Print

Препис

1 Математика и информатика Volume 59, Numer 3, 06 Mthemtis nd Informtis Edutionl Tehnologies Образователни технологии ЧЕВИАНА И СИМЕДИАНА В ТРИЪГЪЛНИК ТЕОРЕМА НА СТЮАРТ Враца Резюме В статията се разглеждат понятията чевиана, симедиана, теорема на Стюарт и някои техни приложения в несложни задачи Целта е подходящо надграждане на геометричните познания на учениците за медиана, височина и ъглополовяща на триъгълник Предложената разработка е насочена към гимназиалните учители, търсещи възможности за развитие на една от ключовите компетентности математическата компетентност Keywords: mthemtil ompetene, evin, symmedin, tewrt s theorem В отговор на очакванията към българското училищно образование и преосмисляне на философията му основна задача на българския учител е да формира у учениците не просто знания и умения, а ключови компетентности, ориентирани към личностно развитие на ученика през целия му живот Основните начини за развитие на компетентностите са обогатяване на знанията, усъвършенстване на уменията и придобиване на опит Предложената разработка е в помощ на учителите, търсещи възможности за разширяване на математическата ключова компетентност Понятията медиана, ъглополовяща и височина в триъгълник са основни геометрични понятия в прогимназиален и гимназиален етап на обучението по математика Запознаването на учениците от гимназиален етап в ЗИП/ПП, СИП или извънкласните форми на работа по математика с понятията чевиана, симедиана, теоремата на Стюарт и някои техни приложения е подходящо разширяване на тези геометрични познания Определение Чевиана ) от даден връх в триъгълник се нарича всяка отсечка, която съединява върха с точка от срещулежащата му страна или нейното продължение В някои източници вместо понятието чевиана се използва понятието недиана (Коларов et l 989, с8), (Гроздев & Лесов, 0), (Гроздев et l, 0), (Grozdev, 007), (Grozdev & Nenkov, 00) 69

2 В разработката ще използваме термина недиана, синоним на термина чевиана На черт отсечката D, където D произволна точка от страната или продължението є, е недиана от върха С в Δ Определение Симедиана от даден връх в триъгълник се нарича отсечка, която съединява върха с точка от срещулежащата му страна и сключва с ъглополовящата от същия връх ъгъл, равен на ъгъла между ъглополовящата и медианата на триъгълника от дадения връх D Чертеж γ γ ϕϕ L M Чертеж На черт са построени симедианата СС ( ΑΒ), ъглополовящата L на γ (L ), медианата M (M ) и съгласно определението L LM ϕ От определенията за медиана, ъглополовяща и височина в даден триъгълник и дадените по-горе определения следва, че можем да разглеждаме медианата, ъглополовящата, височината и симедианата от даден връх в произволен триъгълник като частни случаи на недианата от този връх 70

3 Чевиана и симедиана в триъгълник При означенията на черт : ) ако точката D е среда на D D, то отсечката D е медианата m от върха С в Δ; γ ) ако точката D лежи на страната и D D, то отсечката D е ъглополовящата l на γ в Δ ; 3) ако точката D лежи на страната и D, то отсечката D е височината h от върха С в Δ ; ) ако точката D лежи на страната и ( D, l ) ( l, m ), където l и m са съответно ъглополовящата и медианата от върха С, то отсечката D е симедианата от върха С в Δ Теорема (аналог на теоремата за ъглополовящата) Всяка вътрешна симедиана в триъгълник дели срещулежащата страна на отсечки, пропорционални на квадратите на дължините на прилежащите към тях страни Доказателство Ще докажем теоремата за симедианата при означе- нията на черт, те ще докажем, че Аналогично теоремата се доказва и за останалите симедиани За лицата на Δ С и Δ ВМ е в сила равенството M h M h M sin Msin, но h h M () M M Аналогично за лицата на М и ВС имаме M h Msin M M, но h M h h sin M M () От MM (M медиана) и почленното умножаване на () и () получаваме Теорема на Стюарт ) Нека е даден Δ със страни,, и произволна точка D, лежаща на страната Ако D d, D m, и D n, то d mn m n (черт3) 7

