Количествени задачи Задачи за студентска олимпиада по физика 18 г. А. Количествена задача - МЕХАНИКА Тяло с маса m=1kg започва да се хлъзга от начална височина h=1m по наклонена равнина, сключваща ъгъл α = 3 o спрямо хоризонтална повърхност. В самото начало на хоризонталната повърхност тялото се сблъсква идеално нееластично с неподвижно тяло с маса М= 3kg и двете продължават по хоризонталната повърхност. Коефициентът на триене по целия път е k=.1. приемете земното ускорение за 1 m.s -. (15т.) а) каква е скоростта на тялото с маса m в края на наклона? б) каква е скоростта на тялото с маса M в началото на неговото движение? в) Какво разстояние ще изминат двете тела по хоризонталната повърхност и за колко време? Решение а) L=h/sin h m α M ЗИ на ПМЕ: А нк = Е = (Е к ) + ( - Е п()) = Е к - Е п -Fтр.L = mv / mgh mv / = mgh- Fтр.L Сили по Y (чертеж): R = mg cos Fтр1= kr = kmg cos mv / = mgh- kmg cos.l = mgh- kmg cos.(h/ sin) V = gh(1 k cotg) V = [gh(1 k cotg)]^.5 1.86 m/s б) ЗЗИ при идеално нееластичен удар по ХОРИЗОНТАЛАТА mv = (m+m)u u = mv/(m+m) 3. m/s Скоростта на тялото с маса M след удара е всъщност u u = m V /(m+m) ; (използва се по-долу) в) По хоризонталата вариант 1: От кинематиката и динамиката: 1) (m+м)а = Fтр = k(m+m)g a= kg 1/1
) as = u S = u /a = u /kg 5.16 m S = (1/kg) m V /(m+m) S = (h/k) m /(m+m) (1 k cotg) 3) Равнозакъснително движение до спиране = u at t = u/a = u/kg= (1/kg) mv/(m+m) 3. s; t = (1/kg) m/(m+m) [gh(1 k cotg)].5 ; t = m/(m+m) [h/gk (1 k cotg)].5 ; вариант : със ЗИ на ПМЕ Анк = Е = Ек + 1) -k(m+m)gs = - (m+m) u / S = u /kg = (h/k) m /(m+m) (1 k cotg) 5.16 m ) a = u /S = kg = u at t = u/a = u/kg 3. s t = (1/kg) m/(m+m) [gh(1 k cotg)].5 /1
Б. Количествена задача - МОЛЕКУЛНА ФИЗИКА Идеален газ извършва цикъл, състоящ се от последователни изотерми и адиабати, както е показано на фигурата. Температурите, при които протичат изотермните процеси са Т1, Т и Т3. При всяко изотермно разширение обемът на газа се увеличава а пъти. Изразете КПД на този цикъл чрез Т1, Т и Т3. (1т.) Решение: Номерираме състоянията от 1 до 6 по часовниковата стрелка като 1 е състоянието с най-голямо налягане. 1 3 4 6 5 КПД = A/Q+ = (Q + + Q - )/Q + = (Q1+Q+Q3)/(Q1+Q) ; Q1 >, Q > ; Q3 < От I-я принцип на ТД : Q = А + U За изотермните процеси 1- и 3-4 по условие имаме V=aV1; V4=aV3 и понеже за тях U = Q1 = nrt1 Ln(V/V1) = nrt1 Ln(a) ; Q = nrt1 Ln(V4/V3) = nrt Ln(a) За намиране Q3 на ни трябват обемите V5 и V6. За целта разглеждаме адиабатните процеси. (-3) T1V -1 = TV3-1. От тук: V3=V (T1/T) b ; b= 1/(-1), или V3=аV1 (T1/T) b (4-5) TV4-1 = Т3V5-1. От тук: V5=V4 (T/T3) b ; b= 1/(-1), или V5=аV3 (T/T3) b От горните две равенства V5=а V1 (T/T3) b (T1/T) b = а V1 (T1/T3) b (6-1) T3V6-1 = T1V1-1. От тук: V6=V1 (T1/T3) b ; b= 1/(-1) Q3 = nrt3ln(v6/v5) = nrt3 Ln[(V1/ а V1) * (T1/T3) b /(T1/T3) b ] = nrt3 Ln( а - )], което записваме като Q3 = -nrt3 Ln(a) КПД = [nrt1 Ln(a) + nrt Ln(a) -nrt3 Ln(a)]/[ nrt1 Ln(a) + nrt Ln(a)] = (T1+T-T3)/(T1+T) КПД = 1 - T3/(T1+T) 3/1
В. Количествена задача - ЕЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗЪМ Част 1 Електричният дипол се състои от два заряда с равна големина q и противоположен знак, разделени на разстояние d един от друг. Векторът на диполния момент има големина p qd и сочи по оста, свързваща q с q. Разгледайте два идентични дипола, ориентирани както е показано на фигурата. Разстоянието между тях е r. а) Намерете точен израз за потенциалната енергия на системата от два дипола, изразена чрез q, d, r и Фиг. фундаментални константи. За удобство приемете, че потенциалната енергия е нула, когато диполите са на безкрайно разстояние един от друг; [1.5 т.] Във всички следващи подусловия приемете, че d << r. б) Направете приближение на израза за потенциалната енергия като запазите само найниската степен на d / r. Напишете приближението чрез p, r и фундаментални константи. [3т.] в) Намерете големината и посоката на силата, с която единият дипол действа на другия. Изразете силата чрез p, r и фундаментални константи. [3 т.] г) Намерете потенциала, създаден от дипола А в точка Р, изразен чрез векторите p r и R r и фундаментални константи. [3 т.] Част д) Сферична обвивка с вътрешен радиус a и външен радиус b е направена от материал със специфично съпротивление. Точков заряд с големина q е поставен в центъра на обвивката. В момента t обвивката е електрически неутрална, включително вътрешната и външната ѝ повърхност. Намерете заряда, разпределен върху външната повърхност на обвивката като функция на времето за t. Игнорирайте всякакви магнитни ефекти. [4.5т.] Решение Част 1 а) Има две q, q двойки, разделени на разстояние d, всяка от които има потенциална енергия q.