9 Кинематика на сложни движения на твърдо тяло 9 Сферично движение на твърдо тяло Определение Сферично движение на твърдо тяло или движение на тяло около неподвижна точка наричаме такова движение при което всяка точка от тялото описва траектория лежаща върху сферична повърхнина с център неподвижна точка фиг43 Примери за сферично движение на твърдо тяло са механизмите с конусни зъбни колела конусните мелници жироскопите вградени в навигационни уреди или стабилизатори на движението както и движението на пумпала имащ неподвижна точка фиг43 Геометрични характеристики на движението За определяне положението на тялото спрямо неподвижния репер неизменно свързваме с тяло подвижен репер Нека е линията на пресичане на неподвижната и подвижната равнини наречена неутрална или линия на възлите Отбелязваме ъглите: Фиг 43 Сферично движение Ъгълът лежи в равнината която е перпендикулярна на ос Равнината на ъгъла която се образува от осите и е перпендикулярна на оста с единичен вектор Равнината на ъгъла е перпендикулярна на оста Ъглите са положителни ако отгоре се виждат отложени от съответните начални оси в посока обратно на часовата стрелка Задаването на ъглите еднозначно определя положението на подвижния репер неизменно свързан с твърдото тяло а следователно и положението на тялото три степени на свобода Ъглите се наричат ойлерови ъгли: - ъгъл на прецесия - ъгъл на нутация - ъгъл на собствено въртене Уравнениятазаконът на сферичното движение на твърдо тяло се дават от ойлеровите ъгли във функция на времето: 89 Ойлеровото представяне на преместването около неподвижна точка е преход от неподвижния към подвижния триедри чрез 8
8 композиция от три последователни ротации със сходящи оси: o o o За прехода от неподвижния репер в репера на тялото имаме: - ротация около на ъгъла на прецесия води оста върху линията на възлите фиг44: si si : o 9 si si - ротация около на ъгъла на нутация води оста до фиг45: si si : o 9 si si - ротация около на ъгъла на собствено въртене води оста върху fig46 si si : o 9 si si Матрицата на прехода от триедъра в се намира като произведение на горните три трансформационни матрици: 93 o o o o o si si si si si si si si si si si si si si si si si si si si Връзката на абсолютният радиус-вектор на произволна точка и локалния е матрицата на прехода : 94 и обратно: ] [ Траекториите на точките от тялото са сферични криви c Фиг44 Ротация: o Фиг45 Ротация: o Фиг46 Ротация: o
Кинематични характеристики на тялото Завъртането на подвижния репер те на равнината α спрямо неподвижния репер се задава с ъгъла Оста на ротация е перпендикулярна на равнината α фиг44 те по оста За ъгловата скорост на репера спрямо имаме 95 Завъртането на подвижния репер те на равнината α спрямо репера се задава с ъгъла Оста на ротация е перпендикулярна на равнината α фиг45 те по оста За ъгловата скорост на репера спрямо имаме 96 Завъртането на подвижния репер те на равнината α спрямо репера се задава с ъгъла Оста на ротация е перпендикулярна на равнината α фиг46 те по оста За ъгловата скорост на репера спрямо имаме 97 И така завъртането на подвижния репер спрямо неподвижния се състои от три ротации чиито ъглови скорости образуват сходяща в точка система вектори: { } Равнодействащият вектор на тази система определя ъгловата скорост на тялото спрямо те 98 Следователно сферичното движение на тялото представлява мигновенна ротация на около ос минаваща през точка с направление моментна ос и големина на ъгловата скорост Проекциите на ъгловата скорост в неподвижния репер се дават от матричното произведение 99 [ ] Проекциите на ъгловата скорост в подвижния репер се дават от матричното произведение [ ] За вектора ъглово ускорение по дефиниция имаме те 3 443 Направленията на ъгловите скорост и ускорение изобщо не съвпадат 83
