Дефиниция: Казваме, че сл.в. Х е непрекъсната, ако съществува интегруема функция f, дефинирана в R такава, че за всяко реално х Плътност на непрекъсната случайна величина F e F f s ds Функция на разпределение f F' Свойства на плътността растяща > F ' f е неотрицателна функция графиката й е над и по абсцисната ос F f s ds Лицето между графиката на f иабсциснатаосе Pa X b Fb - Fa Дефинирана в R b a f s ds РХа Лицето между графиката и абсцисната ос над интервала [a,b] еравен на вероятността PaX b
f c,5 Плътността на непрекъсната сл. в. Х е в противен случай Намерете стойността на константата с s ds f d c с c,5 Начертайте графиката на плътността Немерете ф.р. При х F f s ds ds При х F f s ds ds +,5sds,5 Каква е вероятността сл. в. да ема стойности помалки от? При х> F f s ds ds +,5sds + ds PX f s ds,5sds,5 или PXPX F,5
Газстанция се зарежда един път седмично. Oбемът на седмичните продажби в хил. тонове е случайна величина в плътност f 5c в противен случай Намерете стойността на константата с s ds f c d c 5 Каква е вероятността седмично да се продават повече от 5 тона?,5 5 5,5 хил. тона РХ>,5 d, 65,5 5 Колко трябва да е капацитетът на резорвоарите, така че вероятността да бъде изчерпвана газта седмично да е,? а? че РХ а, 5 d, a a 5 5 5 а,5 или 5 тона
Непрекъсната случайна величина: стойностите й са всички числа от даден интервал или интервали, крайни или безкрайни. Функцията на разпределение на непрекъсната случайна величина, като интеграл, е непрекъсната функция. Химаф.р. F х х х х Прекъсната в т. Х е нито дискретна нито непрекъсната
Моданай-вероятна стойност- точка на локален максимум на плътността Медианаточка, за която 5% от стойностите на случайната величина са по-големи и 5% са по-малки от нея точка, която разполовява лицето под графиката на плътността Квартили: разделят множеството от стойности на части: Стойности на случайната величина M M :,5 f d Q медианам Q 5% 5% 5% 5% Q:,5 Q f d Q :,75 Q f d
Мода Медиана Квартили M M :,5 f d,5d,5м²,5 М, M Q Q:,5 f d,5d Q Q Q Q Q:,75 f d,5d Q, 7
σ EX f d Е c Е cx c cx Е X + Y EX + EY Е X. Y EX. EY ako X и У са независими X E X EX EX f d σ c σ cх с σ Х σ Х + У σ Х + σ У ако Х иу са независими σ σ
f,5 Плътността на една сл. в. е в противен случай Намерете средната стойност на случайната величина EX f d,5 d /. Намерете дисперсията на случайната величина σ X E X EX EX f d /,5 d / 9 Намерете стандартното отклонение на случайната величина σ X σ 9,7
Нека Х е непрекъсната сл. в. Казваме, че Х има крайна средан стойност, ако интегралът EX f d е абсолютно сходящ. Нека Х има плътност F, π + EX d d + π π + π ln +
Нека Х е дискретна случайна величина с ред на рaзпределение. n p PX PX PXn g е реална функция дефинирана х,х,..., n Разглеждаме gх е случайна величина gх gх. gхn p PX PX PXn
Eg X g p + g p +... + g p n n Пример: Нека Х има ред на разпределение - P..5..5 Разглеждаме Х² 9 P.5.5.5 E X, +, + 9,5,85
Сезонна стока носи чиста печалба от а лв на търговеца продажбата й изагубаотв лв, ако не се продаде до края на сезона. Бройките, които търговецът продава от тази стока през сезона е случайна величина с вероятност pi, i. Ако търговецът разполага с достатъчно голям склад, определете колко бройки от тази стока той трябва да закупи в началото на сезона, за да има максимална очаквана печалба? Aброй поръчани и закупени от търговеца единици?????? EY Z-брой продадени единици... к... А A p р р... рк...... a + b Упечалба A k A k ka A k b p kp k + A a + b k A k УзависиотZ + Aap kp k A Aa a + b A k kp k p k k Ab A k Aa Y Za A Z b kp k + Aa Случайна величина A k kp k A k Z A Z A Min A : kp k a a + b
Нека Х е непрекъсната случайна величина с множество от стойности А и с ф.р. F исплътност f g е реална функция, дефинирана в множеството А. Разглеждаме YgХ е случайна величина сф.р. H? иплътностh Нека функцията g е растяща Съществува обратна функция g растяща g g HPY PgX РХ F h H ' F g ' F' g g ' f g g '
в противен случай х f Сл. в. Х има плътност Намерете плътността на УХ + х х х F HPY PX+ РХ у-/fу-/ 5 5 9 х х в противен случай h 5 9
Намерете плътността на У-Х² HPY P-X² РХ² у+/ РХ² -у/ + + F F X P X P X или X P х х х F F При -у/ или у> H- При -у/ или -у H- F H При -у/ или у - плътността 9 ' ' у H h
Нека Х е непрекъсната случайна величина с множество от стойности А и с плътност f g е реална функция, дефинирана в множеството А. Разглеждаме YgХ е случайна величина EY g f d Нека, времето за доставка на една пица до определено место е сл.в., която има плътност Ако печенето на пицата отнема минути, х 5, f то намерете очакваното време за доставка 5 в противен случай след обаждане и поръчка по телефона. Колко е стандартното отклонение? E X + + d 9,5 E X + + 6, 5 d 5 5 5 σ X + E X + X E + 7,
Процес за рафиниране на захар рафинира до тон на ден. Но в действителност реалното количество Х, рафинирано всеки ден е случайна величина, защото понякога машините се нуждаятотпоправка, от обслужване и пр. Допускаме, че плътността на Х е f, в противенслучай Компанията продава по $ на тон рафинираната захар, но има също и фиксирани допълнителни разходи от $ дневно. Колко е средната дневна печалба на компанията в стотици долари? Дневната печалба U е случайна величина и U X- в стотици долари. Средната дневна печалба е средната стойност на U E U d d d
Да намерим плътнoстта на U ФункциятанаразпределениенаХе F х ², х> Тогава FUu P U u P Х- up X u+/fxu+/ Но u+/ u- и u+/ u Следователно, функциятанаразпределениенаu е Fu u-,5u +² - u, u> Тогава плътнoстта на U епроизводнатанаfu или fuu u + - u впротивенслучай