МКЕ в геомеханиката 1. 1D, 2D и 3D задачи в геомеханиката и дискретизация по МКЕ а. б. Фиг. 1 1D а. Деформируем пласт с ограничена дебелина; б. Модел по МКЕ Фиг. 2 2D Задачи за равнинна деформация (plane strain): ивичен фундамент, тръбопровод или тунел, подпорна стена 1
2 а. б. в. г. Фиг. 3 Равнинни модели по МКЕ: а. Ивичен фундамент; б.тунел; в. Откос; г. Анкерирана шпунтова стена Ko = 1, s/w = 25 kn/m3 Ex=6 GPa, Ey=2GPa q=13 kn/m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2 21 22 23 24 25 26 27 28 29 3 31 32 33 34 35 36 37 38 39 4 41 42 43 44 45 46 47 48 49 5 51 52 53 54 55 56 57 58 59 6 61 62 63 64 65 66 67 68 69 7 71 72 73 74 75 76 77 78 79 8 81 82 83 84 85 86 87 88 89 9 91 92 93 94 95 96 97 98 99 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 11 111 112 113 114 115 116 117 118 119 12 121 122 123 124 125 126 127 128 129 13 131 132 133 134 135 136 137 138 139 14 141 142 143 144 145 146 147 B/2 3B 2B 1B 5 1 15 2 25 3 35 4 45 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2 21 22 23 24 25 26 27 28 29 3
Фиг. 4 2D Ососиметрични задачи (axi-symmetry): кръгъл фундамент, пилот, образец при триосов опит а. б. Фиг. 5 Модели по МКЕ за ососиметрични задчи: а. Цилиндричен резервоар; б. Пилот в земна основа 3
Фиг. 6 3D Земна основа под фундаментна плоча на висока сграда: а. модел с цялата връхна конструкция; б. със сутеренните етажи; в. само с фундаментната плоча Фиг. 7 3D Модел по МКЕ за тунел 4
2. Видове КЕ и гъстота на мрежата от КЕ І ред ІІ ред ІІІ ред а. б. в. Фиг. 8 Едномерни (а.), двумерни (б.) и тримерни (в.) КЕ; І ред КЕ с линейна апроксимация на преместванията; ІІ ред, ІІІ ред КЕ с квадратна апроксимация на преместванията Фиг. 9 КЕ за ососиметрична задача 5
а. б. Фиг. 1 КЕ: а.съвместими; б.несъвместими а. б. в. Фиг. 11 КЕ: а. Подходящи; б. Неподходящи; в. Недопустими Фиг. 12 Безкрайни КЕ 6
Безкрайни КЕ (1D и 2D) Използват се с цел имитация на безкрайното полупространство на земната основа като се постига модел с по-малък брой КЕ. Геометричната форма на безкрайните КЕ е същата като на обикновените КЕ, но при изчислителните операции външните граници се приемат безкрайно отдалечени. Последното се постига с помощта на специални интерполационни (mapping) функции, с които се преобразуват координатите на външните за областта възли. За тази цел се използва точка, вътре в изследваната област, наречена полюс. Местоположението на полюса трябва да бъде от една страна близко до граница с наличие на външно натоварване и от друга страна максимално отдалечена от безкрайните елементи. а. б. в. Фиг. 13 Сгъстяване на мрежата от КЕ: а. Под натоварване върху терена; б. При земно-насипна стена; в. Около отвори в земната основа 7
Гъстота на мрежата от КЕ зависи от точността на използваните КЕ при КЕ с по-ниска степен на апроксимация на преместванията се полага по-гъста мрежа. Необходимо е мрежата да се сгъстява в зоните на натоварване, промяна на геометрията (отвори, чупки и др.), наличие на конструктивни елементи. (фиг. 13) Видове КЕ за моделиране на системата почваконструктивен елемент: a. Едномерни прътови = Bеam (греда) елемент с дължина l и коравини EI и EA- работи на огъване и осова сила ; = Bar елемент с дължина l и коравина EA( EI = )- работи само за осова сила (напр. при моделиране на геотекстил); = Truss едномерен елемент с дължина l и коравина EA с натоварване или преместване само във възлите работи за осова сила ( + натиск, - опън) използва се при моделиране на анкери и разпонки; може да пресича равнинните елементи. Фиг. 14 Контактен елемент на Goodman 8