Скорости и ускорения на точки от тялото - По дефиниция за скоростта на точката се изменя само по направление c векторът имаме: Скоростта на точките от моментната ос на въртене е нула: За големината на скоростта намираме 3 si [ ] h 3 4444 44443 където е големината на а h - разстоянието от до оста - По дефиниция за ускорението на точката намираме: [ 4 [ ] ] h 443 4 4444444 3 където [ ] се наричат съответно въртеливо и осестремително ускорение на около с големини 5 h [ ] ' ' poj Пример Конус с ъгъл при върха и радиус при основата C се търкаля по неподвижна хоризонтална равнина без плъзгане Скоростта на центъра на основата е C c Да се намерят ъгловите скорост - и ускорение - на конуса както и скоростите и ускоренията на найдолната - и най-горната - B точки от основата на конусафиг47 Решение Движението на търкалящия се конус е сферично тъй като върхът на конуса остава неподвижен Това е въртене около моментната ос съвпадаща с образуващата на конуса - и допирателна към неподвижната равнина те точките й имат нулеви скорости Означаваме: - абсолютен репер Фиг 47 Търкаляне на конус по равнина - локален репер геометричната ос на конуса - единичен вектор на моментната ос si - единичен вектор на линията на възлите - - π c - ойлерови ъгли 84
85 Изразяваме векторите B и чрез базисната система вектори : 3 3 π π si 443 443 π si si si ] [ B B B B 443 443 π si За ъгловата скорост чийто носещ вектор е от 98 пишем { si g 443 От въртеливата скорост на точка C търсим ъгловата скорост на конуса si ' c cg C C C CC C C 443 678 По дефиниция за ъгловото ускорение пишем { g 44 4 3 4 4 si За въртеливите скорости в точките и B съответно намираме 3 443 443 BB B B ' si si Ускорението в точка се представя само чрез въртеливото ускорение si g 443 Накрая за ускорението в точка B имаме si si si si si ' g B B BB B B B B 443 443 а големината му е si B B
9 Най-общо движение на твърдо тяло Определение Най-общо движение на твърдо тяло наричаме движението на свободно твърдо тяло при което всички точки от него описват различни траектории и имат във всеки момент различни скорости и ускоренияфиг48 Примери за най-общо движение на твърдо тяло са въздушните и космически обектифиг48 Геометрични характеристики на движението Движението на едно свободно твърдо тяло в пространството се определя от шест независими координати на три точки от тялото Общото движение може да се представи като съвкупност от транслационно и сферично движения За определяне положението на тяло спрямо абсолютния репер неизменно свързваме: с в полюса подвижен репер с точката репер който се движи транслационно спрямо Очевидно движението на репера спрямо абсолютния репер е транслационно и се Фиг 48 Най-общо движение на твърдо тяло определя от положението на полюса в те от абсолютните координати на точката 6 е линията на пресичане на равнините и която се нарича неутрална или линия на възлите Ойлеровите ъгли позволяват да се направи преход от репера в подвижния репер на тялото което представлява сферично движение на тялото в точка Сферичното движение се дава с ойлеровите ъгли функции на времето: 7 И така преходът от абсолютния репер в подвижния е следният: sl o oo oo Уравнения 67 определят закона на най-общо движение на тяло Връзката между абсолютния и локалния радиус-вектор на точка е : 86
8 Възползваме се от формула 94 за изразяване на вектора в : 9 Тук е матрицата на прехода от 93 изразена чрез ойлеровите ъгли Кинематични характеристики на тялото Завъртането на подвижния репер спрямо репера се състои от три ротации чиито ъглови скорости образуват сходяща в точка система вектори Равнодействащият вектор на тази система определя ъгловата скорост на тялото спрямо те е в транслация спрямо Сферичното движение на тялото представлява мигновенна ротация на около ос минаваща през полюса с направление моментна ос и големина на ъгловата скорост Проекциите на на ъгловата скорост в неподвижния репер се дават от матричното произведение [ ] Проекциите на на ъгловата скорост в подвижния репер се дават от матричното произведение [ ] За вектора ъглово ускорение по дефиниция имаме ' те 443 ' 443 3 Тук ' е реперът получен от завъртането на около на ъгъл а - от завъртането на ' около на ъгъл Направленията на ъгловите скорост и ускорение изобщо не съвпадат Скорости и ускорения на точки от тялото - По дефиниция за скоростта на точката от 8 имаме: 4 44 443 векторът се изменя само по направление c Скоростта на точките от моментната ос на въртене е: За големината на въртеливата скорост намираме 87