[.35 т.] 4 d Има две q, qдвойки, разделени на разстояние r, всяка от които има потенциална енергия q 4 r. [. 35 т.] 4/1
Има една q, q двойка и една q, q двойка, разделени на разстояние от които има потенциална енергия r d, всяка 4 q r d. [. 35 т.] Последните два члена клонят към с нарастване на r, докато първият член не зависи от r. За да приложим конвенцията за нулева потенциална енергия на безкрайност, запазваме само последните два члена: б) Имаме U q 4 r r d. [. 35 т.] U q 1 4r 1 dr 1. n Използваме биномиалното приближение 1 x 1 nx за малки стойности на x. Получаваме Изразено чрез диполния момент: q 1 1 d U 1 q d 4r r 4r p U 4 r 3. [1.5 т.] 3. [1.5 т.] в) От съображения за симетрия следва, че силата трябва да е насочена по оста, свързваща двата дипола. Тъй като потенциалната енергия намалява с нарастване на разстоянието, силата е на привличане. Големината е du 3p F 4 dr 4 r, [1.5 т.] където знакът минус означава, че силата е на привличане. [1.5 т.] Друго възможно решение е да се напише точен израз за силата и да се наложи биномиалното приближение, както по-горе. г) Потенциалът в точка Р е V q 1 1 q R R. [.75 т.] 4 R R 4 R R При d = Rимаме R R d cos [.3 т.] и R R R [.3 т.]. Така получаваме. [1 т.] 5/1
Част д) По вътрешната повърхност ще се натрупа заряд Q, а по външната ще се натрупа заряд Q. От сферичната симетрия и от закона на Гаус следва, че електричното поле в обвивката е Това ще доведе до ток с плътност E 1 q Q() t. [.75 т.] 4 r E 1 q Q J. [. 75 т.] 4 r Самият ток е с големина q Q I JS. [. 75 т.] Тъй като I dq dt, имаме Следователно dq dt q Q. [. 75 т.] Qt () t ' dq q Q dt. Така намираме Q t 1 exp. [1.5 т.] q 6/1
А. Качествени задачи МЕХАНИКА КАЧЕСТВЕНИ ЗАДАЧИ А1. Траекториите на два камъка хвърлени от една и съща точка от земната повърхност са показани на фигурата. Кой от двата камъка е престоял повече време във въздуха? Обяснете защо. (5т.) Решение: Времето t1за което тялото се издига на дадена височина h може да се изрази чрез височината и земното ускорение g с помощта на закона на движение и закона за скоростта по оста Y: y =h = vt1 -.5gt1 ; = v - gt1 t1 = (h/g)^.5 Времето за падане от тази височина е равно на времето за издигане. t= t1 Времето, през което тялото е във въздуха е t = t1 = (h/g)^.5. ha > hb. Следователно камък А е престоял повече време във въздуха А. Обяснете защо автомобилът харчи повече гориво когато се движи през града в сравнение с извънградското движение. (5т.) Решение: При градско движение има чести спирания и тръгвания, намаляване и увеличаване на скоростта. За да се увеличи скоростта (те. да има положително ускорение a=dv/dt) трябва да се приложи движеща сила (F=ma). Прилагането на движеща сила става за сметка на изразходвана енергия. Последната се получава от изгарянето на гориво. При движение извън града в по-голямата част от времето скоростта е постоянна, или малко се променя. В този случай в необходима по-малка сила, съответно енергия, за преодоляване на съпротивителните сили и поддържане на (почти) постоянна скорост. 7/1
Б. Качествени задачи МОЛЕКУЛНА ФИЗИКА Б1. Фигурата показва цикъла на топлинна машина, при който приетото количество топлина е Q = 3 J? Противоречи ли тази машина на втория принцип на термодинамиката? Обосновете отговора си. (5т.) Решение: КПД = A/Q A = площта на триъгълника =.5*1х1-6 * х1 3 =1 J КПД = 1/3 = 1/3 < 1. Такава машина не противоречи на -я принцип на ТД. Q Б. На диаграмата са изобразени процесите -1, - и -3. Назовете ги и ги представете в p-t и V-T диаграма. (5т.) Р P 1 Решение: а) -1 изобарен; - изохорен; -3 изотермен (или адиабатен) б) (не се изисква да се разглежда адиабатен процес -3) 3 V 1т. за линиите + 1т. за посоките в) (не се изисква да се разглежда адиабатен процес -3) 1т. за линиите + 1т. за посоките 8/1
