Въпрос 10 МЕХАНИКА НА ИДЕАЛНО ТВЪРДО ТЯЛО Във въпроса Механика на идеално твърдо тяло вие ще се запознаете със следните величини, понятия и закони, както и с основните единици за измерване: Идеално твърдо тяло Постъпателно движение на твърдо тяло Момент на силата спрямо ос Рамо на силата Двойка сили Момент на двойка сили Неподвижна ос Инерчен момент на материална точка Инерчен момент на тяло спрямо ос Теорема на Щайнер за успоредните оси Теорема за перпендикулярните оси Теорема за перпендикулярните оси за плоско тяло Инерчен момент на диск Инерчен момент на пръчка Плоскопаралелно движение Кинетична енергия на твърдото тяло Главни и свободни инерчни оси Главни инерчни оси Главни инерчни моменти Централни инерчни оси Свободни оси на въртене Единици за измерване Единица за инерчен момент - 1 -
1. Модел на идеално твърдо тяло Формата и обемът на реалните твърди тела се изменят при всяко взаимодействие с други тела, т.е. те се деформират. Но в редица случаи тези деформации са много малки и могат да се пренебрегнат. Така се въвежда идеализираният модел на идеално твърдо тяло. Идеално твърдо тяло Идеално твърдо тяло се нарича система от материални точки, разстоянията между които остават постоянни при движението на системата като цяло. При взаимодействията с околните тела формата и обемът на идеално твърдото тяло не се изменят. Това тяло е недеформируемо.. Постъпателно движение на твърдо тяло Движение, при което всички точки на твърдото тяло се движат по един и същ начин и описват аналогични траектории се нарича постъпателно движение. Ако твърдото тяло извършва само постъпателно движение, неговите форма и размери могат да се пренебрегнат и тялото да се разглежда като материална точка, чиято маса е равна на масата на цялото тяло. - -
3. Момент на сила спрямо ос. Двойка сили Нека на твърдо тяло, което се върти около неподвижна ос z, действа сила F. Моментът на силата M се определя спрямо произволна точка О от оста z. Доказва се, че проекцията M върху оста z на моментa на z силата не зависи от положението на точката О. Затова разглежда като момент на силата (въртящ момент) спрямо оста z. M z може да се Доказателството ще направим за случая, когато силата F лежи в равнина, перпендикулярна на оста z. Но то е валидно и в случая, когато силата F не лежи върху перпендикулярна на оста z равнина. За да се определи моментът на сила F спрямо неподвижна ос z, определяме най-напред моментa на тази сила спрямо произволна точка (например точката O) от оста (фиг.1): M = r F, където r е радиус-векторът на приложната точка А на силата. Фиг.1 От фигурата се вижда, че M = M + M = r F + r F. Векторът M = r F е перпендикулярен на оста z и затова неговата проекция върху тази ос е нула ( M z = 0 ). Тогава големината на проекцията на момента M е равна на модула на вектора M, т.е. където е рамото на силата. Рамо на силата Mz = M = r F sinα = FR, R = r sinα Рамо на силата е разстоянието от линията на действие на силата до оста на въртене z. - 3 -
Момент на силата спрямо ос Проекцията върху неподвижната ос z на момента M на силата, определен спрямо произволна точка O от оста, се нарича момент на силата спрямо тази ос. От формулата M = FR се вижда, че ако приложната точка на силата z F (точка А) се премества по нейната линия на действие, моментът на силата (въртящ момент) спрямо оста z не се изменя. Моментът на сила спрямо ос е скаларна величина. Той може да има положителна или отрицателна стойност и характеризира способността на тази сила да върти тялото, на което действа, около разглежданата ос. Въртящият момент е положителен ( M z > 0), ако векторът M е насочен в положителна посока на оста z. Тогава силата F се стреми да завърти тялото в посока, обратна на посоката на въртене на часовниковата стрелка (Фиг.). Силите, които се стремят да завъртят тялото по посока на часовниковата стрелка, имат отрицателен въртящ момент ( M z < 0). Фиг. Важно: Моментите на силата и на импулса спрямо неподвижна точка са векторни величини, докато моментите на силата и на импулса спрямо неподвижна ос са скаларни величини. Двойка сили Две равни по големина и противоположни по посока сили, които лежат в една равнина, но не действат по една права линия, образуват двойка сили. - 4 -