88 5 ' ' ] [ si poj h където е големината на а h - разстоянието от до оста Тъй като точките и от тялото са произволни то изразът 4 се нарича разпределение на скоростите между две точки от тялото Да умножим скаларно векторното уравнение 4 с вектора : poj poj 44 4 3 44 4 те в сила е теоремата за проектираните скорости: проекциите на скоростите на точки от тялото върху правата която ги свързва са равни - По дефиниция за ускорението на точката пишем: 44 4 3 44 4 443 където ' се наричат съответно въртеливо и осестремително ускорения на около с големини 6 ' ' poj h Разпределението на ускоренията между две точки от тялото е: 7 Понятие за винтово движение на твърдо тяло Теорема Във всеки момент от движението съществува права от тялото чиито точки имат скорости успоредни на ъгловата скорост Тази права } { P P p се нарича моментна винтова ос Доказателство Нека точка P има скорост P успоредна на те P P P P P откъдето намираме P P P λ λ Да означим проекцията на полюса върху правата p с * P * poj P p За * P P намираме * * * * P P P λ Окончателно за уравнението на моментната винтова ос получаваме 8 * λ λ P P Ако вземем за полюс точка от правата то най-общото движение на тяло можем да представим като ротация около моментната винтова ос и транслация по тази ос p P - мигновенно винтово движение
93 Кинематика на съставното движение Абсолютно относително и преносно движение на точка Определение Когато една точкатяло участвува в две и повече движения се казва че точкататялото извършва съставно или сложно движение Примери за сложно движение: лодка която преплува река пътник преместващ се в движещо се транспортно средство планетите от слънчевата система които освен около слънцето се въртят и около собствените си оси от своя страна слънчевата система участвува в движение по отношение на собствената галактика Млечния път която пък се движи спрямо съвкупността от галактики във Вселената Нека разгледаме движещо се тяло фиг49 и точка която не принадлежи на това тяло а извършва по отношение на него някакво движение С тяло неизменно свързваме подвижен репер където е произволна точка от тялото а { } - Фиг 49 Съставно движение базисна ортонормирана система от вектори Неподвижен репер се нарича реперът свързан твърдо с някакво условно неподвижно тяло най-често Земята където е точка от тялото а { } - базисна ортонормирана система от вектори е радиус-вектор следящ движението на точката спрямо - радиусвектор следящ движението на полюса спрямо - радиус-вектор следящ движението на точката спрямо Абсолютно движение се нарича движението на в неподвижния репер задава се чрез закона на движение на в репера Скоростта и ускорението на точката в абсолютното движение се наричат абсолютна скорост - и абсолютно ускорение - Относителнорелативно движение се нарича движението на в подвижния репер задава се чрез закона на в репера Скоростта и ускорението на точката в относителното движение се наричат относителна скорост - и относително ускорение - 89
Преносно движение за точка се явява движението на подвижния репер и неизменно свързаното с него тяло спрямо неподвижния репер задава се чрез закона на движение на точката от тялото съвпадаща с те замразяване на движението на спрямо репера по отношение на репера случай на най-общо движение на тяло спрямо неподвижния репер Скоростта и ускорението на точката от тялото съвпадаща в даден момент с движещата се точка - в преносното движение се наричат преносна скорост - и преносно ускорение - Основна задача при изучаване на сложното движение се явява установяване на зависимостите между скоростите и ускоренията на относителното преносното и абсолютното движения на точката По време на движението радиус-векторите и са свързани 9 c Теорема за абсолютната производна на вектор Нека са зададенифиг49: абсолютния репер свързан с някакво условно неподвижно тяло тяло и неизменно свързания с него подвижен репер намиращо се в движение по отношение на тяло с ъглова скорост векторът който е изразен в подвижния репер : Ако векторът е изразен в абсолютния репер което може да стане ако се използва матрицата на прехода от в - от 94 те то производната по времето на вектора в означава да диференцираме само компонентите му тъй като базовите вектори са постоянни те независими от времето И така абсолютна производна по времето на вектора изразен в е Тази производна показва бързината на изменение на вектора в Сега да намерим производната по времето в абсолютния репер на вектор който е изразен в подвижния репер те За целта диференцираме вектора по времето в : 9