В. Качествени задачи ЕЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗЪМ B1. Електричество Защо птиците могат безопасно да кацат на електрически жици? Решение: Съпротивлението на птицата е много по-голямо от това на жицата и затова през птицата практически не преминава ток. С други думи разликата в потенциалите между двата крака на птицата е пренебрежимо малка, тъй като жицата е добър проводник. Освен това птицата е с нисък капацитет и токът в резултат от променливия потенциал на жицата е пренебрежим. [5 т.] B. (Магнетизъм). Магнитна сила Може ли магнитното поле да промени големината на скоростта на заредена частица? Обосновете отговора си? Решение: Не може. Причината е, че магнитната сила е перпендикулярна на движението, поради което тя не може да промени кинетичната енергия на частицата. Подобно на центростремителната сила, която действа на тяло, обикалящо по кръгова орбита. [5 т.] 9/1
Тест (1 х 3 т.) 1. Три коли с различни маси се движат с една и съща скорост. В един и същ момент шофьорите натискат рязко спирачка и блокират колелата. Коя кола ще се хлъзне на най-голямо разстояние преди да спре? Трите коли имат еднакви гуми. А) най- тежката Б) най-леката В) средната по тегло Г) трите ще изминат еднакъв път преди да спрат Отговор: Г) Aтр= - kmgs = - Ek = - mv /. Плътността на солената вода е по-голяма от тази на сладката. Кораб плава в сладка вода, а после в солена. Обемът на изместената от кораба вода ще е повече в случая на: А) сладка вода В) еднакъв в двата случая Б) солена вода Г) няма достатъчно данни да се определи Отговор А) сладка вода 3. Човек се намира в асансьор, който се движи нагоре, но намалява скоростта си с ускорение 8m/s. Коя от фигурите най-добре представя силите, действащи върху човека? Ff е силата, с която подът действа на човека, а Fg е силата на тежестта на човека. Отговор : В). Подът не може да действа със сила надолу отпадат С, Е. Движението е равнозакъснително нагоре. Следователно резултантната сила трябва да е надолу, което отговаря на В). 4. Две тела, свързани с безмасова нишка се дърпат нагоре с постоянна скорост 1.5 m/s от сила F както е показано на фигурата. Опъването на нишката е Т. Кое твърдение е вярно? F А) Т > F В) T = F Б) Т + F =15N Г) F = T + 5 N Д) F= T + 1 N Отговор : Г) за горното тяло: F T G1 = ma = ( v = const) G 1= 5 N G = 1 N нишка 1/1
5. Процесът показан на фигурата е : А) адиабатно свиване В) изотермно свиване Б) изобарно свиване Г) изохорно свиване Д) нито едно от тях Отговор: В) 6. Когато определено количество идеален газ претърпява изобарно разширение А) вътрешната му енергия не се променя Б) газът не извършва работа В) газът повишава температурата си Г) газът не обменя топлина с околната среда Д) налягането на газа нараства Отговор: В) газът повишава температурата си 7. При изотермно разширение на Ван-дер-Ваалсов газ вътрешната енергия: А) остава постоянна Б) нараства В) намалява Г) отговорът зависи от началните условия Отговор: Б) нараства: V > V1 ΔU =an (1/V1 1/V) > 8. Защо амперметрите трябва да бъдат с възможно най-ниско съпротивление? А) За да не променят тока, който измерват, чрез внасяне на допълнително съпротивление във веригата Б) Съпротивлението на амперметъра няма значение за неговото действие В) Амперметрите трябва да бъдат с възможно най-високо съпротивление Г) За да могат да измерват променлив ток Отговор: А 11/1
9. Защо се използват резистори в електричните вериги? Отговор: Б А) Да складират електрическа енергия Б) За да контролират колко ток да протича през определена част от веригата, за да може другите компоненти да работят правилно В) Резисторите не съществуват, а са просто концепция Г) Нужни са единствено в променливотокови вериги 1. Два идентични резистора са свързани. Съпротивлението на тази система е по-малко от съпротивлението на всеки резистор по отделно. Как са свързани резисторите? А) Последователно Б) Успоредно В) Не са свързани Г) Нито един от изброените отговори не е верен Отговор: Б 1/1