На фиг.3 са показани две сили F 1 и F, лежащи в равнината σ. За тях е изпълнено F1 = F и F1 = F = F. Фиг.3 Двете сили въртят в една и съща посока, поради което проекциите на техните въртящи моменти по оста z имат едни и същи знаци. Общият въртящ момент на двойката спрямо оста z е Mz = Mz1 + Mz = R1F + RF = RF, където R = R1 + R е разстоянието между линиите на действие на двете сили (фиг.3). Момент на двойка сили Въртящ момент Mz = RF на двойка сили спрямо ос се нарича произведението от големината F на силата и разстоянието R между линиите на действие на двете сили: M = RF, z Полученият резултат не зависи от положението на точката О, в която оста на въртене пресича равнината σ. - 5 -
4. Въртене на твърдо тяло около неподвижна ос. Уравнение на въртенето (фиг.4). Разглеждаме идеално твърдо тяло, което се върти около ос z Фиг.4 Точката O е началото на координатна система xyz, чиито оси са неподвижно свързани с въртящото се тяло. Ако тази точка остава неподвижна спрямо избрана инерциална координатна система, оста z се нарича неподвижна ос. Неподвижна ос Минаващата през неподвижна точка ос, около която се върти твърдото тяло, се нарича неподвижна ос. Ъгловата скорост на въртене ω около неподвижната ос z има направление по тази ос. Нейната големина може да се изменя, посоката й също може да се измени на противоположната, но направлението й не се изменя. Записваме уравнението за моментите (уравнение на въртенето) спрямо неподвижната точка O: dl dt = M, където L е моментът на импулса на тялото ( L = Li = ( ri pi ) - 6 - n n i = 1 i = 1 векторна сума от моментите на импулса на всички n на брой материални точки, на които мислено можем да разделим твърдото тяло), а M е векторната сума от моментите на всички външни сили, действащи на твърдото тяло. е
Проекцията на векторното уравнение върху оста на въртене z е dlz = Mz, dt където L z и M z са z -компонентите на векторите L и M. Разделяме тялото на малки елементи (материални точки), всеки с маса m i, радиус-вектор r i, скорост v i и момент на импулса Li = miri vi (фиг.1). За проекцията по оста z на момента на импулса на i-тия елемент се получава L = L cosθ = m v r cosθ, iz i i i i където сме отчели, че векторите r i и v i са взаимно перпендикулярни. Заместваме vi = ωri, ri = Ri / cosθ и получаваме Liz = ωmiri, където R i е разстоянието от разглеждания елемент до оста на въртене, a θ е ъгълът между вектора L и оста z. Проекцията L z на момента на импулса на твърдото тяло е равна на алгебричната сума от проекциите на моментите на импулса на всичките малки елементи, на които е разделено тялото: n n Lz = Liz = ω miri = ωiz. i = 1 i = 1 Величината n Iz = miri i = 1 се нарича инерчен момент на твърдото тяло спрямо неподвижната ос на въртене. Ако тялото може да се разглежда като материална точка тогава: Инерчен момент на материална точка Произведението от маса на материална точка и разстоянието, на което тя отстои от оста на въртене се нарича инерчен момент на материалната точка. I = mr Единица за инерчен момент Единицата за инерчен момент на твърдо тяло е килограм по метър на квадрат [ I ] = kg.m. - 7 -
Вижда се, че инерчният момент I z на системата зависи от разпределението на масите в нея и от положението на оста на въртене. Ако твърдото тяло е хомогенно (с една и съща плътност ρ във всяка точка) и симетрично спрямо оста на въртене, векторите L и ω са колинерани и равенството Lz = ωiz може да се запише във векторен вид: L = Izω. Уравнението на въртене на твърдото тяло около неподвижната ос z има вида d I ω z = Mz, dt или Izε = Mz, dω където ε = е ъгловото ускорение на въртене на тялото (векторът dt ε, подобно на вектора ω е по направление на оста z. - 8 -