4 7 Доказателство Нека D ϕ От косинусова теорема за D и D получаваме D D DDO() и D D DDos(80 0 Но os(80 0 O, откъдето следва D D DDos () Умножаваме двете страни на първото и второто равенство съответно с D и D и събираме почленно, в резултат на което получаваме последователно D D D D D DD D D D D d m ϕ Чертеж 3 D с n D D D D D D D D D D D D m n Окончателно получаваме d mn m n d m n (последното равенство е известно още като уравнение на вятърната мелница) Твърдението може да бъде доказано и с теоремата на Питагор (задача 8) Отделно ще разгледаме теоремата на Стюарт в случаите, когато точката D е от продължението на страната (задачи 9 и 0) Чрез теоремата на Стюарт може да се намери дължината на всяка недиана в триъгълник Следствия от теоремата на Стюарт Даден e Δ със страни,, и точка D, лежаща на страната, като D d, D m и D n () Нека точката D е среда на, D D (те D медиана) m n ( ) D ( ) m n d m n медианата D m ( ), което учениците знаят от Х клас () Нека точката D лежи на страната и D m (те D ъглополовяща) и тъй като D D m n m D n, n

5 73 Чевиана и симедиана в триъгълник m n n m d D ъглополовящата, което учениците знаят от Х клас (3) Нека точката D лежи на страната и D (те D височина) но от косинусова теорема os α и os β, откъдето следва, че височината D ( ) ( ) h Чрез тази формула може да се намери директно дължината на всяка височина в триъгълник, ако са дадени неговите страни Без познанията за теоремата на Стюарт това се постига чрез пресмятане на лицето на триъгълника по Херонова формула и използване на равенствата h h h,, () Нека точката D лежи на страната и (те D симедиана) и тъй като D n m m, n D ( ) m n n m d

6 дължината на симедианата D Приложения в задачи Задача Недианите D и E на Δ разделят на три равни части Да се намерят отсечките D, DE и E, ако :D:E: : 3 : : 3, АС m и D e между А и Е Намерете дължините на страните и и недианите D и E Решение Нека :D:E: D 7 E k : 3 k : k : 3 k, където k естествено число (черт) Съгласно условието D ъглополовяща в, откъдето Δ E DE D DE 3 k Чертеж E DE () E E 3 k От (), () и АС m, следва, че D DE 3 m и E 6 m Ако използваме теоремата на Стюарт за недианата E в E E D DE D D D k D DE () DE E DE k Съгласно условието E ъглополовяща в Δ D, откъдето E DE 6 3 k 3 9 Δ D, то 3 k k 6 3 k 9 k 3 Е 6 m, D 3 3 m, 6 3 m и тъй като E, то 6 m Задачата може да бъде решена и по други начини Задача Недианите M и N на Δ се пресичат в точка О Да се намери лицето на Δ, ако лицата на Δ MO, Δ O и ΔON са съответно m, m и 6 m (черт5)

7 Чевиана и симедиана в триъгълник Решение За лицата на Δ O и Δ ON е в O ho сила равенството O, но h O h ON N ON ON hon O O O O M 6 m ON ON 6 ON ON 3 m m O Аналогично за лицта на ΔOM и ΔOMN OM O имаме OMN,5 m Чертеж 5 OMN ON OMN 3 За лицата на ΔNM и ΔNM е в сила равенството, а за лицата на Δ M и Δ M имаме, откъ- M M NM M M M NM M NM M,5 5 дето NM 7, 5 NM 7,5 m NM NM M Задача 3 Намерете височината D, медианата M и ъглополовящата L на Δ, D, M, L, ако дължините на страните на триъгълника са 0, Решение Прилагаме изведената формула за пресмятане на височината D h D h 0 Без следствията от теоремата на Стюарт, за да намерим височината D, трябва да пресметнем лицето на Δ по Хероновата формула p( p )( p )( p ), където p, те и от равенството h получаваме 75

8 За намиране на медианата M прилагаме познатата формула 39 M m От формулата L l намираме ( ) L l Задача Докажете, че в правоъгълен триъгълник Δ ( 90 0 ) симедианата D (D ) към хипотенузата съвпада с височината h към хипотенузата Решение Съгласно изведената формула симедианата По условие Δ правоъгълен, следователно и лицето h Окончателно получаваме D h Задача 5 Отсечките D и F са съответно недиана и ъглополовяща в Δ, D, F Да се намери FD, ако 7, F 3, D 5 и D Решение F F, D D 9 (черт6) F D От F ъглополовяща, следва Ъглополовящата Чертеж 6 Прилагаме теоремата на Стюарт за недианата FD в ΔF и получаваме 76

