДИЗАЙН И АНАЛИЗ НА АЛГОРИТМИ СУ, ФМИ ( ЗА СПЕЦИАЛНОСТ КОМПЮТЪРНИ НАУКИ, 1. ПОТОК; 3 МАЙ 018 Г. ) Задача 1. Разглеждаме задачата за разпознаване LongestCycle:

Подробно