5. Инерчен момент на твърдо тяло Аналогия между величините маса и инерчен момент на твърдо тяло В динамиката на постъпателно движение една от основните величини е масата на телата. Тя е мярка за тяхната инертност. При изучаване на въртеливите движения на идеално твърдо тяло важна динамична характеристика е величината инерчен момент спрямо ос. Инерчният момент е мярка за инертността на телата при въртеливо движение. Инерчен момент на тяло спрямо ос Инерчният момент спрямо произволна ос z се дефинира с формулата n I = miri, i = 1 където R i е разстоянието от i -тия елемент на твърдото тяло с маса m i до оста на въртене (общият брой на елементите, на които се разделя твърдото тяло, е n). Инерчният момент зависи от разпределението на масата в твърдото тяло и от положението на оста на въртене. При определяне на инерчните моменти спрямо различни оси важно значение имат две теореми: теорема за перпендикулярните оси и теорема за успоредните оси. - 9 -
5.1.Теорема на Щайнер за успоредните оси Теоремата на Щайнер се нарича още теорема на успоредните оси. Тя гласи: Инерчният момент на твърдо тяло спрямо произволна ос на въртене е равен на сумата от инерчния момент на тялото спрямо ос, успоредна на дадената и преминаваща през неговия център на масите, и произведението от масата на тялото и квадрата на разстоянието между двете оси, т.е. I = I0 + md, където I 0 е инерчният момент на тялото спрямо ос, минаваща през центъра на неговата маса и успоредна на дадената ос, а d е разстоянието между двете оси (фиг.5). Фиг.5 С помощта на теоремата на Щайнер може да се намират инерчните моменти на телата спрямо различни оси. - 10 -
5..Теорема за перпендикулярните оси Тази теорема гласи: Сумата от инерчните моменти на идеално твърдо тяло спрямо три взаимно перпендикулярни оси (x,y,z), пресичащи се в точка O, е равна на удвоената сума на произведенията от масите на материалните точки, от които се състои тялото, и квадрата на техните разстояния до точката О (фиг.6): n Ix + Iy + Iz = miri. i = 1 Фиг.6 Теорема за перпендикулярните оси за плоско тяло Сумата от инерчните моменти на плоско тяло спрямо две взаимно перпендикулярни оси, лежащи в равнината на тялото, е равна на инерчния момент спрямо ос, перпендикулярна на равнината на тялото при условие, че трите оси се пресичат в една точка (фиг.7). Ix + Iy = Iz. Фиг.7. - 11 -
5.3. Инерчен момент на диск и на пръчка За него: Инерчен момент на диск Разглеждаме тънък еднороден диск с маса m и радиус R (фиг.8). Iz 1 = mr. Фиг.8 Поради симетрията, инерчните моменти на диска спрямо осите x и y са равни ( I x = I y ), а дебелината му може да се пренебрегне. Тогава от теоремата за перпендикулярните оси, приложена за плоско тяло, следва: 1 1 Ix = Iy = Iz = mr. 4-1 -
Инерчен момент на пръчка Пръчката може да се разглежда като частен случай на еднороден плътен цилиндър с маса m, радиус R и дължина L (фиг.9). Разпределението на масата на цилиндъра спрямо оста z е същото, както при тънък еднороден диск с радиус R. Затова 1 Iz = mr. Фиг.9 От симетрията следва, че инерчните моменти спрямо перпендикулярните оси x и y са равни: Ix = Iy. С помощта на интегриране се получава 1 1 Ix Iy m = = L + R 1 4. В частния случай на дълга цилиндрична пръчка, за която L спрямо аналогични оси се получават следните формули: 1 1 Iz = mr, Ix = Iy = ml. 1 >> R, - 13 -
6. Кинетична енергия на въртене 6.1.Плоскопаралелно движение Плоскопаралелно движение на твърдо тяло се нарича това движение, при което всички точки на тялото се преместват успоредно на дадена неподвижна равнина. Пример за плоскопаралелно движение е търкалянето на обръч, цилиндър, диск или кълбо. Особености на плоскопаралелното движение: -ъгловата скорост ω на тялото не променя направлението си (тя може да изменя само големината и посоката си на противоположната); -скоростта v c на центъра на масите на твърдото тяло винаги е перпендикулярна на ъгловата скорост ω; -във всеки момент от време плоскопаралелното движение може да се разглежда като чисто въртене около неподвижна моментна ос, чието положение спрямо тялото в общия случай се изменя по време на движението. Уравнението за моментите при плоскопаралелно движение има ви- dl dt = M, ако моментът на импулса L и резултантният момент M на да външните сили са определени: 1) Спрямо неподвижна точка О; ) Спрямо точка С (център на масите на тялото). 6..Кинетична енергия на твърдо тяло Нека началото на неинерциална отправна система съвпада с центъра на масите С на твърдо тяло. Търсим кинетичната енергия на твърдото тяло спрямо инерциална отправна система. В този случай: Кинетичната енергия на твърдото тяло може да се представи като сума от два члена: -кинетична енергия на постъпателно движение на тялото (на mv центъра на масите): c ; - 14 -