9 Чевиана и симедиана в триъгълник Даденото решение е примерно, задачата може да бъде решена и по други начини Задача 6 В окръжност е вписан Δ, в който и През върховете и са построени допирателни, пресичащи се в точка Р, а D e пресечната точка на и P Намерете D, D и АD P k O x D y M Чертеж 7 Решение Ако точката О е център на описаната окръжност k, то от условието следва, че O M, където M, M (черт7) Построяваме допирателните към k в точките и и пресечната им точка Р, откъдето следва P Р От P O, M P II P като кръстни ъгли () От () и от P P P P (3) Освен това DP D като връхни ъгли () От подобието на Δ и Δ P съгласно (), () и (3) следва От подобието на Δ PD и Δ D съгласно () и () следва (5), където x D, y D 77

10 x Но D D x y (6) От (5) и (6) получаваме системата y x y с решения Прилагаме теоремата на Стюарт за недианата D в Δ и получаваме По-наблюдателните ученици могат още от равенство (5) да стигнат до извода, че D е симедиана и да намерят дължината є по съответната формула Задача 7 3) Отсечката M (M ) е недиана в равнобедрения правоъгълен Δ ( ) Да се намери sin M, ако sin M k При коя стойност на k недианата АМ е ъглополовяща на? x 90 0 x M α Чертеж Решение Нека M α sin M sin (5 0 ) sin M os sinα sin α ( k) ( k) M ( k k ) k

11 Чевиана и симедиана в триъгълник Ако АМ е ъглополовяща на, то но Задачи за самостоятелна работа Задача 8 Докажете теоремата на Стюарт чрез теоремата на Питагор h m D x 0 90 H n-x Чертеж 9 Упътване ) : постройте височината H (H ) и при означенията на черт9 приложете Питагорова теорема за Δ H, Δ H и Δ DH и идеята от доказателството чрез косинусова теорема Задача 9 Нека е даден Δ със страни,, и точка D, лежаща на правата Ако точката лежи между точките и D, D d, D m и D n, то докажете, че (d mn) m n Упътване Приложете теоремата на Стюарт за недианата в Δ D Задача 0 Нека е даден Δ със страни,, и точка D, лежаща на правата Ако точката А лежи между точките D и, D d, D m и D n, то докажете, че (d mn) m n Упътване: приложете теоремата на Стюарт за недианата в Δ D 79

12 NOTE / БЕЛЕЖКИ: REFERENE / ЛИТЕРАТУРА Kolrov, K, V Mihylov, P rnudov, H Lesov & U tlsk (989) ornik ot zdhi po geometriy VII X kls (s8, 5, 5, 66, 3) ofi: Izd Nrodn prosvet [Коларов, К, В Михайлов, П Арнаудов, Х Лесов & У Баталска (989) Сборник от задачи по геометрия VII X клас (с8, 5, 5, 66, 3) София: Народна просвета] Psklev, G & I honov (985) Zelezhitelni tohki v triglnik (s 8) ofi: Izd Nrodn prosvet [Паскалев, Г & И Чобанов (985) Забележителни точки в триъгълника (с 8) София: Народна просвета] Grozdev, & H Lesov (0) Zimni mtemtiheski sstezniy ofi: VUZF (IN ), 35 strnitsi [Гроздев, С & Х Лесов (0) Зимни математически състезания София: ВУЗФ (IN ), 35 страници] Grozdev,, V Nenkov & Doyhev (nuhn redktsiy) (0) Z visoki postizheniy v mtemtikt (v pomosht n uhitely) ofi: Fondtsii M lknski i merik z lgri (IN ), 0 strnitsi [Гроздев, С, В Ненков & С Дойчев (научна редакция) (0) За високи постижения в математиката (в помощ на учителя) София: Фондации М Балкански и Америка за България (IN ), 0 страници] Grozdev, (007) For High hievements in Mthemtis The ulgrin Experiene (Theory nd Prtie) ofi: DE (IN ), 95 pges Grozdev, & V Nenkov (00) Two Remrkle Points of the Tringle Geometry Reserh nd Edution in Mthemtis, Informtis nd their pplitions (REMI 00), Proeedings of the nniversry Interntionl onferene Dedited to the 0-th nniversry of the Fulty of Mthemtis nd Informtis, Plovdiv University, 0 Deemer, 00, Plovdiv, (IN ) 80

13 Чевиана и симедиана в триъгълник EVIN ND YMMEDIN IN THE TRINGLE TEWRT THEOREM strt The rtile exmines the onepts of evin, symmedin, tewrt s theorem nd some of their pplitions in simple tsks The im is n pproprite upgrde of students geometri knowledge relted to the medin, the ngle isetor nd the ltitude in the tringle The proposed reserh is direted to High shool tehers looking for opportunities to develop one of the key ompetenes the mthemtil one Mrs Rumyn Nestorov, PhD student 3000 Vrts, ulgri, E-mil: rumin_nestorov@vg 8