9 Изразът от по конструкция е подобен на този от и за един наблюдател в подвижния репер показва бързината на изменение на вектора в те представлява производната по времето на вектора в подвижния репер : Ето защо тази производна се нарича относителна или релативна Изразът от съдържа производните по времето на единичните вектори от подвижния репер и характеризират промяната на направлението на векторите която се определя от ъгловата скорост на въртене на около те 3 откъдето намираме 4 Окончателно за абсолютната производна от и 4 имаме 5 Теорема Абсолютната производна по времето на един вектор е равна на сумата от релативната производна на вектора и векторното произведение на ъгловата скорост на подвижния репер спрямо неподвижния със самия вектор Частни случаи Ако се движи транслационно спрямо то те абсолютната и релативната производни са равни Аналогично се получава за случая Ако векторът е неподвижен в то Такъв е случаят с радиус-вектора на произволна точка от тялото 3 Ако векторът е неподвижен в то
Теорема за събиране на скоростите Нека да диференцираме по времето в репера равенство 9 6 Производната скорост е абсолютната и се означава Производната Производната е равна на скоростта на точката в Тази е скоростта на полюса в означава се е абсолютната производна на вектора е релативната производна на вектора в в и характеризира бързината на изменение на радиус-вектора в ето защо тази производна е релативната скорост на точка и се означава Равенството 6 взема вида 7 Ако точката замръзне спрямо те релативното движение спре то изразът представлява абсолютната скорост на закон за разпределение на скоростите между две точки от тяло Тази скорост се нарича преносна тъй като е точка от преносния репер и се отбелязва те 8 Окончателно за абсолютната скорост намираме 9 Теорема Абсолютната скорост на точка извършваща сложно движение е векторна сума от преносната и релативната скорости Указания за определяне на абсолютната скорост при сложно движение: - определя се преносната скорост като се използуват знанията от кинематика на идеално твърдо тяло при спряно релативно движение - определя се релативната скорост като замразяваме преносното движение на подвижния репер те ставаме наблюдатели в него - определя се абсолютната скорост като векторна сума на и Пример Велосипедист се движи върху хоризонтален път със скорост фиг5 Върху него се излива вертикален дъжд със скорост ϑ В какво направление той получава този дъжд? Решение Една дъждовна капка p извършва сложно движениефиг5 Преносното й движение е това на велосипедистта p 9
p o C Фиг 5 Велосипедист под дъжд Релативното движение е свободното вертикално движение на частицата p p ϑ Тогава p p p ϑ p ϑ Търсеното направление е обратно на p те p p ϑ ϑ Пример Две малки сфери и са фиксирани в краищата на два еднакви пръта и с дължина l Тези пръти са ставно свързани в неподвижна точка от вертикална ос която е ъглополовяща на променливия ъгъл α Равнината се завърта около оста с ъглова скорост фиг5 Търси се абсолютната скорост на сферите Решение фиг5 са респективно следните репери: абсолютен подвижен свързан с равнината ' в преносното ротационно движение с ъглова скорост o подвижен l α l свързан с пръта в относителното ротационно движение около ос α Имаме: ' l α l l siα α l si α α l Фиг5 Две сфери в ротация Пример 3 Тръба се върти с ъглова скорост около неподвижна точка в равнината фиг5 Топче се движи в тръбата по закона s s Да се намери абсолютната скорост на топчето Решение Реперите и фиг5 са респективно абсолютния и подвижния свързан с тръбичката в преносното движение ротация с ъглова скорост Относителното движение на е праволинейно по оста s Абсолютната скорост е s s s s s s s Фиг5 Топче във въртяща се тръбичка 93