б. Контактни (интерфейсни) елементи с дебелина d = или d които се използват при моделиране на контакт на съоръжения с почвен масив или при пукнатини в скали Пример - елемент на Goodman (фиг. 14) Елементът е с нулева дебелина, т.е. двойките възли I, J, K и L имат еднакви координати. Под действието на нормално σ и тангенциално τ напрежение елементът получава нормални δ η и тангенциални δ ξ деформации. Връзката между тях се определя с линейните уравнения σ = knδn ; τ = ksδs. където kn, k s са съответно нормалната и тангенциална коравина (пружинна константа). Минимално възможното напрежение (опън), нормално на контактната равнина се определя от якостта на опън на контакта T, т.е. σ min = T. При разкъсан контакт T =. При пълно закриване на контакта модулът на натиск K нараства до този на обкръжаващата среда. Максималното съпротивление на хлъзгане в контакта се определя с уравнението на Кулон τ max = σtgϕ + c. 3. Приложение на МКЕ в премествания за почвена среда като линейно-деформируем материал. Основни уравнения Необходимо е да бъдат извършени следните стъпки: 3.1. Локална апроксимация на преместванията в рамките на КЕ в зависимост от възловите им стойности n = i= 1 i i 1 1 2 2 { u} N { δ } = N δ = N δ + N δ +... + Nnδn (1) където: { δ } - вектор на възловите премествания { u } е векторът на преместванията във всяка точка от КЕ N - матрица на интерполационните функции (функции на формата) 9
N i - функция на формата за възел i (зависи от кординатите x, y, z на точката): = във възел i N i = 1 = във всеки друг възел N i = = за всички точки от елемента N = 1 i 3.2. Определяне на деформациите в КЕ { ε} B { δ} = (2) B e трансформационна матрица 3.3. Определяне на напреженията в КЕ { σ } = D { ε} (3) 3.4. Прилагане на вариационни принципи за определяне на уравнението на метода за КЕ минимизиране на потенциалната енергия 1 Π p = σ ijuij Xiui dv Tiui ds 2 (4) V Sσ Фиг. 15 Гранични условия 1
Чрез заместване на (1),(2) и (3) в (4) и от условието за минимизиране на (4) се получава система уравнения на метода за крайния елемент { δ } { R } Ke e = e (5а) където: V T Ke = B D B dv (5б) е матрицата на коравина на КЕ; T T { Re } = N { X } dv + N { T} ds (5в) V е векторът на възловите сили за КЕ. sσ 3.5. Числено интегриране на локалната матрица на коравина Ke по метод на Гаус КЕ се разделя на части, във всяка част се определя една точка за която се изчислява стойността на функцията и тя се умножава по обема (площта) на тази част, а общия интеграл за КЕ се приема като сума от тези произведения. Например за КЕ от фиг. 15а се получава 3 3 T mn mn mn mn, (6) m= 1 n= 1 K = B D B където с mnса означени площите на отделнте части. а. б. Фиг. 16 Интеграционни точки в квадратен и триъгълен КЕ 11
3.6. Глобална система уравнения за всички КЕ чрез суперпониране (асемблиране) по възли (фиг. 17) { δ } { R} K = Фиг. 17 Формиране на глобална матрица на коравина Пример Равнинна задача триъгълен елемент с линейна апроксимация на преместванията а. б. Фиг.18 Триъгълен КЕ с линейна апроксимация (а.);графично изображение на функциите на формата (б.) 12
{ } = { u i u j u k v i v j v k } δ (7) u = a1 + a2x + a3 y v = a + a x + a y 4 5 6 От решението на система уравнения (6х6), формирана от условието за удовлетворяване на координатите x, y, z и преместванията u, v във възлите i, j, k се получава (8) u = N u + N u + N u i i j j k k v = Nivi + N jv j + Nkvk където 1 Ni = ai + bi x + ci y 2 a = x y x y ( ) i j k k i b = y y i j k c = x x i k - площ на КЕ j, (9) (1) Аналогично се получават N j, N k. u ' ' ' ε x = = Nixui + N jxu j + Nkxuk x v ' ' ' ε y = = Niyvi + N jyv j + Nkyvk y, (11) u v ' ' ' ' ' ' γ xy = + = Niyui + N jyu j + Nkyuk + Nixvi + N jxv j + Nkxvk y x където например ' Ni 1 Nix = = bi x 2 ' Ni 1 Niy = = ci y 2 или в матрична форма (12) 13
{ ε} = B { δ} { ε} ' ' ' ε Nix N jx N kx x ' ' ' = ε y, B Niy N jy N = ky γ ' ' ' ' ' ' xy Niy N jy Nky Nix N jx N kx (13) Според обобщения закон на Хук: σ x τ xy { σ } = σ y = D { ε} (14) ν 1 1 ν E(1 ) D ν ν = 1 (1 + ν )(1 2 ν ) 1 ν 1 2ν 2(1 ν ) D - матрица на материалните константи. (15) 14