-кинетична енергия на въртеливо движение на тялото около ω I моментна ос, минаваща през неговия център на масите: c. Тогава за кинетичната енергия на твърдото тяло можем да запишем: c ω Ic mv Ek = +. Тук m е масата на цялото тяло, а I c е инерчният му момент спрямо моментна ос на въртене, преминаваща през центъра на масите (точка С). По този начин всяко движение на твърдо тяло се представя, като сума от две независими движения: постъпателно движение със скорост v c, равна на скоростта на центъра на масите и въртене около моментна ос, минаваща през центъра на масите. Кинетична енергия на твърдото тяло Кинетичната енергия на твърдото тяло е равна на сумата от кинетична енергия на постъпателно движение на тялото (на центъра на масите) и кинетична енергия на въртеливо движение на тялото около моментна ос, минаваща през неговия център на масите: E k c ω Ic mv = +. Аналогия между кинематичните и динамичните величини, описващи постъпателното и въртеливото движение на твърдо тяло Съществува определено съответствие между величините, които описват постъпателното и въртеливото движение на твърдо тяло: а)ъгълът на завъртане ϕ при въртеливо движение е аналог на пътя s при постъпателно движение; б)ъгловата скорост ω при въртеливо движение е аналог на скоростта v при постъпателно движение; в)ъгловото ускорение ε при въртеливо движение е аналог на ускорението a при постъпателно движение; г) инерчният момент I при въртеливо движение е аналог на масата m при постъпателно движение; - 15 -
д) моментът на силата M при въртеливо движение е аналог на силата F при постъпателно движение; е) моментът на импулса L при въртеливо движение е аналог на импулса p при постъпателно движение. В следващата таблица са съпоставени отделните аналогични величини и закономерности (кинематични и динамични), които описват постъпателното и въртеливото движение на твърдо тяло: s - път Постъпателно движение v - скорост ds v = dt a- ускорение dv a = dt m - маса F - сила p - импулс p z - проекция на импулса върху ос Въртеливо движение θ - ъгъл на завъртане ω - ъглова скорост dθ ω = dt ε - ъглово ускорение dω ε = dt I z - инерчен момент M - момент на сила L - момент на импулса L z - проекция на момента на импулса върху ос pz = mvz Lz = Izω dp dt = F dl M = dt F = ma Izε = Mz mv I E k = zω Ek = - 16 -
7. Главни и свободни инерчни оси В общия случай векторът на момента на импулса L не е насочен по оста на въртене, т.е. векторите L и ω не са успоредни (фиг.1). Главни инерчни оси Доказва се: при произволен избор на началото O през него могат да се прекарат три взаимно перпендикулярни оси x, y, z такива, че при въртене на тялото около тези оси моментът на импулса L е насочен по оста на въртене. Осите x, y, z се наричат главни инерчни оси на тялото за точка O. Главни инерчни моменти Инерчните моменти на тялото спрямо главните инерчни оси се наричат главни инерчни моменти. Централни инерчни оси Главните инерчни оси, прекарани през центъра на масите C на твърдото тяло, се наричат главни централни инерчни оси, а съответните моменти - главни централни инерчни моменти. Свободни оси на въртене Свободна ос на въртене е такава ос, чието положение в пространството не се променя с времето, когато тялото се върти с постоянна ъглова скорост около нея в отсъствие на външни сили. Главните централни инерчни оси са също така и свободни оси. Доказва се: в отсъствие на външни сили устойчиво е само въртенето около главните централни оси (свободни оси), спрямо които инерчният момент на тялото има екстремна (минимална или максимална) стойност. При наличие на външна сила устойчиво е само въртенето около главната централна инерчна ос, спрямо която инерчният момент на тялото има максимална стойност. - 17 -