Теорема за събиране на ускоренията Нека да диференцираме по времето в репера равенство 7 3 Производната ускорение е абсолютното и се означава Производната Производната Производната е равна на ускорението на точката в Това е ускорението на полюса в е ъгловото ускорение на въртене на около е абсолютната производна на вектора се представя с израза 3 Производната и се представя с израза в и е абсолютната производна на вектора 3 Тук е релативната производна на вектора в в и представлява релативното ускорение на точка в и се бележи Равенството 3 взема вида 33 Ако точката замръзне спрямо те релативното движение спре то изразът от 33 представлява абсолютното ускорение на закон за разпределение на ускоренията между две точки от тяло Това ускорение се нарича преносно тъй като е точка от преносния репер и се отбелязва те 34 За последния член от 33 полагаме c 35 c Ускорението се нарича допълнително или кориолисово Окончателно за абсолютното ускорение намираме c 36 Теорема Абсолютното ускорение на точка извършваща сложно движение е векторна сума от преносното релативното и кориолисовото ускорения 94
За големината на кориолисовото ускорение имаме c 37 si Кориолисовото ускорение е нула в следните случаи: - когато преносния репер е в транслация спрямо те - моментите в които релативната скорост е нула те - когато формиращите го вектори са успоредни те Кориолисовото ускорение е перпендикулярно на равнината образувана от двата вектора и има посока определена по правилото на десния винт: като се гледа откъм кориолисовото ускорение да се вижда завъртането на първия вектор до втория обратно на часовата стрелка Указания за намиране на абсолютно ускорение при сложно движение: - определя се преносното ускорение като се използуват знанията от кинематика на идеално твърдо тяло при спряно релативно движение - определя се релативното ускорение като замразяваме преносното движение на подвижния репер те ставаме наблюдатели в него c - определя се кориолисовото ускорение - абсолютното ускорение се явява векторна сума на c и Пример 4 Тръба се върти по закона около неподвижна точка в 3 равнината фиг53 Топче се движи в тръбата по закона s 3 Да се намери абсолютното ускорение на топчето за момента s Решение Реперите и фиг53 са респективно абсолютния и подвижния свързан с тръбичката Преносно движение извършва тръбичката - ротация с ъглова скорост и ъглово ускорение Преносното ускорение се намира от връзката на ускоренията между точките и от тръбичката Фиг53 Топче във въртяща се тръбичка Тук 3 5 s s 3 4 3 3 s 3 Относителното движение на е праволинейна транслация по оста с релативни: скорост и ускорение Кориолисовото ускорение се дава от: s c 3 4 95
Окончателно за абсолютното ускорение намираме За c 3 4 5 3 4 4 3 4 3 3 3 3 s имаме [ 3 4 3 4 4 ] 3 3 3 3 3 3 4 Пример 5 Правоъгълен триъгълник BC се върти с постоянна ъглова скорост s около B фиг54 По хипотенузата от B към C се движи плъзгач с постоянна скорост m s Ако BC β да се определят скоростта и ускорението на плъзгача Решение Реперите и фиг54 са съответно абсолютния и подвижния свързан с BC Преносно движение извършва BC - ротация с ъглова скорост c те Радиус-векторът на плъзгача в е: където B B B s BC B c s c BC BC BC 443 443 π β π β si β β Преносната скорост намираме от връзката на скоростите между точките B и от триъгълника: Фиг54 Въртящ се триъгълник B B B s BC si β β si β Тук сме отчели: B B -точка от ротационната ос B s BC Преносното ускорение се намира от връзката на ускоренията между точките B и от триъгълника те B B B B B ' s si β si β B ' pojb ' ' ' B si β s si β Тук Относителното движение на е праволинейна транслация по оста BC B s BC c с релативни: скорост и ускорение BC BC Кориолисовото ускорение се дава от: BC siβ Окончателно за абсолютните скорост и ускорение съответно намираме si β BC si β si β β si β c si β si β si β 4 96